Олимпиадные задания по математике Математические загадки

Олимпиада 5 кл математика

Уравнения

1. Решить уравнение:
25х+52=102.
A) нет решений;
B) 4
C) 2
D) 5
E) 3

2. Найдите решение уравнения:
x:7 = 21 - 11

3. Найдите решение уравнения:
5x=65-30

4. Найдите решение уравнения:
120:x=17+23

5. Найдите решение уравнения:
(48+x)∙8=400

6. Найдите решение уравнения:
5x + 2x = 49

7. Найдите решение уравнения:
15 + x: = 55

8. Найдите решение уравнения:
60 - x = 45

9. Найдите решение уравнения:
88 : x = 8

10. Найдите решение уравнения:
х - 22 = 42

Задачи

Задача №1
Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 143, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?

Задача №2
Три яблока, четыре груши и один персик стоят 40 руб. Одно яблоко, четыре груши и персик стоят 32 руб. Сколько стоят одно яблоко, одна груша и один персик, если персик стоит столько, сколько стоят два яблока?

Задача №3
Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за полсекунды. Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой. Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров? (40 секунд)

Задача №4
Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см.

Задача №5
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, упростить:
11•х•30

Задача №6
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть:
А) слагаемое
В) вычитаемое
С) число 10
D) известное частное
E) разность

Задача №7
В три банки с надписями «малиновое», «клубничное» и «малиновое или клубничное» налили смородиновое, малиновое и клубничное варенье. Все надписи оказались неправильными. Какое варенье налили в банку «клубничное»?

Задача №8
Коробку размером 30 х 30 х 50 нужно наполнить одинаковыми кубиками.
Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 75
E) 150

Задача №9
Задания для школьной олимпиады: примеры и выражения. В записи (88888888) нужно поставить знаки сложения таким образом, чтобы получилась сумма, которая будет равна 1000.

Задача №10
В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зелёный. Сколько шаров надо вынуть, чтобы достать два шара одного цвета?

Математические загадки

Загадка №1
Вот одна задача из древнего индийского трактата: если 1/5 пчелиного роя полетела на цветы ладамбы, 1/3 - на цветы слэндбары, утроенная разность этих чисел полетела на дерево, а одна пчела продолжала летать между ароматными кетаки и малати, то сколько всего было пчел?

Загадка №2
Гарри и Джим, два заядлых игрока в шарики, в начале игры имели их в одинаковом количестве. Гарри выиграл 20 шариков в первом туре, но потерял 2/3 всех своих шариков в матч-реванше. При этом у Джима осталось вчетверо больше шариков, чем у Гарри. Сколько шариков было у каждого мальчика перед началом игры?

Загадка №3
Фермер Джонс продал пару коров за 210 долларов. На одной корове он заработал 10%, а на другой - 10% потерял. Всего доход Джонса составил 5%. Во сколько первоначально обошлась ему каждая корова?

Загадка №4
Джон, Билл и Ваня отправились на бейсбольный матч. По дороге Джон купил 5 пакетиков чипсов, Билл - два пакета таких же чипсов, а Ваня ничего не купил. Во время матча они съели все чипсы, причем съели поровну. После матча Ваня, подсчитав, сколько стоят съеденные им чипсы, отдал 1 долл. и 40 центов. Какую сумму следует еще получить Джону?

Загадка №5
- Который теперь час? - спросил Миша у отца.
- А вот сосчитай: до конца суток осталось втрое меньше того времени, которое прошло от их начала. Который час был тогда?

Ответы к уравнениям

Уравнение

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

Ответ

вариант С

x=70

x=7

x=3

x=2

Уравнение

№ 6

№ 7

№ 8

№ 9

№ 10

Ответ

x=7

x=40

x=15

x=11

x=64

Ответы к задачам

Задача 1
172 страницы

Задача 2
груша стоит 5 рублей, яблоко - 4 рубля, персик - 8 рублей

Задача 3
4 руб.
8 руб.
5 руб.

Задача 4
28 см и 48 см²

Задача 5
330x

Задача 6
вариант E

Задача 7
Так как все надписи неправильные, то в третьей банке не может быть ни малиновое, ни клубничное варенье. Значит, там смородиновое варенье. Тогда клубничное и малиновое должны быть в первых двух банках. А так как надписи неправильные, то в банке «клубничное» на самом деле малиновое варенье.

