СОДЕРЖАНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ.

Число - основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось. В современном мире числа играют очень важную роль и сейчас невозможно представить себе общение без использования чисел.

История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах - математики - немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. Числа продолжают удивлять, некоторые их свойства порой кажутся удивительными и загадочными.

Тема работы - «Числа, которые удивляют» посвящена изучению свойств натуральных чисел.

Актуальность работы в том, что натуральные числа широко используются для общения людей и данное исследование расширит знание школьного курса о натуральном числе, покажет практическое применение числа в современном мире.

Изучением числа занимались ученые разных эпох Пифагор, Евклид, греческий философ Никомах Герасский, Эйлер, Эратосфен, наши современники Виноградов, Итан Чжан и многие другие математики древности и современности.

Цель работы: как можно больше отыскать удивительных натуральных чисел, установить их свойства и закономерности.

Предметом моего исследования являются натуральные числа и их свойства.

Методы исследования - поиск удивительных и необычных чисел, проведенный по литературным и интернет-источникам, анализ и периодизация материала; практическая работа по анализу свойств натуральных чисел.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть основные этапы развития натуральных чисел;

2. Привести примеры применения натуральных чисел не только при решении математических задач, но и при общении людей;

3. Выделить интересные виды удивительных натуральных чисел: простые, числа - близнецы, фигурные, совершенные, дружественные и другие.

4. Установить ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел.

5. Провести практическое исследование натуральных чисел.

Практическая значимость - данный материал можно использовать на уроках математики, внеклассных мероприятиях и предметных неделях.

Глава 1. Понятие «число».

1.1.Развитие понятия «число» от древности к современности.

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счёта предметов, дней, шагов и т.п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать всё большие и большие числа, уметь их записывать. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда [1, c. 25 ].

С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнить число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно». Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признакам чрезвычайно высокой образованности человека.

О числах первый начал рассуждать Пифагор (см. Приложение 1). Пифагору принадлежит высказывание «Всё прекрасно благодаря числу». По его учению число 2 означало гармонию, 5 - цвет, 6 -холод, 7 - разум, здоровье, 8 -любовь и дружбу. А число 10 называли «священной четверицей», так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную [1, c.45].

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц» (см.Приложение 2). Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.) [1, c.47].

С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Её возникновению и развитию способствовали практические потребности - строительство разнообразных сооружений, торговля, мореходство и пр. Долгое время арифметике имели дело с числами относительно небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была «мириада» - 10 000. Ещё в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда - то Архимед в своём трактате «Исчисление песчинок» - «Псаммит» разработал систему, которая позволила выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен (см. Приложение 3). Следует заметить, что первое представление о потенциального бесконечно малом и бесконечно большом дал Анаксагор (около 500 - 428 гг. н. э.) (см. Приложение 4). Древнегреческий философ Аристотель (384 - 322 гг. до н. э.) в своих высказываниях, допуская бесконечность математического пространства, считал математическую прямую бесконечной. Аналогичных принципов придерживался и Евклид [1, c.87].

Самое трудное было придумать нуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая, точно датированная запись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 г.

Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному. Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день.

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел (см. Приложение 5).

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравнений математики встречались с числом, которое выражалось √-1. Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавали за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745 - 1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые «мнимые числа» получили своё место в множестве комплексных чисел.

Таким образом, мир чисел очень разнообразный и многие ученые уделяли внимание именно понятию числа.

1.2. Числа в общении людей.

В процессе эволюции у развитых цивилизаций, обладающей собственной системой счисления, появилась потребность в облегчении представлений о числе, облачая их сущность и значение в общепринятых, передаваемых из поколения в поколение пословицах и поговорках. Наиболее развиты в отношении пословиц и поговорок оказались представители русского народа.

В конце 1 века нашей эры жил древнегреческий математик «Никомах». Он считал, что «…единица есть - разум, добро, гармония, счастье и в то же время материя, тьма, хаос; она соединяет в себе четное с нечетным и женское с мужским. Два есть начало неравенства, противоречия; оно есть мнение, ибо во мнении встречаются истина с ложью, Три есть первое настоящее число, так как оно имеет начало, середину и конец и потому есть число совершенное» [5, c.14].

Олицетворение чисел положило собой начало долгого пути становления их в народных пословицах и поговорках.

