Статья по математике Методика реализации практической направленности изучения геометрии в средней школе

Методика реализации практической направленности изучения геометрии в средней школе

Автор: Тимченко Олеся Александровна

Учитель математики

МАОУ СОШ №44, г. Тюмень

Актуальность проблемы использования задач с практическим содержанием в курсе геометрии не вызывает сомнения, так как условия естественного развития личности ребёнка наиболее полно реализуются в случае, когда обучение раскрывает взаимосвязь геометрии не только с другими науками, но и с жизнью (о чём свидетельствуют результаты педагогических исследований проблемы)[6].

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) понимается задача, фабула которой раскрывает приложение математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операции.

Как известно, важное значение в процессе обучения математике имеет понимание школьниками практической значимости того или иного учебного материала. Поэтому при изучении любого теоретического материала необходимо стараться сразу же очертить область, в которой этот материал может быть применен. Каждое новое понятие или положение по-возможности, первоначально нужно преподнести в задаче практического характера. Такая задача призвана, во-первых, убедить школьников в необходимости и практической полезности изучения нового теоретического материала; во-вторых, показать учащимся, что математические абстракции возникают из практики, из задач, поставленных реальной действительностью[3].

В.В. Сериков предлагает следующие типы задач с практическим содержанием [5].

1. Задачи в контексте практико-преобразовательной деятельности человека: политехнические, технико-прикладные, проективные, экспериментально-измерительные, моделирующие, расчетно-монтажные. Сюда же могут быть отнесены задачи, связанные с различными сферами производства, видами техники, предметами и орудиями труда, материалами и технологиями, эргономикой и характеристиками деятельности человека. Пример: Строительная фирма решила построить многоквартирный жилой дом прямоугольной формы. Одним из самых важных условий при постройке нового дома всегда было правильно разметить углы. Но как получить прямой угол?

2. Задачи, имитирующие научно-познавательную деятельность человека: проблемно-поисковые задачи, основанные на реальном и мысленном эксперименте. К этой группе мы относим также задачи, связанные с нестандартными вариантами решений ("олимпиадные"), с некорректным заданием условий, когда для решения задачи требуется предварительный поиск законов, соответствующих проблеме представленной в задаче, или самостоятельное построение адекватной модели. Примером может служить задача: есть обычный винтовой самолёт, который стоит на длинном конвейере. Самолёт начинает движение, а конвейер работает по принципу комнатной беговой дорожки (человек бежит по ней, оставаясь на месте относительно пола): чем быстрее вращаются колёса на шасси самолёта, тем быстрее движется лента конвейера. Сможет ли взлететь самолёт? (трением в шасси и конвейере можно пренебречь).

3. Задачи с элементами ценностно-ориентационной деятельности. В строгом смысле ценностно-ориентационная деятельность является прерогативой гуманитарных наук. Среди таковых: проблемы безопасности жизнедеятельности и здоровья человека, вопросы экологии и охраны окружающей среды, задачи в виде мысленных экспериментов, приводящие к методологическим и мировоззренческим выводам. В таких задачах возможно представление крупных научных проблем, решавшихся в различные исторические эпохи. Приведем конкретный пример: после Чернобыльской аварии в окружающую среду были выброшены йод, цезий, стронций, плутоний. Активность йода равна 1,8 ЭБк, цезия на 1,715 ЭБк меньше чем йода и на 0,075 больше чем стронция, активность плутония в 600 раз меньше чем йода. Найдите суммарную активность веществ, выброшенных в окружающую среду после аварии.

4. Задачи, связанные с коммуникационными потребностями человека. Связи человека с другими людьми имеют не только социально-психологическую, но и естественнонаучную основу. Проблемы связи, передачи сообщений, телекоммуникаций и радиокоммуникаций, физических основ радиоэлектроники и информатики; проблемы передачи вещества, энергии, информации; вопросы свойств пространства и времени, перемещений и траекторий все это органично связано с жизнедеятельностью человека. История знает много случаев, когда интеллектуальные усилия математиков высшей квалификации в буквальном смысле слова спасали человечество.

5. Задачи, связанные с художественной деятельностью человека: физико-химические и биологические основания эстетических феноменов природы, красота оптических эффектов, физические основы различных художественных сфер: живописи, театра, кино, телевидения, музыки.

6. Спорт и физические возможности человека. Спортсмен пробегает за первый день 2 км, каждый последующий день он увеличивает норму пробега на 50 %. Определите через сколько дней норма пробега может стать более 50 км.

7. Физика, химия, геометрия, дизайн в обеспечении эстетических свойств жилья и среды обитания человека [3].

Задачи с практическим содержанием могут стать хорошим средством мотивации изучения теоретического материала, так как именно на примере практических задач можно показать необходимость знания той или иной теоремы для решения проблем возникающих перед человеком в повседневной жизни и профессиональной деятельности. Приведем примеры [4].

