Урок по алгебре для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Муниципальное образовательное учреждение

«Рассветская средняя общеобразовательная школа им. В.В. Лапина»

Методическая разработка урока:

«Решение неравенств второй степени

с одной переменной»

Учебно-методический комплекс:

1. «Алгебра, 9 » Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков под редакцией С.А. Теляковского.

2. «Сборник задач по алгебре для 8 - 9 классов» М.Л. Галицкий,

А.М. Гольдман, Л.И. Звавич (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).

3. «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк под редакцией Г.В. Дорофеева (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).

4. Дидактические материалы по алгебре 9, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.

Подготовила учитель математики

МОБУ «Рассветская СОШ им. В.В. Лапина»

Татаринова Л.Н.

2013

Тип урока: изучение нового материала

Цели урока:

• Формирование потребности приобретения новых знаний;

• Развитие математической речи при комментировании решения;

• Закрепление и углубление материала в процессе решения различных задач по теме.

Задачи урока:

• Повторить и систематизировать ранее изученные способы решения неравенств второй степени;

• Изучить новый способ решения неравенств второй степени;

• Продолжить формирование навыков и умений анализировать и делать выводы.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Урок проводится в 9 классе по программе углубленного изучения математики. В ходе урока с помощью мультимедийного проектора демонстрируются слайды, созданные учителем в программе Microsoft Power Point. Использование данной технологии позволяет значительно сэкономить время на уроке, продемонстрировать учащимся аккуратные, четкие рисунки к задачам, повысить уровень наглядности в ходе обучения и, наконец, просто внести элементы занимательности, оживить учебный процесс.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин).

2. Разминка (4 мин).

3. Проверка домашнего задания (3 мин).

4. Подготовка к восприятию нового материала (4 мин).

5. Изучение нового материала (10 мин).

6. Закрепление (20 мин).

7. Задание на дом (1 мин).

8. Итог урока (2 мин).

Ход урока

1. Организационный момент

2. Разминка (устные упражнения)

Во время разминки двое учащихся у доски записывают решение неравенств, которые были заданы на дом. С остальными учащимися проводится разминка - решение неравенств и уравнений (слайд 1.1). На экране появляется условие. Все рассуждения, преобразования и вычисления учащиеся производят устно.

слайд 1.1

• Решить уравнения:

1. 2х² = 0, х = 0;

2. 5х² - 10х = 0, х₁ = 0, х₂ = 2;

3. х² - 8х + 7 = 0, х₁ = 1, х₂ = 7;

4. 16х² - 8х + 1 = 0, х = 1/4.

• Решить неравенства, используя формулу квадрата двучлена:

1. х² + 4х + 4 > 0, (х + 2)² > 0, х - любое число, кроме -2;

2. 2х² - 12х + 18 ≤ 0, 2(х - 3)² ≤ 0, (х - 3)² ≤ 0, х = 3;

3. х² - 8х + 16 < 0, (х - 4)² < 0, решений нет;

4. 9у² + 6у + 1 ≥ 0, (3у + 1)² ≥ 0, у - любое число.

• Что можно сказать о количестве корней уравнения ax² + bx + c = 0 и знаке коэффициента a, если график квадратичной функции у = ax² + bx + c расположен следующим образом (слайд 1.2).

слайд 1.2

3. Проверка домашнего задания

Учащиеся, которые были вызваны к доске перед разминкой, объясняют свои действия в процессе решения неравенств. В ходе проверки вспоминаем способы решения неравенств выделением квадрата двучлена и разложением на множители.

• а) Выделением квадрата двучлена х² + 6х - 16 < 0 (1-й ученик)

• б) Разложением на множители 3у² + 4у - 4 > 0 (2-й ученик)

Решение:

а) х² + 6х - 16 < 0, б) 3у² + 4у - 4 > 0.

х² + 6х + 9 - 25 < 0, 3у² + 4у - 4 = 0,

(х + 3)² - 25 < 0, Д = 16 - 4∙3∙(-4) = 64.

(х + 3)² < 25, у₁ = (-4 + 8)/6 = 2/3, у₂ = (-4 - 8)/6 = -2.

|х + 3| < 5, 3(у - 2/3)(у + 2) > 0,

-5 < х + 3 < 5, (у - 2/3)(у + 2) > 0.

-8 < х < 2. Неравенство равносильно совокупности двух

Ответ: (-8; 2). систем:

у - 2/3 > 0, или у - 2/3 < 0,

у + 2 > 0. у + 2 < 0.

у > 2/3, или у < 2/3,

у > -2. у < -2.

у > 2/3. у < -2.

Ответ: (-∞; -2) U (2/3; + ∞).

