Информационный лист на тему: Процесс и его моделирование в математике

Процесс и его моделирование в математике

1.Что изучает математический анализ?

В основе математического анализа лежит идея движения, изменения процесса. Он предлагает набор некоторых стандартных математических моделей, с помощью которых можно описать различные процессы, разнообразные связи между меняющимися величинами, переменными.

1. Дискретная модель - последовательность.

Стандартный пример - банковский вклад.
При начальном вкладе А₀, годовом проценте роста вклада р и при условии капитализации вклада (в конце годового срока накопленный процент добавляется к вкладу и последующее начисление производится с увеличенной суммы) изменения вклада происходят один раз в год. Моделью этого процесса является числовая последовательность А₀, A₁ А₂, где А_п - сумма вклада через n лет (n - натуральное число).

2. Непрерывная модель - функция, заданная формулой.

Стандартный пример - закон движения материальной точки под действием силы тяжести. По этому закону положение г точки, движущейся в пространстве под действием силы тяжести в момент времени t, может быть описано формулой:

где г₀ - вектор начального положения точки (при t = 0);

v₀ - вектор начальной скорости;
g - некоторый постоянный вектор (ускорение свободного падения).

В этой модели время - переменная t - меняется непрерывно в течение некоторого промежутка. Модель позволяет вычислить положение точки в любой момент времени.

3. Модель в форме зависимости - уравнение.

Стандартный пример - второй закон Ньютона. Масса тела m, действующая на него сила F и его ускорение а связаны зависимостью F = mа. Если нам явно заданы выражения для определения силы и массы, то нахождение ускорения является задачей решения алгебраического уравнения. Если при тех же данных требуется найти закон движения, необходимо не только определить ускорение, но и знать новый вид связи между положением точки r и ее ускорением - а в момент времени t. Моделирование этого вида связи происходит с помощью новой, не алгебраической, операции дифференцирования, - а само уравнение становится дифференциальным уравнением.

4. Интегральная модель - плотность.
Стандартный пример - масса тела с переменной плотностью. В простейших случаях
масса тела m пропорциональна его объему V: m = ρV, где ρ - некоторое постоянное число (плотность). Так, для ртути ρ = 13 600 кг/м³ и банка ртути объемом

1 л = 1 дм³ = 10 ⁻³ м³ имеет массу m= 13,6 кг. Во многих случаях плотность вещества может меняться при переходе от одной точки к другой. Тогда удается записать лишь приближенное равенство m≪ρV, которое верно только вблизи рассматриваемой точки и при переходе от одной точки А данного тела к другой коэффициент ρ будет меняться по закону: ρ = ρ(А). Исследование модели такого рода требует еще одной новой операции - интегрирования.

Таким образом, математический анализ создает модели для описания различных процессов, исследование которых требует применения наряду с известными методами и новых операций - дифференцирования и интегрирования.

Прогрессия, как простая математическая модель.

Арифметические и геометрические прогрессии являются самыми простыми и наиболее часто встречающимися примерами числовых последовательностей.

Арифметическая прогрессия - последовательность, задаваемая рекуррентной формулой: где d- разность прогрессии.

Сумма n-членов арифметической прогрессии

Геометрическая прогрессия - последовательность, задаваемая рекуррентной формулой , где q-знаменатель прогрессии.

Сумма n-членов геометрической прогрессии

Функция, как математическая модель.

Линейные функции. Линейной функцией называется функция, значения которой могут быть вычислены по формуле: у = kx + b.

Область определения. Линейная функция, заданная формулой у = kx + b, имеет областью определения множество R всех действительных чисел.

Обращение в нуль. Линейная функция при k≠0 имеет единственный нуль:

Промежутки постоянного знака. Линейная функция

у = kx + b, k ≠ 0, сохраняет постоянный знак на каждом из промежутков в зависимости от k

Векторные уравнения движения, как математическая модель.

Векторное уравнение движения. С движением точки по некоторой кривой связан ряд векторных величин: г - радиус-вектор; характеризующий положение точки; v - скорость точки; а - ускорение.

Зафиксируем некоторую точку отсчета О и будем положение движущейся точки в момент времени t задавать радиусом-вектором относительно О. Если в моменты времени t₁ t₂, t₃ точка занимает положения A₁ А₂, А₃, то ее радиус векторы:

При решении задач от векторных уравнений переходят к координатным. Примером может служить уравнение равноускоренного движения (свободного падения) материальной точки:

Вопросы:

1) Какие виды математических моделей существуют?

2)К каким видам математических моделей относятся: прогрессия, функция, уравнение?