Пятая четверть - Летняя Математическая Школа

Соловьева Тамара Егоровна,

Федорова Галина Егоровна,

Григорьева Галина Егоровна,

учителя математики Вилюйской гимназии

Как известно, одним из направлений Российской национальной образовательной инициативы «Наша новая школа» является система поддержки талантливых детей. Одновременно с реализацией стандарта общего образования должна быть выстроена разветвленная система поиска и поддержки талантливых детей, а также их сопровождения в течение всего периода становления личности. Вилюйская гимназия была создана в 1992 году как школа для поддержки одаренных детей. Здесь с момента открытия школы была поставлена цель создания условий для развития творческих способностей детей. Первые учителя отдали все силы, чтобы ребенок мог быть конкурентноспособным в этом сложном во всех отношениях мире. Сегодня в гимназии сложились определенные формы работы с одаренными детьми, которые были выработаны в течение многих лет деятельности гимназии. Такую же работу сейчас реализовывают многие школы.

Формы работы

Индивидуальное обучение или обучение в малых группах по программам творческого развития в определенной области (по предметам).

Занятия по свободному выбору - факультативные и особенно организация малых групп - в большей степени, чем работа в классе, позволяют реализовать дифференциацию обучения, предполагающую применение разных методов работы. Это помогает учесть различные потребности и возможности одаренных детей

Работа по исследовательским и творческим проектам в режиме наставничества (Работа НОУ).

Участие в проекте «Лингва» (развитие творческих способностей, обучение креативному письму)

Участие в проекте «Уруйэ ырыата (развитие креативного письма по родному языку)»

Очно-заочные школы («Авангард» по математике и физике, Заочная школа МИФИг. Москва и т.д.).

Дистанционные школы по предметам («Эйдос» (А.В. Хуторской) и т.д.)

Каникулярные сборы, лагеря, мастер-классы, творческие лаборатории (Физико-математический форум «Ленский край», осенняя, зимняя, весенняя и летняя школа общества «Дьо5ур», обучение в зимней школе РЛИ).

Система творческих конкурсов, фестивалей, Интернет-олимпиад.

Региональные и республиканские фестивали «Дьо5ур».

Межулусные предметные олимпиады по истории и якутскому языку.

Олимпиада Сети президентских школ Вилюйского учебного округа.

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее» (улусный, региональный и российский уровни).

Работа научного общества учащихся.

Работа Клуба интеллектуальных игр

Участие всей школой в международных интеллектуальных марафонах (например «Эрудит Планеты»)

Обучение детей в системе дополнительного образования (Различные внутришкольные творческие группы, ансамбли и т.д.)

Дополнительное образование предоставляет каждому ребенку возможность свободного выбора образовательной области, профиля программ, времени их освоения, включения в разнообразные виды деятельности с учетом их индивидуальных склонностей. Личностно-деятельный характер образовательного процесса позволяет решать одну из основных задач дополнительного образования - выявление, развитие и поддержку одаренных детей.

Международный конкурс-игра «Кенгуру-математика для всех», «Золотое Руно», «Русский медвежонок» и др.

Различные внутришкольные проекты по поддержке дополнительного образования детей.

В 1997 году была основана заочно-каникулярная школа при Вилюйской гимназии, целью которой являлось дополнительное образование учащихся сельских школ по математике, информатике, естественным наукам.

С 2006-2006 учебного года в гимназии работает филиал Физико-Математического Форума «Ленский край». Во время каникул учителя математики организуют работу школ для обучения способных детей улуса и региона решению олимпиадных и развивающих задач.

Почти во всех школах улуса работают Центры дополнительного математического образования детей.

Дополнительное образование детей - необходимый элемент всей учебно-воспитательной системы в школе. Цель - углубление знаний обучающихся, развитие их творческих математических способностей, расширение кругозора. А также оно способствует личностному росту ребенка, его социализации.

Во время летних каникул у ребят начинается самая интересная и плодотворная четверть - Пятая четверть, по сути, летняя математическая школа, куда собираются все желающие дети со всех школ улуса и учебного округа. Математические школы проводятся в разных местах, и дети могут самостоятельно выбрать, куда им идти. Некоторые из них, кто имеет хорошие результаты в олимпиадах, приглашаются в различные математические лагеря республиканского общества «Дьо5ур», Физико-математический форум «Ленский край» и др.

Вилюйская гимназия накопила огромный опыт работы в этом плане. Математические сборы проводятся во время осенних, зимних, весенних и летних каникул и становятся доброй традицией всей образовательной системы улуса.

В таких математических школах мы стараемся создать благоприятную среду общения для детей. Дети повышают свой культурный, интеллектуальный уровень. Для ребят проводятся интеллектуальные конкурсы, спортивные игры, выходы на природу, которые, безусловно, способствуют пополнению знаний и усвоению нового материала.

Целью Летней Математической школы является:

- создание условий для полноценного отдыха детей во время летних каникул;

- раскрытие внутренних возможностей каждого ученика;

- повысить интерес учащихся к математике.

Задачи лагеря:

- установить природные задатки и особенности каждого, оказать ребенку помощь в развитии своих способностей, интересов и склонностей;

- закрепить и углубить теоретические знания, практические умения и навыки;

- развить творческие способности учащихся;

- пропагандировать здоровый образ жизни;

- воспитать культуру общения между сверстниками.

Организация учебно-воспитательного процесса:

1. По предметам составляются учебные планы. При этом учитываются в первую очередь интересы детей. Сначала идут теоретические сведения. Потом они получают задачи и им дается определенное время, в течение которого должны справиться с работой. Затем они сдают эти задачи. Потом идут индивидуальные встречи с преподавателем, чтобы получить консультацию.

2. В плане всегда конкурсы, праздники, соревнования, призванные стимулировать детей к успеху. Отдых и учебные занятия чередуются.

Занятия ведутся опытными учителями, энтузиастами своего дела. Приглашаем ведущих учителей республики и страны. Так, в этом году были приглашены учителя из Санкт-Петербурга: Иванов Михаил Анатольевич, учитель математики физико-математического лицея №239 г. Санкт-Петербурга, Голованов Александр Сергеевич, заместитель директора Центра Математического образования г. Санкт-Петербурга, член методической комиссии Всероссийской олимпиады школьников.

В образовательную программу включаются следующие темы: Логические задачи. Переливания. Задачи на взвешивание. Графы. Раскраска. Принцип Дирихле. Комбинаторика. Графы. Круги Эйлера. Задачи, решаемые с конца. Принцип Дирихле. Делимость. Четность. Математические игры. Инвариант. Решение уравнений. Задачи на проценты. Задачи на движение.

Такая программа не только развивает творческие способности ребенка, нацелена углубленную математическую подготовку, но и может пройти как элективный курс в предпрофильной подготовке, подготовить обучающихся к профильному обучению в старшей школе.

Приложение

Олимпиада 26.07.11. Вилюйская летняя школа. 5 класс.

В каждой задаче не забудьте обосновать свой ответ.

1. Всем детям в классе раздали поровну воздушных шариков. Сколько шариков дали каждому ученику, если у девяти детей вместе меньше 100 шариков, а у одиннадцати - больше 120?

2. Четно или нечетно число 1 3 + 2 4 + 3 5 + + 2011 2013?

3. Разрежьте прямоугольник размером 8 х 9 на 7 квадратов так, чтобы все разрезы проходили по сторонам клеточек.

4. Можно ли натуральные числа от 1 до 21 разбить на несколько групп, в каждой из которых наибольшее число равно сумме остальных?

5. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенное на 12. Что окажется на доске через 5 часов?

Олимпиада 26.07.11. Вилюйская летняя школа. 6 класс.

В каждой задаче не забудьте обосновать свой ответ.

1(М). Всем детям в классе раздали поровну воздушных шариков. Сколько шариков дали каждому ученику, если у девяти детей вместе меньше 100 шариков, а у одиннадцати - больше 120?

2(М). Разрежьте прямоугольник размером 8 х 9 на 7 квадратов так, чтобы все разрезы проходили по сторонам клеточек.

3(М). Можно ли натуральные числа от 1 до 21 разбить на несколько групп, в каждой из которых наибольшее число равно сумме остальных?

4(Ф). От стола к окну летает муха. Скорость мухи вечером на 25% меньше, чем утром. Во сколько раз время полета мухи от стола к окну вечером больше, чем утром?

5(Ф). Из города Вилюйск в сторону села Кеданда вышли Петя и Вася. У них есть один велосипед. За какое минимальное время они доберутся до с. Кеданда, если скорость пешехода 5 км/ч, а скорость велосипеда 10 км/ч? Расстояние от г. Вилюйска до с. Кеданда 15 км.

