Различные методы решения иррациональных уравнений с параметрами

Различные методы решения иррациональных уравнений

с параметрами

Методы решения иррациональных уравнений с параметрами.

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами.

Далее в работе различные способы решения иррациональных уравнений с параметрами будем разбирать на конкретных примерах.

Способ 1.

Решить уравнение

х - = 1 (1)

Решение:

Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

= х - 1 (2)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

2 х² - 2х + (1 - а) = 0, D = 2а - 1.

Особое значение: а = 0,5.

Отсюда:

1. при а > 0,5 х_1,2 = 0,5 (1 ± );

2. при а = 0,5 х = 0,5;

3. при а <0,5 уравнение не имеет решений.

Проверка:

1. при подстановке х = 0,5 в уравнение (2), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х=0,5 не является решением (2) и уравнения (1).

2. при подстановке х₁ = 0,5 ( 1 ± ) в (2) получим:

-0,5 (1 + ) = - ( 0,5 ( 1 - ))²

Так как левая часть равенства отрицательна, то х₁ не удовлетворяет исходному уравнению.

3. Подставим х₂ в уравнение (2):

=

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенство при условии, что

Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х₂ может быть корнем уравнения (1) при а > 0,5, следовательно, х₂ - корень уравнения при а ≥1.

Способ 2.

;

;

;

;

;

Изобразим график:

;

Ответ:

• Если , то нет решений;

• Если , то

• Если , то ;

• Если , то 1 - решение.

Способ 3.

= 2x - 1

x₁ =

x₂ =

Рассмотрим функцию f(x)=4x²-8x+1-a

X_в=1

уравнение имеет 2корня.

уравнение имеет 1 корень.

3. D<0 уравнение не имеет корней.

Ответ:

• Если a<-3 уравнение не имеет корней;

• Если a=3 или a-2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = ;

• Если -3 < a < -2 уравнение имеет 2 корня:

X₁=;

X₂=.

Способ 4.

= 2x - 1

4х+а = (2х-1)²

Х ≥ ½

4х²-8х+(1-а) = 0

Х ≥ ½

D/4 = 16 - 4(1 - а) = 16 - 4 + 4а

D/4 =4(3 + а)

• Если а < -3, то D < 0, уравнение не имеет решений.

• Если а = -3, то D = 0.

х₁ = х₂ = 4/4 = 1

• Если а > -3, то D >0.

х₁ = ½( 2 - );

х₂ = ½( 2 + ).

• Система имеет два решения:

½( 2 + ) ≥ ½

а > -3

а > -3

≤ 1

2 ≤ а <3

• Единственное решение, если

х₁ < ½ и х₂ ≥ ½

½( 2 - ) < ½

½( 2 + ) ≥ ½

> 1

≥ -1

а > -2

а ≥ -3

а > -2

Ответ:

• Если a<-3 уравнение не имеет корней;

• Если a=3 или a-2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = ;

• Если -3 < a < -2 уравнение имеет 2 корня:

X₁=;

X₂=.