Факультатив по математике «Признаки делимости натуральных чисел»

Факультативные занятия по математике

«Итоговое повторение школьного курса математики» (10 класс)

Занятие № 1. Признаки делимости натуральных чисел

Основные определения, теоремы, формулы и опорные примеры

В некоторых случаях, не производя деление натурального числа на натуральное число , можно ответить на вопрос, выполнимо ли деление на без остатка или нет. Ответ на этот вопрос получается с помощью различных признаков делимости.

1. Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Доказательство.

Так, не выполняя сложения, можно установить, что сумма 48+64+96 делится на 16 - ведь каждое слагаемое этой суммы делится на 16.

Не следует считать, однако, что если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37 + 19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 ре являются кратными числа 4. Таким образом, сформулированное условие является достаточным, но не является необходимым, для делимости суммы на число .

Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Доказательство..

Так, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение делится на 5 - ведь 105 делится на 5.

Как и в предыдущем случае, сформулированное условие является достаточным для делимости произведения на , но не является необходимым. Например, произведение делится на 36, в то время, как ни 12, ни 18 на 36 не делятся.

2. Признаки делимости на числа, оканчивающиеся цифрами 1, 3, 7, 9. Они удобны для не особо больших чисел.

Делимость данного числа на какое-либо из чисел, оканчивающихся цифрами 1, 3, 7, 9, сведем к делимости на это число некоторой суммы, задаваемой определенным образом. Продемонстрируем это на примерах.

Так, при выяснении вопроса о делимости конкретного целого числа на 19 надо рассмотреть сумму из двух слагаемых, первое из которых будет представлять произведение постоянного множителя 2 на цифру единиц данного числа, а второе - число его десятков. Замечаем: если полученная при этом сумма будет делиться на 19, то и испытываемое число будет делиться на 19; если же полученная при этом сумма не будет делиться на 19, то и испытываемое число не будет делиться на 19. Например, числу 247 соответствует построенная указанным способом сумма 2∙7 + 24 = 38, 38 делится на 19, следовательно, на 19 делится и 247. Условимся это записывать так: Приведем еще несколько примеров.

Таким образом, есть гипотеза:

В случае выяснения вопроса о делимости чисел на 29 также будем представлять их в виде аналогичной суммы, как и при делимости на 19, но с другим постоянным множителем: теперь он будет равен 3. Например:

Возникает вторая гипотеза:

Совершенно также можно рассмотреть примеры делимости чисел на 39, 49, 59, … с постоянными множителями соответственно 4, 5, 6, …

Проведем в общем виде рассуждения о делимости чисел на числа, оканчивающиеся на 9, т. е. на числа вида , где . Сформулируем признак делимости на числа вида в виде теоремы (при этом будем использовать тот факт, что любое целое число можно представить в виде ).

Теорема 1. Число делится на , т. е. на число, оканчивающееся цифрой 9, тогда и только тогда, когда на это число делится сумма

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим тождество = 10() - (). Так как () делится на , то и 10() одновременно либо делятся, либо не делятся на .

Итак, теорема 1 доказана. Гипотезы верны. Следовательно, чтобы определить, делится ли на , надо рассмотреть число и проверить его делимость на .

Например, пусть т. е. проверим делимость некоторых чисел на 59:

178

В этом случае

Сформулируем теперь признак делимости на числа, оканчивающиеся на цифру 1, т. е. на числа вида , где (− множество, состоящее из всех натуральных чисел и нуля).

Теорема 2. Число делится на тогда и только тогда, когда на делится .

Доказательство теоремы 2 следует из тождества

= () -10().

Действительно, так как () делится на , то и 10() одновременно либо делятся, либо не делятся на . Теорема 2 доказана.

Итак, чтобы определить, делится ли данное число на число , т. е. на число, оканчивающееся на 1, необходимо проверить делимость на него числа . Приведем примеры.

Пусть т. е. рассматриваем признак делимости на 71:

В этом случае

Аналогично можно доказать признаки делимости на числа, оканчивающиеся на 3 и на 7.

Теорема 3. Число делится на , т. е. на число, оканчивающееся на цифру 3, тогда и только тогда, когда делится на , где .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как =10, то и одновременно или делятся, или не делятся на , что и требовалось доказать.

Обратим внимание, что здесь постоянный множитель

Из теоремы 3 можно получить многочисленные следствия. В частности, удобно пользоваться на практике следующим признаком делимости на 13.

Следствие. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда делится на 13. Действительно, при получаем: (() Другое доказательство этого следствия основывается на представлении в виде

Теорема 4. Число делится на , т. е. на число, оканчивающееся на цифру 7, тогда и только тогда, когда делится на , где.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Поскольку = , то и одновременно или делятся, или не делятся на , т. е. утверждение доказано.