Лето-2011. Олимпиада. 5 класс

1. Попробуйте прочесть слово, изображённое на рис. 1, пользуясь ключом (см. рис. 2).

Решение

Ключ показывает, какие именно стрелки отходят из того места, где стоит буква, которую мы должны выбрать. В результате прочитывается слово КОМПЬЮТЕР.

Ответ. КОМПЬЮТЕР.

2. Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января?

Решение. Ни 1, ни 2, ни 3 января не могут приходиться ни на понедельник, ни на пятницу, поскольку в противном случае 29, 30 или 31 января получатся пятой пятницей или пятым понедельником в месяце. Наше условие может быть выполнено, только если 1, 2 и 3 января придутся, соответственно, на вторник, среду и четверг. Значит, 1 января - вторник.

Ответ. На вторник.

3. Разрежьте прямоугольник 4 х 9 на две одинаковые части, из которых можно сложить квадрат.

Ответ: Cм. рис1, рис 2.

Рис.1 рис.2

4. Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равны двадцати.

Ответ. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10.

Олимпиада 5 класс

1. Разрежьте одну из фигур, приведенных на рисунке, на две части так, чтобы из них можно было сложить каждую из оставшихся. Нарисуйте, как вы разрезаете и как складываете.

2. Помогите Незнайке восстановить пример на деление двух чисел, если известно, что частное в пять раз меньше делимого и в семь раз больше делителя.

3. Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того, как Чип принес 120 орехов, а Дейл- 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу. Сколько орехов должен запасти каждый из них?

4. Решение Каждый из четырех инопланетян умеет писать только две буквы. Кра умеет писать и  ; Кре - буквы и ; Кру - буквы и , Крю - буквы  и . Они оставили землянам послание:  . Известно, что как любые две соседние буквы, так и любые две буквы, стоящие через одну, написаны разными инопланетянами. Кто какую букву написал? Ответ объясните.

1. Назовем число зеркальным, если справа налево оно читается так же, как слева направо. Например, число 78887 - зеркальное. Найдите все зеркальные пятизначные числа, в записи которых используются только цифры 1 и 0 .

2. В городе живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Рыцари носят с собой шпагу, а лжецы- нет. Собрались вместе два рыцаря и два лжеца и посмотрели друг на друга. Кто из них мог сказать фразу: 1) "Cреди нас все рыцари". 2) "Среди вас есть ровно один рыцарь". 3) "Среди вас есть ровно два рыцаря"? Для каждой фразы укажите всех, кто мог ее сказать, и объясните.

3. В понедельник в полдень (12-00) часы показывали верное время, а уже через 4 часа они отставали на 1 час. В какой день и час эти часы впервые покажут время, на час большее, чем на самом деле? Ответ объясните.

4. Тане было 16 лет 19 месяцев назад, а Мише будет 19 лет через 16 месяцев. Кто из них старше? Ответ объясните.

Задачи математического боя. 5 класс. Решения. 21 июля 2011г.

1. На затонувшей каравелле XIV века были найдены шесть мешков с золотыми монетами. В первых четырех мешках оказалось по 60, 30, 20 и 15 золотых монет. Когда подсчитали монеты в оставшихся двух, кто-то заметил, что число монет в мешках составляет некую последовательность. Приняв это к сведению, смогли бы вы сказать, сколько монет в пятом и шестом мешках?

Решение

Число монет в этих мешках - делители числа 60, записанные в порядке убывания. Так что в пятом и шестом мешках, соответственно, 12 и 10 золотых монет.

Ответ. 12 и 10 монет.

2. Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.

Решение

Остаток при делении на 7 не может превышать 6, таким образом, интересующие нас числа можно представить в виде 7a + a = 8a, где a = 1, 2,..., 6. Итак, вот эти числа: 8, 16, 24, 32, 40, 48.

Ответ.8, 16, 24, 32, 40, 48.

3. Буратино и Пьеро бежали наперегонки. Пьеро весь путь бежал с одной и той же скоростью, а Буратино первую половину пути бежал вдвое быстрее, чем Пьеро, а вторую половину - вдвое медленней, чем Пьеро. Кто победил?

Решение. На вторую половину пути Буратино потратил ровно столько времени, сколько Пьеро на весь путь. А ведь сколькото времени у Буратино ушло и на первую половину пути. Так что победил Пьеро.

Ответ. Пьеро.

4. Найдите недостающие числа:

Решение

а) 71; чтобы получить очередное число, надо умножить предыдущее на 2 и вычесть порядковый номер предыдущего числа. б) 17; чтобы получить следующее число, надо умножить предыдущее на 2 и вычесть 1. в) 11 и 14; на чётных местах расположена последовательность 10, 11, 12, 13,..., а на нечётных местах - последовательность 8, 9, 10,.... г) 17; каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.

Ответ. а) 71; б) 17; в) 11 и 14; г) 17.

5. Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января?

Решение

Ни 1, ни 2, ни 3 января не могут приходиться ни на понедельник, ни на пятницу, поскольку в противном случае 29, 30 или 31 января получатся пятой пятницей или пятым понедельником в месяце. Наше условие может быть выполнено, только если 1, 2 и 3 января придутся, соответственно, на вторник, среду и четверг. Значит, 1 января - вторник.

Ответ. На вторник.

6. Можно ли доску размером 5 × 5 заполнить доминошками размером 1 × 2?

Решение

Нельзя, так как общее количество клеток (25) не делится на два, а каждая доминошка покрывает две клетки.

Ответ: нельзя.

7. Заполните свободные клетки "шестиугольника" (см. рисунок) целыми числами от 1 до 19, чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.

Решение

Поскольку один из рядов таблицы заполнен, то можно определить сумму ряда - она равна 38. Теперь можно расставить числа во многих клетках. Осталось 7 пустых клеток, в которых должны быть расположены числа 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15. Рассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18.

Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и 5. Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть только 5 и 6. Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях - соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.

Ответ. См. рисунок справа.

8. На лужайке росли 35 жёлтых и белых одуванчиков. После того как 8 белых облетели, а 2 жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых одуванчиков росло на лужайке вначале?

Решение.

Когда 8 белых одуванчиков облетели, на лужайке осталось 27 одуванчиков - 18 жёлтых и 9 белых. Значит, вначале на лужайке росли 18 + 2 = 20 жёлтых и 9 + 8 - 2 = 15 белых одуванчиков.

Ответ. 20 жёлтых и 15 белых одуванчиков.

9. В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?

Решение

После каждого боя из соревнований выбывает один боксер - проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание.

10. Отличник Поликарп заполнил клетки таблицы цифрами так, что сумма цифр, стоящих в любых трех соседних клетках, равнялась 15, а двоечник Колька стёр почти все цифры. Сможете ли вы восстановить таблицу?

Подсказка

Любые два числа, стоящие на расстоянии трех клеток друг от друга, равны между собой. Подумайте, почему.

Решение

Поскольку сумма чисел, стоящих в любых трех соседних клетках, постоянна, значит, равны между собой все числа, стоящие на местах 1, 4, 7,..., т.е. на этих местах стоит 6. Также равны между собой все числа, стоящие на местах 3, 6, 9,..., значит, на всех этих местах стоит 4. Числа, стоящие на местах 2, 5, 8,... тоже равны между собой и должны быть равны 5, чтобы соблюдалось условие о сумме 15. Окончательное решение приведено в таблице.

Ответ. 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4.

Задачи матбоя

1. На столе лежат в ряд пять монет: средняя - вверх орлом, а остальные - вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом?

2. Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

3. Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника - в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника - во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?

4. В равенстве 101 - 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

5. В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором - синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем - лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась?

6. Расшифруйте ребус, изображённый на рисунке. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные.

7. На острове живут два племени - аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы - всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном. Кем был проводник - аборигеном или пришельцем?

8. В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

9. Имеются 12-литровый бочонок, наполненный квасом, и два пустых бочонка - в 5 и 8 л. Попробуйте, пользуясь этими бочонками: а) разделить квас на две части - 3 и 9 л; б) разделить квас на две равные части.

10. Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?

НОК и НОД. Делимость

1. Коля, Серёжа и Ваня регулярно ходили в кинотеатр. Коля бывал в нём каждый 3-й день, Серёжа - каждый 7-й, Ваня - каждый 5-й. Сегодня все ребята были в кино. Когда все трое встретятся в кинотеатре в следующий раз?

