МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
СРЕДНЯЯ ШКОЛА №22

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

«Удивительный мир земных звезд»

Секция: Прикладная математика

Автор: Вернигорова Дарья,

ученица 10 «А» класса

Руководитель: учитель математики-Юдинцева Надежда Львовна.

Нижневартовск

2010

План исследований:

Вопрос для изучения

методы

литература

1

Изучение литературы по данной теме

Поисковый ( поиск и сбор информации из литературы и Интернет)

Л.С. Атанасян «Учебник по геометрии 10-11класс». Москва «Просвещение» 2009г.

2

Удивительный мир земных звезд

Репродуктивный (систематизация информации)

Ворошилов А.В. Математика и искусство. - Москва «Просвещении» 1992г.

3

Практическая часть

исследовательская

4

Изготовление различных моделей звёздчатых многогранников.

конструирование

М. Венниджер «Модели многогранников».Москва «Мир» 1974г.

5

Заключение

обобщение

Оглавление:

Введение. 4

1. История развития многогранников 6

Платоновы тела. 6

Тела Архимеда. 7

2.Звездчатые многогранники 7

Звездчатые формы. Способы построения моделей. 8

3.Развертки некоторых звездчатых многогранников. 10

4.Многогранники- слагаемые прекрасного… Математика - это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранника выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях. Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира. Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии.Когда раскрывается эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, не ущемляется роль математики, не подменяется другими предметами, а, наоборот, повышается интерес к предмету, выявляется высокое значение математики, процесс познания её делается увлекательным. У многих может возникнуть вопрос: «А зачем вообще изучать правильные многогранники? Какая от них польза?». На этот вопрос можно ответить: «А какова польза от музыки или поэзии? Разве все красивое полезно?». Модели правильных, полуправильных и звёздчатых многогранников самой причудливой и подчас неожиданной формы радуют глаз. Они, прежде всего, производят на нас эстетическое впечатление. Декоративными моделями многогранников можно украсить новогоднюю ёлку. Можно использовать многогранники в качестве сувениров. Интеграция школьных предметов между собой, интеграция их с искусством, со всеми сторонами жизни даёт возможность гармонично развиваться личности, даёт ему целостное представление об окружающем мире. Кроме решения красивых задач на уроках необходимо изготовление красивых необычных моделей, проведении интересных внеклассных часов, показ взаимосвязи математики и красоты в искусстве, в природе, в других науках, в технике. Оформление кабинета математики важно и для создания настроения прикосновения к науке, прикосновения души к прекрасному. (Рис.XXII) 5. Применение многогранников 11

6. Заключение 14

Интернет ресурсы: 15

Приложение I. 16

Рисунки: 22

Введение.

«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства»

Бертран Рассел.

Математика - это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях. Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира. Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии. Когда раскрывается эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, не ущемляется роль математики, не подменяется другими предметами, а, наоборот, повышается интерес к предмету, выявляется высокое значение математики, процесс познания её делается увлекательным. Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему "Многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Чем привлекательны многогранники? Они обладают богатой историей, которая связана с такими знаменитыми учеными древности, как Платон, Евклид, Архимед, Кеплер (Рис.I)

Все они использовали в своих философских теориях правильные многогранники. Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. "Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии, а греческая архитектура - внешнее выражение геометрии Евклида. (Рис.II) Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остаётся «грамматикой архитектора» - это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье. Я ничуть не сомневаюсь в его словах. Поэтому мне захотелось больше узнать о многогранниках и самой научиться изготавливать модели различных многогранников. В то же время теория многогранников - современный раздел математики, имеющий практическое приложение в алгебре, теории чисел, в естествознании, в областях прикладной математики. Актуальность моей работы заключается в том, что учёные в наши дни изучают многогранники и составляют различные научные гипотезы, которые в будущем могут привести к различным открытиям. Данная тема актуальна, так как немногие люди знают правильные многогранники, но знание этих геометрических тел поможет в создании различных шедевров (как в архитектуре, так и в живописи и во многом другом, потому что многогранники имеют обширную область применения). Целью моей работы является раскрытие тайны моделирования звёздчатых многогранников. При написании данной работы были поставлены следующие задачи: 1. Проследить историю развития многогранников. 2. Расширить знания о звёздчатых многогранниках. 3.Исследовать способы изготовления различных моделей звёздчатых многогранников. 4.Доказать, что многогранники - слагаемые прекрасного.