Заметим, что и здесь постоянный множитель

Из теоремы 4 можем получить практические следствия. Так, очень удобно пользоваться следующим признаком делимости на 7.

Следствие. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7. Действительно, при получаем: Другой способ доказательства этого следствия можно получить так. Запишем данное число по-другому: = Первое из двух полученных слагаемых делится на 7. Сумма будет делиться на 7 тогда и только тогда, когда и второе слагаемое будет делиться на 7. А это возможно тогда и только тогда, когда делится на 7

Приведем примеры:

В этом случае

Использование признаков делимости на числа, оканчивающиеся на цифру 1, 3, 7, 9, позволяет последовательно переходить к числам, имеющим на один разряд меньше, к которым снова следует применять тот же признак (например, признак делимости на 7) до тех пор, пока не доберемся до числа, делимость которого (например, на то же число 7) проверяется элементарно. Таким образом, получен вполне определенный алгоритм.

3. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 24, 25, 125 и общий признак делимости.

Для вывода признаков делимости на 2 («чет-нечет»), 4, 5, 8, 25, 125 воспользуемся десятичной записью чисел. Так, число 7018 = 7∙1000 + 0∙100 + 1∙ 10 + 8 = 7∙ + 0∙ + 1∙ 10 + 8. В общем виде в позиционной десятичной записи число а = (черта наверху показывает, что мы рассматриваем не произведение чисел а десятичную запись числа а).

Лемма. Если делится на то число делится на в том и только в том случае, когда на делится число .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если существует такое натуральное число что делится на , то на делятся все числа , где Поэтому число а имеет при делении на тот же остаток, что и число что и требовалось доказать.

Так как число 10 делится на 2, то по лемме имеем: число делится на 2 в том и только в том случае, когда на 2 делится число (т. е. цифра в разряде единиц равна 0, 2, 4, 6 или 8).

Аналогично из того, что 10 делится на 5, из леммы вытекает: число делится на 5 в том и только в том случае, когда на 5 делится число (т. е. цифра в разряде единиц равна 0 либо 5).

Далее, число 100 делится на 4 и на 25. Согласно лемме: число делится на 4 в том и только в том случае, когда на 4 делится число (т. е. двузначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а); число делится на 25 в том и только в том случае, когда на 25 делится число (т. е. двузначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а).

Аналогично, так как число 1000 делится на 8 и на 125, то согласно лемме: число делится на 8 в том и только в том случае, когда на 8 делится число (т. е. трехзначное число, составленное из цифр в разрядах сотен, десятков и единиц числа а); число делится на 125 в том и только в том случае, когда на 125 делится число (т. е. трехзначное число, составленное из цифр в разрядах сотен, десятков и единиц числа а).

Докажем теперь следующий общий признак делимости, принадлежащий французскому ученому Блезу Паскалю (1623 - 1662 г.г.):

Если остаток от деления на равен где , то остаток от деления числа на совпадает с остатком от деления на числа (в частности, если делится на , то и число а делится на ).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В самом деле, так как остаток от деления числа на равен то можно записать в виде = Поэтому имеем: а = = Слагаемое делится на . Поэтому числа а и имеют одинаковые остатки при делении на . Признак делимости Паскаля доказан.

Заметим, что остатки от деления на 3 чисел 10, 100, 1000, и т. д. равны 1. Поэтому по признаку Паскаля получаем: число делится на 3 в том и только в том случае, когда на 3 делится сумма , т. е. сумма цифр десятичной записи этого числа.

Аналогично остатки от деления на 9 чисел 10, 100, 1000, и т. д. равны тоже 1. Поэтому по признаку Паскаля получаем: число делится на 9 в том и только в том случае, когда на 9 делится сумма , т. е. сумма цифр десятичной записи этого числа.

Существуют и другие признаки делимости на 7 и на 13. Заметим, что 7∙ 11∙ 13 = 1001. Но 1001 = 1000 + 1, 1 000 000 = 1001∙ 999 + 1, 1 000 000 000 = 1001∙ 999 001 - 1 и т. д. Применяя рассуждения, аналогичные проведенным при выводе признака делимости Паскаля, получаем признаки делимости на 7 и на 13 в таком виде: чтобы узнать, делится ли натуральное число а на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося выражения делится на 7 (соответственно на 13), то и заданное число делится на 7 (соответственно на 13). Например, число 459 348 965 866 делится на 7, но не делится на 13, так как выражение 459 - 348 + 965 - 866 = 210, а 210 делится на 7, но не делится на 13.

