«Методические особенности изучения вероятностно – стохастической линии и элементов логики в условиях перехода к новым стандартам»

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов

САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ

Итоговая работа

На курсах повышения квалификации

По ИОЧ

«Методические особенности изучения вероятностно - стохастической линии и элементов логики в условиях перехода к новым стандартам»

ВБ : 09.02.2015 - 13.02.2015г.

Тема «Разработка многоуровневых задач по стохастической линии»

Выполнила:

Шадыева Гулшевер Абляевна

учитель математики

ГБОУ СОШ с. Троицкое

Сызранского района

Самарской области

Самара 2015 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В содержание среднего образования России внесены существенные изменения, в частности, в программу по математике основной школы включены теория вероятностей и элементы статистики. Теория вероятностей - это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. В школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея - о существовании жёстких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что складывается впечатление, что все события предопределены и закономерны. Изучение вероятностно-статистического материала должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умения ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.

Мы должны научить детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способность жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно - статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления.

Однако не только социально-экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе. Подросток не отделен от этого мира глухой стеной, да и в своей жизни он постоянно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий "вероятность" и "достоверность", проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях - все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя курс школьной математики.

Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Впрочем, мысль о том, что в окружающем мире много случайного, останется очевидной, но бесплодной, если не научится измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий. Теория вероятностей в средней школе - это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жестких связях, и о случайном. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффектного конкурентно - способного производства, внедрения новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение социальной политики.

Анализ данных, основы теории вероятности, описательной и математической статистики в той ли иной форме присутствуют как самостоятельные темы и содержательные линии в курсах школьной математики Франции, Великобритании, Японии, США практически во всех развитых странах мира. В нашей стране сегодня происходит неизбежный процесс вхождения стохастики в обязательное школьное образование. Если раньше элементы комбинаторики и теории вероятности можно было изучить по учебникам Н.Я.Виленкина и других для 9-11 классов, то сейчас для внедрения основ стохастики в практику созданы реальные условия; изданы много учебников, вкладышей ранее изданным учебникам общеобразовательных школ.

Подборка задач по теории вероятности очень важна. Задачи скомплектованы так, что ребенок при решении их переходит от знакомых задач к задачам малознакомым, а затем уверенно может найти решение незнакомой задачи. Всё это приводит к формированию умений применения мыслительных приёмов.

Цель работы:

• систематизация задач по стохастической линии школьного курса;

• выделение базовых задач по данной теме;

• разделение задач на 2 уровня - базовый и углублённый, и 3 подуровня - знакомая задача, модифицированная задача и незнакомая задача (составление матрицы МСЗ)

• подготовка к ЕГЭ и ГИА по математике

Задачи:

- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

1. -развивающие: целеполагание, планирование своей деятельности в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся;

-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

В настоящее время для выпускников всех профилей предусмотрен обязательный единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике по единым экзаменационным контрольно-измерительным материалам (КИМам). Эти материалы заданы в деятельностной форме (через решение задач) и включают задания различного уровня сложности (части В, С). В связи с этим возрастает актуальность как научно-теоретических исследований, посвященных роли, функциям и месту задач в обучении математике, так и разработки эффективных технологий, реализующих различные варианты задачного подхода к обучению математике. Важной проблемой остается создание конкретных учебных материалов и методических разработок, позволяющих гарантированно достигать цели, стоящие перед современным школьным математическим образованием.

Существует методика обучения математике на основе задачного подхода, с возможностью построения для каждого учащегося индивидуальной образовательной траектории и его успешную подготовку к итоговому госэкзамену, к вступительным экзаменам в вузы, тем самым, в рамках названного учебного курса решить проблему качественного обучения математике в средней школе.

Данная методика основана на построении многоуровневой системы учебных математических задач с охватом общеобразовательного и углублённого уровней.

Многоуровневая система задач

Методика использования многоуровневой системы задач - это проектирование процесса обучения, основанного на построенной системе задач, организация контрольно-оценочной деятельности. В основе методики обучения на базе разработанной многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, ученик всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач. Благодаря этому осуществляется движение в предметно-содержательном и процессуально-деятельностном направлениях. Ведущим элементом методики является работа с ключевыми задачами. Эта работа выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным. Введение новых понятий и теоретических фактов предваряется созданием проблемных учебных ситуаций, которые адекватно отражают и раскрывают содержание формируемого понятия (теоремы). Это позволяет представить новый теоретический материал в виде задачи или серии ключевых задач, которые нужно решить, для того чтобы справиться с проблемной ситуацией.

