Методическая разработка Использование пифагоровых троек при решении геометрических задач и тригонометрических заданий ЕГЭ

Государственное казенное общеобразовательное учреждение Калужской области «Областной центр образования»

Методическая разработка

Использование пифагоровых троек при решении

геометрических задач и тригонометрических заданий ЕГЭ

Автор: Стоян Ирина Борисовна, учитель математики высшей категории, почетный работник общего образования РФ, педагогический стаж 30 лет

г. Калуга, 2016

Содержание

I. Введение

стр. 3

II. Основная часть. Использование пифагоровых троек при решении геометрических задач и тригонометрических заданий.

2.1. Таблица троек пифагоровых чисел (по Перельману)

стр.4

2.2 . Классификация пифагоровых троек по Шустрову.

стр.4

2.3. Задачи по планиметрии

стр. 5

2.4. Пифагоровы тройки в тригонометрии

стр. 8

III. Заключение

стр. 9

Библиографический список

стр. 9

I. Введение

Теорема Пифагора - одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: a²+b²=c². Однако не Пифагор открыл теорему, носящую его имя. Она была известна еще раньше, но, возможно, только как факт, выведенный из измерений. Надо думать, Пифагор знал это, но нашел доказательство.

Существует бесчисленное множество натуральных чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению a²+b²=c^2.. Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника - будем называть их пифагоровыми треугольниками.

Цель работы: изучить возможность и эффективность применения пифагоровых троек для решения задач школьного курса математики, заданий ЕГЭ.

Исходя из цели работы, поставлены следующие задачи:

1. Изучить историю и классификацию пифагоровых троек.

2. Проанализировать задачи с применением пифагоровых троек, имеющиеся в школьных учебниках и встречающиеся в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ.

3. Оценить эффективность применения пифагоровых троек и их свойств для решения задач.

Объект исследования: пифагоровы тройки чисел.

Предмет исследования: задачи школьного курса тригонометрии и геометрии, в которых используются пифагоровы тройки.

Актуальность исследования. Пифагоровы тройки часто используются в геометрии и тригонометрии, знание их избавит от ошибок в вычислениях и экономит время.

II. Основная часть. Решение задач с помощью пифагоровых троек.

2.1.Таблица троек пифагоровых чисел (по Перельману)

Пифагоровы числа имеют вид a = m·n, , , где m и n - некоторые взаимно простые нечетные числа.

Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей:

Один из «катетов» должен быть кратным трем.

Один из «катетов» должен быть кратным четырем.

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

В книге Я. И. Перельмана «Занимательная алгебра» приводится таблица пифагоровых троек, содержащих числа до ста, не имеющих общих множителей. ¹

2.2. Классификация пифагоровых троек по Шустрову.

Шустровым была обнаружена такая закономерность: если все пифагоровы треугольники распределить по группам, то для нечетного катета x, четного y и гипотенузы z справедливы следующие формулы:

х = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, где N - номер семейства и n - порядковый номер треугольника в семействе.

Подставляя в формулу в место N и n любые целые положительные числа, начиная с единицы, можно получить, все основные пифагоровы тройки чисел, а также кратные определенного вида. Можно составить таблицу всех пифагоровых троек по каждому семейству².

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

X

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

Y

4

12

24

40

60

84

112

144

180

220

Z

5

13

25

41

61

85

113

145

181

221

2

X

15

21

27

33

39

45

51

57

63

69

Y

8

20

36

56

80

108

140

176

216

260

Z

17

29

45

65

89

117

149

185

225

269

3

X

35

45

55

65

75

85

95

105

115

125

Y

12

28

48

72

100

132

168

208

252

300

Z

37

53

73

97

125

157

193

233

277

325

2.3. Задачи по планиметрии

Рассмотрим задачи из различных учебников по геометрии и выясним, насколько часто встречаются пифагоровы тройки в этих заданиях. Тривиальные задачи на нахождение третьего элемента по таблице пифагоровых троек рассматривать не будем, хотя они тоже встречаются в учебниках. Покажем, как свести решение задачи, данные которой не выражены натуральными числами, к пифагоровым тройкам.

Рассмотрим задачи из учебника по геометрии для 7-9 класса Л.С.Атанасяна³.

№ 483.Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по катетам а=, b=.

Решение. Умножим длины катетов на 7, получим два элемента из пифагоровой тройки 3 и 4. Недостающий элемент 5, который делим на 7. Ответ .

№ 486. В прямоугольнике ABCD найдите BC, если CD=1,5, AC=2,5.

Решение. Решим прямоугольный треугольник АСD. Умножим длины на 2, получим два элемента из пифагоровой тройки 3 и 5, Недостающий элемент 4, который делим на 2. Ответ: 2.

При решении следующего номера проверять соотношение a²+b²=c² совершенно необязательно, достаточно воспользоваться пифагоровыми числами и их свойствами.

№ 498. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:

а) 6,8,10 (пифагорова тройка 3,4.5) - да;

б)5,6,7

Один из катетов прямоугольного треугольника должен делиться на 4. Ответ: нет.

в) 9,12,15 (пифагорова тройка 3,4.5) - да;

г) 10,24,26 (пифагорова тройка 5,12.13) - да;

д) 3,4,6

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти. Ответ: нет.