О не совсем ясном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек». Фразеологизм «семь пятниц на неделе» один из наиболее употребляемых в нашей речи. Речь идет о человеке, на которого нельзя положиться, которому нельзя доверять, так как он часто меняет решения, не выполняет обещаний. О происхождении этой поговорки ученые до сих пор еще спорят. Вероятнее всего следующее объяснение. Дело в том, что некогда пятница была (и не только у славян) базарным днем, а также днем исполнения разных торговых обязательств. В пятницу, получая деньги, давали честное слово привезти на следующей неделе заказанный товар. В пятницу, получая товар, обещали через неделю отдать полагающиеся за него деньги. О нарушающих эти обещания и было сказано, что у них семь пятниц на неделе. Возможно, это значение закрепилось в выражении из-за похожести слов пятница и пятиться (отступать от своего слова, идти на попятную) [9].

Не всегда люди могли представить большие числа, например, громадным, по мнению наших предков, числом считалось число «сорок сороков», равное 1600. Выражение «сорок сороков» иногда толкуют как указание на то, что в дореволюционной Москве было примерно 40 × 40 = 1600 храмов. Также, как и слово «сорок», данное выражение стали употреблять для обозначения большого количества. Например, можно указать на то, что сороконожка имеет не сорок ног: слово «сорок» может означать не только «четыре десятка», но и «много» [9]. Такое выражение можно встретить и в песне В.Высоцкого «Баллада о Любви» (см.Приложение 6):

Когда вода Всемирного потопа

Вернулась вновь в границы берегов,

Из пены уходящего потока

На берег тихо выбралась Любовь -

И растворилась в воздухе до срока,

А срока было - сорок сороков…

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов [5, c.90].

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков - «мириада»), равное 10 000, а запределом - «тьма тьмущая», равное 100 миллионам.

В поговорке «Один в поле не воин» числу один придано значение главного лица, подчеркивается его скрытый смысл, как числа, и в то же время подразумевается, что это человек. Этот человек - воин, который поставлен в такие условия, что при схватке с врагом, его силы и средства могут оказаться мизерными, так как он один. В пословице «Первый в совете и первый в ответе» понятие первый принимается как главный, а потому с ним связывается уже нечто значительное, большое и могучее.

В другой пословице «Двое на одного - рать» число два противопоставляется числу один, понимается как «много» и возвеличивается до огромных размеров, как рать, армия, что придает ему огромную живую и сокрушительную силу [9].

Истоки поверья относительно мистических и страшных свойств числа тринадцать относятся к древним временам, когда у некоторых народов основанием системы счисления было число 12. Оно замыкало для них натуральный ряд, поэтому за числом 12 шло неизвестное, непостижимое число, а значит, опасное для «простых смертных». Во многих гостиницах некоторых современных и высокоразвитых стран (Великобритания, США) отсутствуют номера с числом 13, лифт не останавливается на тринадцатом этаже; нет маршрутов городского транспорта с номером 13 и т.д.[7].

Суеверия, связанные с числом три, относятся к тому времени, когда у древних людей счет не доходил дальше трех. На этой основе в христианской религии возведено в догму представление о пресвятой Троице - об едином Боге, выступающем в трех лицах (ипостасях): Бога-отца, Бога-сына, Бога-духа святого. Сюда же относится и так называемое трехперстное крестное знамение, якобы защищающее верующих от злых духов. Существует масса поверий, а также пословиц и поговорок, содержанием которых является число три, приносящее несчастье [7].

Можно привести еще много примеров пословиц и поговорок, что действительно доказывает важную роль числа не только как элемента сухой науки математики, но и средство общения людей.

Таким образом, во все времена существования человечества, понятию числа уделяли большое внимание. Число помогало осуществлять практическую деятельность человека в развитии экономических отношений, о числе задумывались философы, математики, ученые естественных наук. Также числа помогали выразить отношение к тому или иному человеку, явлению, ситуации при речевом общении в виде пословиц и поговорок.

Глава 2. Простые числа.

2.1 Простые числа. Решето Эратосфена.

Простые числа - это целые натуральные (положительные) числа больше единицы, которые имеют ровно два натуральных делителя (только 1 и самого себя), т.е. не делится ни на одно другое число, кроме самого себя и единицы. Все остальные числа кроме единицы называются составными. Простые числа всегда интересовали математиков, ведь именно они составляют кирпичики, из которых построены все остальные числа - хорошо известно, что всякое число единственным образом разлагается в произведение простых чисел (необязательно попарно различных) [3, c.12].

