Статья: Задачи с параметрами

В статье: "Задачи с параметрами"предлагается подборка задач с параметрами, которые могут быть использованы учителямидля дифференцированной работы с учениками различного уровня подготовки. Представленные решения могут служить основой для решения разнообразного типа других задач. Цель предлагаемой статьи состоит в том, чтобы помочь желающим научиться решать задачи с параметрами. Важно помнить, что при решении задач с параметрами надо производить несложные, но последовательные рассуждения, составля...

Раздел	Математика
Класс	-
Тип	Другие методич. материалы
Автор	Ахметова Г.З.
Дата	24.12.2014
Формат	docx
Изображения	Есть

Поделитесь с коллегами:

Статья: Задачи с параметрами Знакомство с параметром

Ахметова Галия Зейнуллаевна

преподаватель РСФМШИ

Известно, что в программах математики для неспециализированных школ задачам с параметром отводится незначительное место. Поэтому, в первую очередь, рассмотрим задачи, в которых всеобще присутствует сама идея параметра.

С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим в качестве примеров следующие:

-функция прямая пропорциональность: Статья: Задачи с параметрами ( переменные,параметр, );

-линейное уравнение: Статья: Задачи с параметрами ( переменная,параметры);

-квадратное уравнение: Статья: Задачи с параметрами ( переменная,параметры, );

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Но это многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственный характер. Во-первых, предполагаемая неизвестность позволяет обращаться параметром как с числом, во-вторых, степень свободы обращения ограничивается его неизвестностью.

При первом знакомстве с параметром - это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относится: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.

Рассмотрим следующие примеры:

Сравнить

Решение: Если Статья: Задачи с параметрами ,то

Если Статья: Задачи с параметрами ,то

Решить уравнение: .

Решение: 1) Статья: Задачи с параметрами ,уравнение примет вид ,и не имеет решений;

2) Статья: Задачи с параметрами ,получаем ,и x - любое число;

3) Статья: Задачи с параметрами ,имеем .

Ответ: Если Статья: Задачи с параметрами ,то x - любое;

Статья: Задачи с параметрами , то нет решений;

Статья: Задачи с параметрами ,то .

Решить неравенство .

Решение: Рассмотрим три случая: Статья: Задачи с параметрами

Ответ: Если Статья: Задачи с параметрами ,то ;

Статья: Задачи с параметрами ,то - любое;

Статья: Задачи с параметрами ,то .

Решить уравнение: .

Решение: Это уравнение равносильно системе Статья: Задачи с параметрами

При Статья: Задачи с параметрами второе уравнение системы, а значит, и сама система, имеет единственное решение х=1. Если а=0, то из II-го уравнения получим, что х - любое. Система имеет два решения: х=1 или х=-1.

Ответ: Если Статья: Задачи с параметрами ,то ;

Если Статья: Задачи с параметрами ,то .

Решить уравнение .

Решение: Статья: Задачи с параметрами - единственный корень;

Статья: Задачи с параметрами , значит.

Ответ: Если Статья: Задачи с параметрами ,то x=a;

Если Статья: Задачи с параметрами , то нет решений.

Решить неравенство:

Решение: Ответ зависит от знака двучлена a-1. ОДЗ: Статья: Задачи с параметрами .

При Статья: Задачи с параметрами , то . При a>1, то левая часть неравенства неотрицательна, поэтому в этом случае x=0.

Ответ: Если Статья: Задачи с параметрами ,то x 0,

Если Статья: Задачи с параметрами , то .

Решить уравнение:

Решение: Данное уравнение равносильно системе

Статья: Задачи с параметрами x=a, a- любое число; x=1, при a.

Ответ: Если Статья: Задачи с параметрами ,то или x=1;

Если Статья: Задачи с параметрами ,то =1;

Если Статья: Задачи с параметрами ,то .

Из этих примеров можно видеть, что во-первых, искомые значения x выступали как зависимая переменная, а параметр независимый. Поэтому решение зависит от определяемых значений параметра. Во-вторых, не ясно, повлияет ли присутствие параметра на ход решения.

Теперь рассмотрим задачи, где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество действительных чисел и др.

Примеры:

1.При каких a неравенство Статья: Задачи с параметрами имеет единственное решение?

Решение: При Статья: Задачи с параметрами получим , имеющее единственное решение. Если , решением неравенства будет отрезок.

Ответ: Статья: Задачи с параметрами .

2.При каких а уравнение Статья: Задачи с параметрами имеет единственное решение?

Решение: В этом случае не обязательно считать данное уравнение уранвение только квадратным.

а) а=0, то х=3.

б) если Статья: Задачи с параметрами , то имеем дело с квадратным уравнение. Его дискриминант D=1-12a.

Статья: Задачи с параметрами , то уравнение имеет единственное решение.

Ответ: Статья: Задачи с параметрами или .

3. При каких Статья: Задачи с параметрами уравнение имеет единственное решение?

Решение: Если Статья: Задачи с параметрами , уравнение не имеет решений;

б Статья: Задачи с параметрами ,то данное уравнение квадратное и искомые значения параметра - корни дискриминант.

D= Статья: Задачи с параметрами

Статья: Задачи с параметрами ;

Статья: Задачи с параметрами . Так как не подходит, то .

Ответ: Статья: Задачи с параметрами .

4. При каких Статья: Задачи с параметрами уравнение имеет более одного корня?

Решение: Статья: Задачи с параметрами При уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию;

б Статья: Задачи с параметрами при , квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант - положительный. Отсюда получаем . В этот промежуток входит число 0, которое не удовлетворяет условию.

Ответ: Статья: Задачи с параметрами или .

5. При каких Статья: Задачи с параметрами уравнение имеет более одного корня?

Статья: Задачи с параметрами при , уравнение имеет единственное решение , при , решением уравнения является действительное число.

б Статья: Задачи с параметрами при u разделив обе части на , получим квадратное уравнение , при . Из промежутка надо исключить точку и включить .

Ответ: Статья: Задачи с параметрами , или или .

6. При каких Статья: Задачи с параметрами уравнение имеет единственное решение?

Решение: Данное уравнение равносильно системе Статья: Задачи с параметрами

Имеем из 1-го уравнения Статья: Задачи с параметрами , , если , - корень уравнения при , причем при таком значении второй корень квадратного уравнения отличен от -3.