Программа элективного курса 10 способов решения квадратного уравнения

Рузаевский муниципальный район

2015 год

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Гимназия №1»

Рузаевского муниципального района

Республики Мордовия

ПРОГРАММА

элективного курса

«10 способов решения квадратного уравнения»

для 8-х общеобразовательных классов

Автор-составитель Елена Николаевна Рудометова

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт» У. Сойер

Пояснительная записка.

Предлагаемый курс по математике рассчитан на учащихся 8 классов. Может быть применен в классах с любым уровнем подготовки. Данный курс рассчитан на 17 часов и должен помочь школьникам овладеть способами решения квадратных уравнений, стать фактором формирования творческого мышления.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных, трансцендентных уравнений и неравенств, большого количества разных типов задач.

Умением решать квадратные уравнения овладевают практически все выпускники средней школы. Но чаще всего учащиеся для нахождения корней уравнения применяют только один единственный способ: через применение формул для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения.

Имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. В математической науке есть десять способов решения квадратных уравнений. В данном курсе подробно разбирается каждый способ, изучение которых не входит в программу средней школы. Важно также рассмотреть приём устного решения квадратного уравнения, где коэффициенты - слишком большие числа, например, такое уравнение: 2015x² - 2011x - 4 = 0.

Способы, которые предлагаются в этом курсе восьмиклассникам:

1. Разложение левой части на множители;

2. Метод выделения полного квадрата;

3. Графический способ;

4. С применением формул корней квадратного уравнения;

5. С применением теоремы Виета;

6. Способом «переброски» коэффициентов;

7. По сумме коэффициентов квадратного уравнения;

8. Геометрический способ;

9. С помощью окружностей;

10. С помощью номограмм

Цели курса:

• Знакомство с новыми методами решения квадратных уравнений

• Углубление знаний по теме «Квадратные уравнения»

• Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы

• Создание условий для самореализации личности

Задачи курса:

Обучающие:

• Познакомить с теорией и практикой применения десяти способов решения квадратных уравнений

• Создать условия для формирования мотивации выбора математики для последующего углубленного изучения.

• Выработать умения выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

• Сформировать умения составлять алгоритмы для способов решения квадратных уравнений

• Развитие вычислительных навыков

• Создать условия для оценки учеником своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы, для профессионального самоопределения.

• Развитие кругозора учащихся

Развивающие:

• Формировать умения самостоятельно приобретать и применять знания, использовать различные источники информации и современные информационные технологии.

• Развитие умения наблюдать, анализировать.

• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.

• Развитие коммуникативных качеств личности

Воспитательные:

• Воспитание навыков сотрудничества в процессе совместной работы.

• Воспитание ответственного отношения к учебному труду

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей

• Воспитание самостоятельности, умения представлять выбранный способ решения уравнения

При его изучении ребята получают дополнительные сведения об истории возникновения квадратных уравнений, ученых математиках, посвятивших свои труды данной теме, познакомятся с интересными историческими фактами, попробуют решить квадратное уравнение многими новыми способами. Интересен для учащихся прием вычисления квадратного корня без таблицы, что поможет ученику выполнить это действие на ЕГЭ, где нет справочного материала.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие:

Оценка «отлично» - учащийся освоил теоретический и исторический материал курса, получил навыки в применении различных способов решения уравнений, в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно.

Оценка «хорошо» - учащийся знает основные этапы возникновения квадратных уравнений, может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно» - учащийся достаточно успешно может выполнять простые задания.

Минимальные требования к оснащению курса: раздаточный материал для проведения практических и самостоятельных работ. Для контроля достижений используются наблюдение активности учащихся на уроке, тестирование.

