- Преподавателю
- Математика
- Урок «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
Урок «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Помыкалова Е.В. |
Дата | 06.03.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Модель урока на тему:
«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
в рамках реализации регионального компонента по математике
для учащихся 10 класса.
Помыкалова
Елена Викторовна
учитель математики
МОУ СОШ поселка Восход
Балашовского района
Саратовской области
Цель урока.
1. Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», повторить основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.
2. Развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность. Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.
3. Воспитывать аккуратность записей, культуру речи, самостоятельность.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, приобретенных при изучении данной темы.
Методы обучения: системное обобщение, тестовая проверка уровня знаний, решение обобщающих задач.
Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, бланки ответов, карточки с заданием, таблица формул корней тригонометрических уравнений.
Ход урока.
I. Начало урока
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель, обращает внимание учащихся на раздаточный материал.
II. Контроль знаний учащихся
1) Устная работа (Задание проектируется на экран)
Вычислите:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
2) Фронтальный опрос учащихся.
Какие уравнения называются тригонометрическими?
Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?
Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?
Какие уравнения называются однородными?
Какие уравнения называются квадратными?
Какие уравнения называются неоднородными?
Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?
После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.
-
Введение новой переменной:
№1. 2sin²x - 5sinx + 2 = 0. №2. tg + 3ctg = 4.
Пусть sinx = t, |t|≤1, Пусть tg = z,
Имеем: 2t² - 5t + 2 = 0. Имеем: z + = 4.
2. Разложение на множители:
2sinx cos5x - cos5x = 0;
cos5x (2sinx - 1) = 0.
Имеем: cos5x = 0,
2sinx - 1 = 0; …
3. Однородные тригонометрические уравнения:
I степени II степени
a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.
Разделим на cosx ≠ 0. 1) если а ≠ 0, разделим на cos²x ≠ 0
Имеем: a tgx + b = 0; … имеем: a tg²x + b tgx + c = 0.
2) если а = 0, то
имеем: b sinx cosx + c cos²x =0;…
4. Неоднородные тригонометрические уравнения:
Уравнения вида: asinx + bcosx = c
4sinx + 3cosx = 5.
(Показать два способа)
1)применение универсальной подстановки:
sinx = (2tg x/2) / (1 + tg2x/2);
cosx = (1- tg2x/2) / (1 + tg2x/2);
2)введение вспомогательного аргумента:
4sinx + 3cosx = 5
Разделим обе части на 5:
4/5sinx + 3/5cosx = 1
Т. к. (4/5)2 +(3/5)2 = 1, то пусть 4/5 = sinφ; 3/5=cosφ, где 0< φ<π/2, тогда
sinφsinx + cosφcosx = 1
cos(x - φ) = 1
x - φ = 2πn, n € Z
x = 2πn + φ, n € Z
φ = arccos3/5, значит, x = arcos 3/5 +2πn, n € Z
Ответ: arccos3/5 + 2πn, n € Z
3)Решение уравнений с применением формул понижения степени.
4)Применение формул двойного и тройного аргументов.
a) 2sin4xcos2x = 4cos32x - 3cos2x
cos6x +cos2x = cos6x
III. Выполнение тестового задания
Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений.
Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.
Задание проектируется на экран.
Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:
1) приведение к квадратному;
2) приведение к однородному;
3) разложение на множители;
4) понижение степени;
5) преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Бланк ответов.
Вариант I
Уравнение
Способы решения
1
2
3
4
5
3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx
4 соs²x - cosx - 1 = 0
2 sin² x/2 + cosx = 1
cosx + cos3x = 0
2 sinx cos5x - cos5x = 0
Вариант II
Уравнение
Способы решения
1
2
3
4
5
2sinxcosx - sinx = 0
3 cos²x - cos2x = 1
6 sin²x + 4 sinx cosx = 1
4 sin²x + 11sin²x = 3
sin3x = sin17x
Ответы:
Вариант I Вариант II
1
2
3
4
5
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
1
2
3
4
5
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
IV. Повторение формул для решения уравнений
Формулы корней тригонометрических уравнений.
Общие
Частные
Уравнение
Формула корней
Уравнение
Формула корней
1. sinx = a, |a|≤1
x = (-1)narcsin a + πk,
k є Z
1. sinx = 0
x = πk, k є Z
2. cosx = a, |a|≤1
x = ±arccos a + 2πk,
k є Z
2. sinx = 1
x = + 2πk, k є Z
3. tg x = a
x = arctg a + πk, k є Z
3. sinx = -1
x = - + 2πk, k є Z
4. ctg x = a
x = arcctg a + πk,k є Z
4. cosx = 0
x = + πk, k є Z
5. cosx = 1
x = 2πk, k є Z
6. cosx = -1
x = π + 2πk, k є Z
Устная работа по решению простейших тригонометрических уравнений
Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»
Решить уравнения.
sin x = 0
cos x = 1
tg x = 0
ctg x = 1
sin x = -1/2
sin x = 1
cos x = 1/2
sin x = -√3/2
cos x = √2/2
sin x = √2/2
cos x = √3/2
tg x = √3
sin x = 1/2
sin x = -1
cos x = -1/2
sin x = √3/2
tg x = -√3
ctg x = √3/3
tg x = -√3/3
ctg x = -√3
cos x - 1 =0
2 sin x - 1 =0
2ctg x + √3 = 0
V. Решение примеров.
Карточки с заданиями раздаются на каждую парту, одна - на учительском столе для учеников, выходящих к доске.
№1. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения , удовлетворяющие условию ;
Решение.
,
,
,
Найдем среднее арифметическое всех корней заданного уравнения из промежутка .
.
Ответ: а) .
№2. Решите неравенство .
Решение.
,
,
,
,
,
.
Ответ:
№3. Решите уравнение .
(Совместно определить метод решения задачи)
Решение.
,
,
,
.
Оценим правую и левую части последнего равенства.
, следовательно, равенство выполняется тогда и только тогда, когда выполняется система
Ответ: 0,5
VI. Самостоятельная работа
Учитель выдает задания для самостоятельной работы. Карточки подготовлены по уровням сложности.
Более подготовленным учащимся можно дать карточки с задачами повышенного уровня сложности.
Учащимся 2-й группы учитель выдал карточки с заданиями базового уровня сложности.
Для учащихся 3-й группы учителем составлены карточки с заданиями базового уровня сложности, но это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, они могут выполнять задания под контролем учителя.
Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.
1 группа
Вариант №1 (1)
1. Решите уравнение
2. Решите уравнение .
Вариант №2 (1)
1. Решите уравнение .
2. Решить уравнение .
2 группа
Вариант №1 (2)
1. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
2. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
3. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
Вариант № 2 (2)
1. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
2. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
3. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
3 группа
Вариант № 1 (3)
1. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
2. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
3. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
Вариант № 2 (3)
1. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
2. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
3. Решите уравнение .
1)
3)
2)
4)
-
Итог урока.
Задачи для домашней работы.
-
Укажите наименьший положительный корень уравнения .
-
Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций , .
-
Найдите область определения функции .
-
Решите уравнение .