Разработка урока по теме Разложение многочлена на множители

Тема: Разложение многочлена на множители.

«Мало иметь хороший ум,

главное - хорошо его применять».

Цель урока: уметь применять на практике различные способы разложения многочлена на множители;

развивать творческие способности учащихся при комбинации приемов, сочетании их друг с другом, выборе рационального зерна - оптимального в том или ином случае.

Задачи урока:

Образовательная: повторить и закрепить изученный материал; отработать навыки разложения многочлена на множители.

Развивающая: развивать у учащихся выделять главное в изучаемом предмете; развивать навык самостоятельной работы; способствовать формированию умений применять приёмы переноса знаний в новую ситуацию; развитию мышления и речи; внимания и памяти;

Воспитательная: содействовать воспитанию интереса к предмету; воспитание чувства ответственности; активности.

Тип урока: урок закрепления и обобщения знаний.

Методы обучения: Частично-поисковый, словесный,наглядный.

Оборудование: интерактивная доска, разноуровневые задания.

Ход урока:

I.Организационный момент.

Сообщение темы, цели урока.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

Устная работа.

1)x² + x;
2) -2aba;
3) 10x - 8xz - 3xz;
4) -aвс;
5) 25ab + ab² + a²b;
6) 0, 125;
7) zzx 6;
8) 25a⁸x4b;

9) (-f²)^2;
10) x⁶ - 10;
11) a²c - 9aca + 6;
12) а

1. Определение одночлена: Одночлен - выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней, а также числа, переменные и их степени.

2.Назвать пункты, в которых записаны одночлены. Ответ: 2), 4), 6), 7), 8), 9), 12)

3.Определение стандартного вида одночлена:Вид одночлена,где на первом месте стоит числовой множитель,а за ним-переменные и их степени,называют стандартным видом одночлена.

4.Назвать пункты, в которых одночлены записаны в стандартном виде. Ответ: 4), 6), 12)

5.Назвать коэффициент одночлена. Ответ: 2) -2; 4) -1; 6) 0, 125; 7) 6; 8) 100; 9) 1; 12)1

6.Определение многочлена.Сумма одночленов называется многочленом.

7.назвать пункты , в которых записан многочлен.1),3)5)10)11)

8. Определение подобных слагаемых: Подобные слагаемые (члены) - слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

9.Назвать подобные слагаемые в тех многочленах, в которых они есть. Ответ: 3) -8xz и -3 xz; 11) a²c и - 9aca;

III.Графический тест теоретического материала.

Верно ли утверждение, определение, свойство?

1)Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. --

2)Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. --

3)Сумма показателей степеней всех букв входящих в одночлен называется степенью одночлена.

4)Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами члены многочлена называются подобными членами.

5)Многочлен, в котором отсутствуют подобные члены и каждый из них одночлен стандартного вида называется многочленом стандартного вида.

6)В результате умножения многочлена на одночлен получается одночлен. --

7)Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак "+", скобки надо опустить, сохранив знак каждого члена, который был заключен в скобки.

8)Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак "-", скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, меняют на противоположные.

Ответ:- -^ ^ ^ - ^ ^

IV. Работа в группах. Разложите на множители (ответы к заданиям закодированы).

1. ax + 2a + 3x + 6

2. 5z (x + y) - x - y

3. x (a + y) + ay + y²

4. 10ay - 5cy + 2ax - cx

5. x² - 2x - xy + 2y

6. 6cy + 15cx + 4 ay + 10ax

Ответы:

У

С

Е

М

Б

И

(x - 2)(x - y)

(3c + 2a)(2y +5x)

(x + y)(5z - 1)

(x + 2)(a + 3)

(a + y)(x + y)

(2a - c)(5y + x)

Лист Мебиуса - один из объектов области математики под названием топология (по-другому "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мебиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

Давайте вспомним, какие существуют способы разложения многочлена на множители?