По итогам изучения данного курса ученики готовят работы по темам:

1. Квадратные уравнения в истории

2. О каждом из десяти способов решения квадратных уравнений

3. Дидактический материал по теме «Десять способов решения квадратных уравнений»

4. Алгоритмы для решения квадратных уравнений каждым из десяти способов

5. Ведут подготовку к итоговому занятию «Смотр знаний по теме «Способы решения квадратных уравнений»» (теория и практика)

Методы обучения:

• Информационно-сообщающий

• Познавательный

• Систематизирующий

• Коммуникативный

• Логический

Форма контроля: самостоятельная работа в классе, проверка уравнений, решенных дома, домашняя контрольная работа, смотр знаний, выполнение тренировочных заданий, проверка составленных алгоритмов, фронтальный опрос.

Форма работы - индивидуальная, парная: в парах постоянного и сменного состава, групповая

Завершение каждого занятия - рефлексия

В результате изучения курса учащиеся

должны знать:

• теоремы о свойствах коэффициентов квадратного уравнения

• 10 различных способов решения уравнений

• различные формулы для решения уравнения

должны уметь:

• уверенно применять формулы, способы, теоремы для решения квадратных уравнений

• понимать лексику, связанную с предметом

• строить, читать, понимать графики

• при вычислении применять устные и письменные приемы

• пользоваться современными техническими средствами обучения

Учебно-тематический план

Темы курса

Число часов

Лекция

Практика

Контроль знаний

Вводное занятие

Из истории квадратных уравнений

Разложение левой части уравнения на множители

1

0,5

0,5

Метод выделения полного квадрата

1

1

Домашняя контрольная работа

Решение квадратных уравнений по формуле корней

2

2

Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

1

1

Домашняя контрольная работа

Решение уравнений способом «переброски»

1

0,5

0,5

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

1

0,5

0,5

Домашняя контрольная работа

Графическое решение квадратное уравнения

2

2

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

1

0,5

0,5

Домашняя контрольная работа

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

1

0,5

0,5

Геометрический способ решения квадратных уравнений

1

0,5

0,5

Домашняя контрольная работа

Решение уравнений, сводящиеся к квадратным, при введения новой переменной

3

3

Итоговое занятие

Смотр знаний

Демонстрация итоговых работ

2

2

Всего

17

3

12

2

Учебно-методические материалы

Занятие № 1

1) Из истории квадратных уравнений. Исторические материалы (лекция)

Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта.

- длины равны ширине». «Длина поля равна 4», - указано в папирусе.

Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х² = 16, мы получаем два числа: 4, -4.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до этого».

Греческий математик Диофант составлял и решал квадратные уравнения. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам... стали прыгать, повисая... Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. ( решение уравнения)

Наиболее древние из дошедших до нас китайских математических текстов относятся к концу I в. до н. э. Во II в. до н. э. была написана «Математика в девяти книгах». Позднее, в VII в., она вошла в сборник «Десять классических трактатов», который изучали в течение многих столетий. В трактате «Математика в девяти книгах» объясняется, как извлечь квадратный корень с помощью формулы квадрата суммы двух чисел.

В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. квадраты равны корням, то есть ах² = bх;

2. квадраты равны числу, то есть ах² = с;

3. корни равны числу, то есть ах = с;

4. квадраты и числа равны корням, то есть ах² + с = bх;

5. квадраты и корни равны числу, то есть ах² + bх = с;

6. корни и числа равны квадратам, то есть bх + с = ах².

Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Трактаты аль-Хорезми были в числе первых сочинений по математике переведены в Европе с арабского на латынь. До XVI в. алгебру в Европе называли искусством алгебры и макабалы.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и яркостью изложения. Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» были включены почти во все европейские учебники XVI-XVII в. и частично XVIII в.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х² + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он также признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

2) 1 способ «Разложение левой части уравнения на множители»

Решим уравнение х²+ 102 - 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: х²+ 10х - 24 = х² + 12х -2х - 24 =

= х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = -12. Это означает, что числа 2 и -12 являются корнями уравнения х² + 10х - 24 = 0.