Решение

Начнём отсчитывать дни от первого посещения кинотеатра всеми мальчиками. Номер дня, когда в кинотеатр приходит Коля, делится на 3, когда приходит Серёжа - делится на 7 и т.д. Значит, чтобы все трое пришли в кинотеатр, номер дня должен одновременно делиться на 3, на 5 и на 7. Таким образом, номер этого дня должен делиться на 105, т.е. 105, 210, 315 и т.д. Поскольку нас интересует самый первый день, то это день под номером 105 (это значит, что до встречи ребятам придётся ходить в кинотеатр больше 3х месяцев).

Ответ: на 105й день.

2. Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

Решение

Поскольку делимое в 6 раз больше делителя, значит, частное равно 6. А так как делитель в 6 раз больше частного, значит, он равен 36, а делимое, соответственно, равно 216.

Ответ: 216; 36; 6.

3. Десять человек захотели основать клуб. Для этого им необходимо собрать определённую сумму вступительных взносов. Если бы организаторов было на пять человек больше, то каждый из них должен был бы внести на 100 долларов меньше. Сколько денег внёс каждый?

Решение

Обозначим величину вступительного взноса через x. Тогда можно составить уравнение 10x = 15(x - 100), решив которое, определим x = 300 долларов. Можно было бы решить эту задачу не составляя уравнения, рассуждая следующим образом: те 100 долларов, которые сэкономят 10 первоначальных членов клуба, заплатят 5 новых членов, т.е. каждый из 5ти заплатит по 200 долларов. Таким образом, при 15ти членах клуба общий взнос составит (20015) = 3000 долларов. Значит, для 10 ти участников членский взнос был равен (3000 : 10) = 300 долларов.

Ответ: 300 долларов.

4. Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепёшки, а у Прохора - 8. Тут к ним подошёл охотник. -- Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется. Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью! -- Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады, - сказали лесорубы. Двенадцать лепёшек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и полтинник и сказал: -- Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Прохор говорит: -- По-моему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему возражает: -- За 12 лепёшек - 60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп. Раз у тебя было 8 лепёшек - тебе 40 коп., у меня 4 лепёшки - мне 20 коп.! А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами?

Решение

Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось по 4 лепёшки, следовательно, Иван съел все свои лепёшки сам, а Прохор половину своих лепёшек отдал охотнику. Это означает, что все 60 коп. должен получить Прохор.

Ответ: Все деньги должен получить Прохор.

Доли, дроби и проценты

1. Цену товара сначала повысили на 50%, потом ещё повысили на 6,25%, после чего цену снизили на 50% и, наконец, повысили на25%. В результате установилась цена 255 рублей. Чему равна первоначальная цена товара?

РЕШЕНИЕ: Пусть а рублей - начальная стоимость товара. Главная особенность преобразований состоит в замене процентов дробями с последующим применением формулы разности квадратов. а(1+1/2)(1+1/16)(1-1/2)(1+1/4)=a(1-1/4)(1+1/4)(1+1/16)=a(1-1/256)=255, а=256. ОТВЕТ: 256 рублей.

2. Во втором круге соревнований по футболу команда «Ротор» забила на 75% больше голов, чем в первом круге, а команда «Олимпия» - на 50% больше. В итоге общее число голов, забитых волгоградскими командами, возросло на 60% по сравнению с первым кругом. Сколько процентов от голов, забитых обеими командами в первом круге, составили голы, забитые командой «Ротор» в первом круге?

РЕШЕНИЕ:

Первый круг

Второй круг

«Ротор»

х

1.75х

«Олимпия»

у

1.5у

Всего

х+у

1.75х+1.5у

Так как команды вместе во втором круге забили на 60% голов больше, чем в первом круге, составим уравнение:1.75х+1.5у=1.6∙(х+у), 175х+150у=160х+160у, 15х=10у, у=1.5х

x/(x+y) ∙100%=x/(2/5x) ∙100%=40%. ОТВЕТ: 40%.

3. Известно, что доля блондинок среди голубоглазых больше, чем доля блондинок среди всех людей. Что больше - доля голубоглазых среди блондинок или доля голубоглазых среди всех людей?

РЕШЕНИЕ: Пусть а - количество голубоглазых блондинок, в - всего голубоглазых, с - всего блондинок, m - всего людей.

По условию а/в>c/m, умножим обе части неравенства на в/c и получим: a/b∙b/c>c/m∙b/c; a/c>b/m. Таким образом, доля голубоглазых среди блондинов больше, чем доля голубоглазых среди всех людей. ОТВЕТ: доля голубоглазых среди блондинов больше, чем доля голубоглазых среди всех людей.

4. Ночью 7 художников по очереди разрисовывают белую стену каждый своей краской. Каждый закрасил к % (где к - натуральное число) стены, не видя, что нарисовали другие. Если какой-либо участок зарисован всеми семью цветами, то он становится белым. При каких к на стене гарантированно будет хотя бы один белый участок?

РЕШЕНИЕ: 100%:7=14 2/7 %, значит, при к<14% точно будет хотя бы один белый участок, так как художники не смогут закрасить всю стену. Рассмотрим случай, когда каждый художник раскрасил такую часть стены, что каждая точка покрыта краской ровно 6 разных цветов. Тогда художники все вместе покрасили 600% стены, и если бы каждый из них покрасил чуть больше, то нашёлся бы хотя бы один участок, покрашенный семью цветами, то есть белый.

600% : 7 = 85 5/7 %, а так как к - натуральное число, то 1≤к≤14, 86≤к≤100. ОТВЕТ: 1≤к≤14, 86≤к≤100

5. Вычислите

РЕШЕНИЕ: Пусть 2/183=a; 5/199=b, тогда (4+a)(6+b)-(3-a)(8-b)-7b=24+6a+4b+ab-24+8a+3b-ab-7b=14a=28/183. ОТВЕТ: 28/183

6. Влажность огурцов снизилась с 99% до 98%. На сколько процентов уменьшилась их масса?

РЕШЕНИЕ: Пусть х - масса огурцов до испарения, у - после испарения. Тогда 0.01х - масса мякоти до испарения, а 0.02у - масса мякоти после испарения. Но так как масса мякоти не изменилась, то 0,01х=0.02у. Откуда у=х/2. ОТВЕТ: 50%

7. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы её за 24 дня, 30 коров - за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней?

РЕШЕНИЕ: Пусть а тонн - масса травы, подросшей на лугу к приходу коров, у - количество коров, которые поели бы всю траву за 96 дней, х тонн - масса травы, необходимая для пропитания одной коровы за один день, в тонн - масса травы, прирастающая на лугу за один день.

По условию задачи составим три уравнения: а+24в=70х∙24, а+60в=30х∙60, а+96в=96х∙у. Вычитая из первого уравнения второе, получаем 10х=3в. Подставляя в первые два уравнения, находим: а=1600х, а=480в. Наконец, из третьего уравнения находим, что у=20. ОТВЕТ: 20 дней.

8. В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков?

РЕШЕНИЕ: Обозначим число послушных девочек а, число непослушных мальчиков b. По условию задачи а=b. Число послушных мальчиков обозначим с, а число непослушных девочек д. Тогда: а+с=b+с. Это означает, что в классе послушных детей а+с столько же сколько и мальчиков b+с. ОТВЕТ: поровну.

9. В стаде 8 овец. Первая съедает копну сена за 1 день, вторая - за 2 дня, и так далее… восьмая за 8 дней. Кто быстрее съест копну сена - две первые овцы или все остальные вместе?

РЕШЕНИЕ: Две первые овцы справятся быстрее. Сравним ежедневные рационы. Проверим, что больше 1+1/2 или 1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8. Заметим, что 1/2=1/3+1/6, а 1/4+1/5+1/7+1/8<1/4∙4=1. ОТВЕТ: две первые овцы справятся быстрее.

10. Цена за вход в сад 12 рублей. После снижения цен на билеты количество посетителей увеличилось наполовину и сбор увеличился на четверть. Определите, на сколько рублей была

снижена цена на билеты.

РЕШЕНИЕ: Пусть новая цена билета х, а число посетителей было у. Тогда старый сбор 12 у, новый сбор 3/2 ху. Имеем: 5∙12у/4=3/2 y; x=15∙2/3=10. Цена билета снижена на 12-10=2р. ОТВЕТ: 2 рубля.

11. В свежих яблоках 80% воды, а в сушёных 20% воды. Определите, на сколько процентов уменьшится масса яблок при сушке.

РЕШЕНИЕ: Пусть х - масса до сушки, а у - после сушки. 0.2х=0.8у, у=х/4. ОТВЕТ: 75%.

