Разработка урока по теме Теорема о площади треугольника. Теорема синусов

Урок № 23-24

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Тема: Теорема о площади треугольника. Теорема синусов

Цели:

• Доказать теорему о площади треугольника и теорему синусов.

• Показать применение этих теорем при решении задач.

• Развивать память, внимание и логическое мышление обучающихся

• Вырабатывать трудолюбие

Ход урока

1. Организационные моменты.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся:

1. Проверка выполнения домашнего задания

2. Проверка опорных знаний обучающихся.

Провести математический диктант (10 мин).

Вариант I

1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 7 см, а высота равна 4 см.

2. Найдите синус угла, если его косинус равен .

3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,3.

4. Начертите треугольник АВС с тупым углом С. Проведите высоту треугольника из вершины В.

5. Луч ОС образует с положительной полуосью абсцисс угол 60°. Найдите координаты точки С, если ОС = 6 дм.

6. Определите, каким - остроугольным, прямоугольным или тупоугольным - является треугольник, два угла которого равны 43° и 48°.

7. Точка С единичной полуокружности имеет координаты . Найдите угол, который образует луч ОС с положительной полуосью ОХ.

Вариант II

1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 10 дм, а высота равна 5 дм.

2. Найдите косинус угла, если его синус равен .

3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,7.

4. Начертите треугольник СDЕ с тупым углом Е. Проведите высоту треугольника из вершины С.

5. Луч ОВ образует с положительной полуосью абсцисс угол 30°. Найдите координаты точки В, если ОВ = 8 дм.

6. Определите, каким - остроугольным, прямоугольным или тупоугольным - является треугольник, два угла которого равны 35° и 56°.

7. Точка А единичной полуокружности имеет координаты . найдите угол, который образует луч ОА с положительной полуосью ОХ.

3. Объяснение нового материала.

1. Доказательство теоремы о площади треугольника можно организовать в форме беседы по вопросам:

1) чему равна площадь любого треугольника?

2) Какие формулы применяются для вычисления координат точки?

формулы вычисления координат точки с положительной ординатой - координаты точки А.

3. Формулы приведения

3. По рисунку 292 учебника провести доказательство теоремы о площади треугольника.

2. Устно решить задачу: найти площадь треугольника АВС, если АВ = 12 см, АС = 8 см, А = 30°.

3. Проблемная ситуация.

Предлагается решить устно задачу

Верно ли для треугольника равенство: ?

c=c=c

После того, как обучающиеся убедятся, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос: «Верно ли это утверждение для любого треугольника?». Ответ получим после доказательства теоремы синусов.

3. Доказать теорему синусов, используя теорему о площади треугольника.

1). Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Пусть в AB = c,BC = a, AC = b.

Докажем, что .

По теореме о площади треугольника

Из первых двух равенств получаем значит, аналогично, из второго и третьего равенств следует Итак, . Теорема доказана.

Теорему можно записать и в другом виде:

2). В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к рисунку

Для начала вспомним, как связаны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из равнобедренного треугольника АВО на рис. видно, что если дуга АВ имеет угловую величину, а радиус окружности равен R, то AB=2AM=2R sin( (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, дополняющей дугу AB до полной окружности, равна и , так что формулой можно пользоваться для любых дуг).

Из теоремы о вписанном угле( величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается) следует, что величина угла АМВ, где точки А, М, В лежат на одной окружности (рис а)), полностью определяется

дугой АВ и не зависит от положения точки M вне дуги AB: на рис б). Углы AM₁B, AM₂B, AM₃B и т. д. равны.

Теперь, когда в нашем распоряжении есть теорема о вписанном угле, мы можем наконец уточнить теорему синусов. Именно, рассмотрим треугольник ABC с углами A=, B=, C= и сторонами АВ=с, ВС=а, СА=b, и опишем около него окружность. Радиус окружности обозначим через R. В этой окружности длина хорды BC равна, как мы видели, 2Rsin (имеется в виду та из дуг BC, что не содержит точки A). С другой стороны, по теореме о вписанном угле BC/2=, хорда же BC- не что иное, как сторона a треугольника ABC. Подставляя эти равенства в выражение для BC, получаем, что a=2Rsin, или a/sin=2R. Проделывая то же для двух других сторон, получаем:

если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы , ,  соответственно, то .

где R - радиус окружности, описанной около треугольника.

Таким образом, мы получили дополнительное правило отыскания радиуса описанной около треугольника окружности.

4. Закрепление изученного материала (решение задач).

Урок № 23

1. Решить задачу № 1020 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

S = АВ · ВС sin B = ∙ 18∙ 3 sin 45° = 9∙ 3 ∙ = 27 (cм2).

Ответ: 27 cм2.

2. Решить задачу № 1022.

Решение

S = 60 см2; S = АВ · AС sin A; 60 = AB · 15 sin 30°;

60 = АВ · ; АВ = 60 : = 16 (см).

Ответ: 16 см.

3. Решить задачу № 1026.

Решение

Используем теорему синусов:

; B = 180° - (60° + 75°) = 45°;

; AB = ≈ 15 (см).

SΔABC = АC · AB sin A = · 12 · 15 sin 75° ≈ 87 (см2).

Ответ: АВ ≈ 15 см; SАВС = 87 см2.

Урок № 24

Решение номеров из учебника: №№ 1025(а, в, г, е, и), 1024

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание:

Изучить материал пунктов 96 и 97; повторить материал п. 89; решить задачи:

Урок № 23

№№ 1020 (а, в), 1023.

Урок № 24

№№ 1025 (б, д, ж).



6