Решить способом разложения его левой части на множители:

• х² + 3х + 2 = 0,

• 6х² + х - 2 = 0,

• х² - х = 0,

• 3х² + 3х = 0,

• х² + 4х + 4 = 0,

• 4х² -х = 0,

• х² + 4х + 3= 0,

• 6х² + 5х + 1 = 0,

• 2х² - 11х + 15 = 0,

Занятие № 2.

2 способ «Метод выделения полного квадрата»

Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х² + 6х в следующем виде:

х² + 6х = х² + 2*3 х

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как

х² + 2 х * 3 + 3² = (х + 3)².

Преобразуем теперь левую часть уравнения х² + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:

х² + 6х - 7 = х² + 2 • х * 3 + 3² - 3² - 7 =

= (х + 3)² - 9 - 7 = (х + 3)² - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)² - 16 = 0, т.е. (х + 3)² = 16.

Решить уравнения способом выделения полного квадрата:

• 5х² - 3х - 2 = 0;

• 4х² + 7х + 3 = 0;

• х² - 4х + 4 = 0;

• х² + 6х + 9 = 0;

• х² + 5х + 3 = 0;

• х² + 2х - 3 = 0.

Занятие № 3, №4

3 способ «Решение квадратных уравнений по формуле корней»

Форма проведения: Практическая работа

1 этап. Проверка знания теоретических вопросов

2 этап. Проверка умения решать квадратные уравнения по формуле корней.

Проверка правильности ответов по построенным фигурам в координатной плоскости.

План работы:

• Решить квадратное уравнение

• Меньшее значение корня обозначить х, большее значение корня обозначить х

• В скобках после каждого уравнения указан код: (х, х) или (х, х) - координаты точек координатной плоскости

• Отметить на координатной плоскости 8 точек и последовательно их соединить, последнюю точку замкнуть с первой

• Должен получиться рисунок, соответствующий названию

1 группа

Задание «Кувшин»

1. х² - 11 х + 18 = 0; (х,х₂)

2. х² - 4х + 4 = 0; (х, х₂);

3. 2х² - 10х = 0; (х₂, х);

4. х² + 5х - 14 = 0; (х₂,х);

5. х² + 9х +14 = 0; (х₂,х);

6. 3х² + 15х = 0; (x,x₂);

7. 3х² - 12 = 0; (x,x₂);

8. 2х² - 14х - 36 = 0; (x,x₂);

2 группа

Задание «Катер»

1. х² - 16х = 0; (х₂,х₁);

2. х² - 14х - 15 = 0; (х₁,х₂);

3. х² + х = 0; (х₁,х₂);

4. х² + 3х = 0; (х₁,х₂);

5. х² + 7х - 98 = 0; (х,х₂);

6. х² + 14х = 0; (х₁,х₂);

7. x² - 15x = 0; (х₁,х₂);

8. х² - 15х + 56 = 0; (х₁, х₂);

9. x² - x - 56 = 0 (x₂, x)

10. -5х² + 80х = 0; (x₂,x_x).

3 группа

Задание «Ваза»

1. х² - 4х - 21= 0; (х₁, х₂);

2. х² - 10х + 21 = 0; (х₁, х₂);

3. х² - 7х + 12 = 0; (х₁, х₂);

4. x² - 6x = 0; (x₂,x_x)\

5. х² + 4х - 32= 0; (x₂,x_l);

6. х² + 6х - 55 = 0; (x₂,x_l);

7. х² + 16х + 55 = 0; (x₂,x_l);

8. х² + 12х + 32 = 0; (x₂,x_l);

9. x² + 6x = 0; (х₁, х₂);

10. х² - 11х - 12 = 0; (х₁, х₂);

4 группа

Задание «Настольная лампа»

1. х² +15х + 44 = 0; (х₂, х₁);

2. х² + 9х + 8 = 0; (x₂,x_l);

3. x² + x = 0; (х₁, х₂)

4. х² + 6х = 0; (х₁, х₂);

5. х² - 4х - 21 = 0; (х₁, х₂);

6. x² - 10х + 21 = 0; (х₁, х₂);

7. х² - 6х = 0; (х₂, х₁);

8. х² - х = 0; (х₂, х₁);

9. х² + 7х - 8 = 0; (х₂, х₁);

10. х² + 7х - 44 = 0; (х₂, х₁);

5 группа

Задание «Звезда».