Самые естественные вопросы, возникающие в связи с этим у математиков, касаются строения множества простых чисел. Несмотря на то, что большинство таких вопросов, как правило, формулируется очень просто, ответы на них не просто сложны. Чаще всего они оказываются результатом целых теорий, которые, как водится, имеют кучу полезных приложений - от криптографии до квантовой механики, но создавались исключительно для того, чтобы ответить на эти самые вопросы.

Сложно сказать, когда люди впервые задумались о простых числах, некоторые ученые предполагают, что это произошло более двадцати тысяч лет назад. На папирусах древних египтян также были найдены ряды простых чисел. Древние греки тоже внесли свой большой вклад в историю возникновения простых чисел. Эрастофен придумал способ нахождения простых чисел, этот метод назвали «Решето Эрастофена». Евклид нашел и доказал различные свойства простых чисел, которые сейчас мы воспринимаем как само собой разумеющееся. Когда римляне завоевали Грецию, они сохранили все их математические исследования и перевели их на латинский язык. Арабские математики, изучив исследования греков также внесли свой вклад в историю возникновения простых чисел[5, c.76].

Первые сведения о простых числах, встречаются в трудах древне греческого математика Эратосфена Киренского (см.Приложение 7).

Эратосфен Киренский (276 год до н.э. - 194 год до н.э.) - один из самых разносторонних ученых античности, греческий математик, основатель физической географии, астроном и поэт.

Эратосфен родился в Африке, в Кирене, одном из величайших городов античности, располагавшемся на территории современной Ливии. Учился сначала в Александрии, а затем в Афинах у известных наставников, поэта Каллимаха, грамматика Лисания, а также философов - стоика Аристона и платоника Аркесилая. Вероятно, именно благодаря столь широкому образованию и разнообразию интересов, около 235 года до нашей эры, после смерти Каллимаха, Эратосфен получил от Птолемея III Эвергета приглашение вернуться в Александрию, чтобы стать воспитателем наследника престола, впоследствии Птолемея IV Филопатра, и возглавить Александрийскую библиотеку. Эратосфен принял это предложение и занимал должность библиотекаря около сорока лет, почти до самой смерти [10].

Из сочинений Эратосфена по математике до нашего времени дошло только написанное к царю Птолемею письмо об удвоении куба. Это письмо сохранилось в комментарии Евтокия к трактату Архимеда «О шаре и цилиндре». В письме содержатся некоторые исторические сведения о делийской задаче, а также описание прибора, изобретённого самим автором и известного под именем мезолябия, простого механического прибора, предназначенного для извлечения кубических корней.

Отрывок из ещё одного сочинения Эратосфена приводит во «Введении в арифметику» Никомах Герасский. То же делает и Ямвлих в своём комментарии к этому сочинению Никомаха. Предмет этого отрывка состоит в изложении найденного Эратосфеном способа определения произвольного количества последовательных простых чисел, не превосходящих некоторое целое число, так называемое «Решето Эратосфена» [11].

Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:

1. Выписать подряд все целые числа от двух до n (2, 3, 4, …, n).

2. Пусть переменная p изначально равна двум - первому простому числу.

3. Считая от p шагами по p, зачеркнуть в списке все числа от 2p до n кратные p (то есть числа 2p, 3p, 4p, …).

4. Найти первое незачеркнутое число в списке, большее чем p, и присвоить значению переменной p это число.

5. Повторять шаги 3 и 4, пока возможно.

Теперь все незачеркнутые числа в списке - простые.

Название «решето» метод получил потому, что, согласно легенде, Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех местах, где были написаны составные числа. Поэтому дощечка являлась неким подобием решета, через которое «просеивались» все составные числа, а оставались только числа простые. Эратосфен дал таблицу простых чисел до 1000 [11].

Таким образом, метод под названием «Решето Эратосфена» позволяет определить простые числа.

2.2 Числа - близнецы.

Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название «близнецы» (см. Приложение 9). В натуральном ряду имеется даже «тройня» - это числа 3, 5, 7.

В пределах первой сотни близнецы - это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19) [5, c.102].

