Решение неравеств методом интервалов

В школьном курсе изучаются следующие способы решения неравенств:                                          -приведение к общему основанию ( для показательных и логарифмических неравенств); -разложение на множители; -замена переменной; -метод интервалов. Готовясь к ЕНТ в 11 классе, выпускники готовы к овладению более рациональными способами решения сложных неравенств. В денной статье предложено применение метода интервалов к решению некоторых видов неравенств (простейшие преобразования неравенств...
Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Решение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интервалов

г. Аксу, Павлодарская область









Решение неравенств методом интервалов

















Балабанова С.Я., учитель математики, СШ №7

Решение неравенств методом интервалов

В школьном курсе изучаются следующие способы решения неравенств: -приведение к общему основанию ( для показательных и логарифмических неравенств);

-разложение на множители;

-замена переменной;

-метод интервалов.

Готовясь к ЕНТ в 11 классе, выпускники готовы к овладению более

рациональными способами решения сложных неравенств.

В денной статье предложено применение метода интервалов к решению некоторых видов неравенств (простейшие преобразования неравенств опущены).

В основе этого метода лежит теорема:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке Решение неравеств методом интервалов и не обращается в ноль на открытом промежутке Решение неравеств методом интервалов, то f(x) имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка Решение неравеств методом интервалов.

Данный метод удобно применять и к неравенствам, содержащие тригонометрические, показательные, логарифмические функции, а так же неравенства с модулем.

  1. Тригонометрические неравенства.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств:

  1. Преобразовать к виду f(x) =0;

  2. Определить нули и точки разрыва функции f(x);

  3. Расставить на единичной окружности найденные точки;

  4. Провести из токи хk непрерывную плавную линию так, чтобы она пересекала окружность и вернулась в точку хk;

  5. Методом пробной точки определить знаки функции f(x) на каждом промежутке;

  6. Записать ответ.

Пример: Решите неравенcтво cos3x+cosxРешение неравеств методом интервалов0.

Преобразуем неравенство к виду: 2cos2x cosxРешение неравеств методом интервалов.

Решим уравнение 2cos2x cosx =0. Оно равносильно совокупности уравнений: Решение неравеств методом интервалов. Решение первого уравнения: x1=Решение неравеств методом интервалов+Решение неравеств методом интервалов. При n=0;1;2;3 х1=Решение неравеств методом интервалов;Решение неравеств методом интервалов(при остальных значениях n точки будут повторяться).

Решение второго уравнения: x2Решение неравеств методом интервалов+Решение неравеств методом интервалов. При n =0; 1 х2= Решение неравеств методом интервалов;Решение неравеств методом интервалов (при остальных значениях n точки будут повторяться).

Определим знаки функции на интервалах:

Решение неравеств методом интервалов

Решение неравеств методом интервалов

Решение неравеств методом интервалов

Решение неравеств методом интервалов

Решение неравеств методом интервалов

Решение неравеств методом интервалов+



+

+

Решению неравенства соответствуют интервалы со знаком «+». Следует заметить, что на интервале со стрелкой нарушен переход от меньшего к большему, в этом случае можно к числу Решение неравеств методом интервалов прибавить Решение неравеств методом интервалов.

Ответ: Решение неравеств методом интервалов,nРешение неравеств методом интервалов.

  1. Неравенства, содержащие сложную экспоненту.

а(х)f(х) Решение неравеств методом интервалов а(х)g(х). Используем правило: 1.Знак разности Решение неравеств методом интервалов совпадает со знаком произведения Решение неравеств методом интервалов в ОДЗ.

Доказательство:

  1. Если aРешение неравеств методом интервалов, то Решение неравеств методом интервалов , значит Решение неравеств методом интервалов.

  2. Если 0Решение неравеств методом интервалов, то Решение неравеств методом интервалов, значит Решение неравеств методом интервалов

Пусть с=e, воспользуемся определением сложной экспоненты, данное неравенство примет вид : Решение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интервалов

Преимущество этого метода в том, что мы получили систему неравенств, которую можно решить методом интервалов.

Пример: Решите неравенство: Решение неравеств методом интервалов.

Решение: Решение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интервалов

Решение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интервалов.

Ответ:Решение неравеств методом интервалов.

  1. Логарифмические неравенства.

Рассмотрим логарифмические неравенства с переменным основанием:

Решение неравеств методом интервалов

Для решения данного вида неравенств применяется правило:

2.Знак разности Решение неравеств методом интервалов совпадает со знаком произведения Решение неравеств методом интервалов в ОДЗ.

Пример: Решить неравенство:

Решение неравеств методом интервалов.

Решение:

Найдем ОДЗ:Решение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интервалов.

Применяя правило(2), составим и решим методом интервалов неравенство: Решение неравеств методом интервалов,

Нули функции: х=Решение неравеств методом интервалов; Решение неравеств методом интервалов; Решение неравеств методом интервалов;Решение неравеств методом интервалов.

Решение неравенства: хРешение неравеств методом интервалов.

Учитывая ОДЗ, запишем решение данного логарифмического неравенства: хРешение неравеств методом интервалов.

Ответ: хРешение неравеств методом интервалов.



  1. Неравенство с модулем.

Рассмотрим неравенство Решение неравеств методом интервалов

Для решения неравенства применим правило:

3.Знак выражения Решение неравеств методом интервалов совпадает со знаком произведения:Решение неравеств методом интервалов.

Пример: Решение неравеств методом интервалов.

Решение:

Применяя правило (3) и метод интервалов, имеем: Решение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интерваловРешение неравеств методом интервалов⇔хРешение неравеств методом интервалов.

Ответ: хРешение неравеств методом интервалов.











© 2010-2022