1. х² - 4х = 0; (х₂, х₁),

2. х² - 13х + 30 = 0; (х₂,х₁);

3. х² - 5х + 6 = 0; (х₁, х₂);

4. х² - 8х = 0; (х₁, х₂);

5. х² - х - 6 = 0; (х₁, х₂);

6. х² + 7x - 30 = 0; (х₁, х₂);

7. x² + 4x = 0; (х₁, х₂);

8. x² + 13x + 42 = 0; (х₂, х₁);

9. x² + 3x = 0; (х₂, х₁);

10. x² + x - 42 = 0; (х₂, х₁);

Занятие № 5

«Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)»

1. Исторические сведения

Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции.

В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье.

С 1571 года Виет занимает важные государственные посты

В 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа.

В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство»

Знаменитая теорема была обнародована в том же 1591 году

Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны.

Умер в Париже в 1603 году

2) Теоретические сведения

• Актуализация знаний (формулировка теорем Виета прямой и обратной)

• Если свободный член q приведенного уравнения положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента р Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

• Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если р < 0, или отрицателен, если р > 0.

2) Применение теоретических сведений:

• Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корней:

1. х² - 2х - 15 = 0;

2. х² + 2х - 8 = 0;

3. х² + 10х + 9 = 0;

4. х² - 12х + 35 = 0;

5. Зх² + 14 х + 16 = 0;

6. 2х² - 5 х + 6 = 0;

7. х² - 2х + 1 = 0;

8. х² + 4 х + 4 = 0;

9. х² - 6х + 9 = 0;

10. 4х² + 7х - 2 = 0;

11. 5х² - 9х - 2 = 0;

12. 2х² - 11 х + 15 = 0.

Не решая квадратного уравнения 5х² +13х - 6 = 0, найти сумму квадратов его корней

• Разность корней уравнения 2х² - 5х + с = 0 равна 0,25. Найти с.

• Один из корней уравнения 4х² + bх + с = 0 равен 0,5, а другой - свободному члену. Найти b и с.

• Не решая квадратного уравнения 3х² + 8х - 1 = 0 (х₁ и хкорни уравнения, вычислить):

  1. х₁+ х

  2. х_{1 *} х + х₁ * х

  3. (х₁ - х)

  4. х + х₁

  5. 

• Не решая квадратного уравнения х² + 5х - 4 = 0 (х₁ и хкорни уравнения), составить квадратное уравнение с корнями:

  1. у= 1/х₁ у= 1/х

  2. у= х_1*х у= х*х₁

  3. у= х₁/х у= х/х₁

  4. у= х+ 2х у= х+ 2 х

Занятие № 6

«Решение уравнений способом «переброски»»

1. Теоретические сведения

Рассмотрим квадратное уравнение ах² + bх + с = 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + abх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у и унайдем с помощью теоремы Виета. Получаем х₁ = у/а и х= у/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Примеры

1. Решим уравнение 2х² - 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у² - 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета у= 5, у=6, то х₁ = 5/2, х= 6/2

Ответ: 2,5; 3.

2. Уравнения для закрепления теоретических сведений:

   • 3 х² - (3+) х + 1 = 0

   • 2х² - 9х + 9 = 0;

   • 3х² + х - 4 = 0;

   • 10х² - 11х + 3 = 0;

   • 5х² - 11х + 6 = 0;

   • 3х² + 11х + 6 = 0;

   • 2х² + х - 10 = 0;

   • 4х² + 12х + 5 = 0;

   • 6х² + 5х - 6 = 0.

Занятие № 7

«Свойства коэффициентов квадратного уравнения»

1) Теоретические сведения (свойства с доказательством)

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а 0.