_{Выведем теперь признак делимости на 11. Имеем:}

и т. д. Следовательно, при по признаку делимости Паскаля = Таким образом, на 11 делятся все те и только те числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой остальных цифр делится на 11.

Приведем и более строгое обоснование признака делимости на 11 с использованием формулы . Справедливость этой формулы устанавливается непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных членов в ее правой части. А сама формула показывает, что число делится на 11. Но тогда делится на 11 и число , а потому число дает при делении на 11 остаток 10. Далее число можно записать в виде Так как то делится на 11. Но и поэтому дает при делении на 11 остаток 1. Применяя признак делимости Паскаля, получаем, что числа и имеют один и тот же остаток при делении на 11. Заметим, что 10 = 11 - 1, а потому = Отсюда видно, что число делится на 11 в том и только в том случае, когда делится на 11 выражение

Из общего признака Паскаля можно вывести и другие частные признаки делимости. Представляется целесообразным установить, например, еще такой признак делимости на 7, 11, 13: на 7, 11 или 13 делятся те и только те числа, у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7, на 11 или на 13. Найдут применение и признаки делимости на 6, 12, 18, 24 и т. д. Например, на 6 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на 3; на 12 делятся те и только те числа, которые делятся на 3 и на 4; на 18 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на 9.

Полезно доказать самостоятельно в общем виде следующие признаки.

Для делимости числа а на целый делитель числа необходимо и достаточно, чтобы на делилась последняя грань числа а из цифр.

Для делимости числа а на целый делитель числа необходимо и достаточно, чтобы на делилась сумма -цифирных граней числа а. Например, 999 27. Для делимости числа на 27 нужно, чтобы его сумма трехцифирных граней делилась на 27.

Для делимости числа а на целый делитель числа необходимо и достаточно, чтобы на делилась сумма его -цифирных граней, взятых со знаком «плюс», если грань стоит на нечетном месте, и со знаком «минус» − если на четном (т. е. знаки граней чередуются).

Тогда, чтобы вывести признак делимости на заданное число, например, на 11, можно представить 11 как , а можно рассматривать 11 как делитель числа 99 = . Аналогично придется поступать и в случае других чисел. Так, число 13 - делитель числа 1001 = .

Запомним, что целое число делится:

-на 2, если последняя его цифра делится на 2;

-на 3, если сумма его цифр делится на 3;

-на 4, если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4;

-на 5, если его последняя цифра либо 0, либо 5;

-на 9, если сумма его цифр делится на 9;

-на 10, если его последняя цифра 0;

-на 11, если разность суммы цифр, стоящих на четных местах, и суммы цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.

4. Применение признаков делимости при решении задач.

Пример 1. Можно ли представить число 2005! в виде суммы 2005 нечетных натуральных чисел? (Обозначение: ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙…∙ )

Нет. Число 2005! четно, а требуемая сумма нечетна.

Пример 2. Найти общие делители чисел: 247247, 612612, 538538, 759759, 173173.

Ясно, что все они делятся на 1. Далее, любое из них можно записать в виде . Последнее число можно прочитать как тысяч и единиц, т. е. = ∙ 1000 + = 1001∙ = 7 ∙ 11 ∙ 13. Значит, числа данного вида делятся не только на 1, но и на 7, на 11, на 13, на 77, на 91, на 143, на 1001. Это - натуральные общие делители данных чисел. Отрицательными общими делителями данных пяти чисел являются соответственно - 1, - 7, - 11, - 13, - 77, - 91, - 143, - 1001.

Пример 3. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 - остаток 2, при делении на 4 - остаток 3, при делении на 5 - остаток 4, при делении на 6 - остаток 5, при делении на 7 - остаток 6, при делении на 8 - остаток 7 и при делении на 9 - остаток 8.

Обратим внимание на то, что делитель каждый раз всего лишь на 1 больше остатка, т. е. искомое число можно записать следующими способами: = 2 Прибавим теперь к обеим частям каждого из записанных равенств по 1. Получим: Тогда натуральное число по условию задачи является наименьшим из делящихся на 2, 3, …, 9. Но произведение 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 кратно числам 9, 8, 7, 5. Стало быть, наименьшим числом из делящихся на 2, 3, …, 9 будет число, равное произведению 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 5 = 2520. Значит, = 2520, а = 2519.

Пример 4. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 4, 5, 9, и 11 дает остатки соответственно 3, 4, 8 и 10. Ответ: 1979.

Пример 5. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй - на 2 см, в третий - на 3 см и т. д. Докажите, что после 125 прыжков он не сможет оказаться в том месте, откуда начинал прыгать в первый раз.