12. На экзамене по математике 15% решили с ошибками, 144 человека не решили ни одной задачи, а число абитуриентов, решивших всё, относится к числу решивших с ошибками как 5:3. Сколько человек было на экзамене?

РЕШЕНИЕ: Так как число абитуриентов, решивших всё, относится к числу решивших с ошибками как 5:3, а 15% решили с ошибками, то число абитуриентов, решивших всё, равно 15%∙5/3=25%. 25%+15%=40% всех учеников, которые решили с ошибками или решили всё. Тогда 60% учеников не решили ни одной задачи, а это 144 человека. Получаем: всего сдавали 144:0.6=240. ОТВЕТ: 240 учеников сдавали экзамен.

Натуральные числа

1. Какой цифрой оканчивается разность 43⁴³ - 17¹⁷?

РЕШЕНИЕ: При возведении числа 43 в любую степень получаем числа, которые последовательно оканчиваются на 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1,… Замечаем, что последняя цифра периодически повторяется и длина периода равна 4, поэтому 43⁴³ имеет последнюю цифру такую же, что и число 43³, то есть оканчивается на цифру 7.

При возведении числа 17 в любую степень получаем числа, оканчивающиеся на 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … Заметим, что последняя цифра периодически повторяется и длина периода также равна 4. Поэтому 17¹⁷ имеет последнюю цифру такую, же что и число 17¹, то есть оканчивается на цифру 7. Значит 43⁴³-17¹⁷=43^4х+3 - 17^4у+1=10к+7 - (10m+7)=10(к - m). Значит, данное число оканчивается на 0.

2. Докажите, что число 264³+123³ делится нацело на 9.

РЕШЕНИЕ: Разложим сумму кубов 264³+123³=(264+123)(264²-264∙123+123²)=387∙(264²-264∙123+123²). Сумма цифр 387 равна 18, значит данное число делится на 9, а следовательно и само данное число также делится на 9.

3. Можно ли разменять 25 рублей на рублёвые, трёхрублёвые и пятирублёвые купюры так, чтобы получилось 10 купюр?

РЕШЕНИЕ: Обозначим х, у, z - количество купюр соответствующего достоинства. По условию задачи составим систему и вычтем из первого уравнения второе. х+3у+5z=25, х+у+z=10. Получим 2у+4z=15, 2(у+2z)=15. Левая часть чётная, а правая нечётная, поэтому данное равенство невозможно. ОТВЕТ: нельзя.

4. Числа а и в целые. Известно, что а+в=100. Может ли сумма 7а+3в быть равной 627?

РУШЕНИЕ: Выразим в через а, в=100-а и составляя уравнение, получаем: 7а+3(100-а)=627, 7а+300-3а=627, 4а=327, а - не целое. ОТВЕТ: не может.

5. По кругу выписаны 20 чисел, каждое из которых равно сумме двух своих соседних чисел. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.

РЕШЕНИЕ: 1) Для просмотра с а₁ предположим, что а₁=0, а₂=а. На этом свобода выбора закончена. Получаем 0, а, а, 0, -а, -а, 0, а, а, 0, -а, -а, 0, а, а, -а, -а, 0. Отсюда следует, что необходимо а₂₀=0.

2) По условию имеем: а₂=а₁+а₃, а₄=а₃+а₅, а₆=а₅+а₇, а₈=а₇+а₉, а₁₀=а₉+а₁₁, а₁₂=а₁₁+а₁₃, а₁₄=а₁₃+а₁₅, а₁₆=а₁₅+а₁₇, а₁₈=а₁₇+а₁₉, а₂₀=а₁₉+а₁. Обозначим через S₁ сумму элементов с нечётными номерами.

Обозначим через S₂ сумму элементов с чётными номерами. Получаем: S₂=2S₁, S₂=0, S₁=0.

а₂ должно быть: а₂=0, то есть а=0, откуда получаем, что все члены последовательности будут нулями. Таким образом, утверждение доказано.

6. Определите, сколько существует трёхзначных чисел, у которых цифры увеличиваются слева направо, а произведение всех цифр делится на 81.

РЕШЕНИЕ: 81= 3∙3∙3∙3. Подошло бы число 339, но первые две цифры одинаковые. Увеличим вторую цифры так, чтобы цифры увеличились слева направо. Получаем 369. Произведение цифр будет 3∙6∙9=162. 162 нацело делится на 9. Других вариантов нет, поэтому искомое число 369 единственно. ОТВЕТ: 1 число.

7. Если от задуманного трёхзначного числа отнять 9, то получившееся число разделится на 9. Если от задуманного числа отнять 10, то результат разделится на 10. Если от числа отнять 11, то результат разделится на 11. Какое число было задумано?

РЕШЕНИЕ: По условию задачи получаем: 1) х-9=9к, х=9(х+1), х делится на 9. 2) х-10=10t, х=10(t+1), х делится на 10. 3) х-11=11у, х=11(у+1), х делится на 11. 4) х=9∙11∙10∙q, то есть х делится на 990. Единственное трехзначное число, которое делится на 990, будет 990. ОТВЕТ: 990.

8. Найдите наименьшее к, чтобы произведение чисел от 2 до к делилось бы на 1992.

РЕШЕНИЕ: Разложим число 1992 на простые множители. 1992=2∙2∙2∙3∙83 должно быть сомножителем в к!, что возможно при наименьшем к=83. ОТВЕТ: 83.

9. Число 7 возведено в седьмую степень. Полученное число снова возведено в седьмую степень и т.д. Возведение повторено 100 раз. Определите, какой цифрой оканчивается полученное число.

РЕШЕНИЕ: Определим, какой цифрой оканчивается 7⁷. Возводя 7 последовательно в степень и определяя только последнюю цифру степени, найдём, что последние цифры степеней семёрки от первой до седьмой будут 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3. Итак, 7⁷ оканчивается цифрой 3. Аналогично найдём(7⁷)⁷ оканчивается цифрой 7, ((7⁷)⁷)⁷ оканчивается цифрой 3. Вообще нечётное число возведений в степень даёт последнюю цифру 3, а чётное 7. Искомое число оканчивается цифрой 7. ОТВЕТ: 7.

10. Двузначное число в сумме с числом, записывающимся такими же цифрами, но в обратном порядке, в сумме даёт квадрат натурального числа. Найдите все такие числа.

РЕШЕНИЕ: 10а+в+10в+а=11(а+в), где 0≤а+в≤18. Для натурального квадрата необходимо и достаточно, чтобы а+в=11. Возможны четыре случая: а=2, в=9; а=3, в=8; а=4, в=7; а=5, в=6.

ОТВЕТ: 29 и 92, 38 и 83, 47 и 74, 56 и 65.

3. Делимость

1. Дано пятизначное натуральное число 37*86, в котором неизвестна средняя цифра, отмеченная звёздочкой. Какую цифру нужно вставить вместо звёздочки, чтобы это число нацело делилось на 11?

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11: Пусть в натуральном числе п будет обозначена сумма S₁ - сумма цифр, стоящих на чётных местах, а S₂ - сумма цифр, стоящих на нечётных местах. Число п делится на 11 тогда и только тогда, когда разность S₁-S₂ будет делиться на 11. В частности, эта разность может быть равна 0. Например: число 484 нацело делится на 11, так как (4+4)-8=0; число 872 нацело не делится на 11, так как (8+»)-7 нацело на 11 не делится; число 92939 нацело делится на 11, так как (9+9+9)-(2+3)=22, а 22 кратно 11.

2. Найдите десятизначное натуральное число, кратное 11 и состоящее из десяти различных цифр: 0, 1, 2, 3, …, 9.

3. К числу 199719971997 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 36.

4. Двузначное число записано подряд три раза. Докажите, что полученное шестизначное число делится на 3, 7, 13, 37.

ПОЛЕЗНО ПОМНИТЬ, что 1000=8∙125=2³∙5³, 1001=7∙11∙13, 243=3⁵, 343= 7³.

Степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

Степени тройки: 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683.

5. Докажите, что число 1∙3∙5∙7∙9∙11∙13∙15∙17+2∙4∙6∙8∙10∙12∙14∙16∙18 нацело делится на 1995.

Часто при решении задач на делимость натуральных чисел следует разбить все числа на классы, имеющие одни и те же остатки при делении на некоторое число. Например: при делении на 7 полезно рассмотреть семь классов чисел: 7к, 7к+1, 7к+2, 7к+3, 7к+4, 7к+5, 7к+6. Они называются классами вычетов по модулю 7. В каждом из семи возможных случаев задача решается отдельно.

6. Сколько нулей в конце числа n!? Например, у числа 328!