Свойство 1.

Если а + bх + с = 0 (т е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х₁ = 1, х₂ = с/а

Свойство 2.

Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х₁ = - 1, х= - с/а

2) Решить уравнения:

1. 5х² - 7х + 2 = 0;

2. 839х² - 448х - 391 = 0;

3. 3х²+ 5х - 8 = 0;

4. 939х² + 978х + 39 = 0;

5. 11х² + 25х - 36 = 0;

6. 313х² + 326х + 13 = 0;

7. 11х² + 27х + 16 = 0;

8. 1999х² - 2000х + 1 = 0.

Занятие № 8, №9

«Графическое решение квадратное уравнения»

Если в уравнении х² + рх + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х² = - рх - q.

Построим графики зависимостей у = х² и у = - рх - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая.

Возможны следующие случаи:

• прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

• прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

• прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решить уравнения:

• х² - x - 6 = 0;

• х² - 4х + 4 = 0;

• х² + 4х + 6 = 0;

• х² - 6х + 9 = 4/х

• х² - 1= 6/х

• (х+1) = -2/х

• - х² - 2х +4=

• - х² + 6х - 4 = |х|

Занятие № 10

«Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки»

Теоретические сведения:

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В (х_1, 0) и D (х_2, 0), где х_1, х₂ корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 и проходит через точки А (0, 1) и С(0,с/а) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ*ОD = ОА*ОС, откуда получаем ОС==

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд АС и BD, поэтому SK=

SF=

План решения уравнения:

1) Построим точки S ( ) (центр окружности) и А(0; 1);

2. Проведем окружность с радиусом SA;

3. Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая:

• Радиус окружности больше ординаты центра

• Радиус окружности равен ординате центра

• Радиус окружности меньше ординаты центра

Пример. х- 2х - 3 = 0

Определим координаты точки центра окружности по формулам:

x = у =

Проведем окружность радиуса SА, где А (0;1)

Корни уравнения 3 и -1

Уравнения для закрепления теоретических сведений:

1) х² - 3х + 2 = 0;

2. х² - 3х - 10 = 0;

3. х² + 4х + 3 = 0;

4. 2х² - 7х + 5 = 0;

5. х² - 6х + 9 = 0;

6. х² + 4х + 5 = 0.

Закрепление способа извлечения квадратного корня без таблицы:

Занятие № 11

«Решение квадратных уравнений с помощью номограммы»

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на странице 83 Четырехзначных математических таблиц, автор Брадис В.М. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z² + рz + q = 0;

Эта номограмма позволяет, не решая квад­ратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Уравнения для закрепления:

1) z² - 7z + 6 = 0;

2) z² + 5z + 4 = 0;

3) z² - 4z + 4 = 0;

4) z² - z - 6 = 0;

5) z² - 11 z + 18 = 0;

6) z² - 2z + 3= 0

Занятие № 12

«Геометрический способ решения квадратных уравнений»

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

1. Решим уравнение х²+ 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39»

Р

С

D

хассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2, следовательно, площадь каждого равна 2х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6

В

А

х

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников (4*2 = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6*4 = 25), т.е. S = х² + 10* + 25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т. е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 - 2 - 2 = 3

2. Как древние греки решали уравнение у² + 6y - 16 = 0. Решение представлено на рисунке, где у² + 6у = 16, или у² + 6 у + 9 = 16 + 9.