Составной частью используемой методики является постоянная систематизация изученного материала и соответствующая его визуализация в виде различных таблиц, схем, графов ключевых задач, которые вывешиваются для общего обозрения в кабинете и фиксируются учениками в своих тетрадях. Такая деятельность способствует формированию системности знаний.

Важным элементом методики служит составление на первом и втором уровнях задач самими учениками , а также задач на предметную и личностную рефлексию и самокоррекцию .Эта деятельность способствует осознанному усвоению полученных знаний, формированию прочных умений и навыков. Формирование многоуровневой системы задач темы можно осуществить с помощью ее матричного представления, выделяя ранжированный перечень базовых элементов содержания образования и соответствующие им ключевые задачи, - с одной стороны, и уровни обученности, отражающие умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, - с другой. При составлении перечня элементов содержания образования отправной точкой служит кодификатор - список вопросов содержания школьного курса математики, усвоение которых проверяется при сдаче ЕГЭ.

При проектировании системы задач курса необходимо:

а) визуализировать наличие разных способов решения одной и одной и той же задачи,

б) дать формальное описание сложности того или иного решения задачи,

в) выделить ключевые задачи темы,

г) ранжировать ключевые задачи по уровням,

д) выделить равносильные задачи,

е) оценить масштабы тематической системы,

ж) сравнивать системы задач по теме в разных УМК.

Основные этапы технологии проектирования и применения многоуровневых систем задач следующие:

1) выделение уровней внешней дифференциации ( базовый и углубленный);

2) выделение подуровней внутренней дифференциации, определяемых готовностью учащегося действовать в знакомой заданной ситуации по готовому образцу; готовностью действовать в слегка видоизмененной или модифицированной ситуации ; готовностью находить решения в новой незнакомой ситуации, создавать алгоритм решения незнакомой задачи;

3) составление перечня базовых задач раздела программы;

4) конструирование матричной модели многоуровневой системы задач для каждой темы курса;

5) проведение занятий , уроков на основе многоуровневых систем задач, ведение мониторинга успешности математической деятельности, прогнозирование на его основе результатов ГИА и ЕГЭ.

Матричную модель удобно представить с помощью таблицы 1.

Матричная модель системы задач .

Таблица 1

Предметно-содержательные уровни (определяются уровнем ключевых задач)

I

II

…

N

Уровни сформированности умения действовать в ситуации

I (знакомая)

II (модифицированная)

III (незнакомая)

Такая матрица системы задач темы содержит 3 строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач, и N столбцов, отражающих количество уровней в выделенной системе ключевых задач темы. Совокупность ключевых задач некоторого уровня естественно назвать базисом пространства задач этого уровня, так как они используются при решении задач данной темы, а в написанном решении учебной задачи мы обнаружим ту или иную комбинацию ключевых задач.

Подобное табличное (матричное) представление системы задач темы помогает осуществить полноценное наполнение на каждом уровне ее предметного и дидактического компонентов и тем самым реализовать критерии предметной и дидактической полноты (относительно заданных целей) формируемой системы учебных задач. При этом если ключевые задачи выполняют в системе роль своеобразных интеграторов предметно-содержательной компоненты, то при проектировании и реализации процесса обучения аналогичную роль должны играть общие методы и приемы деятельности в выделенных ситуациях.

Благодаря матричной структуре, обеспечивающей движение в предметно-содержательном и процессуально-деятельностном направлениях, описываемую систему задач легко приспособить к конкретному ученику. Именно матричная структура многоуровневой системы задач (МСЗ) является основой для проявления гибкости, обеспечивающей построение индивидуальных траекторий обучения.

Другим основополагающим элементом является работа с ключевыми задачами. Эта работа выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным. На начальных этапах изучения курса предпочтение отдается фронтальному разбору отдельных ключевых задач. На следующей стадии разбор отдельных задач сменяют уроки решения ключевых задач темы. На заключительных этапах изучения темы ученики выполняют групповые и индивидуальные проекты по самостоятельному решению и составлению целесообразной последовательности ключевых задач .