4. Подготовка к восприятию нового материала.

Ребята, сегодня мы рассмотрим ещё один способ решения неравенств второй степени с одной переменной: с использованием графика квадратичной функции.

Для этого вспомним ещё раз основные понятия, связанные с ней.

(проводится фронтальный опрос)

1. Какая функция называется квадратичной?

2. Что является графиком квадратичной функции?

3. Как определить направление ветвей параболы?

4. Что такое нули функции?

5. Как найти нули функции?

6. Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен следующим образом (слайды 2; 3; 4).

слайд 2

слайд 3

слайд 4

5. Изучение нового материала.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Например:

1. 5х² + 9х - 2 < 0.

Рассмотрим функцию у = 5х²+ 9х - 2.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х.

Нули функции: 5х² + 9х - 2 = 0,

Д = 121,

х₁ = 0,2; х₂ = -2.

Построим схематически параболу в координатной плоскости (слайд 5).

слайд 5

Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения на промежутке (-2; 0,2).

Следовательно, множеством решений неравенства является промежуток

(-2; 0,2).

Ответ: (-2; 0,2).

2) -х² + 8х - 16 < 0.

Графиком функции у = -х²+ 8х - 16 является парабола, ветви которой направлены вниз.

Нули функции: -х² + 8х - 16 = 0.

- (х - 4)² = 0

х = 4.

Из рисунка видно (слайд 6), что функция принимает отрицательные значения на промежутках (- ∞; 4) и (4; + ∞).

Ответ: х - любое число, не равное 4.

слайд 6

Заметим, что при рассмотренном способе решений неравенств нас не интересует вершина параболы. Важно лишь знать, куда направлены ветви параболы - вверх или вниз и каковы абсциссы точек её пересечения с осью х.

3) х²- 3х+ 4 > 0.

Рассмотрим функцию у = х² - 3х + 4. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Нули функции: х² - 3х + 4 = 0,

Д = 9 -16 = -7.

Д < 0, корней нет.

Из рисунка видно (слайд 7), что функция принимает положительные значения при любом значении х.

Ответ: х - любое число.

слайд 7

Ребята вместе с учителем делают вывод:

Итак, для решения неравенств вида ах² + bх + с > 0 и ах² + bх + с < 0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при

а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3) находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ах²+ bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство aх² + bх + с < 0) (слайд 8).

слайд 8

6. Закрепление.

№ 114(в, д), № 115(а) - учебник под редакцией С.А. Теляковского.

№ 8.96(в), № 8.111(а) - сборник задач по алгебре, М.Л. Галицкий и др..

Решение: № 8.96(в)

Найти область определения функции у = √ 5х² + 6 х + 1/(3х + 5).

Д(у) = 5х² + 6х + 1 ≥ 0,

3х + 5 ≠ 0.

1. 5х² + 6х + 1 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = 5х² + 6х + 1

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Нули функции: 5х² + 6х + 1 = 0, Д = 16, х₁ = -0,2; х₂ = -1.

у

0 х

-1 -0,2

Из рисунка видим, что у ≥ 0 на промежутках (- ∞; -1] и [ - 0,2; + ∞ ).

2. 3х+5 ≠ 0, 3)

х ≠ -5/3. -5/3 -1 -0,2 х

Ответ: Д (у) = (-∞; -5/3), (-5/3; -1] и [ - 0,2; + ∞ ).

№8.111(а). При каких значениях а решением неравенства

х² - (а + 2) х + 8а+ 1 > 0 является любое число?

Решение: Рассмотрим функцию у = х² - (а + 2)х + 8а+ 1.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Решением неравенства является любое число, если уравнение

х²-(а+2)х + 8а+ 1 = 0 не имеет корней.

Найдём те значения а, при которых уравнение корней не имеет.

Д = (а + 2)²- 4(8а + 1) = а² - 28а.

Квадратное уравнение не имеет корней, если Д < 0, а² - 28а < 0.

Рассмотрим функцию f(x) = а² - 28а.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Нули функции: а² - 28а = 0, у

а(а - 28) = 0,

а = 0 или а = 28.

0 28 х f(x) < 0 на промежутке (0;28).

Следовательно, уравнение х² - (а + 2)х + 8а + 1 = 0 при а є (0;28) корней не имеет, а решением неравенства х² - (а + 2)х + 8а + 1>0 является л. ч.

Ответ: (0; 28).

7. Задание на дом.

п.8, № 116(а,в), № 121(а) - учебник «Алгебра,9» Ю.Н. Макарычев

№ 8.98(в), № 8.111(в) - сборник задач М.Л. Галицкого и др.

8. Итог урока.