7. Докажите, что (а⁵ - а) делится на 5 при любом натуральном а.

Из двух последовательных натуральных чисел одно является чётным. Произведение n∙(n+1) кратно двум.

Из трёх последовательных натуральных чисел одно делится на 3. Произведение n(n+1)(n+2) кратно трём.

Из к последовательных натуральных чисел одно делится на к. Произведение n(n+1)(n+2)…(n+k-1) кратно к.

Из двух последовательных чётных чисел одно делится на 4. Произведение 2n(2n+2) кратно восьми.

8. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 6 и имеющее ровно 14 различных делителей.

9. Докажите, что при любом натуральном nчисло 7∙5²ⁿ+12∙6ⁿ делится на 19.

Часто выручают формулы разложения на множители.

aⁿ - bⁿ=(a - b)(a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+…+a²b^n-3+ab^n-2+b^n-1)

a²ⁿ⁺¹+b²ⁿ⁺¹=(a+b)(a²ⁿ-a^2n-1b+а^2n-2b²-…+a²b^2n-2-ab^2n-1+b²ⁿ)

В частности:

a³ - b³=(a - b)(a²+ab+b²)

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

a⁵ - b⁵=(a-b)(a⁴+ a³b+a²b²+ab³+b⁴)

a⁵+b⁵=(a+b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)

4. Задачи на движение

1. Экскурсия школьников на Мамаев курган, на котором гремели славные бои Сталинградской битвы, началась в 10 часов утра и закончилась в 11 часов 40 мин. Путь до скульптуры Родина-мать и обратно проходил по одному и тому же маршруту. При этом скорость движения на горизонтальных участках была 4 км/ч, в гору - 3 км/ч, а под гору - 6 км/ч. Какое расстояние прошли школьники, если во время экскурсии они стояли50 мин.

РЕШЕНИЕ: Время движения есть 100 мин - 50мин = 50 мин = 5/6 часа. Найдем среднюю скорость движения в гору и под гору, если длина участка в гору S под гору также S км. V=Sо_бщ/t_общ=2S/t_общ=2S/(t₁+t₂)=2S/(S/3+S/6)=2S/((2S+S)/6)=2S•6/3S=4(км/ч). Поэтому вообще средняя скорость движения на всем пути следования 4 км/ч. При этом пройденный путь равен 4 км/ч•5/6ч=10/3км=3 1/3км.

2. В 9 часов 15 минут в северном направлении вышел пешеход, со скоростью 4км/час. Через некоторое время из того же пункта на запад вышел другой пешеход. Найдите, через какое количество минут после выхода первого вышел второй пешеход, если в 11ч30мин расстояние между пешеходами было 9,75 км, а в 13 часов = 18,75 км.

Решение: Выполним чертёж. Через начальную точку О проведём вертикально вверх луч, соответствующий направлению на север, и горизонтально вправо луч, соответствующий направлению на запад. Пусть в 11 часов 30 минут первый находился в точке А₁, а второй - в точке В₁; а в 13 часов первый находился в точке В₂, а второй - в точке В₂.

А₂

А₁

О В₁ В₂

Пусть скорость второго пешехода будет х км/ч и на путь ОВ₁ ему понадобилось у часов, значит, ОВ₁=ху км. Первый пешеход на путь ОА₁ затратит времени 11 часов 30 минут - 9 часов 15 минут = 2 часа 15 минут = 2,25 часа. ОА₁=4•2,25км=9км. По теореме Пифагора для треугольника ОА₁В₁, зная, что 11 часов 30 минут расстояние между пешеходами было 9,75км, получаем, что х²у²+81=9,75².

Первый пешеход на путь ОА₂ затратит времени 13 часов - 9 часов 15 минут = 3 часа 45 минут = 3,75 минут. ОА₂ = 4•3,75км = 15 км. Второй пешеход на путь ОВ₂ затратит (у+1,5) часа, поскольку 13 часов - 11 часов 30 минут = 1,5 часа. ОВ₂= х (у+1,5). По теореме Пифагора для треугольника ОА₂В₂, зная, что в 13 часов расстояние между пешеходами было 18,75км, получаем, что х² (у+1,5)² + 225 = 18,75².

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Уединим неизвестные и поделим почленно обе части уравнений. Останется одно уравнение с неизвестным у. Решая его, получим у=0,75 часа.

11,5 ч - 0,75 ч = 10,75ч, 10,75 часа = 10 часов 45 минут.

10 часов 45 минут - 9 часов 15 минут = 1 час 30 минут = 90 минут. ОТВЕТ: 90 минут.

3. Из университета в институт и из института в университет вышли одновременно два неутомимых студента, которые встретились у автовокзала в 12 часов. Продолжая движение, они прибыли в свои пункты назначения соответственно в 4 часа и в 9 часов вечера. Определите, когда началось путешествие.

РЕШЕНИЕ: Пусть х км/ч и у км/ч - скорости студентов, tч - время от начала пути до встречи. Путь первого студента до встречи равен хt км, а путь второго студента до встречи равен уtкм. После встречи первый прошел уt/х =4 и хt/у=9. Перемножив эти уравнения, находим, t²=36, t=6. встреча у вокзала состоялась в 12 часов дня, поэтому славное путешествие двух студентов началось в 6 часов утра. ОТВЕТ: 6 часов утра.

4. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60км/ч, а возвращался со скоростью 80км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля.

РЕШЕНИЕ: S=2a, t₂=a/80; t₁=a/60; t₀=t₁+t₂=a/80+a/60=7a/240; v=S/t₀=2a•240/7a=480/7=68 4/7 (км/ч). ОТВЕТ: 68 4/7 км/ч.

5. Пароход из Волгограда до Астрахани плывёт трое суток, а назад - четверо. Сколько суток будет плыть плот до Волгограда до Астрахани?

РЕШЕНИЕ: Пусть плоту потребовалось на плавание х суток. Тогда за сутки он будет проходить 1/х часть пути. Пароход же проходил за сутки по течению 1/3 часть пути, против течения ¼ часть. За сутки в стоячей воде пароход проходил бы 1/3 - 1/х либо 1/4 + 1/х. Составим уравнение: 1/3 - 1/х=1/4 + 1/х. Решив его, определим, что х=24. ОТВЕТ: 24 суток.

6. Когда первый и второй спортсмены бегут по стадиону в одну сторону, то первый обгоняет второго раз в 15 минут, а когда они бегут навстречу, то встречаются один раз в 5 минут. Во сколько раз скорость первого бегуна больше скорости второго бегуна?

РЕШЕНИЕ: Пусть х м/мин - скорость первого спортсмена, у м/мин - скорость второго спортсмена, а м - длина окружности. По условию задачи составим два уравнения: 5х+5у=а, 15х - 15у=а. Приравняв левые части уравнений, получаем зависимость между переменными х и у. 15х - 15у=5х + 5у, 10х=20у, х=2у. Последнее равенство доказывает, что скорость первого бегуна в 2 раза больше скорости второго бегуна. ОТВЕТ: в 2 раза.

7. Пассажир проехал 120км, что составило 1/3 всего пути, и лёг спать. Когда проснулся, то осталось проехать 1/3 расстояния, которое он проспал. Какова длина пути, который пассажир проехал, будучи спящим?

РЕШЕНИЕ: Пусть пассажиру осталось проехать х км, когда он проснулся. Тогда 3х км он проехал спящим. 120км•2=240 км - путь после того места, когда пассажир лёг спать. Тогда 3х+х=240км, 4х=240км, х=60, 3х=3•60км, 3х=180км. ОТВЕТ: 180 км.

8. Непослушный ребёнок находится от отца на расстоянии 26 своих шагов. В то время, как он сделал 4 шага, отец успевает 3, но отец проходит за 2 своих шага столько же, сколько ребёнок за 3. Через сколько шагов отец догонит ребёнка?

РЕШЕНИЕ: d см - длина шага ребёнка 2d₁=3d, 1,5d см - длина шага отца v₀ см/с - скорость ребёнка, v₁ см/с - скорость отца, 4d/v₀=3•1,5d/v₁, v₁=9/8v₀, 9/8 v₀ см/с - скорость отца, t₀ - время движения отца и сына, 9/8 v₀t₀=26d+v₀t₀, v₀t₀=208d, S=9/8v₀t₀=9/8•208d=234d=1,5d•156. Значит, отец сделал 156 шагов. ОТВЕТ: 156 шагов.

9. Скорость катера при движении по реке против течения составляет 9/11 от скорости катера по течению. На сколько процентов скорость течения меньше скорости катера в стоячей воде?

