Лекция

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД. ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ

План

1.Основные задачи математической статистики

2.Выборочный метод

3.Вариационные ряды и их графическое изображение.

4.Эмпирическая функция распределения

1.Основные задачи математической статистики

Предметом математической статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений. Основными задачами мат. статистики является оценка вида неизвестного распределения, оценка параметров известного распределения, оценка интервала, в который может попасть СВ и т.д.

В математической статистике законы распределения случайных величин и их числовые характеристики приходится определять из опыта. Полученные по опытным данным законы распределения называются статистическими (эмпирическими).

2.Выборочный метод

Опр. Множество объектов, отобранных для исследования называется выборочной совокупностью (выборкой), а множество объектов, из которого взята выборка называется генеральной совокупностью.

Количество объектов в выборке называется объемом выборки.

Опр. Выборка, правильно представляющая пропорции генеральной совокупности, называется репрезентативной.

Опр. Выборка называется повторной (бесповторной), если отобранный объект после исследования возвращается (не возвращается) в генеральную совокупность.

Существуют различные способы отбора:

1.Простой случайный отбор- объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. При большом числе объектов пользуются таблицами случайных чисел или генератором случайных чисел ( с использ. компьютера).

Например, если для исследования надо отобрать 10% объектов из 300 случайным способом, то выбираются 30 объектов.

2.Механический- генеральная совокупность делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы отбирается один объект.

Например, если для исследования надо отобрать 20% объектов из 1000 механическим способом, то выбирается каждый 5-ый объект.

3.Серийный отбор- генеральная совокупность разбивается на части и выбирается одна или несколько частей, которые подвергаются сплошному обследованию

Например, генеральная совокупность разбита на 10 частей и из них отобрали 3 части для сплошного обследования. Это будет серийный отбор.

4.Типический отбор- объекты выбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической части»

Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, а из продукции каждого станка в отдельности

При механическом, типическом и серийном способах отбора генеральная совокупность разбивается на части.

3.Вариационные ряды и их графическое изображение

Пусть над с.в. Х проведено n наблюдений т.е. из генеральной совокупности произведена выборка объема n. Наблюдавшиеся значения х_iпризнака Х будем называть вариантами, одинаковые из них объединим в группы и оформим результаты в виде таблицы.

Статистическое распределение выборки устанавливает соответствие между наблюдаемыми значениями (вариантами) и их частотами или относительными частотами.

Опр. Статистический ряд состоящий из вариант, расположенных в порядке убывания или возрастания называется ранжированным.

Ряды распределения удобно представлять в виде двух разновидностей: дискретного и интервального.

Табл.1

Здесь х_i - наблюдаемые значения, причем x₁<x₂<x₃<…<x_k;

n_i - число наблюдаемых значений х_i, т.е. частота значения х_i в n опытах;

- относительная частота (частость) наблюдаемых значений признака Х,

k-число различных значений x_i.

w_i =1, n_i=n

Опр. Модой называется варианта с наибольшей частотой.

Опр. Медианой называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Если число вариант нечетно, т.е. n=2k+1, то М_е= х_k+1;

При чётном n=2k медиана М_е=

Пример 1. Дано статистическое распределение выборки

Найти моду М₀ и медиану М_е.

Решение: М₀=9; М_е=8

Пример 2. Дано статистическое распределение выборки

Найти моду М₀ и медиану М_е.

Решение: М₀=7; М_е= (5+6):2=5,5

Опр. Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями).

Таблица 1 называется вариационным рядом.

При большом числе опытов (наблюдений) весь интервал значений Х разбивают на несколько интервалов равной длины и подсчитывают число значений x_i, попавших в каждый интервал. Получаем интервальный ряд распределения

Табл.2

Опр. Интервал между наибольшими и наименьшими значениями х_i называется зоной рассеивания с.в. Х. или размахом вариации:

R = x_max - x_min

Опр. Выборка называется сгруппированной, если все значения, попавшие в один и тот же i-ый интервал при расчетах принимать равным одному значению, а именно середине интервала.

Графическим изображением содержания таблиц 1 и 2 является полигон частот (черт.1) и гистограмма (черт.2). Полигон распределения строится для дискретного ряда, в случае интервального строится гистограмма.

Опр. Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки (x₁; n₁), (x₂; n₂), …, (x_k; n_k)

Опр. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями и высотами ,

где -это длина интервала (a_i-1;a_i),

Черт1. Черт2.

Если строим гистограмму относительных частот, то в этом случае высоты равны отношению ( плотность относительной частоты).

Гистограмма является статистическим аналогом плотности распределения. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.

4.Эмпирическая функция распределения

Опр. Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющего для каждого значения х относительную частоту события X< x

где n(x) -число значений x_i, меньших x.

Интегральная функция распределения F(х) определяет вероятность события X<x, а эмпирическая функция F*(x) определяет относительную частоту этого же события. Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки интегральной функции распределения генеральной совокупности.

Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию по аналогии с функцией распределения для ДСВ, только теперь по оси ординат вместо вероятностей располагаются частости (черт.3).

Для интервального ряда имеем значения эмпирической функции распределения на концах интервала, соединив которые, получаем ломаную (черт 4).

F*(x) F*(x)

1 1

0 x₁ x₂ x_k x 0 a=a₀ a₁ a₂ a_k=b

черт. 3 черт. 4

Свойства эмпирической функции:

1.Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [ 0, 1]

2. F*(x) - неубывающая функция

3.Если х₁- наименьшая варианта, х_к- наибольшая , то F*(x) = 0 при х  х_1,

F*(x) = 1 при х > х_к

Пример 3. Дано статистическое распределение выборки

Найти значение эмпирической функции распределения F*(x) при х=5

Решение: Найдем объем выборки n= 4+6+8+12=30.

Число вариант, при которых наблюдалось значение признака меньшее 5, равно 4+6=10 раз, следовательно F*(x) =

5