При построении системы задач могут применяться различные системообразующие основания и критерии. Однако каждая система учебных задач должна характеризоваться следующими основными инвариантными признаками:

а) целостность, т.е. наличие явных и латентных горизонтальных и вертикальных интегрирующих предметно-содержательных и дидактических связей;

б) дидактическая полнота (функциональная достаточность), позволяющая реализовать стимулирующую, обучающую, развивающую, воспитывающую, контролирующую, оценочную, прогностическую и коммуникационную функции учебных задач;

в) предметно-содержательная полнота относительно требований к нормативным уровням обученности по завершению учебного курса, выраженная в наличии задач разных уровней сложности и трудности.

• Задачи, решаемые по образцу, предполагающие только воспроизведение алгоритма, условно называем знакомыми задачами (ЗЗ).

• Задачи, в которых требуется сделать хотя бы один самостоятельный шаг : преодолеть техническую сложность, видоизменить какое- либо звено алгоритма, условно назовём модифицированной задачей ( МЗ).

• Задачи, аналогов которых учитель не демонстрировал, готовых алгоритмов нет, которые при первом прочтении трудно отнести к какому- либо изученному типу, можно назвать незнакомыми задачами (НЗ).

Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении текстовых задач. Таблица№2.

№

Этапы решения задач

Формируемые УУД

Анализ условия (введение буквенных обозначений)

• целеполагание;

• выделение существенной информации;

• формулирование задачи и прогнозирование способов решения;

• аналогия;

• классификация;

• знакосимволические действия.

Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями

• планирование;

• систематизация;

• знакосимволические действия;

• моделирование.

Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)

• создание способа решения задачи;

• корректировка условия;

• моделирование в графическом виде.

Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)

• анализ и выявление существенной информации;

• выведение следствий;

• построение цепи рассуждений;

• выдвижение и проверка гипотез;

• преобразование модели.

Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней)

• анализ;

• выведение следствий;

• конкретизация;

• знакосимволическое действие (интерпретация).

Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)

• анализ;

• синтез;

• поиск аналогов;

• построение цепи рассуждений;

• умение сжато передать содержание;

• умение применять схемы, символы, модели;

• создание способов решения проблем поискового, творческого характера.

Рефлексия

• смыслообразование;

• планирование;

• контроль;

• коррекция;

• оценка;

• волевая саморегуляция;

• готовность к саморазвитию, к самообразованию;

• умение ставить и формулировать для себя новые задачи;

• развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.

Перечень базовых задач по стохастической линии

БЗ1 - задача выполнения операций над множествами;

БЗ2 - задача о вычислении числа комбинаций, которым можно выполнить сложное действие;

БЗ3 - задача о вычислении числа перестановок;

БЗ4 - задача о вычислении числа размещений;

БЗ5 - задача о вычислении числа сочетаний;

БЗ6 - задача о вычислении вероятности события А по определению;

БЗ7 - задача о вычислении вероятности по формулам комбинаторики;

БЗ8 - задача о вычислении вероятности события А с бесконечным числом возможных исходов (геометрическая вероятность);

БЗ9 - задача о вычислении вероятности суммы двух или нескольких событий;

БЗ10 - задача о вычислении вероятности появления события хотя бы в одном испытании;

БЗ11 - задача о вычислении числовых характеристик дискретных случайных величин.

ЗЗ (знакомая задача)

МЗ (модифицированная задача)

НЗ (незнакомая задача)

БЗ4

В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами? Ответ: 4896.

Найдите х, если известно, что .

Ответ: 4.

Решите неравенство:

120<<140.

Ответ: 15.

БЗ5

На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок? Ответ: 792.

Найдите х, если известно, что .

Ответ: 9.

Сколькими способами можно составить дозор из 3 солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера. Ответ: 216480.

БЗ6

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 12 из них встречается вопрос по круглым червям. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику попадется вопрос по круглым червям. Ответ: 0,48.

В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,14.

В коробке лежат 7 черных шаров. Какое наименьшее число белых шаров нужно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки черный шар была не больше 0,3? Ответ: 17.

БЗ7

В коробке 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «спорт». Результат округлите до сотых. Ответ: 0,01.

Из партии, в которой 25 изделий, среди которых 6 бракованных, случайным образом выбрали 3 изделия для проверки качества. Найти вероятность того, что все изделия годные.

Ответ: 0,42.