РЕШЕНИЕ: Пусть х км/ч - скорость катера в стоячей воде, а у км/ч - скорость течения реки. По условию задачи имеем: х - у=9/11(х+у), 11х - 11у=9х + 9у, 2х=20у, х=10у. Определим, на сколько процентов скорость течения меньше скорости катера в стоячей воде. у/х=у/10у=0,1, то есть 10%. 100% - 10% = 90%. ОТВЕТ: 90%

10. Два туриста, имея один велосипед, должны за полтора часа проделать путь в 12км. На велосипеде каждый из них может развить скорость 20 км/ч, а пешком 5 км/ч. Смогут ли туристы проделать весь путь без опоздания, если на велосипеде одновременно ехать не могут? (Велосипед можно оставлять без присмотра).

РЕШЕНИЕ: Пусть первый турист проедет на велосипеде х км, а пешком пройдёт (12 - х) км. Тогда второй турист проедет на велосипеде (12 - х) км, а пешком пройдёт х км. Так как наибольший выигрыш времени получат в том случае, если в конечный пункт маршрута придут одновременно, то имеем уравнение х/20 + (12 - х)/5=х/5+(12 - х)/20, откуда х=6. Таким образом, туристы смогут проделать весь путь без опоздания, если половину пути, то есть по 6 км, каждый из них поредеет на велосипеде, а другую половину пройдёт пешком. При этом менять способ передвижения туристы могут, например, через каждые 100 м.

Лагерь «СИТИС»

Вступительная олимпиада

5 июля 2011 года

1. Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите то число.

2. У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?

3. Дима живёт в девятиэтажном доме. Он спускается на лифте со своего этажа на первый за 1 минуту. Из-за маленького роста Дима не достаёт до кнопки своего этажа. Поэтому, поднимаясь наверх, он нажимает на ту кнопку, до которой может дотянуться, а дальше идёт пешком. Весь путь наверх занимает 1 минута 10 секунд. Лифт движется вверх и вниз с одинаковой скоростью, а Дима поднимается вдвое медленнее лифта. На каком этаже живёт Дима?

4. Василиса Премудрая решила запереть Кощея в прямом коридоре, разделённом тремя проходами на четыре комнаты причём в каждом проходе, облокотившись на одну из стен, стоит толстый усталый стражник. Каждый раз, когда Кощей переходит из одной комнаты в другую, стражник переходит к противоположной стене и облокачивается на неё. Если все стражники облокотятся на одну и ту же стену, она не выдержит и рухнет, а Кощей выйдет на свободу. Может ли Василиса изначально так прислонить стражников и разместить Кощея, чтобы он никогда не смог выбраться?

5. Серёжа вырезал из картона две одинаковые фигуры. Он положил их с нахлестом на дно прямоугольного ящика. Дно оказалось полностью накрыто. В центр дна вбили гвоздь. Мог ли гвоздь проткнуть одну картонку и не проткнуть другую?

6. Вася постоял некоторое время на остановке. За это время проехал один автобус и два трамвая. Через некоторое время на эту же остановку пришёл Шпион. Пока он там сидел, проехало 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время? И автобусы, и трамваи ходят с равными интервалами, причём автобусы ходят с интервалом 1 час.

Решения вступительной олимпиады

1. Искомое число является делителем числа 208. Разложим число 2008 на простые множители: 2008=2∙2∙2∙251. Выпишем все делители числа 2008: 1, 2, 4, 8, 251, 1004, 2008. Найдя сумму цифр каждого из них, заметим, что условие задачи выполняется только для числа 251 (2008=251∙(2+5+1)).

2. Во время разговора энергия аккумулятора расходуется в 35 раз быстрее, чем в то разговора аккумулятора осталось на (6-х) часов или 35∙(6-х) часов ожидания. По условию это время равно х часов ожидания, поэтому 35∙(6-х)=х, откуда х=35∙6:36=35:6=11ч 40мин.

3. Рассмотрим ту часть пути, которую Дима вниз едет на лифте, а вверх идёт пешком. С одной стороны, путь пешком занимает вдвое больше времени, а с другой - больше на 10 секунд. Значит, эту часть пути он поехал за 10 секунд, а прошёл пешком за 20 секунд. Поскольку весь путь занимает 60 секунд, то пешком он шел 1/6 пути.

Заметим, что пешком он шёл целое промежутков между этажами. Поскольку дом девятиэтажный, пешком он шел 1 промежуток, а ехал 5. Значит, Дима живёт на седьмом этаже.

4. Пусть, например, Василиса посадила Кощея в комнату 1, а стражников прислонила так: к западной - к восточной - к западной стене. Покажем, что, как бы Кощей ни ходил, стражники никогда не будут прислоняться к одной стене. Действительно, если Кощей находится в комнате 1 или 2, то он прошел одинаковое число раз мимо охранников Б и В, а значит, они стоят, как и в начале, прислонившись к разным стенам. Аналогично, если Кощей находится в комнатах 3 и 4, то он прошёл одинаковое число раз мимо стражников А и Б, и они стоят, прислонившись к разным стенам.

5. См. решение учеников.

6. Приведем сначала пример, когда за время наблюдений Шпиона проехало четыре трамвая: пусть автобусы ходят в 9.00, 10.00, …, а трамваи ходят с интервалом 1час.58 мин - в 10.01, 11:=.59, 13.57, 15.55, 17.53, 19.51, 21.49, … Тогда Вася мог стоять с 10.01 до 11.59., а Шпион наблюдать с 12.00 до 21.00.

Докажем теперь, что за время наблюдений Шпиона не могло пройти меньше четырёх трамваев.

Для этого докажем, что интервал трамвая меньше двух часов. Действительно, если интервал составляет хотя бы два часа, то Вася стоял не менее двух часов, а значит, за это время проехало, по крайней мере два автобуса, что противоречит условию.

С другой стороны, пока Шпион наблюдал, прошло десять автобусов. Между 1-м и 3-м из них прошло 2 часа, значит, за это время проехал хотя бы один трамвай. Аналогично между 3-м и 5-м автобусом, между 5-м и 7-м и между 7-м и 9-м проехало ещё хотя бы три трамвая. Значит, Шпион увидел по крайней мере четыре трамвая.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА

12 июля 2011 года Лагерь «Ситис»

1. Может ли разность двух трёхзначных чисел, из которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, быть квадратом натурального числа?

2. Докажите, что значение 333⁵⁵⁵ + 555³³³ делится на 37.

3. Решите уравнение 10х² + у² - 6ху - 8х + 4у + 8 = 0.

4. Чашка до краёв наполнена чёрным кофе в количестве 100 мл, в кувшин налито 300 мл молока. Какое количество кофе надо вылить из чашки в кувшин и, перемешав, снова наполнить её до краёв полученной смесью, чтобы молока и кофе в чашке было поровну?

5. Путь из села в город идет сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановки в гору с одной постоянной скоростью, с горы - с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Определите, какова скорость велосипедиста при движении в гору, а также определите, какова скорость велосипедиста при движении с горы.

6. Разрежьте правильный шестиугольник на 8 равных частей.

7. Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два числа, разность которых кратна 5.

Математический бой

Лагерь «Ситис»

10 июля 2011 года

1. Таня и Оля долго пытались расставить девять чисел от 1 до 9 по окружности так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих подряд, делилась на 3 и была больше 12, но безуспешно. Можно ли так расставить числа?

2. Для полярной экспедиции из восьми претендентов: А, В, С, Д, Е, Ж, З и К надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанность биолога могут выполнять Е и З, гидролога - В и Ж, синоптика - Ж и З, радиста - С и Д, механика С и К, врача - А и Д. Хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями, в экспедиции каждый сможет выполнять только одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если Ж не сможет ехать без В, Д - без К и без С, С не может ехать одновременно с З, а А не может ехать вместе с В?

3. Каждая грань куба разделена на четыре равных квадрата, и каждый квадрат окрашен в один из трех цветов: синий, красный или зеленый так, что квадраты имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Сколько может быть синих, красных и зеленых квадратов?

4. В стране Цифра есть девять городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 . Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?

5. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью?

6. Имеется неограниченное число фишек шести цветов. Какое наименьшее число фишек нужно расположить в ряд так, чтобы для любых двух различных цветов в ряду нашлись две соседние фишки этих цветов?

7. В парке растет 18 дубов с одинаковым количеством желудей. Подул ветер и с дубов посыпались желуди: с одних дубов - ровно половина, с других - треть, а со всех остальных - ни одного желудя. При этом со всех дубов вместе упало ровно 1/9 всех желудей. С какого количества дубов желуди не упали?

