Методические рекомендации по изучению темы Текстовые задачи на работу

Методическая копилка

Формирование

умения решать

текстовые задачи « на работу»

Учитель математики

первой квалификационной категории

МБОУ лицей №2

Бугульминского муниципального района

Мальцева Ирина Федоровна

г. Бугульма

2016

Польский математик Стефан Банах говорил: « Математик - это тот, кто умеет находить аналогии».

Аналогия - сходство в каком-нибудь отношении между явлениями, предметами, понятиями. Хороший математик всегда сведёт задачу к уже известной.

В начальной школе учащиеся очень много решают задач «на движение». Эти задачи не вызывают затруднений даже у среднестатистического школьника. В среднем звене появляются задачи «на работу». Задачи вызывают затруднение как при изучении, так и на экзаменах в 9 и 11 классах. Нужно суметь подвести детей тому, что эти задачи аналогичны задачам на движение.

Проследим сами эту аналогию.

В задачах «на движение» участвуют три величины: скорость , время , расстояние ( пройденный путь).

v (скорость)

км/ч, м/с …

t (время)

ч, с…

S (путь)

км, м…

1

2

Известно, что

откуда следует, что

и

В задачах «на работу» также три величины:

производительность (скорость работы, показывает какая часть работы выполняется за единицу времени),

время работы,

работа (площадь вспаханного или убранного поля, количество деталей, объём бассейна и т. д.).

v (производительность)

детали в час, гектары в день, литры в минуту …

t (время)

часы, дни, минуты…

А (работа)

Детали, площадь, объём …

1

2

Вместе

Аналогично задачам на движение имеем

откуда следует, что

и

Провести такую аналогию можно уже в 6 классе.

Задача 1. Первый конвейер выпускает 67 кг карамели за 108 минут, а второй конвейер 51 кг карамели за 106 минут. Какой из конвейеров имеет большую производительность?

v (производительность)

кг в минуту

t (время)

минуты

А (работа)

кг

1 конвейер

108

67

2 конвейер

106

51

Так как v = , то

1. 67: 108 = (кг/мин) - v₁

2. 51:106 = (кг/мин) - v₂

3. , а , значит .

Ответ: производительность 1 конвейера больше.

Следующие задачи из экзаменационных материалов 9 и 11 классов.

Задача 2. Плиточник должен уложить 182 м² плитки. Если он будет укладывать на 9 м² в день больше, чем запланировано, то закончит работу на 1 день раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

v (производительность)

м² в день

t (время)

дни

А (работа)

Площадь, м²

По плану

х

182

Фактически

х+1

,

на 1 меньше

182

По принципу « из большего вычитаем меньшее равно разнице» записываем уравнение - = 1.

По условию задачи х0, х₁ =13, х₂ 0 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 13 м².

Задача 3. На изготовление 21 детали первый рабочий затрачивает на 4 часа меньше. Чем второй рабочий на изготовление 35 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

v (производительность)

детали в час

t (время)

часы

А (работа)

всего деталей

По плану

х + 2

,

на 4 меньше

21

Фактически

х

35

По принципу « из большего вычитаем меньшее равно разнице» записываем уравнение - = 4.

По условию задачи х0, х₁ =5, х₂ 0 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:5 деталей в час.

Ещё большие затруднения вызывают задачи «на совместную работу». Здесь важно подвести детей к тому, что скорость совместной работы равна сумме скоростей участников этой работы.

По аналогии с задачами на движение многие учащиеся называют эту величину «общей скоростью».

Важный момент в задачах на работу: если про объём работы не говорится конкретно (не указывается количество литров, деталей, гектаров и т. д.), то работа принимается равной 1.

Об этом можно формировать понятие уже в 6 классе.

Задача 4: Один комбайн уберёт всё поле за 6 дней, а другой - за 4 дня. Какой комбайн имеет большую производительность? На сколько? Какую часть поля уберут оба комбайна за 2 дня, работая совместно?

v (производительность)

часть поля в день

t

(время)

дни

А (работа)

поле

1 комбайн

?

6

1

2 комбайн

?

4

1

Вместе

?

2

?

Так как v = А/t, то

1. 1:6= (поля в день) - v₁

2. 1:4= (поля в день) - v₂

Так как V_общая = v₁ + v_2, то

3. + = (поля в день) - вместе за 1 день (v_общая).

Так как А = v t, то

4. 2 = (поля) - вместе за 2 дня.

Ответ: поля.

Следующие задачи из экзаменационных материалов 9 и 11 классов.

Задача 5. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая?

v (производительность)

часть бассейна в час

t

(время)

часы

А (работа)

бассейн

1 труба

х

1

2 труба

х+3

1

Вместе

2

1

Так как V_общая = v₁ + v_2, то составляем уравнение:

+ =

По условию задачи х0, х₁ =3, х₂ 0 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: за 3 часа.

Задача 6. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 часа быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок первая бригада, если известно, что за 24 часа совместной работы они заасфальтировали 5 таких участков?

v (производительность)

часть бассейна в час

t(время)

часы

А (работа)

бассейн

1 бригада

х

1

2 бригада

х - 4

1

Вместе

24

5

Так как V_общая = v₁ + v_2, то составляем уравнение:

+ =

По условию задачи х4, х₁ =12, х₂ 4 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: за 12 часов.

Задача 7. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли вторую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов может наполнить одна первая труба?

v (производительность)

часть бассейна в час

t

(время)

часы

А (работа)

бассейн

1 труба

х

1

2 труба

1,5х

1

Вместе

1 труба

2 +4 =6

1

2 труба

4

Уравнение:
+ =По условию задачи х0, х₁ =8, х₂ 0 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: за 8 часов.

Задача 8. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий - за 12 минут, первый и третий - за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

v (производительность)

часть бассейна в мин

t

(время)

минуты

А (работа)

бассейн

1 и 2 насосы

x+y

9

1

2 и 3 насосы

y+z

12

1

1и 3 насосы

x+ z

18

1

Вместе

x+y+z

?

1

Так как v = А/t, то

x+y = ;

y+z = ;

x+ z = .

Тогда 2х +2y + 2z = ,

откуда x+y+z = ( бассейна в мин) - v_общая .

1 : = 8 (мин) время заполнения бассейна совместно.

Ответ: за 8 минут.

Некоторые нестандартные задачи можно решить этим же способом.

Задача 9. Два кота одновременно начали есть палку колбасы с разных сторон и съели её за 4 минуты. Один из котов съел бы всю колбасу за 12 минут. За сколько минут съел бы всю колбасу второй кот?

v(производительность)

часть колбасы в минуту

t

(время)

минуты

А (работа)

колбаса

1 кот

?

12

1

2 кот

?

?

1

Вместе

?

4

1

1. 1:12 = (колбасы в минуту) - 1 кот

2. 1: 4 = (колбасы в минуту) -вместе

3. - = (колбасы в минуту) -2 кот

4. : = 6 (минут) - t 2-го кота.

Ответ: за 6 минут съест всю колбасу второй кот.

Задача учителя научить детей замечать закономерности и аналогии, преподносить учебный материал так, чтобы сложное казалось простым. Предложенный методический подход к объяснению данного типа задач, надеюсь, будет полезен и учителям, и учащимся.

Литература.

1. Математика 6, Виленкин Н.Я, Жохов В.И, Чесноков А. С., Шварцбурд С.И., М: Мнемозина, 2013г.

2. Алгебра, 9,Макарычев Ю. И., Миндюк Н. Г. и др. М: Просвещение, 2013

3. Семёнов А. Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. М: «Экзамен», 2014

Открытый банк заданий ФИПИ.