Задача 8
вариант C

Задача 9
Способ 1: 88+8+8+8+888=1000
Способ 2: 8+8+888+88+8=1000

Задача 10
надо вынуть 4 шара

Ответы на загадки

Загадка 1
15 пчел

Загадка 2
по 100 шариков

Загадка 3
первая корова - 15, вторая - 50

Загадка 4
Джон должен получить 1 долл. 60 центов, так как еще 20 центов ему должен отдать Билл. В самом деле: каждый съел по 7/3 пакета, значит, 1/3 пакета стоит 20 центов, а Билл съел на 1/3 пакета больше, чем купил.

Загадка 5
6 часов

Олимпиады 6 кл

Уравнения

1. Решить уравнение:
5x + 13 = 3x - 3

2. Найдите решение уравнения:
2x + 5x = -14

3. Найдите решение уравнения:
4x - 5х = 20

4. Найдите решение уравнения:
-5x + 3x = 16

5. Найдите решение уравнения:
х : 2 = -8

6. Найдите решение уравнения:
4х + 3 = 2х + 13

7. Найдите решение уравнения:
((x : 2 − 3) : 2 − 1) : 2 − 4 = 3

8. Найдите решение уравнения:
11 - 5x = 12 - 6x

9. Найдите решение уравнения:
4 • (х + 5) = 12

10. Найдите решение уравнения:
5x = 2x + 6

Задачи

Задача №1
Гравировщик делает таблички с буквами. Одинаковые буквы он гравирует за одинаковое время, разные - возможно, за разное. На две таблички «ДОМ МОДЫ» и «ВХОД» вместе он потратил 50 минут, а одну табличку «В ДЫМОХОД» сделал за 35 минут. За какое время он сделает табличку «ВЫХОД»?

Задача №2
Раньше называли число, равное миллиону миллионов , словом «легион». Если разделить миллион легионов на легион миллионов, то получится:
A) легион
B) миллион
C) миллион миллионов
D) легион легионов

Задача №3
В магазин доставили 6 бочонков с квасом, в них было 15, 16, 18, 19, 20 и 31 литр. В первый же день нашлось два покупателя: один купил два бочонка, другой - три, причем первый купил вдвое меньше кваса, чем второй. Не пришлось даже раскупоривать бочонки. Из шести бочонков на складе остался всего лишь один. Какой?

Задача №4
Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль «Запорожец» и 2600. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил «Запорожец» и 1000. Сколько стоил «Запорожец»?

Задача №5
На окраску деревянного кубика затратили 4 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков меньшего размера. Сколько краски потребуется для того, чтобы закрасить образовавшиеся при этом неокрашенные поверхности?

Задача №6
Гриша с папой ходил в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё два выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз Гриша попал в цель?

Задача №7
Ученик Вовочка любит решать математические задачи. Известно, что вчера он решил на 11 задач меньше, чем позавчера и на 32 задачи меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько задач решил Вовочка сегодня?

Задача №8
Чтобы сжить с белого света Змея Горыныча, которому исполнилось 40 лет, Кощей Бессмертный придумал приучить его к курению. Кощей Бессмертный подсчитал, что если Змей Горыныч каждый день в течение года будет выкуривать по 17 сигарет, то он умрет через 5 лет, если же он будет выкуривать по 16 сигарет, то умрет через 10 лет. До скольких лет доживет Змей Горыныч, если он не будет курить?

Задача №9
В затруднительном положении оказались однажды трое пеших разведчиков, которым необходимо было перебраться на противоположный берег реки при отсутствии моста. Правда, по реке катались в лодке два мальчика, готовые помочь солдатам, Но лодка была так мала, что могла выдержать вес только одного солдата; даже солдат и один мальчик не могли одновременно сесть в нее без риска ее потопить. Плавать солдаты совсем но умели. Казалось бы, при таких условиях мог переправиться через реку только один солдат. Между тем все три разведчика вскоре благополучно переправились на противоположный берег и возвратили лодку мальчикам. Как это они сделали?

Задача №10
Один из пяти братьев - Андрей, Витя, Дима, Толя или Юра разбил окно. Андрей сказал: "Это сделал или Витя, или Толя". Витя сказал: "Это сделал не я и не Юра". Дима сказал: "Нет, один из них сказал правду, а другой - неправду". Юра сказал: "Нет, Дима, ты не прав". Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что не менее трех братьев сказали правду. Кто же из братьев разбил окно?

Математические загадки

Загадка №1
У 28 человек 5 «Ы» класса на собрание пришли папы и мамы. Мам было - 24, пап - 18. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и папа и мама?