у

3Выражения у² + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у² + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = + 5 и у + 3 = - 5, или у=2, у₂= -8

3. Уравнения для закрепления геометрического способа:

• у² - 6y - 16 = 0

• х² - 10х - 39 = 0

• х²+ 7х - 8 = 0

• х²+ 8х - 9= 0

• х²- 8х + 9 = 0

Занятие №13, №14,№ 15

«Решение уравнений, сводящиеся к квадратным, при введения новой переменной»

Решить уравнение:

Решение:

Пусть = t, тогда получим уравнение 2t² - 7t + 5 = 0

Используя свойство коэффициентов а + b + с = 0 имеем:

t₁ = 1 нет решений

t₂ =

Ответ:

(х² - 8)² + 4(x² - 8) - 5 = 0

x² - 8 = y

y² + 4y - 5 = 0

y1 = 1 y2 = -5

y₁ = 1 x² - 8 = 1 x² = 9 x₁ = 3; x₂ = -3

y₂ = -5 x² - 8 = -5 x² = 3 x₃ = -√3 x₄ = √3

Ответ: -√3; √3; -3; 3

x + x + 2x³ + 2x² + x + 1 =0

x (x + 1) + 2x²(x + 1) + (x + 1) = 0

(x + 1) (x + 2x² + 1) = 0

(x + 1) (x² + 1)² = 0

x = -1 x = -1

x² = -1 нет решений

(х² - 5х +7)² - 2(х² - 5х +7) - 3 = 0

Решение:

Это уравнение можно решить методом замены.
Выражение (х² - 5х +7)=t, тогда уравнение примет вот такой вид:

t²-2t-3=0 ( t=3 и t=-1)

Теперь возвращаемся к замене:

х² -5х+7=3
х² - 5х+4=0
x₁=4х₂=1

х² - 5х +7=-1
х² - 5х +8=0
корней нет

ответ: x₁=4 х₂=1

1. (х² - 2)² - 8(х² - 2) + 7 = 0

2. 4х⁴ - 37х² + 9 = 0

3. 5х² - 8|х| + 3 = 0

4. 4х² - 28х + с = 0, х₂ = х₁ + 6, с=?

5. (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4 )= 2

Домашнее задание:

1. (х + 3)² - 2(х + 3) - 8 = 0

2. (х + 5)⁴ + (х + 5)² - 20 = 0

3. (х + 5)(х - 2)(х + 4)(х - 1 )= 40

4. 7х² - 10|х| + 3 = 0

Занятие № 16

Смотр знаний по десяти способам решения квадратных уравнений

1 этап

Проверка знаний теоретических вопросов.

(Подготовлены вопросы по теории)

Билет № 1

1. Сформулировать определение квадратного уравнения. Привести примеры.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения способом разложения на множители.

Билет № 2

1. Виды квадратных уравнений. Привести примеры.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения способом выделения полного квадрата

Билет № 3

1. Зависимость корней квадратного уравнения от коэффициентов

2. Алгоритм решения квадратного уравнения с использование теоремы обратной теореме Виета.

Билет № 4

1. Что называется дискриминантом? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

2. Алгоритм решения квадратного уравнения способом «переброски»

Билет № 5

1. Сформулировать терему Виета (прямую), доказать ее.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения, используя свойства коэффициентов

Билет № 6

1. Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением? Виды неполных квадратных уравнений.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом.

Билет № 7

1. Способы решения неполных квадратных уравнений.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки

Билет № 8

1. Сформулировать терему Виета (обратную), доказать ее.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения с помощью номограммы

Билет № 9

1. Словесные формулировки формул корней квадратного уравнения

2. Алгоритм решения квадратного уравнения геометрическим способом

2 этап

Практический: проверка умения решать квадратные уравнения различными способами.

Выдаются карточки с квадратными уравнениями, каждое решить тремя различными способами.

1. Решить уравнения

• 3х²+ 5х - 2 = 0

• х² - 8х + 7 = 0

• 5х² - 11 х + 2 = 0

• 4х²+ х - 3 = 0

• х² + 4х + 3 = 0

• 2х² - х - 15 = 0

К концу занятия лист учета знаний заполнен, можно подвести итог, указать основные ошибки, над устранением которых необходимо поработать

Занятие № 17

Демонстрация итоговых работ учащихся

Литература

Для учителя:

Плужников И.10 способов решения квадратных уравнений//Математика в школе.-2000.-№40

Пресман А.А.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. М.Квант.№4/72

Для учащихся:

