Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи

Пояснительная записка

Рабочая программа элективного курса «Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи» для 10 «Г» класса составлена на основе авторской программы А.Н. Землякова элективного курса «Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи» М. «Бином. Лаборатория знаний» 2012 год, составитель А.Н. Земляков. При составлении рабочей программы учтены рекомендации инструктивно-методического письма «О преподавании математики в 2014-2015 учебном году в общеобразовательных учреждениях .

Курс «Алгебра плюс» систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет знания, умения и навыки учащихся в области элементарной алгебры. Закрепление и углубление знаний учащихся, полученных в курсе алгебры основной школы, основывается на систематизации задач в соответствии с типами выражений, функций, фигурирующих в задачах (рациональных и иррациональных, алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических) и, на методах решения задач (переход к следствиям, равносильные преобразования, методы замены и разложения, функциональные методы, геометрические интерпретация, графическая интерпретация.

Основной целью изучения курса является:

1. Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.

2. Получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.

3. Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.

4. Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.

При изучении курса « Алгебра плюс» перед учащимися ставятся следу­ющие конкретные задачи:

- получение знаний об основных логических и содержатель­ных типах алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, совокупностей с рациональными, иррациональ­ными функциями/выражениями; овладение навыками со­ответствующих алгебраических преобразований выраже­ний и логических преобразований алгебраических задач;

- овладение логическими, аналитическими, графическими методами решения алгебраических задач с изучаемыми классами выражений и функций;

- освоение методов решения и исследования вычислитель­ных и логических задач с параметрами;

- получение конкретного представления о взаимосвязях высшей математики (арифметики, алгебры, математиче­ского анализа) с элементарной алгеброй на основе исполь­зования методов высшей математики при исследовании и решении алгебраических задач.

Место курса в учебном плане

Данная рабочая программа составлена для изучения алгебры по сборнику Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. Рабочая программа рассчитана на 34 часа, 1 час в неделю. в 10 классе-34 часа, из них 3 часа контрольные работы. В 10 классе изучаются темы «Логика алгебраических задач», «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения» и «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства».

Требования к уровню подготовки учащихся

Образовательные результаты

(планируемые результаты обучения)

Предметные знания. Алгебраические задачи: уравнения, нера­венства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.

Общее понятие задачи с параметрами. Суждения существо­вания и всеобщности, кванторы. Логические задачи с парамет­рами. Координатная интерпретация задач с параметрами.

Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена. Система и теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Формула Кардано- Тарталья,

Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов, Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными - координат­ная интерпретация. Метод областей.

Уравнения и системы с несколькими переменными. Основ­ные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограни­ченности, оценок и монотонности. Системы с тремя перемен­ными - основные методы.

Алгебраические задачи с параметрами. Основные методы решения и исследования: аналитический и координатный (метод «Оха»).

История алгебры как науки о выражениях и уравнениях (Кардано, Виет, Декарт, Ферма, Эйлер и др.).

Предметные умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:

- умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);

- умение использовать основные методы при решении алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены, разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симмет­рии, однородности, оценок, монотонности;

- умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами, логические и кванторные задачи; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.

Общеинтеллектуальные умения:

- умение анализировать различные задачи и ситуации, вы­делять главное, достоверное в той или иной информации;

- владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;

- умение конструктивно подходить к предлагаемым зада-

- умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.

Общекультурные компетенции:

- понимание элементарной математики как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;

- понимание роли элементарной математики в развитии математики, роли математиков в развитии современной элементарной математики;

- восприятие математики как развивающейся фундамен­тальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во вза­имосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.

Учебно-тематический план

№ п/п

Наименование разделов, тем

Часы учебного времени

Плановые сроки прохождения тем

Примечание

1

Логика алгебраических задач

6часов

2

Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

22часа

3

Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

6 часов

Программа курса

Тема 1. Логика алгебраических задач

Элементарные алгебраические задача как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.

Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

Представление о целых рациональных алгебраических выражения. Многочлены над полями R,Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольцо многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановка, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенств: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

Графический анализ кубического уравнения х³+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

Представление о рациональных алгебраических выражениях.

Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

Дробо-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

Содержание курса

Тема 1. Логика алгебраических задач

Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и нера­венства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плос­кости.

