Нахождение суммы первых п членов арифметической прогрессии

Нахождение суммы первых п членов
арифметической прогрессии (Урок 1)

Цели: вывести формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.

Задачи урока:

Образовательные:

- Повторить и закрепить изученный материал по теме формула n-го члена арифметической прогрессии.

- Вывести формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии и формировать навыки по ее применению.

- Формирование у школьников познавательных интересов и потребности в знаниях;

Развивающие:

- Продолжить формирование правильной математической речи.

- Развивать мышление путем анализа.

- Содействовать развитию воли и настойчивости в учении путем решения практических задач.

Воспитательные:

- Воспитывать культуру математического мышления, ответственность, самостоятельность, настойчивость, инициативу и творчество.

Оборудование: компьютеры, мультимедиопроектор, интерактивная доска, портрет Магницкого, изображение первого учебника математики.

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель урока: повторить и закрепить изученный материал по теме формула n-го члена арифметической прогрессии. Вывести формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии и формировать навыки по ее применению.

2. Актуализация знаний.

Два ученика работают с интерактивным тестом, остальные - устные упражнения (Презентация)

1. Какое из указанных чисел не является членом последовательности

?

1) - 19/21, 2). 19/20 3). - 9, 5 4). - 19/9.

2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них - арифметическая прогрессия. Укажите её.

1) 1; 2; 3; 8;…

2) 4; 8; 12; 16;…

3) 1; 3; 9; 27;

4) 1; 1/3; 1/6; 1/9;… /2/

3. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых равен 9

2)Последовательность натуральных степеней числа 8

3) Последовательность натуральных чисел, кратных 4

4) Последовательность кубов натуральных чисел /3/

4. Арифметические прогрессии (х n), (у n) и (z n) заданы формулами n -го члена: x n = 2n + 9, у n =Зn, z n = 2n + 1. Укажите те из них, у которых разность d равна 2.

1). (х n), 2). (х n), (у n) 3). (х n), (у n) и (z n) 4). (х n), (z n) /2/

III. Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации.

З а д а ч а. Ученик мастера изготовил в первую неделю работы 15 гончарных изделий, а в каждую следующую неделю изготовлял на 5 изделий больше, чем в предыдущую. Сколько изделий ученик изготовил за восьмую неделю? Сколько изделий ученик изготовил всего в течение десяти недель?

Решение:

Количество изготовленных изделий в первую, вторую и т. д. недели можно обозначить а₁, а₂,… а_п, …, причем (а_п) - арифметическая прогрессия с разностью d = 5 и первым членом а₁ = 15. За восьмую неделю ученик изготовил гончарных изделий:

а₈ = 15 + 5 (8 - 1) = 50.

Ребята, а как ответить на второй вопрос?

Для ответа на второй вопрос ученики могут предложить только такой способ решения: подсчитать количество изделий, выполненных за 2-ю, 3-ю, …, 10-ю неделю, и сложить. Это очень долго. А если в задаче нужно будет найти сумму ста членов арифметической прогрессии, тысячи?

Возникает проблема - нужна общая формула. Получить такую формулу нам поможет…

Выступление ученика: (Интерактивная доска)

2. Пример из истории математики.

Алгебра на клетчатой бумаге

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали прогрессии и их суммы.

Задача из египетского папируса Ахмеса:«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»

Несмотря на это, в нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В учебнике Магницкого, изданном в 1703 году и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нем не дано. Сам составитель учебника не без затруднений справлялся с такими задачами. Между тем формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Например, фигура АВDС на рисунке изображает прогрессию: 2; 5; 8; 11; 14.

D

G

1

5

2

4

3

3

4

2

5

1

А C E

Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника АВGE. Пoлучим две равные фигуры АВDС и DGЕС. Площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника АВGЕ, т. е. (АС + СЕ)* АВ.

Но АС + СЕ изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии; АВ - число членов прогрессии. Поэтому двойная сумма

2S = (сумма крайних членов)* (число членов)

S = (первый + последний член)* (число членов)/2

3. Ребята, как записать эту формулу в обозначениях?

Появляется формула:

1. - формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

Формулу записывают в тетрадь.

Хорошо. Итак, что нужно знать, чтобы вычислить сумму первых нескольких членов арифметической прогрессии?

Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а₁ и d арифметической прогрессии.

, а_п = а₁ + d (п - 1);

(2) - формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

Формулу записывают в тетрадь.

В учебнике вы найдете другой вывод этой формулы.

4. Пример.

Вернемся к задаче про ученика мастера. В течение 10 недель ученик мастера изготовил

S₁₀ = · 10 = 375 изделий.

IV. Формирование умений и навыков.

Так как формул суммы п первых членов арифметической прогрессии две, то необходимо сначала выяснить, в заданиях какого вида лучше использовать каждую из них, а затем при решении упражнений анализировать условие и выбирать формулу.

№ 603(а), № 604(а). Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ 606(а).

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

- Назовите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии (2 вида).

- В каких случаях удобнее применять формулу I, II?

Домашнее задание: п. 26 (до примера 3),№ 605, № 607, № 621 (а).

№ 603(а).

Дано: (аn)- арифметическая прогрессия, а 1 = 3, а60 = 57.

Найти: S 60.

Решение.

_{Ответ: S60 = 1800}

№ 604 (а).

Дано: - 23; -20…- арифметическая прогрессия.

Найти: S 8.

Решение.

_{d = - 20 -(-23) = 3}

Ответ: - 100

№ 606.(А)

Дано: (хn) - последовательность, xn = 4n + 2

Найти: S50, S100, Sn.

Решение. Так как последовательность задается формулой вида xn = kx + b,то (хn) - арифметическая прогрессия, d = 4.

x1 = 4*1 + 2 = 6, x50 = 4*50 + 2 = 202.

Литература.

1. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под редакцией С.А. Теляковского.

2. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. ТРИАДА-ЛИТЕРА Москва 1994.

3. Семенов А.Л. ГИА: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части I /И.В. Ященко, Л.О. Рослова, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, А.С. Трепалин, П.И. Захаров, В.А. Смирнов, И.Р. Высоцкий под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко.- М,: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2014.

4. Интерактивный тест

5. Электронное пособие. Алгебра. Поурочные планы. 9 класс. Издательство «Учитель».