На полке 15 коробок конфет, причем 10 из них с зефиром. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу коробок конфет окажется 3 коробки с зефиром. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,40.

ЗЗ (знакомая задача)

МЗ (модифицированная задача)

НЗ (незнакомая задача)

БЗ8

На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок длиной 10 см. найти вероятность того, что точка, поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.

Ответ: 0,5.

На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Ответ: 0,75.

В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ=5, ВС=10 случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена ближе к прямой АВ, чем к прямой AD.

Ответ: 0,25.

БЗ9

На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов которые одновременно относятся к этим двум темам нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Ответ: 0,35.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Ответ: 0,52.

В одной урне находятся пять белых и десять черных шаров, а в другой - шесть белых и три черных шара. Наудачу извлекают по одному шару из каждой урны. Найдите вероятность того, что вынутые шары будут одного цвета. Результат округлить до сотых.

Ответ: 0,44.

БЗ10

Игральный кубик бросают три раза. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпадет двойка? Результат округлить до сотых.

Ответ: 0,42.

Три исследователя института ядерных исследований независимо друг от друга пытаются зарегистрировать фермион. Вероятность ошибки у первого исследователя равна 0,1; у второго - 0,15; у третьего - 0,2. Найдите вероятность того, что при измерении хотя бы один из них не допустит ошибку. Ответ: 0,997.

Найдите вероятность р встречи с контролером при одной поездке, если известно, что вероятность хотя бы одной встречи при четырех поездках равна 0,9984.

Ответ: 0,8.

ЗЗ (знакомая задача)

МЗ (модифицированная задача)

НЗ (незнакомая задача)

БЗ11

После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение - 12» и таблица:

Варианта

3

8

Кратность

26

13

11

1. Какое число должно быть записано в пустой клетке?

2. Укажите размах, моду и медиану распределения;

3. Допустим среднее значение равно М. Что тогда должно стоять в пустой клетке?

Ответ:

1. 38;

2. 35, 3, 3;

3. 

Случайная величина Х может принимать 2 значения: х₁ с вероятностью 0,3 и х₂ с вероятностью 0,7, причем х₁> х₂. Найти х₁ и х₂, зная что М(Х)=2,7 и D(Х)=0,21.

Ответ: х₁ =2, х₂=3.

Мишень (см. рис.1) установлена так, что может вращаться вкруг оси (О). При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, вписанные по одной в секторах. Он вынужден стрелять наугад. При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 10 рублей, в сектор 2 - 20 рублей, в сектор 3 - 30 рублей и т.д., в сектор 8 - 80 рублей. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 50 рублей?

Ответ: не стоит, т.к. сумма наиболее вероятного выигрыша 45 рублей.

рис.1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВАРИАНТА №3.

Знакомые задачи(ЗЗ)

1. В некоторой спортивной школе 400 спортсменов, из них в конце года 384 человека получили грамоту. Найдите вероятность того что выбранный наугад спортсмен этой школы получил грамоту в конце года.

Решение:

Количество благоприятных исходов - 384, количество общих исходов - 400. Вероятность события равна

Р(А) = = = 0,96

Ответ: 0,96

2.Маша, Даша, Света, Оля и Наташа бросили жребий - кому первому петь песню. Найдите вероятность того что первая петь песню должна будет не Маша.

Решение:

Количество благоприятных исходов - (5-1=) 4, количество общих исходов - 5. Вероятность события равна

Р(А) = = = 0,8

Ответ: 0,8

3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой‐то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 4 часа.

Количество общих исходов - 12, количество благоприятных исходов - (7-4=3, 12-3=)9. Вероятность события равна

Решение:

Р(А) = = = 0,75

Ответ: 0,75

4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того что в сумме выпадет 10 очков .Результат округлите до сотых.

Решение:

Количество общих исходов - 12, количество благоприятных исходов - 3 (5+5=10, 4+6=10, 6+4=10). Вероятность события равна

Р(А) = =3/12 = ¼= 0,25

Ответ: 0,25

5. Перед началом волейбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить какая из команд начнёт игру. Команда «Тигры» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того что в этих играх команда «Тигры» выиграет жребий ровно 2 раза.

Решение:

Количество благоприятных исходов - 2, количество общих исходов - (2+2+2=) 6. Вероятность события равна

Р(А) = = = 0,33

Ответ: 0,33

6. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 65 выступлений - по одному от каждого города. В первый день запланировано 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что выступление представителя Таганрога состоится в третий день конкурса?