1. История развития многогранников

Многогранники интересны сами по себе. Они имеют красивые формы. Так что же такое многогранник? 1. Многогранник-это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 2.Многогранник-это тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников. Что такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Другое звучит так: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. (Рис.III) Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Многие из них находятся в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами.

Платоновы тела.

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух. (Рис.IV) В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим, его по латыни стали называть «duinta esstntia» («пятая сущность»). Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации. Следует обратить внимание на замечательное обстоятельство. Если правильные многоугольники существуют с любым числом сторон n≥3, то правильных многогранников (с точностью до подобия) всего пять и число граней у них равно 4, 6, 8, 12 или 20.

Правильный тетраэдр(в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань, вот и получается четырёхугольник - тетраэдр)- Наиболее простым правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники. У тетраэдра 6 ребер, 4 грани и 4 вершин. Правильный октаэдр("окто"-8)- многогранник, гранями которого являются правильные треугольники. Его поверхность состоит из 8 правильных треугольников. У октаэдра 12 ребер, 8 граней и 6 вершин.Правильный икосаэдр("икоси"-20)- многогранник, гранями которого являются правильные треугольники. Его поверхность состоит из 20 правильных треугольников. У икосаэдра 30 ребер, 20 граней, 12 вершин. Правильный Гексаэдр (куб,"гекса"-6)- многогранник, гранями которого являются правильные четырехугольники (квадраты). Его поверхность состоит из 12 ребер, 6 граней и 8 вершин. Правильный додекаэдр("додека"-12)- многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники. Его поверхность состоит из 30 ребер, 12 граней и 20 вершин.

Тела Архимеда.

Мы рассмотрели правильные Платоновы тела пяти типов. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноимённые правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого типа открыл и описал Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого учёного были названы телами Архимеда. Это усечённый тетраэдр, усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр, усечённый икосаэдр, усечённый куб, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усечённый кубооктаэдр, усечённый икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, «плосконосый» куб, «плосконосый» додекаэдр. (Рис.V)

2.Звездчатые многогранники

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников - Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. . Звёздчатый многогранник - восхитительное красивое геометрическое тело, созерцание которого даёт эстетическое наслаждение. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 - 1630 гг.) (Рис.VI), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 - 1859 гг.)(Рис.VII). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера - Пуансо (Рис.VIII). Все они получаются «озвездыванием» Платонова тела, то есть продлением его граней до пересечения друг с другом, и потому называются звездчатыми. Интерес к форме какого - либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе которой лежат звездчатые многогранники, способствует появлению ощущения красоты. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники.

Звездчатые формы. Способы построения моделей.