Тема 2. Многочлены и полиномиальные

алгебраические уравнения

Представление о целых рациональных алгебраических вы­ражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Т.. Степень многочлена. Кольца многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Об­щая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение,

теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема зна­ков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

Графический анализ кубического уравнения х³+Ах = В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплекс­ных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представ­ление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства

Представление о рациональных алгебраических выраже­ниях.

Симметрические, кососимметрические и возвратные много­члены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравне­ний.

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебра­ических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

Учебно-методический комплекс:

1.Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.-118с.: ил.

2. .Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.-319с. ил.

3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10класса общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни - М.: «Просвещение», 2012

4.Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.-М.:Илекса,2012,-208с.

5.Шепелева Ю.В. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10класс. Базовый и профильный уровни. - М.: «Просвещение», 2012

Календарно-тематическое планирование по элективному курсу

Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи

для 10 «Г» класса уч. Хоружая Н.А.

№ урока

Тема урока

Дата

Прим.

План

Факт.

Глава 1. Логика алгебраических задач

§ 1. Основные понятия: алгебраические задачи, реше­ния, равносильность

1

Алгебраические задачи как предложения с пе­ременными

Равносильность и следование задач

5.09

2

Равносильность уравнений и систем с одной пе­ременной

Совокупности и системы алгебраических за­дач

12.09

3

Следование уравнений с одной переменной

Неравенства с переменной и числовые неравен­ства

19.09

§2. Задачи с параметрами и логические алгебраические за­дачи

26.09

4

Что такое задача с параметром

Логические задачи с параметрами

3.10

5

Логические и кванторные формулировки за­дач с параметрами

Функционально-графическая интерпретация за­дач с параметрами

10.10

6

Координатная интерпретация задач с парамет­рами

Контрольная работа по теме «Логика алгебраических задач»

17.10

Глава 2. Многочлены и полиномиальные алгебраиче­ские уравнения

§ 2. Корни многочленов. Теорема Везу

7

Числовые кольца и поля. Кольца многочле­нов

Корни многочленов и полиномиальных уравне­ний

24.10

8

Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу

31.10

9

Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффинн-Горнера

14.11

10

Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена

21.11

11

Формулы сокращенного умножения

28.11

12

Алгебраическое и функциональное равенство многочленов

Задание многочлена его значениями. Многочлены Лагранжа

5.12

§ 3. Разложение многочленов. Теорема Виета и комбина­торика

13

Полностью разложимые многочлены. Первые тео­ремы Виета .Решение систем Виета. Пример

12.12

14

Комбинаторное отступление 1: перестановки ...

Перестановки с повторениями и системы Ви­ета

19.12

15

Комбинаторное отступление 2: сочетания

Комбинаторное отступление 3: размещения.

26.12

16

Общие система и теорема Виета

16.01

17

Формула Ньютона для степени бинома

23.01

§ 4. Уравнения низших степеней

18

Линейная замена переменной в квадратном трехчлене

30.01

19

Линейная замена переменной в многочленах

6.02

20

Метод Руффини-Горнера и треугольник Паскаля

13.02

21

Решение кубических уравнений

20.02

22

Графическое исследование кубического уравнения

27.02

23

Уравнения степени 4: схема Феррари

6.03

§5. Уравнения разных степеней. Методы упрощения

Простейшие полиномиальные уравнения

Линейные замены, основанные на симметрии

25

Метод разложения. Поиск рациональных корней

13.03

26

Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений

3.04

27

Применение теоремы о корнях к числовым задачам

10.04

28

Разложение методом неопределенных коэффициентов

Контрольная работа по теме «Многочлены и полиномиальные алгебраиче­ские уравнения»

17.04

Глава 3. Рациональные алгебраические уравнения и нера­венства

§ 6. Рациональные алгебраические уравнения

29

Рациональные алгебраические выражения и задачи

Метод замены

24.04

30

Симметрические и кососимметрические уравнения

30.04

§ 7. Рациональные алгебраические неравенства

31

Зачем бывает нужно решать неравенства?

.Простейшие рациональные неравенства

8.05

32

Методы решения рациональных алгебраических неравенств

15.05

33

Сведение к системам неравенств

Метод интервалов

22.05

34

Метод замены

Контрольная работа по теме «Рациональные алгебраические уравнения и нера­венства»

29.05

.

.