Алгебра 8 класс: Виленкин Н.Я. и др. Учебное пособие для классов с углубленным изучением математики

Алгебра 8 класс: Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. Учебник для общеобразовательных учреждений

Четырехзначные таблицы для средней школы: Брадис В.М. с 83

Рецензия

на программу элективного курса по выбору

«10 способов решения квадратного уравнения»,

учителя математики

высшей квалификационной категории

МБОУ «Гимназия №1»

Рузаевского муниципального района

Рудометовой Елены Николаевны

Рецензируемая программа «10 способов решения квадратного уравнения» состоит из пояснительной записки, требований к математической подготовке учащихся, содержания обучения. Анализ содержания программы позволяет констатировать, что программа соответствует основным принципам реализации концепции предпрофильного обучения, содержание ее актуально, так программа содержит новые для учащихся знания, не содержащиеся в базовых программах, содержит все знания необходимые для достижения запланированных целей обучения. Развертывание материала в программе структурировано таким образом, что изучение всех последующих тем обеспечивается предыдущими темами. Степень обобщенности включенных в программу знаний соответствует поставленным в ней целям и обучения и развитию абстрактного мышления учащихся, формированию системности знаний. Методы обучения соответствуют поставленным в программе целям. Материал программы распределен во времени с учетом его достаточности для качественного изучения учащимися и получения запланированных результатов. Он предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 8-9-х классов и рассчитан на 17 часов.

По замыслу автора, этот курс позволяет полнее учесть интересы и профессиональные намерения старшеклассников, следовательно, сделать обучение более интересным для учащихся и получить более высокие результаты.

Программа актуальна и может быть рекомендована преподавателям математики для проведения факультативных занятий и на уроках.

Рецензент: Главный специалист УО Администрации

Рузаевского муниципального района

Плигина Н.А.

Рецензия

на программу элективного курса по выбору

«10 способов решения квадратного уравнения»,

учителя математики

высшей квалификационной категории

МБОУ «Гимназия №1»

Рузаевского муниципального района

Рудометовой Елены Николаевны

Рецензируемая программа «10 способов решения квадратного уравнения» разработана с учетом требований федерального компонента Государственного образовательного стандарта среднего (полного) образования по математике и запросов учащихся по данному направлению.

Структура программы соответствует наличию обязательных компонентов:

• пояснительная записка включает цели и задачи, аргументы в пользу актуальности и новизны работы, срок реализации программы

• содержательная часть имеет характеристику педагогических организационных условий, необходимых для получения образовательного результата

• раскрывает методику работы над содержанием изучаемого материала, возможность использования современных технологий для достижения результативности в усвоении содержания курса

• список использованной литературы достаточно полный, соответствует последним требованиям образовательных стандартов и содержанию рабочей программы.

Анализ содержания программы «10 способов решения квадратного уравнения» позволяет констатировать, что программа соответствует основным принципам реализации концепции профильного обучения, содержание ее актуально, так программа содержит новые для учащихся знания, не содержащиеся в базовых программах, содержит все знания необходимые для достижения запланированных целей обучения.

Развертывание материала в программе структурировано таким образом, что изучение всех последующих тем обеспечивается предыдущими темами. Степень обобщенности включенных в программу знаний соответствует поставленным в ней целям и обучения и развитию абстрактного мышления учащихся, формированию системности знаний.

Методы обучения соответствуют поставленным в программе целям. Материал программы распределен во времени с учетом его достаточности для качественного изучения учащимися и получения запланированных результатов.

Актуальность курса «10 способов решения квадратного уравнения» определяется тем, что этот курс поможет учащимся оценить свои возможности в решении уравнений.

Данный курс полезен не только учащимся, но и учителям, работающим в 8-х классах.

Рецензент: Заместитель директора по МР МБОУ« Гимназия №1»

Акимова Л.П.

©Рудометова Елена Николаевна,

учитель математики МБОУ «Гимназия № 1»