Загадка №2
В ящике лежат 100 синих, 100 красных, 100 зелёных и 100 фиолетовых карандашей. Сколько карандашей необходимо достать, не заглядывая в ящик, чтобы среди них обязательно нашлись по крайней мере 1 красный и 1 фиолетовый.

Загадка №3
На сколько нулей оканчивается произведение 1•2•3•4•…•37?

Загадка №4
Два невисокосных года идут подряд. В первом из них больше понедельников, чем сред. Какой из семи дней чаще всего встречается во втором году?

Загадка №5
Разбейте число 186 на три попарно различных натуральных слагаемых, сумма любых двух из которых делится на третье.

Ответы к уравнениям

Уравнение

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

Ответ

x = - 8

x = -2

х = 4

x = 8

х = 16

Уравнение

№ 6

№ 7

№ 8

№ 9

№ 10

Ответ

х = -5

x = 66

x = 1

х = -2

х = 2

Ответы к задачам

Задача 1
20 минут

Задача 2
Вариант А

Задача 3
Первый покупатель купил 15-литровый и 18-литровый бочонки. Второй - 16-литровый, 19-литровый и 31-литровый. Остался не проданным 20-литровый бочонок.

Задача 4
2200

Задача 5
4 грамма

Задача 6
6 раз

Задача 7
21 задачу

Задача 8
130 лет

Задача 9
9 цифр

Задача 10
Толя разбил окно

Ответы на загадки

Загадка 1
14 учеников

Загадка 2
301 карандаш

Загадка 3
8 нулей

Загадка 4
Вторник

Загадка 5
31+62+93

7 кл

Уравнения

1. Оба корня уравнения x² - ax + 2 являются натуральными числами. Чему равно a?

2. Решите в натуральных числах уравнение:
zx + 1 = (z + 1)²

3. Решите уравнение:
12 - (4х - 18) = (36 + 5х) + (28 - 6х)

4. Найдите решение уравнения:
7x + 3 (x+0,55) = 5,65

5. Решите уравнение:
10у - 13,5 = 2у - 37,5.

6. Преобразуйте в многочлен:
(4х - 5у)²

7. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:
4у2 - 12у + 9

8. Решите уравнение:
8у - (3у + 19) = -3(2у - 1)

9. Решите уравнение:
5х² - 4х = 0

10. Решите систему уравнений:
{ x+2*y = 12
{ 2*x-3*y = -18

Задачи

Задача №1
Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B - C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Задача №2
Последовательность строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число стоит на 2000 месте?

Задача №3
В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца - сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.

Задача №4
Сколько чисел от 1 до 90 делятся на 2, но не делятся на 4?

Задача №5
В трех мешках 114 кг сахара. В первом на 16 кг меньше, чем во втором, а в третьем на 2 кг меньше, чем во втором. Сколько килограммов сахара во втором мешке?

Задача №6
Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются.

Задача №7
Точка D - середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. Точка E - основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Установите, какой из отрезков BF или BE длиннее.

Задача №8
Пол в гостиной барона Мюнхгаузена вымощен одинаковыми квадратными каменными плитами. Барон утверждает, что его новый ковер (сделанный из одного куска ковролина) закрывает ровно 24 плиты и при этом каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд плит в гостиной содержит ровно 4 плиты, покрытых ковром. Не обманывает ли барон?

Задача №9
Саша выписал первые миллион натуральных чисел, не делящихся на 4. Рома подсчитал сумму 1000 подряд идущих чисел в Сашиной записи. Могло ли у него получиться в результате 20012002?

Задача №10
Автомобиль из A в B ехал со средней скоростью 50 км/ч., а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч.. Какова его средняя скорость?

Математические загадки

Загадка №1
Не пользуясь калькулятором и компьютером (в уме) вычислите сумму всех чисел от одного до ста?

Загадка №2
Позавчера Васе было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?

Загадка №3
Два отца и два сына разделили между собой 3 апельсина так, что каждому досталось по одному апельсину. Как это могло получиться?

Загадка №4
На острове живут два племени: молодцы. Которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил островитянина, спросил его, кто он такой, и когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в проводники. Они пошли и увидели вдали другого островитянина, и путешественник послал своего проводника спросить его, к какому племени он принадлежит. Проводник вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Спрашивается: был проводник молодцом или лгуном?