При изучением признаков равенства треугольников можно учащимся предложить следующие задачи.

Задача 1. Измерить недоступное расстояние между точками А и В, если: а) точки А и В доступны; б) точка А недоступна, точка В доступна.

Решение задач сводится к дополнительным построениям и использованию признаков равенства треугольников (Рисунок 1 а, б).

Если учащиеся затрудняются в решении задач до изучения соответствующих теорем, то учитель может предложить чертеж с уже выполненными дополнительными построениями и видоизмененную задачу: «На чертеже показано как можно найти недоступное расстояние на местности. Восстановите порядок действий, необходимых для измерения недоступного расстояния для каждого случая. Какие признаки равенства треугольников при этом используются?»

В дальнейшем при изучении темы «Решение треугольников» можно предложить учащимся решить те же задачи, но уже с использованием теоремы синусов или теоремы косинусов.

Задачи с практическим содержанием часто формулируют конкретную проблему, взятую из жизни.

Задача 2. (задача Герона). Участок заболоченной местности имеет форму произвольного четырехугольника. Как измерить его площадь, не вступая на него?

Задача 3. Граница двух полей - ломаная АВС (Рисунок 2), края полей параллельные прямые. Нельзя ли заменить границу полей более короткой, не изменяя их площади?

Основное преимущество «хороших» практических задач в том, что по их содержанию почти никогда сразу нельзя понять, какой теоретический материал нужно использовать для их решения. «Поиск» в таких задачах сводится к математической интерпретации предложенной ситуации (поиск математической модели задачи, переформулировка), к самостоятельному обоснованию принципов действия тех или иных существующих приборов и «изобретениям» новых приборов и методов. Решая практические задачи, школьники не только используют свой жизненный опыт на том или ином этапе решения, но и имеют возможность значительно его пополнить.

Задача 4. Имеется обломок зубчатого колеса (Рисунок 3), состоящего из двух зубьев. Найдите, сколько зубьев было на целом колесе.

В большинстве случаев при решении практических проблем учащихся необходимо приучать к абстрагированию, т.е. к выполнению чертежа, отражающего практическую ситуацию.

Возможны различные пути решения данной задачи.

1 способ. В ∆ADC измерить катет CD и гипотенузу AD, затем вычислить и найти . Тогда . Следовательно, количество зубьев колеса .

2 способ. На обломке провести отрезки КА и КD, измерить , а дальше как в первом случае.

3 способ. Измерить на обломке угол , из формулы внутреннего угла правильного многоугольника выразить n: .

Задача 5. Для данного тела требуется вычислить площадь поверхности заштрихованного кольца с недоступным центром (Рисунок 4).

При решении данной практической задачи возникает проблемная ситуация, связанная с тем, что центр кольца не доступен и не определен, следовательно, радиусы данного кольца (внутренний и внешний) нельзя непосредственно измерить.

Для решения возникшей проблемы необходимо выполнить чертеж (Рисунок 5), и после записи формулы площади кольца , соотнести выражение , входящее в формулу, с элементами чертежа.

В случае затруднения учащимся можно задать наводящий вопрос: в какой известной теореме говорится о квадратах величин? Учащиеся вспомнят теорему Пифагора и по чертежу определят, что . Следовательно, , т.е. для решения задачи достаточно измерить АС и, разделив на два а.

Подобные отдельные задачи можно включать как на этапе изучения нового материала, усиливая мотивационный компонент, так и на этапе закрепление темы или раздела, в качестве практической иллюстрации. Однако особенно полезно использовать системы таких задач на уроках повторения и обобщения материала. При использовании систем задач с практическим содержанием в рамках уроков повторения повторяемый материал предстанет перед школьниками совершенно в ином, как по форме, так и по содержанию, виде. Что будет способствовать повышению интереса к предмету и развитию всех типов мышления учащихся [7].

В школьном курсе геометрии учитель должен рассматривать как можно больше задач практического содержания. Так как в повседневной жизни учеников окружает множество разнообразных ситуации, которые они могут решить с помощью геометрии.

К тому же задачи с практическим содержанием являются более наглядными и интересными чем задачи «стандартного» содержания. Ученик, начиная только читать такую задачу, сразу представляет данную ситуацию в жизни, что способствует развитию его мышления. Ученикам будет более интересно решать такую задачу, ведь он может столкнуться или сталкивался с ней в своей реальной жизни.

Давайте рассмотрим ряд задач, которые может использовать учитель на уроке при изучении различных тем по планиметрии.