Решение:

Количество общих исходов - 65-26=39, количество благоприятных исходов - 39:3·2 = 26. Вероятность события равна

Р(А) = = = 0,67

Ответ: 0,67

7. В группе сотрудников МЧС 60 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 12 человек за рейс. Порядок , в котором вертолёт перевозит сотрудников , случаен. Найдите вероятность того , что сотрудники МЧС Кирилл Петров и Пётр Кириллов полетят одним и тем же рейсом вертолёта. Результат округлите до сотых.

Решение:

Всех сотрудников МЧС перевезут за (60:12=) 5рейсов. Так как порядок, в котором вертолет перевозит сотрудников МЧС случаен, то каждым рейсом возможен перевоз сотрудников Кирилла Петрова и Петра Кириллова совместно.

Количество благоприятных исходов - 2, количество общих исходов - 12. Вероятность события равна

Р(А) = = = 0,17

Ответ: 0,17

Малознакомая задача. (МЗ)

1. На экзамене по истории школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Иван Грозный»,равна 0,26. Вероятность того, что это вопрос на тему «Екатерина 2», равна 0,11. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Определим события:
A = {вопрос на тему «Иван Грозный»},
$$B$$ = {вопрос на тему «Екатерина 2»}.
События Aи B несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно.
Событие C = {вопрос по одной из этих двух тем} является их объединением: C=A+ B.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий:
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0,26+0,11=0,37.

Ответ: 0,37.

2. Профессиональный игрок в шашки А , играя белыми , выигрывает у игрока Б с вероятностью 0,42.Если же он играет чёрными , то выигрывает с вероятностью 0,2. А и Б играют две партии, меняя при этом цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет обе партии

Решение:

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения

независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

3. Вероятность того, что новый фен прослужит больше трёх лет, равна 0,71. Вероятность того, что он прослужит больше десяти лет, равна 0,24. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше десяти лет, но больше трёх.

Решение:

Пусть A = «фен прослужит больше 3 лет, но меньше 10 лет», В = « фен прослужит больше

10 лет», тогда A + B = «фен прослужит больше 3лет».

События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том,

что фен выйдет из строя ровно через 3 года - строго в тот же день, час и секунду - равна нулю.

Тогда:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,71 = P(A) + 0,24.

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,71 − 0,24 = 0,47.

Ответ: 0,47.

4. По отзывам покупателей Николай Петрович оценил надёжность двух интернет -магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А , равна 0,68. Вероятность того, что товар доставят из магазина Б , равна 0,75. Н,П, заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того , что ни один магазин не доставит товар.

Решение:

Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,68 = 0,32. Вероятность того, что

второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,75 = 0,25. Поскольку эти события независимы, вероятность

их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий:

0,32 · 0,25 = 0,02.

Ответ: 0,08.

5. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2420 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до сотых.

Решение:

5000 - 2420 = 2580 - количество мальчиков

Р = 2580/5000 = 0,5024 ≈ 0,516.

Ответ: 0,52.

6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выиграет она получает 3 очка ,а в случае ничьей 1 очко, если проиграет - 0 очков. Найдите вероятность того что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4

Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий - результата в первой и во второй игре.

Отсюда имеем: Р(3+1) + Р(1+3) + Р(3+3)= Р(3)*Р(1) + Р(1)*Р(3)+ Р(3)*Р(3)=0,4*0,2+ 0,2*0,4+ 0,4*0,4= 0,08+0,08+0,16=0,32

Ответ: 0,32.

7. Две фабрики выпускают одинаковые шариковые авторучки. При этом первая фабрика выпускает 80% этих шариковых авторучек, вторая 20%. Первая фабрика выпускает 6% бракованных шариковых авторучек, вторая 2%. Найти вероятность того, что случайно купленная в магазине шариковая авторучка окажется бракованной. Решение:

Вероятность того, что ручка куплена на первой фабрике и она бракованна: 0,8 · 0,06 = 0,048. Вероятность того, что ручка куплена на второй фабрике и она бракованна : 0,2 · 0,02 = 0,004. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленная в магазине Ручка окажется бракованной равна 0,048 + 0,004 = 0,052. Ответ: 0,052

НЗ.

1. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цельнее будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0.3, а при каждом последующем - 0.6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.9?

Решение:

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,7 , а при каждом следующем - 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна:

0,7·(0,4)^n-1 ≤0,1 ;(0,4)^n-1≤1/7 ; (2/5) ^n-1≤1/7

Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства

Последовательно проверяя значения , равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решением является . Следовательно, необходимо сделать 4 выстрела.

Ответ: 4.

2. В гончарной мастерской посуды 20% произведенных чашек имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 85% дефектных чашек. Остальные чашки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке чашка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 15 % не выявленных

дефектных тарелок: 0,8n+0,15 0,2n= 0,83n.Поскольку качественных из них 0,8n , вероятность купить качественную тарелку равна:

0,96

Ответ: 0,96.

3. На рок-фестивале выступают группы - по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из России будет выступать после группы из Италии, но перед группой из Грузии? Результат округлите до сотых.

Решение:

Россиию, Италию, Грузию, можно представить 3!=1*2*3=6 способами;

Р,И,Г; И,Р,Г два варианта удовлетворяющих условию Р= 2/6=1/3=0,333….

Ответ: 0,33

4. Агрофирма закупает огурцы в двух теплицах. 40% огурцов из первого хозяйства - высшей категории, а из второго хозяйства - 20% высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% огурцов. Найдите вероятность того, что огурцы, купленные у этой агрофирмы, окажется из первой теплицы .

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что огурцы имеют высшую категорию, события В₁ и В₂ состоят в том, что огурцы произведены в первом и втором хозяйствах соответственно. Тогда события и - события, состоящие в том, что огурцы высшей категории произведены в первом и втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности, вероятность того, что будут куплены огурцы высшей категории,

равна:

Р(АВ₁ )+Р(А В₂)= РР(В₁ )+ РР( ₌ 0,40,2

0,2 Р(В₁ )+0,2

Поскольку по условию эта вероятность равна 0,35, поэтому для вероятности того, что купленные огурцы произведены в первом хозяйстве имеем: Р(В₁ )=(0,35-0,2):0,2=0,75

Ответ: 0,75.

Список литературы

1. Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Баврин И.И. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 1998.-864с.: ил.

2. Максютин А.А., Шаповалова Т.П. Методическое обеспечение подготовки учителей математики к введению профильного обучения - Самара, 2008

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.-,Алгебра 9класс ,Москва, Просвещение, 2009

4. Примерные программы по учебным предметам. Математика .5 -9 классы проект- Москва, Просвещение, 2010 (Стандарты второго поколения)

5. Презентационные подходы в решении текстовых задач. school-collection. edu.ru/.

6. Максютин А.А. Многоуровневая система задач как средство обучения учащихся средней школы алгебре и началам математического анализа: диссертация кандидата педагогических наук: 13.00.02. - Самара, 2007. - 324 с.: ил. РГБ ОД, 61:07-13/2006

7. Епишева О.Б. Методическая система обучения математике на основе формирования приёмов учебной деятельности. Тобольск, 1999.-176

8. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода. М.: Просвещение, 2003. 224 с.

9. Иванюк М.Е., Липилина В.В., Максютин А.А. Проблемы реализации ФГОС при обучении математике в основной и старшей общеобразовательной школе. Монография. Самара 2014.

10. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика А.Я.Блох и другие, Москва, Просвещение, 1985.

12. Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Баврин И.И. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 1998.-864с.: ил.

13. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах. - Ярославль: ЯГПУ, 1994.-127с.

14. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика для школьников. - М.: Дрофа,2001.-204с.

15. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики.- //Математика в школе.-2002.- № 4.-с.52 -58.

16. Мотикас В.С. Школьнику о теории вероятностей: Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 класса. - М.: Просвещение, 1976.-104с.

17. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для VII - VIII классов средней школы. - //Математика в школе. -2002.- № 4.-с.58 - 64.

18. Максютин А.А., Шаповалова Т.П. Методическое обеспечение подготовки учителей математики к введению профильного обучения - Самара, 2008

19. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для IX классов средней школы. - //Математика в школе.-2002.- № 5.- с.34 - 40.

20. ЭОР. Решение практических задач с применением вероятностных методов. К1 fcior.edu.ru/card/3519/reshenie-prakticheskih-zadach-s-primeneniem-veroyatnostnyh-metodov-k1.html

9