Загадка №5
В двух футбольных лигах в сумме 39 команд. Команда играет с каждой командой из своей лиги по одному разу; при этом никаких матчей между лигами не происходит. За победу полагается 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш - 0. В прошлом году в одной лиге состоялось на 171 матч больше, чем в другой. Команда «Чемпионы», входящая в одну из лиг, проиграла всего три матча и набрала 32 очка.
Вопрос: со сколькими командами играли «Чемпионы» и сколько раз они сыграли вничью?

Ответы к уравнениям

Уравнение

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

Ответ

a = 3

z = 2
x = 3

x = - 15¹/₃

x = 0,4

y = -3

Уравнение

№ 6

№ 7

№ 8

№ 9

№ 10

Ответ

16х² - 40ху + 25у²

(2у - 3)²

y = 2

x = 0
x=0,8

x = 0,6

Ответы к задачам

Задача 1
Если A = 0, то либо B = 0, либо B - C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B. Отсюда следует, что B > 0. Значит, B положительно, а A - отрицательно.

Задача 2
Так как 2000 = 3 x 666 + 2, то 2000-м месте стоит число 5.

Задача 3
Павел Петрович, Александр Павлович, Николай Павлович, Александр Николаевич, Александр Александрович, Николай Александрович.

Задача 4
23

Задача 5
44 кг

Задача 6
60 чисел

Задача 7
Отрезок BE длиннее

Задача 8
Примером такой клетчатой фигуры может служить квадрат 6 на 6 без двух подходящих обобщенных диагоналей. Конечно, если трактовать это как ковер в гостиной, получится нечто экстравагантное, но ведь барон не зря слыл незаурядным человеком.

Задача 9
Из любых трёх чисел, идущих в Сашиной записи подряд, одно имеет остаток 1 пр делении на 4, другое - остаток 2, а оставшееся - остаток 3. Значит их сумма при делении на 4 даёт остаток 2. Среди первых 999 Роминых чисел есть ровно 333 таких тройки, сумма чисел в них даёт при делении на 4 такой же остаток, как 333 • 2, то есть 2. Оставшееся число на 4 не делится, поэтому вся сумма не может также давать остаток 2. А 20012002 даёт именно этот остаток.

Задача 10
37,5 км/ч

Ответы на загадки

Загадка 1
5050

Загадка 2
Если нынешний день 1 января, а у Васи день Рождения тридцать первого декабря. Позавчера, т.е. тридцатого декабря ему было еще семнадцать лет. Вчера, т.е. тридцать первого декабря исполнилось восемнадцать лет. В этом году исполнится девятнадцать лет, а в следующем году двадцать лет.

Загадка 3
Всего деливших было трое: дед, его сын и внук

Загадка 4
На острове на данный вопрос никто не мог ответить ничего, кроме того, что он молодец. Так как проводник воспроизвел правильно этот единственно возможный ответ, то ясно, что он молодец.

Загадка 5
«Чемпионы» играли с 23 командами (следовательно, в их лиге 24 команды, а в другой - 15) и сыграли вничью 14 матчей из 23.

Олимпиада 7 кл

Задача № 1 :
Лёша, Ганс и Стас сложились и купили палатку. Стас заплатил 60% от её цены,
Лёша 40% от оставшейся суммы, а Ганс - последние 30 долларов.
Сколько стоила палатка?

Задача № 2 :
Какой цифрой заканчивается произведение
7 х 27 х 47 х 67 х 87 х...х 1987 х 2007 ?

Задача № 3 :
Пять положительных чисел a, b, c, d и e таковы, что ab = 2 , bc = 3 , cd = 4 , de = 5 .
Чему равно e/a ?

Задача № 4 :
Поезд состоит из локомотива и пяти вагонов: I, II, III, IY и V.
Сколькими способами можно расставить эти вагоны при условии,
что I вагон должен быть ближе к локомотиву, чем II, а порядок остальных не важен?

Задача № 5 :
Зная, что x + 3y = 8 найдите ( 2x - 6y ) : ( 0,25x 2 -2,25y 2 ) .

Задача № 6 :
Найдите наименьшее положительное число, нацело делящееся на 12,
десятичная запись которого содержит только нули и единицы.

Задача № 7 :
На рисунке, выполненном с нарушением реальных размеров,
величины углов А, С и ADE должны быть равны 22? , 60? и 117? соответственно.
Найдите величину угла В .

Задача № 8 :
График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Задача № 9 :
Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собираетс менять?