8. На диагонали ВD квадрата ABCD взяты точки Е и F так, что прямая AE пересекает сторону BC в точке M, прямаяAF пересекает сторону CD в точке N и CM=CN. Найдите длину диагонали квадрата, если BE=3, EF=4.

9. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

10. Докажите, что 11⁶ + 15⁶ - 13³ кратно 10.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРУСЕЛЬ

Лагерь «Ситис» 7 июля

Задачи ИСХОДНОГО РУБЕЖА

1. Двое сообща хотели купить дом, у одного было только , а у другого той суммы, которую с них просили; когда же они сложили свои деньги, то увидели, что у них недостает 1680 руб. Сколько стоит дом?

2. Часы уходили вперед на 15 секунд в сутки, их поставили верно в полночь с 26 по 27 февраля 1912 года. Сколько они показывали в полночь с 1 по 2 июня того же года?

3. Торговец запросил за аршин сукна некоторую цену, но уступил из этой цены 10%, причем все-таки нажил 8%. Сколько % нажил бы торговец, продав сукно по запрошенной цене (аршин - старинная русская мера длины)?

4. На фабрике работало 8 мужчин, несколько женщин и 12 человек детей. Мужчины получали по 1 руб. 50 коп. в день, женщины по 90 коп., дети по 65 коп. За работу с понедельника до субботы включительно фабрикант заплатил всем рабочим 167 руб. 40 коп. Сколько было женщин?

5. 240 орехов разложить на 2 кучки так, чтобы в одной было столько пятков, сколько в другой десятков. Сколько орехов будет в каждой кучке?

6. Некто на 937 руб. купил сани, лошадь и карету; за карету он заплатил вдвое больше, чем за лошадь, а за лошадь втрое больше, чем за сани, и у него осталось еще 187 руб. Сколько он заплатил за лошадь, за сани и за карету?

7. Одному брату на 9 лет больше, чем другому. Когда старшему было столько, сколько сейчас младшему, младшему было вдвое меньше, чем сейчас старшему. Сколько лет каждому брату в настоящее время?

8. Если неизвестное число разделить на 12 и частное сложить с делимым и делителем, то получим 38. Найти число.

9. Некто купил три книги: за первую заплатил бывших при нем денег, за вторую остатка, за третью нового остатка; у него осталось 1 руб. 92 коп. Сколько стоит каждая книга?

10. Крестьянка принесла на рынок корзинку с яйцами, которые она предполагала продавать по 16 коп. за десяток, но, ставя корзинку, она разбила 15 яиц и, рассчитавши снова, нашла, что она может получить столько же денег, сколько получила бы прежде за все яйца, если оставшиеся будет продавать по 2 коп. за штуку. Сколько она принесла яиц?

11. Если неизвестное число разделить на 9 и частное сложить с делимым и делителем, то получим 899. Найти число.

12. Лошадь и сани стоят вместе 420 рублей. Цена лошади в 20 раз больше десятой доли цены саней. Сколько стоит лошадь и сколько сани?

13. Если к моим деньгам прибавить 2 рубля, то у меня будет столько, сколько у моего брата; если же прибавить 14 рублей, то у меня будет в раза больше, чем у брата. Сколько денег у каждого из нас?

14. Армия в 46800 человек состоит из 4 отрядов, в отряде 5 полков, в полку 3 батальона, в батальоне 4 роты. Сколько человек в роте?

15. Брат мой имеет денег в 3 раза больше, чем у меня. Но если он отдаст 850 рублей, а отдам 50 рублей, то у нас будет поровну. Сколько денег у него и у меня?

16. Офицер рассчитывал, что если он выедет из Москвы 5 июня и будет ехать по 135 верст в сутки, то приедет в назначенный ему город 18-го. Но он выехал только 9 июня. Сколько верст нужно ему проезжать в сутки, чтобы прибыть в назначенный город к сроку? (Верста - старинная мера длины)

17. На конном заводе запасено сена на 40 недель для 36 лошадей из расчета 25 фунтов в сутки каждой лошади. Продали 9 лошадей и четвертую часть сена. Поэтому стали давать каждой лошади по половине пуда сена в сутки. На сколько времени хватит сена? (Пуд и фунт - мера веса. В одном пуде 40 фунтов)

18. 8 писарей за 6 дней, работая ежедневно по 10 часов, переписали сочинение в 1440 листов. По сколько часов в день должны заниматься 15 писарей, чтобы за 8 дней переписать 1800 листов?

19. В пятиклассном училище 182 ученика; число учеников 5 класса равно разности между числом всех учеников и суммой всех целых чисел от 1 до 17 включительно; число учеников 4 класса равно сумме цифр числа 2690080362; число учеников 3 класса получим, отняв четыре раза 289 от 1198; в первом классе на 44 ученика меньше, чем 3-м и 4-м классах вместе. Сколько учеников во 2 классе?

20. Послан человек из Коломны в Вологду, и велено ему проходить в день по 40 верст. На другой день вслед за ним послан другой человек и велено ему проходить в день по 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого? (Верста - старинная мера длины).

21. Помещик, рассчитав, что корова стоит в 4 раза дороже собаки, а лошадь в 4 раза дороже коровы, захватил с собой в город 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, две коровы и лошадь. Сколько стоит каждое из купленных животных?

22. . Циферблат часов разделите двумя прямыми так, чтобы в каждой части была бы одинаковая сумма чисел.

23. 14 человек делят большой пирог. Первый берет себе часть пирога, второй - часть оставшегося. Эти двое с трудом съели свои порции, остальные решили разделить остаток пирога поровну. Какая часть пирога досталась каждому из них?

24. У 35-летнего отца 4 сына. Каждый моложе другого на два года, причем старшему сыну 8 лет. Когда всем детям будет столько лет, сколько отцу?

ОТВЕТЫ

1.12600 рублей

2.24 минуты первого

3. 20%

4. 9 женщин

5. 80 и 160

6. 75 рублей, 225 рублей, 150 рублей

7. 36 лет и 27 лет

8. 24

9. 105 рублей, 360 рублей, 288 рублей

10. 75

11. 801

12. 280 рублей, 140 рублей

13. 6 и 8

14.195

15. 1200 и 400

16. 195

17. 350

18. 5

19. 41

20. 8 дней

21. 8р, 32р, 128 р.

22. См. рисунок

23. 1/18

24. 40 лет

ЗАДАЧИ ЗАЧЁТНОГО РУБЕЖА

1. Один косец может скосить луг в дня, а другой в дня. Во сколько времени будет скошен луг, если будут косить оба косца?

2. Два брата получили 12125 рублей. Когда старший истратил , а младший доставшейся каждому из них доли, то у них осталось поровну. Сколько получил каждый?

3. Отец дал сыну решить 12 задач, и за каждую задачу, решенную верно, обещал платить по 24 коп; а за каждую неверно решенную задачу сын должен был платить отцу по 15 коп. При расчете сын заплатил 24 коп. Сколько задач было решено правильно?

4. Вычислите значение выражения:

5. Из города А выехал 28 февраля 1905 года в 7 часов вечера путешественник и ехал по направлению к городу В; в тот же день в 11 часов вечера из В выехал другой путешественник навстречу первому; первый проезжал в час 10,15 верст, а второй 8,7 верст; от А до В 229,1 верст. Когда путешественники встретятся?

6. Пол комнаты, имеющей 5 м 28 см длины и 4 м 30 см ширины, покрыт квадратными черепицами, сторона каждой из них равна 12 см. Цемент между черепицами занимает 1 кв. метр 1040 кв. см. Определить число черепиц.

7. 30 октября утром в половине десятого минутную стрелку часов подвинули назад на 8 мин. Вследствие этого часы 2 ноября ночью показывали верно половину второго. На сколько минут в сутки часы уходили вперед?

8. Отцу лет, лета его относятся к летам сына как . Сколько лет сыну?

9. А и В выехали одновременно навстречу друг другу из городов С и D, расстояние между которыми 150 верст. Встретились они в 9 ч утра, причем А проехал на 30 верст больше, чем В. Затем поехали с прежней скоростью, и А приехал в D в час дня. Когда приехал В в С?

10. Три брата пришли на постоялый двор и попросили себе картофелю; пока хозяйка варила картофель, все они заснули; через час проснулся старший брат и, увидев на столе картофель, съел свою долю и опять заснул; через некоторое время проснулся второй и, не зная, что старший брат уже ел картофель, тоже съел свою долю и заснул; наконец проснулся младший и сделал то же, что и старшие братья. Когда старший опять проснулся, то разбудил своих братьев, и тогда все объяснилось; оставшиеся 24 картофелины поделили между собой средний и младший братья. Сколько штук картофеля подала хозяйка и сколько из оставшихся 24 штук взяли себе средний и младший братья?