Способы разложения многочлена на множители:

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

С помощью формул сокращённого умножения

Способ вынесения общего множителя за скобки:

найти общий множитель;

вынести его за скобки

V.Разложите на множители:

14ав-63в²

18а⁴х²-30а³х³+54а²х⁴

х(у-4)+7(у-4)

с(5-d)+2(d-5)

Ответы:

14ав-63в²= 7в(2а-9в)

18а⁴х²-30а³х³+54а²х⁴=

6а²х²(3а²-5ах+9х²)

х(у-4)+7(у-4)=(у-4)(х+7)

с(5-d)+2(d-5)=(5-d)(с-2)

Способ группировки:

объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде одночлена или многочлена;

вынести этот множитель за скобки.

VI.Разложите на множители:

6ху+ав-2вх-3ау

х²-3ху+xz+2x-6y+2z

3(х-2у)²-3х+6у

16ав²-10с³+32ас²-5в²с

5х²⁰-х¹⁵-5х¹⁰+х⁵

Ответы:

6ху+ав-2вх-3ау=(3у-в)(2х-а)

х²-3ху+xz+2x-6y+2z=(х+2)(х-3у+z)

3(х-2у)²-3х+6у=3(х-2у)(х-2у-1)

16ав²-10с³+32ас²-5в²с=(в²+2с²)(16а-5с)

5х²⁰-х¹⁵-5х¹⁰+х⁵=х⁵(5х⁵-1)(х¹⁰-1)

VII.Разложите на множители:

n³ +3n² +2n

а²-13а+40

х²+10х+24

(а²+в²)²-а²(а²+в²)

Ответы:

^{n³ +3n² +2n=n(n+1)(n+2)}

^{а²-13а+40 =(а-8)(а-5)}

^{х²+10х+24 =(х+4)(х+6)}

^{(а²+в²)²-а²(а²+в²)=(а²+в²)(а²+в²-а²)=в²(а²+в²)}

VIII.Решите уравнения:
х²-7х=0 Ответ:0;7

5х²+15х=0 Ответ:0;-3

(4х-1)(3х+6)=0 Ответ:1/4;-2

у² + 8у -4у -32 =0 Ответ:-8;4
х² - 2х +10 -5х =0 Ответ:2;5

(х³-8х²)+(3х-24)=0 Ответ:8

IX.Найди ошибку

3х(х-3)=3х-9х

2х+3ху=х(2+у)

(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²+3ху

х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х+2)

2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у+7)

Ответы:

3х(х-3)=3х²-9х

2х+3ху=х(2+3у)

(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²-3ху

х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х-2)

2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у-7)

X.Докажите, что при любом натуральном р значение выражения

р(р+5) - (р-3)(р+2) кратно6

(р-1)(р+1) - (р-7)(р-5) кратно 12

р(р+5) - (р-3)(р+2)=р²+5р-р²+3р-2р+6=6р+6=6(р+1) кратно 6

(р-1)(р+1) - (р-7)(р-5)=р²-р+р-1-р²+7р+5р-35=12р-36=12(р-3) кратно 12

XI.Рефлексия.

XII. Домашнее задание:

№138(1,3),139,144(2,4),147(1,3)

Сб.Ершовой стр.50 № 1,2

Разложите многочлен на множители

ax² + cx² - cx - ax + a + c

3 (x - 2y)² - 3x + 6y

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9.

9.

10.

10.

Ответы к срезу знаний.

1 вариант

2 вариант

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9.

9.

10.

10.

Математический диктант.

Вынести за скобки общий множитель:

1) 6m+9n

2) -ax +ay

3) a² -a b

4) 8m²n - 4mn³

5) (a +b) -x (a +b)

2. Когда мы выносим общий множитель за скобки, мы представляем многочлен в виде произведения множителей. Для чего это может быть нужно? (Чтобы решить уравнение или сократить дробь).

Теперь мы можем приступить к решению проблем, которые стоят перед нашей Академией.
4 слайд В адрес Академии пришло письмо от астрономов, исследующих поверхность Марса.