Существуют звездчатые многоугольники и звездчатые многогранники. Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Чтобы разобраться в существе дела, обратимся к чертежам и моделям. Начнем с простейшего многоугольника - равностороннего треугольника. Посмотрим, что произойдет, если мы продолжим все три его стороны. Легко заметить, что этими прямыми не будет ограничена никакая новая часть плоскости: продолжения сторон будут расходиться. (Рис.IX) Аналогичная картина предстанет перед нами и в том случае, если мы попытаемся продолжить стороны квадрата. Построенные прямые будут попарно параллельны и не пересекутся, сколько бы их ни продолжали. Тем самым они не добавят никаких новых ограниченных частей плоскости к внутренности квадрата. (Рис.X) Однако в случае пятиугольника картина меняется. Продолжения сторон пятиугольника пресекаются во внешней по отношению к пятиугольнику части плоскости, добавляя к пятиугольнику новые части. (Рис.XI) В результате получается хорошо известная нам пятиконечная звезда, иначе называемая пентаграммой. Пентаграмма была известна в глубокой древности, что явствует хотя бы из того, что пифагорейцы считали ее символом здоровья. Продолжение сторон шестиугольника приводит к появлению шестиугольной звезды или гексаграммы, восьмиугольника к восьмиугольной звезде - октаграмме, десятиугольника- к десятиугольной звезде, или декаграмме.Если теперь обратиться к аналогичному процессу в трехмерном пространстве, то естественно снова начать с простейшего многогранника - тетраэдра. Разумеется, здесь нам потребуется продолжить не ребра, а грани многогранника. Однако четыре плоскости - продолжение граней тетраэдра - ограничивают лишь ту часть трехмерного пространства, которая совпадает с исходным телом. (Рис.XII) Но уже случай октаэдра дает интересные результаты. Восемь плоскостей - продолжения граней октаэдра - отделяют от пространства новые, так сказать, «отсеки», внешние по отношению к октаэдру. Эти части не что иное, как малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Если теперь мысленно присоединить эти части к октаэдру таким образом, чтобы их общие с октаэдром грани исчезли, оставив нутро нового тела полым, перед нашим взором возникнет невыпуклый многогранник. (Рис.XIII) Этот многогранник можно представить себе в виде множества пересекающихся треугольных граней, вершины которых совпадают с вершинами малых тетраэдров. Эти треугольные грани обладают свойством, отмеченным у выпуклых многогранников, а именно: каждое ребро этих треугольников принадлежит в точности двум таким граням. Разумеется, эти ребра пересекаются, но внутренние точки пересечения этих отрезков не следует рассматривать в качестве вершин многогранников, подобно тому, как мы поступали в случае плоских звездчатых многоугольников. Ведь и там каждая сторона, например пентаграммы, пересекалась двумя другими, но точки их пересечения не рассматриваются как делящие сторону. Подобным же образом в звездчатом октаэдре мы находим лишь восемь граней, и только концы ребер считаем вершинами многогранника. Впрочем, дальнейшее тщательное изучение наводит нас на мысль о том, что этот многогранник на самом деле есть не единое тело, но соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра, причем эта точка является центром симметрии всего тела. Этот многогранник открыл Кеплер в 1619 году. Еще одна особенность этого тела заключается в том, что восемь его вершин лежат в вершинах некоторого куба, а ребра являются диагоналями граней этого куба. Продолжать дальше грани октаэдра не имеет смысла, так как они не отделяют более никакой части пространства, не создают новых «отсеков». Поэтому октаэдр имеет лишь одну звездчатую форму.Если же обратиться к додекаэдру, продолжив его грани как и в случае октаэдра, можно обнаружить, что это приведет к образованию трёх различных типов отсеков. (Рис.XIV) Вблизи самого додекаэдра имеется 12 пятиугольных пирамид. Эти пирамиды превращают додекаэдр в малый звёздчатый додекаэдр. За ними следуют 30 клинообразных отсеков, превращающих малый звёздчатый додекаэдр в большой додекаэдр. Наконец 20 треугольных бипирамид превращают большой додекаэдр в большой звёздчатый додекаэдр, который, пожалуй, точнее было бы назвать звёздчатым большим додекаэдром. Это завершающая звёздчатая форма додекаэдра, который имеет три такие формы (Рис.XV): две из них были открыты Кеплером (1619), третья - Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, но образует новый многогранник. На самом деле эти многогранники правильные, поскольку два из них имеют гранями по 12 пересекающихся пентаграмм, а грани третьего - 12 пересекающихся пятиугольников (пентагонов). Коши (1811) доказал, что эти три многогранника, открытые ранее, на самом деле не что иное, как звёздчатые формы додекаэдра. Он также установил, что вместе с большим икосаэдром - звёздчатой формой икосаэдра - они являются единственно возможными правильными звёздчатыми телами. Так, к пяти правильным телам, известным ещё древним учёным, математики более близкой к нам эпохи добавили четыре звёздчатых многогранника, гранями которых могут быть правильные или звёздчатые многоугольники. По-прежнему грани соединяются попарно в рёбрах, но до этого они пересекаются с другими гранями. При этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами. Все эти свойства отчётливо прослеживаются на моделях звёздчатых тел.

3.Развертки некоторых звездчатых многогранников.

Большой додекаэдр: Многогранник состоит из 20 трехгранных пирамид вершина внутрь. Единая выкройка сокращает количество склеивания.(ПриложениеI)

Битригональный икосододекаэдр: Многогранник состоит из 12 пентаграмм, между пиками которых вклеены 30 глубоких шестигранных чаш. Как легко заметить, вблизи каждой вершины грани встречаются тройками в чередующемся порядке. Поэтому многогранник и называется битригональным икосододекаэдром. (Приложение II)

Данный звездчатый многогранник я изготовила сама, воспользовавшись этой разверткой. (Рис.XVI) Квазиусеченный гексаэдр: Звездчатые формы можно получить не только на основе додекаэдра. Усложняя пространственный рисунок квадрата, мы можем получить красивую форму гексаэдра. (6 квадратов, 24 выпуклых пятиугольника, 24 вогнутых пятиугольника). (Приложение III) Моя работа (Рис.XVII) Большой икосаэдр: Для изготовлений многогранника надо 12 таких звезд, склейка которых осуществляется по общей склейке додекаэдра. (Приложение IV)

«Порой звёзды оказываются так близко…Особенно, если сделаны они руками человека».