Задача 6. Впервые длину радиуса Земли нашёл древнегреческий учёный Эратосфен. Эратосфен узнал: когда в городе солнце находится в зените, в городе , находящемся с на одном меридиане, солнечные лучи с отвесной прямой угол величины (Рисунок 6). Оценив по времени движения каравана расстояние от до ( км), он вычислил радиус Земли. Какое значение у него получилось? [2]

Решение: Так как прямые и (лучи солнца) параллельны, то величины углов и равны, а поэтому из формулы для длины дуги окружности находим: (км). Ответ: км.

Задача 7. Известно, что пучок света от фар расходится под углом к направлению движения, а на дороге проектируемой категории видимость должна быть не менее метров. Какой радиус закругления допустим на такой дороге? (Рисунок 7)

Решение: Пусть автомобиль находиться в точке и фары освещают дугу длины . Так как направленные движения совпадают с касательной к траектории, то сумма углов и равны сумме углов и . Отсюда следует, что величина угла равна . Так как в нашем случае должно выполняться неравенство , то из

формулы для длины дуги окружности получаем , или .

Важнейшими целями изучения стереометрии являются развитие пространственных представлений учащихся, опирающееся на систематическое изучение геометрических тел в пространстве, усвоение способов вычисления различных геометрических величин, дальнейшее развитие логического мышления учащихся [1].

При изучении курса стереометрии широко используются знания, умения и навыки, приобретенные в средней школе. Поэтому необходимо закрепить и развить знания, навыки и умения, полученные в курсе планиметрии, на основе систематизации и обобщения учебного материала. При этом важно обеспечить прикладную направленность обучения, используя наглядность, межпредметные и межцикловые связи.

Задача 8. При одном из способов защиты почв от смыва на склонах штампуют лунки в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием (сторона квадрата см) и высотой см. Определите, сколько литров воды может собраться в такой лунке на склоне с углом наклона в , если одна из сторон основания лунки горизонтальна (Рисунок 8) [2].

Рисунок 8

Решение: Из рисунка видно, что Поэтому в момент наибольшего наполнения лунки слой воды представляет собой призму высотой см, основанием которой является трапеция . Поэтому объем воды литров. Ответ: литров.

Реализация задач с практическим содержанием тесно связана с методологическими мировоззрениями педагогов на проблему формирования связи геометрии с другими науками и с жизнью. Теоретическое и практическое решение этой проблемы изменялось в соответствии с развитием общества, его социальным заказом школе. Утверждение и упрочнение связей математики с жизнью и другими предметами в современной школе неразрывно связано с использованием задач с практическим содержанием.

В области обучения необходимо придавать большой значение глубокой и вдумчивой работе учителя по отбору содержания учебного материала, который составляет основу формирования научного кругозора учащихся, столь необходимого для появления и укрепления межпредметных связей и связей с жизнью. Поэтому нами предлагается:

1. Знакомить учащихся через задачи практического характера с новыми фактами и сведеньями, которые могут показать учащимся современный уровень науки и перспективы ее движения.

2. Раскрывать с помощью практических задач научные поиски, результаты открытий, трудности.

3. Показать необходимость различных подходов для объяснения явлений жизни, знаний, приобретаемых личным опытом.

4. Раскрывать перед учащимися практическую силу научных знаний, возможность применения приобретаемых на уроках знаний в жизни человека при решении бытовых и практических вопросов.

Литература

1. Балк М. Б. Балк Г. Д. Математика после уроков [Текст]\ М.Б. Балк, Г.Д. Балк\ М.: Просвещение, 1971. - 151с.

2. Дубинчук Е. С., Слепкань З. И. Обучение геометрии в профтехучилищах. [Текст]\ Дубинчук Е. С., Слепкань З. И.\ М.: Высшая школа, 1989. - 128 с.

3. Маркова, А. К. Мотивация учения и ее воспитание у школьников [Текст]\ А. К. Маркова\ М. : Педагогика, 1983. - 262 с.

4. Мартынова, Г.Х. Межпредметные связи стандартизации и математики [Текст]\ Г. Х. Мартынова\ Математика в шк. - 2003. №7. - С. 23-25.

5. Сериков, В. В. Образование и личность. Теория и практика проектирования педагогических систем [Текст]\ В.В. Сериков.\ М.: Логос, 1999. - 387 с.

6. Современные проблемы методики преподавания математики: Сборник статей./ Н. С. Антонов, В. А. Гусев: Такидзе Э. Р. Профориентационная работа с учащимися на уроках геометрии в 6 - 8 классах [Текст]\ Н. С. Антонов, В. А. Гусев: Такидзе Э. Р.\ М.: Просвещение, 1985. - 304 с

7. Шмигирилова И.Б. Организация обобщающего повторения планиметрии на основе поисковых заданий: Учебно-методическое пособие. [Текст]\ Шмигирилова И.Б\. Петропавловск, 2005 г.- 161 с.