Задача № 10 :
Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0.
Известно, что A? = B?(B - C).
Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Задача № 11 :
ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.
На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC.
Найдите угол KCM.

Задача № 12 :
Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то почему?

Задача № 1 :

График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Решение :
Данный график образует с осью абсцисс такой же угол в 45, как и биссектриса первого и третьего координатных углов. Значит, ее угловой коэффициент равен 1. Поскольку при x = 0 значение функции равно 3, то искомая функция есть y = x + 3.

Задача 2 :

Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собираетс менять?

Решение :
Если у туриста было X рублей, то в банке ОГОГО он получит за них (X - 7000) / 3000 тугриков, а в банке ЙОХОХО X / 3020 - 1 тугриков. Решая уравнение ( x - 7000 ) / 3000 = X / 3020 - 1, получаем X = 604000 (руб.).

Задача 3 :

Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B - C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Решение :
Если A = 0, то либо B = 0, либо B - C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B . Отсюда следует, что B > 0. Значит, B положительно, а A - отрицательно.

Задача 4 :

ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

Решение :
По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA равна углу CAB. Поскольку треугольник CAK - равнобедренный, KCA = CKA = CAB / 2. Аналогично, BCM = BMC = CBA / 2. Таким образом, KCM = KCA + ACB + BCM = ACB + ( CAB + CBA) / 2 = 90 + 45 = 135.

Задача 5 :

Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то почему?

Решение :
Покажем, что расставить числа требуемым образом нельзя. Допустим, это удалось. Обозначим через X число, стоящее в центральном кружочке. Все остальные числа стоят в кружочках, образующих два пятиугольника. Поэтому X + 2B = 1 + ......+ 11 = 66, откуда X = 66 - 2B. Значит, число X должно быть четным. Теперь сложим все суммы чисел, стоящих на выходящих из центра отрезках. Получится 5A. При этом число X будет сосчитано пять раз, а все остальные - по одному разу. Поэтому 5A = 4X + (1 + ........... + 11) = 4X + 66 (*). Значит, число 4X + 66 должно делиться на 5. Этому условию среди чисел от 1 до 11 удовлетворяют только числа 1, 6 и 11, и при этом только число 6 четно. Следовательно, X = 6. Подставляя найденное значение X в уравнение (*), находим, что A = 18. Стало быть, на каждом из пяти выходящих из центра отрезков сумма двух чисел, стоящих там вместе с числом X, должна равняться 18 - 6 = 12. Получается, что на одном отрезке должны стоять числа 1 и 11, 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Заметим, что три из пяти перечисленных пар состоят из нечетных чисел, а две - из четных. Поэтому в вершинах каждого из двух пятиугольников должны стоять три нечетных и два четных числа. Это означает, что число B должно быть нечетным. Но из доказанного выше равенства X = 66 - 2B при X = 6 получаем B = 30. Противоречие.

Задача № 1 :

Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти его.

Задача № 2 :

Найти натуральное число A , если из трех следующих утверждений два верны, а одно -- неверно:
а) A+51 есть точный квадрат,
б) последняя цифра числа A есть единица,
в) A-38 есть точный квадрат.

Задача № 3 :

В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

Задача № 4 :

Дан угол и точка M внутри него. Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам.

Задача № 5 :

Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1 ?

Задача № 6 :

Автомобиль из A в B ехал со средней скоростью 50 км/ч., а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч.. Какова его средняя скорость?

Решения задач олимпиады

Задача № 1 :

3025=552.

Задача № 2 :

Как сказано в условии задачи, одно из этих утверждений является ложным. В первую очередь на себя обращает внимание условие б). Если последняя цифра равна 1, то условие а) не верно, так как нет точных квадратов оканчивающихся на 2, условие в) тоже не может быть верным, так как в этом случае последняя цифра равна 3 и таких точных квадратов нет. Следовательно, если условие б) верно, то условия а) и в) являются не верными, что не подходит по условию задачи (должно быть два верных и одно неверное утверждение из этих трех). Следовательно условие б) должно быть ложным, а а) и в) - истинными.

Теперь осталось разобраться с квадратами. В условиях а) и в) сказано, что A+51 и A-38 являются полными квадратами. Эти квадраты не обязательно могут быть соседними. Можно легко показать, что если два числа отличаются на число K, то разность их квадратов делится на это число K тоже. В нашем случае разность квадратов равна 89 и это число простое, следовательно эти числа могут отличаться только на 1 или 89. Последний вариант очевидно не подходит, а проверка первого варианта приводит к ответу A=1974.