(Рисунок XVII) Я думаю, что интерес к форме какого - либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе которой лежат звездчатые многогранники, способствует появлению ощущения красоты. (Рис.XIX,Рис.XX) Моя работа привлекла внимание одноклассников и учеников 11 класса после моего выступление на «Неделе математики», и многие из них показали свои конструкторские способности, создав свои «земные звезды». (Рис.XXI)

4.Многогранники- слагаемые прекрасного… Математика - это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранника выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях. Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира. Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии.Когда раскрывается эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, не ущемляется роль математики, не подменяется другими предметами, а, наоборот, повышается интерес к предмету, выявляется высокое значение математики, процесс познания её делается увлекательным. У многих может возникнуть вопрос: «А зачем вообще изучать правильные многогранники? Какая от них польза?». На этот вопрос можно ответить: «А какова польза от музыки или поэзии? Разве все красивое полезно?». Модели правильных, полуправильных и звёздчатых многогранников самой причудливой и подчас неожиданной формы радуют глаз. Они, прежде всего, производят на нас эстетическое впечатление. Декоративными моделями многогранников можно украсить новогоднюю ёлку. Можно использовать многогранники в качестве сувениров. Интеграция школьных предметов между собой, интеграция их с искусством, со всеми сторонами жизни даёт возможность гармонично развиваться личности, даёт ему целостное представление об окружающем мире. Кроме решения красивых задач на уроках необходимо изготовление красивых необычных моделей, проведении интересных внеклассных часов, показ взаимосвязи математики и красоты в искусстве, в природе, в других науках, в технике. Оформление кабинета математики важно и для создания настроения прикосновения к науке, прикосновения души к прекрасному. (Рис.XXII) 5. Применение многогранников

«Правильные многогранники имеют красивые формы. Они являются удивительным символом симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. Этим и объясняется интерес человека к многогранникам». Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира. Различные геометрические формы (в особенности древнейшие многогранники) находят своё отражение практически во всех отраслях знаний: в архитектуре, искусстве и т.д. Многогранники в искусстве: Леонардо да Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции». (Рис.XXIII) Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) в известной гравюре ''Меланхолия '' на переднем плане изобразил додекаэдр. (Рис.XXIV) Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» (1904-1989) изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. (Рис.XXV)

. «Поистине, живопись - наука и законная дочь природы, ибо она порождена природой» (Леонардо да Винчи)

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) (Рис.XXVI) создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". (Рис.XXVII) В данном случае звездчатый многогранник - символ математической красоты и порядка- помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды" , на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. (Рис.XXVIII) Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Магнус Веннинджер (1919г.р.) отец Магнус, монах - бенедиктинец из США. Он преподаёт математику в церковной школе, издает книги, участвует в выставках и увлекается созданием многогранников сложных форм из бумаги. (Рис.XXIX) Правильные многогранники в живой природе: Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Многие свойства кристаллов, которые изучаются на уро­ках физики и химии, объясняются их геометрическим строением. Поэтому свойства многогранников использу­ются и в кристаллографии. Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит вглубь веков. Удивительно разнообразен мир кристаллов, являющихся природными многогранниками. Кристаллы встречаются повсюду. Мы ходим по кри­сталлам, строим из кристаллов, обрабатываем кристаллы на заводах, выращиваем кристаллы в лабораториях и в завод­ских условиях, создаем приборы и изделия из кристаллов, широко применяем кристаллы в науке и технике, едим кри­сталлы, лечимся кристаллами, находим кристаллы в живых организмах, проникаем в тайны строения кристаллов, выхо­дим на просторы космических дорог с помощью приборов из кристаллов и растим кристаллы в домашних условиях. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают отточенный с двух сторон карандаш, то есть форму шестиугольной призмы, на основании которой поставлены шестиугольные пирамиды. Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. (Рис.XXX)