Не так давно на этой самой поверхности был обнаружен участок с таинственными

символами, которые астрономы никак не могут разгадать. Давайте поможем им.

Решите уравнение: 5х² + 5х = 0 у доски

5 x (x+1) =0 , x=0 или x=-1.

3. Мотивирование необходимости разложения многочлена на множители.

Решите уравнение: x² +3x +6 +2x =0

Создается проблемная ситуация: задача знакома на первый взгляд, но не решается. Мы знаем, что удобно решать уравнение, в правой части которого 0, раскладывая его левую часть на множители.

- Есть ли общий множитель у всех слагаемых? (Нет)

- Значит, этот способ разложения на множители не подходит.

Постановка учебной задачи: научиться раскладывать многочлен на множители другим способом.

Операционно-исполнительная часть

1) Эвристическая беседа.

Рассмотрим многочлен 5x +5y +m x +my. (запись на доске)

- Есть ли общий множитель у всех слагаемых?

Применим "метод пристального взгляда". Что вы увидели?

(Есть общий множитель 5 у первого и второго слагаемых и общий множитель m у третьего и четвертого слагаемых.)

- Давайте объединим их в группы. - Каким законом сложения воспользуемся? (Сочетательным)

( 5x +5y ) +(m x +my)

- Что можно сделать с общим множителем в каждой группе? (Вынести его за скобки) .

- Каким законом умножения воспользуемся? (Распределительным)

5 (x +y) +m (x +y)

- Сколько сейчас получилось слагаемых? (Два)

- Что интересного заметили в получившемся выражении? (Есть один общий множитель (х+у) )

- Вынесем его за скобки.

(x +y) (5 +m)

- Что мы получили? (Произведение)

- Значит, многочлен представили в виде произведения. Каким способом? (Объединяя слагаемые в группы)

- Поэтому этот способ называется способом группировки.

- Нельзя ли этот же многочлен разложить на множители, группируя слагаемые иначе? Какие законы сложения и умножения будем использовать?

Фронтальная работа

(5x +mx ) + (5y +my) = x(5 +m) + y (5 +m) =(x +y) (5 +m)

- Какой получился результат? (Такой же, как и в первом случае)

5 cлайд алгоритм разложения выглядит так::

а) выполнить группировку слагаемых, имеющих общий множитель;

в) отдельно в каждой группе найти общий множитель и вынести его за скобки;

с) в получившемся выражении найти общий множитель и вынести его за скобки.

Этот алгоритм поможет учащимся в дальнейшей работе на этом и последующих уроках.

Замечательно! Я думаю, астрономы будут очень довольны. Возможно, мы скоро получим

ответ на вопрос: «Есть ли жизнь на Марсе».

2) Отработка правила.

Работая с алгоритмом, учащиеся действуют поэтапно, отдавая себе отчет, что надо сделать и почему. Происходит осознание нового правила, его осмысление и запоминание.

6 слайд А вот и другое письмо.

Археологи, исследуя гробницы Египта, обнаружили в одной из пирамид дверь, для

открытия которой нужно разгадать код. Помогите археологам. Вот этот код:

а) Фронтальная работа с пооперационным контролем. (1 ученик у доски)

ах + ау - х - у = (ах + ау) + (- х - у) = а(х + у) - (х + у) = (х + у)(а - 1)

ав - 8а - вх + 8х = (ав - вх) + (- 8а + 8х) = в(а - х) + 8(- а + х) = (а - х)(в - 8) ( -1 выносим за скобку)

x ² m - x²n + y² m - y²n = (x²m - x²n) + (y²m - y² n) = x²(m - n) + y²(m - n) = (m - n)(x² + y²)

Потрясающе! Теперь наши археологи наконец-то откроют эту загадочную дверь и

возможно, найдут множество сокровищ.

7 слайд А мы переходим к следующему письму. Оно к нам пришло из Германии.

Просматривая старые архивы, работники Берлинского музея обнаружили обрывки

рукописи, которые вам предстоит восстановить.

