Статья: Исторические аспекты возникновения и развития алгебры

ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ АЛГЕБРЫ

Аннотация

В статье рассматриваются исторические аспекты возникновения алгебры, приводятся примеры практических задач из папируса Кахуна и их решения с помощью уравнений. Предложенный материал может применяться на уроках с целью формирования и развития познавательного интереса учащихся к предмету.

Ключевые слова

История возникновения алгебры, решение уравнений в древности

Если спросить выпускников старшей школы, чему их учили на уроках алгебры, то в ответ, скорее всего, услышите «Решали уравнения». Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий - решать уравнения. Но форма, в которой излагались алгебраические результаты, менялись до неузнаваемости.

Как же возникла алгебра?

Например, древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. До нас дошли папирусы, в которых решаются задачи практического содержания: вычисляются площади земельных участков, объемы сосудов, количество зерна и т.д. Приведем в качестве примера задачу из папируса Кахуна (ок. XVIII-XVI в. До н.э.), в современных обозначениях: «Найди два числа x и y, для которых и ». В папирусе она решена методом «ложного положения»: если положить x=1,то . Но по условию задачи , и это значит что в качестве x надо брать не 1, а . Тогда y=6.

Значительные успехи в развитии алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. Там решались уравнения первой, второй и третей степени. Все задачи и их решения излагались в словестной форме. Рассмотрим задачу из клинописных табличек: «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870». В данной задаче идет речь о квадратном уравнении .

Решение его в табличке представлено следующим образом:

«Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1, это. Умножаешь на , это . Ты складываешь с 870, и это есть , что является квадратом для . Ты складываешь , которую ты умножал, с , получаешь 30, сторона квадрата». Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления. Запишем задачу в привычных нам обозначениях: [1].

Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. После того, как были открыты несоизмеримые отрезки, у древних греков вся математика приобрела геометрическую форму. Утверждения и доказательства принимались, если только были даны на геометрическом языке. Например, формула квадрата суммы , в «Началах» Евклида формулируется так: «Если отрезок AB разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ».

Геометрический путь был гениальной находкой античных математиков, но он задерживал развитие алгебры. Потому что геометрически можно выразить только первые степени, квадраты, кубы, но ни как высшие степени неизвестных.

Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. Арабские математики сначала изучали труды древнегреческих авторов и достижения индийских ученых.

В работах узбекского ученого ал-Хорезми, а именно в арифметическом трактате изложено «индийское исчисление», что привело арабов к десятичной системе счисления. Наиболее значительным является его трактат «Краткая книга о восполнении и противопоставлении» по алгебре. Здесь он впервые разработал правила преобразования уравнений. Уравнения были с числовыми коэффициентами и выражались в словестной форме. На конкретных примерах он показывал способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. Арабы пока не рассматривали отрицательных чисел, поэтому уравнения вида и относились к разным типам. Другие уравнения должны были быть преобразованы к одному из рассмотренных с помощью двух операций: 1) восполнение - перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть; 2) противопоставление - приведение подобных членов. Долгое время трактат «Краткая книга о восполнении и противопоставлении» оставался основным по алгебре. Арабское название выполнения операции «ал-джебр» дало название области математики, связанной с искусством решения уравнений [1].

За ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские ученые. В XI в. поэт, астроном и математик Омар Хайям описал геометрическое решение уравнений третьей степени. Занимался кубическими уравнениями арабский энциклопедист ал-Бируни. В XV в. в Самаркандской обсерватории работал математик и астроном ал-Каши, который изучал уравнения четвертой степени. Корни уравнений третьей и четвертой степеней строились при помощи пересечения парабол, гипербол, окружностей. Но арабов интересовало и численное значение корней. Многие ученые потерпели неудачу при нахождении корней кубического уравнения.

Это только истоки алгебры, которые показывают нам, что зная историю, решение уравнений приобретает совсем другой смысл. Вкрапляя на уроках элементы истории алгебры, мы развиваем познавательный интерес учащихся к решению уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики 10-11 класс. Москва: Просвещение, 2000.

2. Вопросы организации творческой деятельности учащихся в процессе изучения математики: Методические рекомендации и дидактические материалы/ Под.ред. И.Н. Семеновой. УрГПУ,Е, 2012