Математики давно обратили внимание, что распределение простых чисел в бесконечном числовом пространстве имеет определённые закономерности. В частности, странным феноменом выступают простые числа-близнецы, которые отличаются друг от друга на 2. Чем больше количество знаков, тем реже встречаются числа-близнецы, но всё равно они продолжают встречаться снова и снова [12].

Довольно часто гипотезу о числах-близнецах приписывают Евклиду. Впервые в печатной литературе эта гипотеза была высказана в 1849 году Альфонсом де Полиньяком в более общем виде: для любого четного числа 2k множество таких соседних простых чисел (то есть между которыми нет других простых), чтобы расстояние между ними в точности равнялось 2k, бесконечно. При k = 1 получаем оригинальную формулировку. Что касается термина «числа-близнецы», то он был введен в обиход математиком Вигго Бруном. Много ученых пытались доказать гипотезу о числах-близнецах, и только в XXI веке удалось к этому приблизиться.

Доцент университета Нью-Гэмпшира Итан Чжан (Yitang Zhang) в 2013 г. представил доказательство гипотезы о расстоянии между парными простыми числами предельно ясным, чётким и бесспорным (см. Приложение 10). В оригинальной версии гипотеза гласит, что существует бесконечное количество простых чисел-близнецов. Это предположение до сих пор никто не доказал и не опроверг. Самыми большими найденными простыми числами-близнецами, известными науке, являются 3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ - 1 и 3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ + 1 [13].

Итан Чжан доказал, что существует бесконечно большое количество простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов. Эти пары будут встречаться всё реже и реже, но не исчезнут никогда, несмотря на действие теоремы о среднем расстоянии между простыми числами в 2,3 × N, где N - количество разрядов.

Другими словами, среднее расстояние между числами будет приближаться к бесконечности, по мере роста количества разрядов, но при этом всегда будут встречаться простые числа, удалённые друг от друга не более чем на 70 млн, что просто удивительно.

Таким образом, очень простая гипотеза о числах-близнецах, а именно о бесконечном количестве пар простых числа, которые отличаются на 2, оказалась очень сложной для доказательства.

2.3 Проблема Гольдбаха.

Немецкий математик, член Петербургской Академии наук Христиан Гольдбах родился в Кёнигсберге в Пруссии (ныне Калининград, Россия) (см.Приложение 11). В 1725 году он стал профессором математики в Санкт-Петербурге, тремя годами позже приехал в Москву в качестве домашнего учителя для будущего царя Петра II. Во время путешествий по Европе Гольдбах познакомился со многими ведущими математиками своего времени, включая Готфрида Лейбница, Абрахама де Муавра и семью Бернулли. Многие его работы выросли из переписки с великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером (Leonhard Euler, 1707-83) (см.Приложение 12).

Утверждение, которое называют проблемой Гольдбаха, впервые было выдвинуто в 1742 году в письме Гольдбаха к Эйлеру, в котором высказал предложение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

50 = 47 + 3, 46 = 43 + 3, 32 = 29 + 3.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа «проблемой Гольдбаха» и сформулирована так, требуется доказать или опровергнуть предложение: «Всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел» [14].

Л. Эйлер ответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще более интересную догадку: «Всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собой сумму двух простых чисел».

12 = 5+ 7; 64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;

162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха - Эйлера, но безуспешно.

Только в XX веке в СССР математикам удалось «победить» упрямую проблему Гольдбаха. Академик Иван Матвеевич Виноградов, знаменитый советский специалист по теории чисел, много лет вырабатывал очень сложные и тонкие способы, которыми можно решать подобные вопросы (см. Приложение 13). И вот в 1937 году, через 193 лет после письма Гольдбаха к Эйлеру, Виноградов решил почти целиком и его задачу. Всякое достаточно большое целое нечетное число, доказал он теоретически, может быть разбито на сумму именно трех простых слагаемых. (А для небольших чисел это можно проверить путем проб) [14].

Задача Эйлера - разбить четные числа на два простых слагаемых - еще ждет своего решения. Самая простая с виду задача, понятная любому школьнику, оказалась настолько трудной и настолько глубокой по своему содержанию, что для решения ее потребовалось два столетия и напряжение умов лучших математиков мира.

Задача Гольдбаха, которая сводится к возможности разбить целое число на сумму двух или трех простых слагаемых, еще ждет своего решения. Пока доказаны только частные решения этой задачи.

2.4. Фигурные числа.