Ответ: A=1974.

Задача № 3 :

Можно. Решается методом от противного.

Задача № 4 :

Сделать точку M центром параллелограмма.

(здесь будет рисунок)

Задача № 5 :

Раскрасим доску в четыре цвета, как указано на рисунке (цифры --- номера цветов). Тогда каждая фишка замостит четыре клетки со всеми четырьмя цветами. Но клеток, окрашенных в первый цвет, --- 25, во второй --- 26, в третий ---25, в четвертый --- 24. Отсюда следует невозможность указанной укладки.

Задача № 6 :

37, 5 км/ч.

Задача № 1 :

В каждой вершине n-угольника стоит одно из чисел +1 или -1. На каждой стороне написано произведение чисел, стоящих на концах этой стороны. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Докажите, что
1) n - четно,
2) n делится на 4.

Решение :

На каждой стороне написано либо число 1, либо -1, а так как сумма равна нулю, то сторон обоих типов поровну. Обозначим это количество за m, тогда общее число сторон равно n = 2m (то есть четно). Если на стороне написано -1, тогда на концах написано -1 и +1, всего таких сторон m. Пусть есть еще k сторон, на обоих концах которых написано +1, тогда всего на концах всех сторон написано m+2k единиц, при этом каждую вершину на которой написано +1 посчитали дважды. Значит, m+2k - четное число, то есть и m четное, следовательно, n = 2 m делится на 4.

Задача № 2 :

В стране Мульти-пульти выпущены в обращение банкноты в 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея только такие банкноты, зашли в кафе. Карлсон заказал 5 стаканов газировки и 16 пирожков и заплатил за них без сдачи. Малыш заказал 3 стакана газировки и 1 пирожок. Докажите, что сколько бы ни стоили газировка и пирожки, Малыш тоже может расплатиться без сдачи (все цены в стране Мульти-Пульти - целые числа).

Решение :

Пусть газировка стоит A сантиков, а пирожок B сантиков. Тогда 5 A + 16 B делится на 43. Тогда и 15 A + 48 B делится на 43, следовательно, 15 A + 48 B - 43 B = 15 A + 5 B = 5(3A+B) делится на 43. Так как 5 взаимно просто с 43, на 43 должен делиться второй множитель, то есть число 3A+B. А это и есть сумма, которую должен заплатить Малыш.

Задача № 3 :

В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца - сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.

Ответ :Павел Петрович, Александр Павлович, Николай Павлович, Александр Николаевич, Александр Александрович, Николай Александрович.

Решение :

В списке нет царя по имени Петр, следовательно, Павел Петрович был первый из этих царей. Других Павлов нет, следовательно, братья Александр Павлович и Николай Павлович правили сразу после Павла Петровича, сменив на троне один другого. Таким образом, последний царь был Николай Александрович (других Николаев нет). Александр Николаевич не мог править после последнего царя, значит, он унаследовал трон после Николая Павловича, который, следовательно, правил после своего брата Александра Павловича. Тогда наследником Александра Николаевича и отцом Николая Александровича мог быть только Александр Александрович.

Задача № 4 :

Остап Бендер поставил новые покрышки на автомобиль ``Антилопа Гну''. Известно, что передние покрышки автомобиля выходят из строя через 25000 км, а задние - через 15000 км (спереди и сзади покрышки одинаковые, но задние изнашиваются сильнее). Через сколько километров Остап Бендер должен поменять эти покрышки местами, чтобы ``Антилопа Гну'' прошла максимально возможное расстояние? Чему равно это расстояние?
Ответ :Сменить покрышки надо через 9375 км, тогда можно проехать 18750 км.

Решение :

Пусть Остап Бендер поменял покрышки местами через x километров. Тогда задние покрышки отработали [x/ 15000] своего ресурса, а передние [x/ 25000]. После замены они смогут проработать еще 25000(1-[x/ 15000]) и 15000(1-[x/ 25000]) километров соответственно. Таким образом, всего можно проехать не более x+ 25000(1-[x/ 15000]) = 25000 -2/3x и не более x+15000(1-[x/ 25000]) = 15000 + 2/5x . Максимальное расстояние можно проехать если эти выражения равны (иначе либо первые, либо вторые покрышки выйдут из строя раньше, ведь когда первое выражение растет, то второе уменьшается и наоборот). Таким образом, 25000 - 2/3x = 15000 + 2/5x , откуда 10000 = [16/ 15]x , или x = 9375.