б) Дифференцированные задания по уровням. (работа в парах)

Ситуация выбора в процессе выполнения самостоятельной работы. Учащиеся могут выбрать один из предложенных вариантов, который кажется им соответствующим их уровню знаний, то есть вырабатывается навык самооценки.

А. Задания нормативного уровня.

1) 7а - 7в + аn - b n = 7(a - b) + n(a - b) = (a - b)(7 + n)

2) x y + 2y + 2x + 4 = y(x + 2) + 2(x + 2) = (y + 2)(x + 2)

3) y²a - y²b + x² a - x²b = y²(a - b) + x²(a - b) = (a - b)(y² + x²)

Б. Задания компетентного уровня

1) x y + 2y - 2x - 4 = y(x + 2) - 2(x + 2) = (x + 2)(y - 2)

2) 2сх - су - 6х + 3у = c(2x - y) + 3(- 2x + y) = ( 2x - y)(c - 3)

3) х² + x y + xy² + y³ = x(x + y) + y²(x + y) = (x + y)(x + y²)

С. Задания творческого уровня

1) x⁴ + x³y - xy³ - y⁴ = x³(x + y) - y³(x + y) = (x + y)(x³ - y³)

2) ху² - ву² - ах + ав + у² - а =y²(x - b + 1) + a(- x + b - 1) = (y² - a)(x - b + 1)

3) х² - 3х + 6 - 2x= x(x - 3) + 2(3 - x) = (x - 2)(x - 3).

Цели урока:

Образовательная - систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся, применять различные способы разложения многочлена на множители. Сформировать умение применять разложение многочлена на множители путём комбинации различных приёмов. Реализовать знания и умения по теме: «Разложение многочлена на множители» для выполнения заданий и базового уровня и заданий повышенной сложности.

Развивающая - способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы, применять исторический материал. Умение работать с бланком ответов при решении тестов.

Воспитательная - побуждать учеников к само-, взаимоконтролю, работе в команде, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний, формировать умение рефлексировать.

Разложите на множители, используя различные способы.

1 вариант

2 вариант

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9.

9.

10.

10.

Ответы к срезу знаний.

1 вариант

2 вариант

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9.

9.

10.

10.

Разложите на множители, используя различные способы.

1 вариант

2 вариант

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9.

9.

10.

10.

Ответы к срезу знаний.

1 вариант

2 вариант

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9.

9.

10.

10.

n³ +3n² +2n

x²-6x+5=0

2. х(х-2) + 7(2-х)=0

3. (3х - 2)(х+4) - 3(х+5)(х-1) =0

4. у² + 8у -4у -32 =0 Решите уравнение, разложив на множители его левую часть

х² - 2х +10 -5х =0

3 вариант

1. Докажите, что при любом натуральном р значение выражения

р(р+5) - (р-3)(р+2) кратно6

(р-1)(р+1) - (р-7)(р-5) кратно 12

2. Найдите корень уравнения

х² + х(6-2х) = (х-1)(2-х) -2

Разложите на множители:

4х-4у+(х-у)²

4х²-зх=0

2х²+5х=0

(4х-1)(3х+6)=0

х(у-4)-7(4-у)

с(5-d)+2(d-5)

3(х-2у)²-3х+6у

Найди ошибку

3х(х-3)=3х-9х

2х+3ху=х(2+у)

(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²+3ху

х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х+2)

2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у+7)

3х(х-3)=3х²-9х

2х+3ху=х(2+3у)

(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²-3ху

х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х-2)

2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у-7)

Х⁵-12+6х⁴-2х

-а⁵-а⁴+а³+а²

ах²-2а²х-х³+2а³

16ав²-10с³+32ас²-5в²с

5х²⁰-х¹⁵-5х¹⁰+х⁵

х²-3ху+хz+2x-6y+2z

а²-13а+40

х²+10х+2

Задания из ЕНТ:

(а²+в²)²-а²(а²+в²)

Способы разложения многочлена на множители:

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

С помощью формул сокращённого умножения