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три (см. Приложение 14) [5, c.169].

Фигурные числа - общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа - числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Плоские числа числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Телесные числа числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

Выкладывая различные правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб».

Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т.д. (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т.д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).

Пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125... и так далее.

Таким образом, некоторые последовательности целых чисел, которые при расположении определенным образом могут создавать некоторые фигуры, составляют удивительные фигурные числа.

2.5. Дружественные, совершенные, компанейские числа.

Дружественные числа - это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: «Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284».

История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел - 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных чисел:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма. Но недавно в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены строки: «Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ» [15].

А задолго до Ибн аль-Банны другой арабский математик абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа:

если для некоторого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 и r=9·22n-1-1 простые, то числа A=2npq и B=2nr - дружественные.

При n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284.

При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны и Ферма 17296 и 18416.

При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским математиком и философом Рене Декартом.

После Декарта первым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел. В 1867 году шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа [15].

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Например, есть ли пары, в которых одно число четное, а другое - нечетное? Конечно или бесконечно число пар дружественных чисел? Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый философ и математик, писал: «Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки и немногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного» Но, сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры не знал.

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число «6». На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем «6», нет, поскольку оно первое среди них.

Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом [5, c.170].

Следующим совершенным числом, известным древним, было «28». Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число «28» - совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.

Первым крупным достижением теории совершенных чисел была теорема Евклида о том, что число 2^n-1(2n-1) - четное и совершенное, если число 2^n-1 - простое. Лишь две тысячи лет спустя Эйлер доказал, что формула Евклида содержит все четные совершенные числа. Поскольку не известно ни одного нечетного совершенного числа, то обычно, говоря о совершенных числах, имеют в виду четное совершенное число.

Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.

На примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду, можно проследить зависимость между совершенными числами.

Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку - два зерна, на третью - четыре, на четвертую - восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 2⁶³ зерен, а всего на шахматной доске окажется «кучка» из 2⁶⁴-1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Если на каждой клетке шахматной доски написать, сколько зерен пшеницы причиталось бы за нее изобретателю шахмат, а затем снять с каждой клетки по одному зерну, то число оставшихся зерен будет точно соответствовать выражению, стоящему в скобках в формуле Евклида. Если это число простое, то, умножив его на число зерен на предыдущей клетке (то есть на 2n-1), получается совершенное число![15]

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.

- Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

- Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 1³ + 3³ + 5³…

- Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=22, 8 = 2* 2* 2, 16 = 2 * 2 * 2 * 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2ⁿ, где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа.

- Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями. Понятие компанейских чисел хорошо раскрывается в англоязычных источниках.

Компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго - третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа [15].

Есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено. Пример пятёрки, пока единственной известной: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.

Таким образом, дружественные числа получаются путем сложения их делителей. Разновидностью дружественных чисел являются совершенные числа, которыми интересовались многие математики и философы.

В третьей главе я рассматривала интересные с моей точки зрения задачи о простых числах. С помощью «Решета Эратосфена» можно быстро отсеять только простые числа. Феномен чисел-близнецов, т.е. простых чисел, которые отличаются только на 2, заставляет ломать головы лучших математиков в течение уже третьей сотни лет. Гольдбах обнаружил, что числа можно разложить на сумму двух или трех простых слагаемых, но почему такое возможно так и не доказал. Некоторые последовательности натуральных чисел могут образовывать геометрические фигуры. А удивительные дружественные и, в частности, совершенные числа были примером дружбы и даже любви. И это только малая часть интересных чисел. Действительно, мир чисел удивителен.

ГЛАВА 3. Решение задач с простыми числами.

Рассмотренные во второй главе удивительные числа меня заинтересовали, и я решила повторить и проверить некоторые задачи с простыми числами. А именно «Решето Эратосфена», числа-близнецы, разложение чисел на сумму простых чисел, фигурные числа. И в третьей главе представлены решения поставленных задач.

3.1. Изготовление «Решета Эратосфена».

Запишем натуральные числа, начиная от 2 до 20 в ряд.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Первое число в списке 2 - простое. Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Следующее не вычеркнутое число 3 - простое. Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 3

2 3 5 6 7 9 11 12 13 15 17 19

Процесс окончен. Все не зачеркнутые числа последовательности являются простыми.