По прямой можно двигаться в двух противоположных направлениях. Ясно, что ответ должен годиться для любого варианта последовательности прыжков. Заметим, что кузнечику за 125 прыжков предстоит преодолеть расстояние 1 + 2 + 3 + … + 124 + 125 = (1 + 125) ∙125/2 = 7875 см. Но на сколько бы ни отдалился кузнечик от начальной точки, возвращаясь, ему придется преодолеть это же самое расстояние. Значит, сумма «пропрыганных» им расстояний туда и обратно должна выражаться четным числом, а число 7875 - нечетное. Поэтому кузнечик не сможет после 125 прыжков вернуться в ту же точку, из которой он начинал прыгать.

Пример 6. Может ли сумма попарных произведений трех последовательных чисел быть равной 3000?

Нет. не делится на 3.

Пример 7. Докажите, что разность квадрата нечетного числа и единицы кратна 4.

При любом натуральном число является нечетным. По условию задачи т. е. кратно 4.

Заметим также, что рассмотренные признаки делимости чисел существенно связаны с представлением чисел именно в десятичной системе исчисления. Эти признаки, вообще говоря, неприменимы при других системах исчисления. Так, если основание системы исчисления обозначить , то любое число N можно записать в виде: N = Тогда, рассуждая, как и в случае десятичной системы исчисления, получим теорему: Данное число N делится на число тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа N на остатки, полученные от деления соответствующих степеней основания системы исчисления () на число , делится на это число . Например, на любое данное число, большее единицы, для чисел, записанных в системе исчисления, основанием которой является это же число, делятся те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0.

Литература.

Мазаник А. А. Делимость чисел и сравнения: Учебный материал для факультативных занятий. - Мн.: Народная асвета, 1971. - 64 с.

Упражнения.

1. Установить без калькулятора,

а) делится ли 380023 на 7? б) делится ли 380023 на 233?

Решение. а)380023

Попробуйте установить то же самое с помощью рассмотренных выше других признаков делимости на 7.

2. Верно ли, что если а) в трехзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число кратно 11? б) в пятизначном числе сумма крайних и средней цифр равна сумме остальных цифр, то 11 делит это число?

Поиск решения а) приводит к следующим рассуждениям.

Пусть, например, таким числом будет 385. Убедиться, что это число делится на 11, можно либо непосредственным делением, либо разложением числа на простые множители, либо представлением числа в десятичной системе исчисления. Представим число 385 в виде: 3 ∙ 100 + 8 ∙ 10 + 5. Вспомним об условии задачи и используем его: 3 ∙ 100 + (3 + 5) ∙ 10 + 5 = (3 ∙ 100 + 3 ∙ 10) + (5 ∙ 10 + 5) = 30(10 + 1) + 5(10 + 1) = 30 ∙ 11 + 5 ∙ 11 = 11 ∙ 35, т. е. 385Частный случай обнажил способ решения задачи в общем виде. При для трехзначного числа , записанного в общем виде, аналогично имеем: Другой способ (с использованием теоремы 2 при ) ведет к рассуждениям сразу в общем виде: Третий способ: разность между цифрой, стоящей на четном месте, и суммой остальных цифр равна 0, 011, значит, и трехзначное число, обладающее указанным свойством, делится на 11.

3. Докажите, что число делится и на 73, и на 137. (Указание: 73 ∙ 137 = 10001).

4. Назовем шестизначное число «хорошим», если сумма его цифр делится на 7. Быть «хорошими» могут и пары соседних шестизначных чисел. Например, 950 000 и 949 999. Таких пар 12. Найдите остальные пары «хороших» шестизначных чисел.

5. Докажите, что а) число 2006 можно представить в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа; б) любое натуральное число можно представить в таком же виде, как и 2006.

Решение. а)

6. а) На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 очка за решение сложной и 2 очка за решение простой задачи. Кроме того, за каждую нерешенную простую задачу списывалось 1 очко. Саша решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач?

б) Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод? (Ответ: нет.)

Решение. а) Если бы все задачи на конкурсе были сложными, то Саша набрал бы 3∙10 = 30 очков. На каждой же простой задаче, независимо от того, решил ее Саша или нет, он теряет одно очко (т. е. получает на одно очко меньше, чем в том случае, если бы та же задача считалась сложной). Так как 14 = 30 - 16, то простых задач было 16.

7. а) Билет на транспорте считается «счастливым», если сумма первых трех цифр его шестизначного номера совпадает с суммой последних трех цифр. Докажите, что сумма номеров всех «счастливых» билетов делится на 13.

