Применение метода интервалов для решения неравенств

Дата:________________

Класс:9

Предмет: алгебра

Применение метода интервалов для решения неравенств.

Цель урока:

Образовательная:

• рассмотреть применение метода интервалов для решения неравенств различных типов;

• совершенствовать навыки применения метода интервалов при решении неравенств.

Развивающая:

• показать учащимся возможность применения метода интервалов при решении неравенств различной сложности;

• развитие навыков логического мышления, умения анализировать, преодолевать трудности при решении математических задач, навыков самоконтроля, умения пользоваться опорными знаниями для их применения в новой ситуации;

Воспитывающая:

• воспитывать ответственное отношение к учебному труду;

• воспитывать дисциплинированность, собранность, высокую работоспособность.

Задачи урока:

1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для их применения в новой ситуации.

3.Развивать у учащихся математическое мышление (умение наблюдать, выделять существенные признаки и делать обобщения).

4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач.

Тип урока: комбинированный урок.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, практический, частично-поисковый.

Формы обучения: коллективная, самостоятельная.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний:

Индивидуальная работа (два человека на боковой доске).

Решить неравенство:

1. х²≤25;

2. х²+7х+20<0.

Устная работа (весь класс):

а) Сравнить с нулем у(0), у(2), у(5), если у(х)=(х-1)(х+2)(х-3); у(х)=(х-1)(х+2)/(х-3).

б) Найти нули функции:

у=(2х+11)/10;

у= 3х²-12;

у=(х+5)(х-7);
у=х2+7х+12.

в) Найти область определения функции:

у=х2+10х;
у= (7х+1)/(х2-3х);

у= .

3. Изучение нового материала.

Рассмотрим наиболее удобный и универсальный способ решения любых неравенств - метод интервалов. Суть метода интервала будет понятна из следующего примера.

Пример №1.

Решите неравенство: х²+2х-3≤0

На числовой оси отметим корни уравнения х²+2х-3=0. Это х₁=-3 и х₂=1. Эти точки разбили числовую ось на три промежутка: х є (-∞;3]; х є [-3;1]; х є (1;+∞).

При (-∞;3] в многочлене х²+2х-3=(х+3)(х-1) оба сомножителя отрицательные. Поэтому многочлен х²+2х-3>0 (отмечено знаком «+»), и неравенство не выполнено.

Для х є [-3;1]множитель (х+3) становиться неотрицательным, множитель (х-1) по-прежнему отрицательный. Поэтому произведение (х+3)(х-1)≤0 (отмечено знаком «-»), и неравенство выполнено. Следовательно интервал х є [-3;1] удовлетворяет неравенству.

При х є (1;+∞) сомножители (х+3) и (х-1) положительные, произведение (х+3)(х-1)>0 (отмечено знаком «+»), и неравенство не выполнено.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

1. Привести неравенство к виду f(x)>0, f(x)≥0, f(x)<0, f(x)≤0. Выделить функцию y=f(x).

2. Найти область определения функции.

3. Найти нули функции, решив уравнение f(x)=0.

4. Отметить на координатной прямой промежутки, на которые область определения разбивается нулями функции.

5. Определить знак функции на каждом промежутке.

6. Рассмотреть полученный рисунок и записать решение в виде промежутка, учитывая знак исходного неравенства:

- если f(x)>0, то выбираем промежуток со знаком "+";

- если f(x)<0, то выбираем промежуток со знаком "-".

4. Первичное применение приобретенных знаний, умений и навыков.

Пример. Решить неравенство (х+2)(х-3)(х+5)>0.

Рассмотрим функцию f(x)=(x+2)(x-3)(x+5).

D(f)=R.

Найдем нули функции, решив уравнение f(x)=0:

(х+2)(х-3)(х+5)=0;

Нули функции разбивают D(f) на промежутки, в которых функция сохраняет знак.

f(-10)<0,

f(-3)>0;

f(0)<0;

f(10)>0.

Решением данного неравенства является множество значений х, при которых f(x)>0. Из рисунка видно, f(x)>0 при хє (-5;-2)U(3;+).

Ответ: (-5;-2)U(3;+).

5. Решение задач: № 325, 327, 329 стр. 96

6. Подведение итогов урока, рефлексия.

1. Что вы ожидали от работы на данном уроке? Сравните свои предварительные цели и реально достигнутые результаты.

2. Какие чувства и ощущения возникали у вас в ходе работы? Что оказалось для вас самым неожиданным?

3. Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно?

4. Перечислите в порядке убывания основные трудности, которые вы испытывали во время учебы. Как вы их преодолевали?

1. Задание на дом:

Повторить §6 (глава 14), №310 стр. 91

Выучить §6 (глава 15), №326 (на 3); 328 (на 4); 330 ,(на 5) стр. 96

Задания (для тех, кто желает знать больше).

№1. Решите неравенство:

а)

б)

в)

№2. Постройте эскизы графиков функций:

а); б) .

3