Для изготовления «Решета Эратосфена» я взяла картон формата А4 . Начертила сетку, в каждой клетке записала натуральные числа от 2 до 86.

Используя алгоритм построения «решета Эратосфена», проделала отверстия в тех клетках, в которых указаны составные числа. В полученных отверстиях и можно увидеть простые числа.

3.2. Нахождение чисел-близнецов.

Задача. Сколько пар чисел-близнецов в ряду чисел: а) от 1 до 100; б)от 100 до200.

Решение: простые числа, разность которых равна 2, называют числами близнецами.

1. от 1 до 100

5

-3
7-5
13-11
19-17
31-29
43-41
61-59
73-71 везде равно 2

Ответ: 8 пар

2. от100 до 200
   
   

103-101
139-137
151-149
181-179
193-191
199-197 везде равно 2

Ответ: 6 пар

3.3. Пример «Задачи Гольдбаха».

Возьмем наудачу какое-нибудь нечетное число. Например, 77. Его можно разбить на три слагаемых: 77 = 53 + 17 + 7, и все эти три слагаемых - простые числа.

Возьмем другое, опять наудачу - 461, и тут 461 = 449 + 7 + 5, и эти три слагаемые снова простые. А можно то же число разбить на три простых слагаемых еще и другим способом: 257 + 199 + 5.

Таким образом можно разбить любое нечетное число.

3.4. Примеры фигурных чисел .

Треугольные числа

Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, …, , …

Квадратные числа

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …,, …

1

4

9

Таким образом, я проверила на практике свойства некоторых простых чисел. Изготовила «Решето Эратосфена», нашла пары чисел-близнецов на интервале чисел от 1 до 200, привела примеры разложения нечетных чисел на сумму трех простых чисел, построила треугольник и квадрат из фигурных чисел.

Заключение

Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.

В своей работе я изучила последовательность развития понятия «число», этапы развития натуральных чисел. Числами люди стали пользоваться еще в древности, и с развитием экономических связей человечества числа становились сложнее.

Натуральные числа - это с одной стороны самые первые числа, которые появились, но с развитием науки математики были открыты некоторые удивительные свойства и классы таких чисел. Числа настолько прочно вошли в обиход людей, что даже в пословицах, поговорках, сказках и просто при общении они используются как уточнения, дают характеристику человеку или ситуации.

Во второй главе своей работы я рассматриваю некоторые виды простых чисел: числа - близнецы, фигурные, совершенные, дружественные и другие. И определяю историю открытия, свойства и особенности этих чисел.

В третьей главе я провожу практическое исследование натуральных чисел. Изготавливаю «Решето Эратосфена», ищу числа близнецы в выбранном мною интервале чисел, раскладываю несколько нечетных чисел на сумму простых чисел, строю треугольник и квадрат их фигурных чисел. К сожалению, задачи расчета совершенных и дружественных чисел объемные и требуют знания разработки компьютерных программ, но история, легенды о совершенных числах заставляют задуматься об устройстве мира.

Данная работа увлекательна и познавательна, и наука математика становится интересной. Я бы рекомендовала учителям математики и ученикам, изучающим математику, интересоваться историей числа. Этот материал можно использовать при проведении внеклассных мероприятий, недели математики.

Литература и источники

1. Я познаю мир. Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А. П. Савин, В. В .Станцо, А. Ю. Котова: Под общ. ред. О. Д. Хинн - М.: ООО «Издательство АСТ- ЛТД», 1998. - 480 с.

3. Г.Н.Берман Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел. Изд.2. Москва: ЛКИ, 2007. - 176 с.

5. Я.И. Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада - Литера, 1994. - 161 с.

7. Е.Карпеченко. Тайны чисел. Математика /Прил. К газете «Первое сентября» №13 2007 c.1-2

9. frazbook.ru/category/russkie-frazeologizmy/ - русские фразеологизмы

10. zestlessons.narod.ru/number/history.htm - число - знакомый незнакомец

11. math4school.ru/eratosfen.html - Эратосфен Киренский

12. lenta.ru/articles/2013/05/17/primes/ - новости науки и техники

13. habrahabr.ru/post/180259/ - Неизвестный математик совершил прорыв в теории простых чисел-близнецов

14. journal-shkolniku.ru/zadacha-goldbaha.html - онлайн журнал для школьников. Задача Гольдбаха

15. arbuz.uz/z_sov1.html - Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел

26