е) 11,9,13

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти. Ответ: нет.

ж) 15, 20, 25 (пифагорова тройка 3,4.5) - да.

Из тридцати девяти заданий данного параграфа (теорема Пифагора) двадцать два решаются устно с помощью пифагоровых чисел и знания их свойств.

Рассмотрим задачу №517 (из раздела «Дополнительные задачи»):

Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ=5 см, ВС=13 см, CD=9 см, DА=15 см, АС=12 см.

В задаче надо проверить соотношение a²+b²=c² и доказать, что данный четырехугольник состоит из двух прямоугольных треугольников (обратная теорема). А знание пифагоровых троек: 3, 4, 5 и 5, 12, 13, избавляет от вычислений.

Приведем решения нескольких задач из учебника по геометрии для 7-9 класса Н.М.Рогановского⁴.

Задача 156 (з). Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

Решение. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Пифагорова тройка 9,40 и 41. Следовательно, медиана равна 20,5.

Задача 156 (и). Боковые стороны треугольника равны: а = 13 см, b = 20 см, а высота h_с = 12 см. Найдите основание с.

Решение. Из ∆ АСH: АH=5 см (пифагорова тройка 5,12,13). Из ∆ СВH: ВС=20, СH=12. Делим 12 и 20 на 4. Получаем 3 и 5,недостающее число 4, которое умножаем на 4, получаем 16. ВH=16 см. АВ = 5+16 =21 см.

Задача 156 (к). В треугольнике больший угол при основании равен 45 градусов, а высота делит основание на части, равные 8 м и 15 м. Найдите большую боковую сторону.

Решение. Из ∆ АСH: HС=АH=8 м, а в ∆ СВH видим пифагорову тройку 8, 15, 17. Ответ: 17м.

Задача (КИМы ЕГЭ). Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота ВH равна12 и известно, что sin А=, sin С=.

Решение. Решаем прямоугольный ∆ АСК: sin А=, ВH=12 , отсюда АВ=13,АК=5 (Пифагорова тройка 5,12,13). Решаем прямоугольный ∆ ВСH: ВH =12, sin С===. Далее находим СH=33=9 (Пифагорова тройка 3,4,5). Радиус находим по формуле r ===4. Ответ.4.

2.4. Пифагоровы тройки в тригонометрии

Основное тригонометрическое тождество - частный случай теоремы Пифагора: sin²a + cos²a = 1; (a/c) ² + (b/c)² =1. Поэтому некоторые тригонометрические задания легко решаются устно с помощью Пифагоровых троек.

Задачи, в которых требуется по заданному значению функции найти значения остальных тригонометрических функций, можно решить без возведения в квадрат и извлечения квадратного корня. Все задания этого типа в школьном учебнике алгебры (10-11) Мордковича (№ 116-№119) можно решить устно, зная всего несколько пифагоровых троек: 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25⁵. Рассмотрим решения двух заданий.

№116 а). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Решение. Пифагорова тройка: 3, 4, 5. Следовательно, cost = -3/5; tg t = -4/3,

ctg t =-3/4.

№ 118 б). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Решение. tg t = 2,4=24/10=12/5. Пифагорова тройка 5,12,13. Учитывая знаки, получаем sin t = -12/13, , cost = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ

а) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

б) sin (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

г) ctg (arccos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 tg (π-arcsin (-3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3·3/4=1

е) проверьте верность равенства:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Решение. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arсcos 16/65)

sin (arcsin 4/5) · cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) · sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 · 12/13 + 3/5 · 5/13 = 63/65

63/65 = 63/65.

III. Заключение

В геометрических задачах часто приходится решать прямоугольные треугольники, иногда несколько раз. Проанализировав задания школьных учебников и материалов ЕГЭ, можно сделать вывод, что в основном используются тройки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; которые легко запомнить. При решении некоторых тригонометрических заданий классическое решение с помощью тригонометрических формул и большим количеством вычислений занимает время, а знание пифагоровых троек избавит от ошибок в вычислениях и сэкономит время для решения более трудных задач на ЕГЭ.

Библиографический список

1. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г.Мордковича. - 8-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2007. - 315 с. : ил.

2. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.

3. Рогановский Н.М. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. с углубл. изучением математики общеобразоват. шк. с рус.яз. обучения, - 3-е изд. - Мн.; Нар. Асвета, 2000. - 574 с.: ил.

4. Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике. / Сост. Г.Д.Глейзер. - М.: Изд-во УРАО, 2001. - 384 с.

5. Журнал «Математика в школе» №1, 1965 год.

6. Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ.

7. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразовательных учреждений /Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - 13-е изд.. - М. : Просвещение,2003. - 384 с. : ил.

8. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993, - 207 с.: ил.

1 Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.

2 Журнал «Математика в школе» №1, 1965 год.

3 Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразовательных учреждений /Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - 13-е изд.. - М. : Просвещение,2003. - 384 с. : ил.

4 Рогановский Н.М. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. с углубл. изучением математики общеобразоват. шк. с рус.яз. обучения, - 3-е изд. - Мн.; Нар. Асвета, 2000. - 574 с.: ил.

5 Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г.Мордковича. - 8-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2007. - 315 с. : ил., стр.18.