Раздаточный материал по алгебре 10 класс

А-10. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Задание: найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

№ шага

План нахождения y наименьшего и y наибольше на

Применение плана.

1.

Находим производную функции

=

2.

Находим критические точки функции

=0, 4x(-1)=0,

x=0 и ,x=-1, x=0 и x=1-критические точки ф-ии.

3.

Выбираем критические точки, лежащие внутри [a;b]

0 и 1 € [0; 2].

4.

Находим значения функции в критических точках (внутри данного отрезка) и на концах отрезка.

y(1)=1-2-3=4, y(0)=-3,

y(2)=16-8-3=5

5.

Из найденных значений функции выбираем наименьшее и наибольшее.

y наим.=y(1)=-4, y наиб.=y(2)=5

Примеры: Применяя указанный выше план, найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке [a;b], если: 1) [-1;3]; 3)=34)[0;2]; 5)

6) 7)x, [0;]; 8)en x, [1;e]; 9), [-3;3]

5. Геометрические задачи на нахождения оптимальных значений величин.

Задание: Из кружка жести радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга делается коническая воронка. При какой величине угла вырезаемого сектора объем воронки будет наибольшим?

№шага

План решения

Применение плана

Строим рабочий чертеж.

Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой требуется найти

П

Вводим переменную величину x и выражаем через нее значения всех величин исходной формулы.

Пусть x-величина центрального угла оставшегося сектора, тогда АВС=Rx и ABC=2Пr, значит 2Пr2x и r= Высота воронки H=

Подставляя найденные значения величин в формулу, представляем ее как функцию аргумента x

V= =

Задаем (по смыслу задачи) область определения функции.

0П, Д(v)=(0;2П)

Функцию аргумента x исследуем на экстремум на найденном числовом промежутке.

V наиб. =V ()

Записываем ответы

Величина угла равна 2П-

А-10 6. Общая схема исследования функции и

построение ее графика.

Задание. Исследуйте и постройте график функции:

а) =3=

№

шага

План исследования

Функции

Применение плана

а) =3

=

1.

Находим область определения функции

Д(=R

, x≠1,x≠-1 Д(=(--1)(-1;1)(1;

2.

Исследуем функцию на четность, нечетность.

=3ф-я. Ни четная, ни нечетная

==функция чет.

3.

Находим нули функции и

промежутки ее знакопостоянства

3-4+1=0, (x-1(3+2x+1)=0, x-1=0, x=1-нуль функции

4.

Находим производную функции и ее критические точки

=(31)=12-1212(x-1),, 12*(x-1)=0, и x-1=0, x=0 и x=1-критич. точки ф-ии.

=()==-=0; x=0 крит. точка ф-ии.

5.

Находим промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

(0.5)0,(2), x=0-не явл. точкой экстремума, x=1-точка минимума,y min=y(1)=0

(-2)(-0.5)

(0.5),(2)x=0 -точка максимума, y max=y(0)

6.

Находим предел функции при

Lim(3 x

7.

Строим графика функции

Примеры. Исследуйте и постройте графики функции:

а)y= 2)2 3)y=6x- y=+, 5)y=3x-6)y=-3+4; 7)y=; 9)y=

А-11 7. Площадь криволинейной трапеции.

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком не прерывной и не меняющейся на отрезке [a;b] знака функции , прямыми x=a ,x=b и отрезком[a;b],. Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле

Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:a) y= y=2, x=9, б)y= y=2-x, y=0

№ шага

План вычисления площади криволинейной трапеции

Применение плана

а) y= y=2, x=9

б)y(x)=, y=2-x, y=0

1.

Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией.

2.

Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры

S= dx-

S=dx

3.

Находим пределы интегрирования

; =2, x=4,

a==4, b=

, x=-2 и x=1

a= b=

4.

Вычисляем искомую площадь по формуле (1)

S= dx-= S=

S=dx+=│+(2x-) │+(4-)-(2-=

S=

Примеры. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1)y=, y=0, x=2; 2)y=y=1;

3) y=-+1, y=0; 4)y=1+, y=2; 5)y=, y=0, x=0, x=2; 6)y=, y=; 7)y=2x-; y=; 8)y= y=1; 9)y=, y=6-x.