- Преподавателю
- Математика
- Решение неравеств методом интервалов
Решение неравеств методом интервалов
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Балабанова С.Я. |
Дата | 20.11.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
г. Аксу, Павлодарская область
Решение неравенств методом интервалов
Балабанова С.Я., учитель математики, СШ №7
Решение неравенств методом интервалов
В школьном курсе изучаются следующие способы решения неравенств: -приведение к общему основанию ( для показательных и логарифмических неравенств);
-разложение на множители;
-замена переменной;
-метод интервалов.
Готовясь к ЕНТ в 11 классе, выпускники готовы к овладению более
рациональными способами решения сложных неравенств.
В денной статье предложено применение метода интервалов к решению некоторых видов неравенств (простейшие преобразования неравенств опущены).
В основе этого метода лежит теорема:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке и не обращается в ноль на открытом промежутке , то f(x) имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка .
Данный метод удобно применять и к неравенствам, содержащие тригонометрические, показательные, логарифмические функции, а так же неравенства с модулем.
-
Тригонометрические неравенства.
Алгоритм решения тригонометрических неравенств:
-
Преобразовать к виду f(x) =0;
-
Определить нули и точки разрыва функции f(x);
-
Расставить на единичной окружности найденные точки;
-
Провести из токи хk непрерывную плавную линию так, чтобы она пересекала окружность и вернулась в точку хk;
-
Методом пробной точки определить знаки функции f(x) на каждом промежутке;
-
Записать ответ.
Пример: Решите неравенcтво cos3x+cosx0.
Преобразуем неравенство к виду: 2cos2x cosx.
Решим уравнение 2cos2x cosx =0. Оно равносильно совокупности уравнений: . Решение первого уравнения: x1=+. При n=0;1;2;3 х1=;(при остальных значениях n точки будут повторяться).
Решение второго уравнения: x2+. При n =0; 1 х2= ; (при остальных значениях n точки будут повторяться).
Определим знаки функции на интервалах:
+
+
+
Решению неравенства соответствуют интервалы со знаком «+». Следует заметить, что на интервале со стрелкой нарушен переход от меньшего к большему, в этом случае можно к числу прибавить .
Ответ: ,n.
-
Неравенства, содержащие сложную экспоненту.
а(х)f(х) а(х)g(х). Используем правило: 1.Знак разности совпадает со знаком произведения в ОДЗ.
Доказательство:
-
Если a, то , значит .
-
Если 0, то , значит
Пусть с=e, воспользуемся определением сложной экспоненты, данное неравенство примет вид : ⇔
Преимущество этого метода в том, что мы получили систему неравенств, которую можно решить методом интервалов.
Пример: Решите неравенство: .
Решение: ⇔⇔
⇔.
Ответ:.
-
Логарифмические неравенства.
Рассмотрим логарифмические неравенства с переменным основанием:
Для решения данного вида неравенств применяется правило:
2.Знак разности совпадает со знаком произведения в ОДЗ.
Пример: Решить неравенство:
.
Решение:
Найдем ОДЗ: ⇔.
Применяя правило(2), составим и решим методом интервалов неравенство: ,
Нули функции: х=; ; ;.
Решение неравенства: х.
Учитывая ОДЗ, запишем решение данного логарифмического неравенства: х.
Ответ: х.
-
Неравенство с модулем.
Рассмотрим неравенство
Для решения неравенства применим правило:
3.Знак выражения совпадает со знаком произведения:.
Пример: .
Решение:
Применяя правило (3) и метод интервалов, имеем: ⇔ ⇔ ⇔х.
Ответ: х.