11. Я втрое моложе отца и вдвое моложе матери, а если сложить числа лет отца, матери, мои и моей сестры, которой 4 года, то выйдет число, три пятых которого составляют 60. Сколько лет мне, моему отцу и матери?

12. Три писаря переписали 156 страниц. Первый писал 4 ч 20 мин, второй - ч, третий - 5 ч. Сколько страниц написал каждый?

13. 10 работников должны были окончить работу за 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым окончить работу через 3 дня. Сколько нужно еще нанять рабочих?

14. Помещик завещал 26700 рублей двум своим дочерям и сыну с тем, чтобы часть старшей дочери равнялась части младшей дочери, сын же получил бы того, что назначалось младшей дочери. До раздела наследства сын умер, и его часть перешла к сестрам. Как должны сестры разделить эту часть, чтобы исполнить волю отца?

15. Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дядя ответил: «Если к половине моих лет прибавить 7, то узнаешь мой возраст 13 лет тому назад». Сколько лет дяде?

16. Петя и Коля играли в шашки. Петя задумался над своим ходом, а Коля от скуки сосчитал, что на доске (состоящей из 64 клеток) пустых клеток втрое больше, чем занятых, и что у него двумя шашками больше, чем у Пети. Сколько шашек было у каждого из них в этот момент?

17. Из двух городов, расстояние между которыми 330,66 верст, одновременно выезжают два велосипедиста и мчатся навстречу друг другу, один со скоростью 50,7 верст в час, другой - 49,5 верст в час. В момент отправления первого велосипедиста с ним вылетает муха и летит тоже навстречу второму велосипедисту со скоростью 100 верст в час. Встретив велосипедиста, муха тотчас поворачивает назад и летит навстречу первому. Повстречав того, она (с той же скоростью) летит обратно, пока не встретит снова второго велосипедиста. И так муха летает от одного велосипедиста к другому до тех пор, пока велосипедисты не встречаются. Сколько верст успела пролететь муха до встречи велосипедистов?

18. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса?

19. Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом и вдруг собака увидела зайца. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков? (Скачки делаются одновременно и зайцем, и собакой).

20. Два крестьянина Петр и Иван пришли покупать избу, за которую хозяин просил 38 рублей. Ни у того, ни у другого таких денег не было. Тогда Петр сказал: Ивану: «Если бы ты дал своих денег, то я смог бы купить избу». Иван возразил на это: «Лучше ты дай мне своих денег и тогда я смогу сделать эту покупку». Сколько денег было у каждого из крестьян?

21. Две женщины варили кашу. Одна дала 2 фунта крупы, другая - 3 фунта. Только сварилась каша, как пришли еще две работницы. Все четыре женщины сели за стол и съели всю кашу. По окончании еды каждая из пришедших женщин уплатила по 5 копеек. Как должны женщины разделить полученные деньги, если все ели поровну? (Фунт - старинная мера веса).

22. В ларьке было 2 корзины с грушами, в каждой по 150 штук. Из первой корзины груши должны были продаваться по рублю за десяток, а из второй - по рублю за полтора десятка. Продавец смешал груши из обеих корзин. По какой цене он должен продавать груши, чтобы получить ту же выручку?

23. Имея полный бак топлива, рыбак может проплыть на моторной лодке 20 км против течения, или 30 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может отплыть по реке при условии, что топлива должно хватить и на обратный путь?

24. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

ОТВЕТЫ

1. За 1 3/7 дня

2. 6125 рублей и 6000 рублей

3. 4

4. 3/16

5. В 9часов утра 1 марта 1905 года

6. 1500

7. 3

8. 22

9. В 6ч вечера

10. 81; 9; 15

11. 16; 48; 32

12. 52; 44: 60

13. 10

14. 1960, 2240

15. 40 лет

16. 7 и 9

17. 330 верст

18. 16 косцов

19.240

20. 25 1/3 руб, 19 руб

21. 3 коп и 7 коп

22. 5/6 рубля за десяток

23. 12 км

24. 8 косцов

ТУРНИР АРХИМЕДА

Личный этап

1. (3 балла) Электронные часы показывают время от 00-00-00 до 23-59-59. Во время личного тура Весеннего Турнира Архимеда, т.е. с 10-00-00 до 11-00-00, их сфотографировали дважды. Могло ли получиться так, что на этих двух фотографиях присутствуют все цифры?

РЕШЕНИЕ: Да, например, 10-48-59 и 10-26-37.

2. (4 балла) Буратино посадил на Поле Чудес золотую, серебряную и медную монеты. Из каждой монеты ночью вырастает дерево, которое даёт только один урожай. На «золотом» дереве созревают ровно 2 золотые монеты, на «серебряном» - ровно 3 серебряные, а на «медном» - ровно 4 медные. Буратино решил, что каждый день он будет собирать все монеты одного вида (или все золотые, или все серебряные, или все медные) и сажать заново. Может ли получиться так, что в какой-нибудь день количество золотых и серебряных мнет вместе будет равно количеству медных монет?

РЕШЕНИЕ: Количество золотых монет всегда чётно, количество медных монет всегда четно, а количество серебряных - нечётно. Сумма чётного и нечётного чисел - нечётна, следовательно, количество золотых и серебряных монет вместе никогда не будет равно количеству медных.

3. (5 баллов) Найдите наименьшее четырехзначное число такое, что произведение его цифр, увеличенных на единицу, равно 27. Ответ объясните.

РЕШЕНИЕ: 27 можно разложить на 4 множителя тремя следующими способами:

1. 1∙1∙1∙27. Тогда цифры исходного числа: 0; 0; 0 и 26. Но 26 - не цифра.

2. 1∙1∙3∙9. Тогда цифры исходного числа: 0; 0; 2 и 8. Наименьшее четырёхзначное число (Четырёхзначное число не может начинаться с 0), составленное из этих цифр, - 2008.

3. 1∙3∙3∙3. Тогда цифры исходного числа: 0; 2; 2 и 2. Наименьшее четырёхзначное число, составленное из этих цифр, - 2022.

Следовательно, наименьшее возможное четырёхзначное число - 2008. ОТВЕТ: 2008

4. (5 баллов) Винтику и Шпунтику дали два сосуда. Один из них - пятилитровый, а про другой ему сказали, что в нём помещается то ли 8, то ли 9 литров. У них есть неограниченное количество воды. Как определить вместимость второго сосуда?

РЕШЕНИЕ: Можно поступить так: налить полностью пятилитровый сосуд и перелить из него воду во второй сосуд. Снова наполнить 5-литровый сосуд, долить из него воду во второй сосуд, пока он не станет полным. Вылить воду из второго сосуда и долить в него остатки воды из 5-литрового. Опять наполнить пятилитровый и так повторить несколько раз. Если после того, как мы перелили 5 пятилитровых сосудов, второй сосуд оказался полным 3 раза, то он - 8-литровый, а если только 2 раза, то он - 9 литровый.

5. (6 баллов) В клетчатом квадрате 8х8 закрасьте наименьшее число клеток так, чтобы в оставшуюся часть нельзя было поместить четырёхклетчатую фигуру типа Г.

РЕШЕНИЕ: Например, смотри рисунок.

6. (7 баллов) В некоторой стране живут Рыцари, которые всегда говорят правду, Лжецы, которые всегда врут, и Фантазёры, которые могут и солгать, и сказать правду, но никогда не врут два раза подряд и никогда не говорят правду два раза подряд. Как-то встретились трое жителей. Первый сказал: «Я - рыцарь». Второй сказал: «Я - лжец». Третий сказал: «Я - фантазёр». После этого первый сказал: «Третий лжёт», а второй сказал: «Первый солгал оба раза». Определите, кем является каждый из них?

РЕШЕНИЕ: Рыцарь не мог сказать: «Я - фантазёр», следовательно, третий или лжец, или фантазёр. «Я - лжец» может сказать только фантазёр, так как рыцарь скажет: «Я - рыцарь», а лжец скажет или «Я - рыцарь», или «Я - фантазёр». Поэтому, второй - фантазёр который солгал, следовательно, его второе высказывание - правда. То есть первый солгал оба раза, следовательно, он - лжец. А так как он солгал, сказав: «Третий лжёт», то третий сказал правду, и он - фантазёр. ОТВЕТ: 1-й - лжец, 2-й и 3-й - фантазёры.