б) Можно ли из стержней с длинами 1, 2, 3, …, 199 используя их все, изготовить каркас куба? (Ответ: нет.)

Решение. а) Пусть трехзначные грани «счастливого» номера. Если , то номер (разность трехзначных граней должна делиться на 13). Если, то номер сложим с номером : += +, их сумма делится на 13.

8. Запишите любое 10-значное число и определите с помощью признаков деления натуральных чисел, делится ли оно на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13.

9. Докажите, что делится на 3.

10. Докажите, что квадрат нечетного числа есть число нечетное.

11. Докажите, что сумма двух четных (нечетных) чисел есть число четное.

12. Докажите, что произведение двух нечетных чисел нечетно. Верно ли обратное утверждение?

13. Докажите, что разность делится на 9, если разность делится на 3, где и натуральные числа.

Решение 1. При доказательстве делимости какого-либо натурального числа, заданного формулой, часто может помочь разложение его на множители. Попробуем реализовать эту идею. В данном случае имеем:

.

Применим свойство делимости суммы: если каждое из слагаемых суммы делится на данное число, то и сумма делится на это число. Так как делится на 3, то тоже делится на 3. Следовательно, также делится на 3.

Далее используем свойство делимости произведения: если каждый из двух множителей произведения делится на данное число, то произведение делится на квадрат данного числа. Значит, делится на 9, т. е. делится на 9.

Решение 2. Заметим, что число, кратное трем, можно записать в виде где Тогда а Подставим полученное представление в рассматриваемое выражение:

Следовательно, делится на 9.

Решение 3. Представим разность кубов в следующем виде:

Так как делится на 9 и тоже делится на 9, то число делится на 9.

Решение 4. Прежде всего, заметим, что если разность двух чисел делится на некоторое данное число, то каждое из этих чисел при делении на данное число дает один и тот же остаток. Поскольку делится на 3, то каждое из чисел и при делении на 3 дает один и тот же остаток, скажем, т. е. При этом может равняться 0, 1 или 2. Поэтому все натуральные числа можно разбить на три множества - на числа вида где и проверить, верно ли утверждение для каждого случая отдельно.

Если то =делится на 9.

Если то

Следовательно, делится на 9.

Если то

Значит, и в этом последнем случае делится на 9.

Таким образом, требуемое доказано полностью.

Решение 5. Пусть где Тогда и

т. е. Следовательно, делится на 9.

14. Доказать, что делится на 6, где

Решение 1. Преобразуем данный двучлен:

В этой сумме первое слагаемое, т. е. произведение трех последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на 3, и хотя бы одно делится на 2, следовательно, делится на 6. Второе слагаемое, т. е. при всех также делится на 6. Отсюда следует, что делится на 6 при всех .

Первое приведенное решение доступно учащимся, начиная с 7 класса.

Решение 2. При делении числа на 6 могут получиться остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, поэтому оно может быть представлено в виде Проверим делимость на 6 данного выражения, т. е. во всех случаях.

Если то делится на 6.

Если то

делится на 6.

Если то делится на 6.

Если тоделится на 6.

Итак, при любом натуральном выражение делится на 6.

Решение 3. Так как 6 = 2·3, где 2 и 3 - взаимно простые числа, то вопрос о делимости выражения на 6 сводится к вопросу о делимости его на 2 и на 3.

Рассматриваемое произведение при любом делится на 2, так как при первый множитель, а при второй множитель делится на 2.

Проверим делимость данного выражения на 3.

Пусть тогда делится на 3.

Пусть тогда

(делится на 3.

Значит, выражение при любом делится и на 2 и на 3, следовательно, оно делится на 6.

Второе и третье приведенные решения доступны учащимся, начиная с 8 класса. В 10 - 11 классах доказательство может быть проведено методом математической индукции.

15. Что собой представляют множество натуральных чисел и множество целых чисел?

Ответ: множество натуральных чисел N = , множество целых чисел Z = .

16. Любое целое число записывается с помощью цифр. Как записывается любое трехзначное число, состоящее из сотен(), десятков и единиц?

Ответ: . Например, 327 = .

17. Как записывается формула деления натурального числа А на натуральное число В с остатком ? Как записываются формулы четных и нечетных чисел?

Ответ: если натуральное число А делится на натуральное число В с остатком , то это значит, что А = В, где А - делимое, В - делитель, частное. Остаток может равняться 0, 1, 2, …, В - 1. Например, при делении на 2 возможны только остатки = 0 и = 1. Поэтому все четные числа можно записать так: А = 2, а нечетные - следующим образом: А = 2 + 1.

Д.з. 1) Знать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11; 2) Уметь выполнять упражнения 1 - 17.

12