Простейшее животное: Скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый многогранник. (Рис.XXXI) Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. (Рис.XXXII) Впрочем, многогранники отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. (Рис.XXXIII) Модели самой причудливой и подчас неожиданной формы радуют глаз. Звёздчатый многогранник - восхитительное красивое геометрическое тело, созерцание которого даёт эстетическое наслаждение. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. (Рис.XXXIV) Применение в архитектуре:

«Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы». (Э. Геккель)

Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах.(Рис.XXXV) История изучения и изображения многогранников, уходящая корнями в глубь тысячелетий, продолжается в наши дни, неожиданно «превращаясь» в историю технологии новых материалов или историю современной архитектуры. История эта являет собой яркий пример взаимопроникновения различных областей знания, неразрывности понятий «наука» и «искусство» как различных способов познания мира, двух основных составляющих единого целого - культуры, главного наследия человеческой цивилизации.

6. Заключение

Многогранники - интересные тела геометрии, имеющие разнообразные свойства. По внешнему признаку имеют различия, но они объединены в одну группу, и объединяет их великая наука - геометрия. «Земные звезды» сложны по своим особенностям и свойствам, но именно сложность и загадочность этих тел и привлекает различных людей изучать их. Красотой строгих линий, математическим и даже подчас философским равновесием сложных в своей простоте многогранников восхищались с древнейших врёмен люди науки и искусства. Что их влекло? Может быть возможность хоть на шаг приблизиться к пониманию пространства, разгадке тайны Вселенной…Так или иначе, но многогранники красуются на полотнах художников и с их помощью в скучную архитектуру наших городов врываются невиданные космические формы, ими любуются, их изучают, конструируют, используют. Математическая безупречность линий ни чуть не ограничивает творчество, фантазию людей: вспомнить хотя бы роль этого понятия в философских системах Древней Греции и Рима, египетские пирамиды, преобразования плоскости и пространства в «невозможных» картинах М.К. Эшера. Моделирование многогранников способствует развитию пространственных представлений, конструкторских рационализаторских способностей. В своей работе я осветила историю многогранников, их виды, а также применение. В ходе исследования раскрыла тайны моделирования многогранников, научилась сама изготавливать различные модели. Считаю свою работу интересной, полезной и содержательной. Думаю, что все задачи, поставленные для достижения цели, выполнены. Я получила огромное удовольствие от проделанной мною работы, а также новую и интересную для себя информацию. Моя работа может быть использованы на уроках геометрии, на различных конкурсах и как иллюстративный материал, может помочь расширить знания ребят по теме Многогранники. Этим проектом хотелось бы расширить Ваши представления о мире многогранников и доказать, что многогранники- слагаемые прекрасного.

Интернет ресурсы:

1) nips.riss-telecom.ru/poly/

Мир многогранников.

2) sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm

История математики.

3) ega-math.narod.ru/

Статьи по математике.

4) dondublon.chat.ru/math.htm

Использованная литература:

1) Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. - Москва «Аванта плюс» 2002г.

2) Ворошилов А.В. Математика и искусство. - Москва «Просвещении» 1992г.

3) Л.С. Атанасян «Учебник по геометрии 10-11класс». Москва «Просвещение» 2009г.

4) М. Венниджер «Модели многогранников».Москва «Мир» 1974г.

5) Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. - Москва «АСТ» 1999г.

Приложение I.

Приложение II.

Приложение III.

Приложение IV.

Рисунки:

Рисунок I.

Платон Архимед Евклид Кеплер

Рисунок II. Рисунок III.

Рисунок IV.

земля

Гексаэдр(куб)

вселенная

додекаэд

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух.

Рисунок V. Рисунок VI.

Рисунок VII.

Рисунок VIII.

Рисунок IX. Рисунок X. Рисунок XI.

Рисунок XII. Рисунок XIII. Рисунок XIV.

Рисунок XV.

Рисунок XVI. Рисунок XVII.

Рисунок XVIII.

Рисунок XIX. Рисунок XX.

Рисунок XXI.

Рисунок XXII.

Рисунок XXIII. Рисунок XXIV.

Рисунок XXV. Рисунок XXVI.

Рисунок XXVII. Рисунок XXVIII.

Рисунок XXIX.

Рисунок XXX. Рисунок XXXI.

Рисунок XXXII. Рисунок XXXIII.

Рисунок XXXIV.

Рисунок XXXV.