Применение производной при решении экономических задач

Аттестуемый педагог Луконина Светлана Александровна .

Предмет математика .

Возраст учащихся группа 12 ТЭО-19к, 1 курс на базе основного общего

образования .

Тема урока Применение производной при решении экономических задач .

Цели урока:

1. Образовательные: Познакомить учащихся с возможностями использования математического аппарата дифференциального исчисления в экономических расчётах. Закрепить, углубить и обобщить знания в области производной с помощью решения различных задач с экономическим и практическим содержанием.

2. Развивающие: Продолжить развивать логическое мышление учащихся. Развивать навыки самостоятельной работы. Развивать навыки самоконтроля.

3. Воспитательные: Развивать познавательный интерес к предмету. Развивать творческие способности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тесты, таблицы, доска.

Тип урока: комбинированный.

План

1. Организационный момент ……………………………………………… 1 мин.

2. Проверка домашнего задания …………………………………………… 3 мин.

3. Актуализация ранее изученного...………………..………….………….. 3 мин.

4. Экономический смысл производной………………...………………… 25 мин.

5. Задачи на экстремум в экономике…………………………………….. 25 мин.

6. Эластичность функции ………………………………………………… 25 мин.

7. Подведение итогов……………………………………………………….. 3 мин.

8. Домашнее задание, (проектор)………...………………………………... 2 мин.

9. Этап рефлексии……………………………………………………..……. 3 мин.

1. Организационный момент

Цель деятельности педагога: проверить готовность к занятию, настроить на выполнение учебных задач.

Цель деятельности учащегося: настроиться на учебный процесс, проверить свою готовность к занятию.

Вступительное слово преподавателя: На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие производной, её геометрический и физический смысл, а сегодня рассмотрим возможность использования наших знаний при решении прикладных задач.

2. Проверка усвоения учащимися пройденного материала.

Цель деятельности педагога: актуализировать знания, необходимые для изучения темы, развивать позитивный интерес к предмету.

Цель деятельности учащегося: поверить в свои силы, оказавшись в ситуации успеха при решении известных задач.

Проверка домашнего задания через мультимедиа-проектор:

Задача: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

План решения

Реализация плана

Находим производную функции у ^/

Находим стационарные точки функции из уравнения у ^/=0

,

или

, , - стационарные

точки функции

Выбираем стационарные точки, принадлежащие отрезку

Находим значения функции в стационарных точках (принадлежащих промежутку) и на концах промежутка

Из найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее и записываем ответ.

3. Актуализация ранее изученного.

Вопросы для обсуждения:

1. Определение производной.

2. Производные элементарных функций.

3. Правила вычисления производных.

4. Дифференцирование сложной функции.

4. Экономический смысл производной

Производительность труда.

Пусть известна функция , выражающая объём произведённой продукции и за время t. Тогда за время величина произведённой продукции составит

Средняя производительность труда - это отношение количества произведённой продукции к затраченному времени, т.е.

Производительностью труда в момент времени t₀ называется предел, к которому стремится z_ср при :

Предельные затраты.

Пусть q - объём произведённой продукции, С - её себестоимость (или издержки), зависящая от q, т.е. .

Средние затраты на единицу продукции (средняя себестоимость) определяются по формуле

Найдём - приращение затрат на производство, связанное с увеличением объёма произведённой продукции на величину :

Отношение есть среднее приращение затрат на производство, т.е. приращение затрат на единицу произведённой продукции. Тогда, если существует

То называют предельными затратами на производство (себестоимостью). В экономических исследованиях предельные издержки называют маржинальными и обозначают через МС, т.е.

Предельный доход.

Пусть функция отражает зависимость дохода R от объёма продукции q. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приведут к формуле

Величина определяет предельный доход, который называют маржинальным и обозначают через МС, т.е.

Задача: Объём продукции и, выпускаемой рабочим в течение рабочего дня, выражается функцией , где t - время, ч; причём . Необходимо вычислить производительность труда и скорость её изменения через 1 ч после начала и за 1 ч до окончания рабочего дня.

Решение:

Производительность труда выражается формулой . Тогда

Производительность труда через 1 ч после начала работы

(у.е.)

Производительность труда за 1 ч до окончания работы

(у.е.)

Скорость изменения производительности труда

Значит, ,

5. Задачи на экстремум в экономике.

Алгоритм решения задачи

на определение наибольшего или наименьшего значений:

1. Этап построения математической модели (этап формализации).

• выявляем оптимизируемую величину (прибыль, расходы на производство и т.п.). и обозначаем её у;

• одну из неизвестных величин (цену товара, величину спроса, объём производства и т.п.) считаем независимой переменной и обозначаем х. Устанавливаем реальные границы изменения х в соответствии с условием задачи;

• исходя из конкретных условий задачи, выражаем у через х и известные величины.

2. Этап исследования математической модели.

• для полученной функции находим максимум или минимум (в зависимости от требований задачи) на промежутке реального изменения х.

3. Этап интерпретации результатов.

• интерпретируем полученные результаты для данных задачи.

Данный алгоритм подходит и для функции с двумя переменными.

Задача: Затраты на производство продукции объёма х задаются функцией . Производитель реализует продукцию по цене 25 ден.ед. Найдите максимальную прибыль П и соответствующий объём продукции х.

Решение:

План решения

Реализация плана

Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой надо найти

Прибыль равна разности между выручкой U и затратами С.

П= U - С

Находим соответствующую функцию, зависящую от х

Реализовав продукцию объёма х по цене 25 ден.ед., предприниматель имеет выручку, . При этом затраты составят . Значит,

Определяем (по смыслу задачи) область определения функции

По смыслу задачи объём продукции х может принимать любое положительное значение, т.е.

Формулируем математическую задачу

Найти наибольшее значение функции

при

Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном промежутке

, следовательно

стационарная точка функции

Производная меняет свой знак при переходе через эту точку с «+» на «-», значит - точка максимума.

Интерпретируем результаты и записываем ответ

Максимальная прибыль, равная 96 ден.ед., достигается при объёме производства 10 у.е.

6. Понятие эластичности в микроэкономике.

Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции (с точки зрения математики) называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при .

Экономический смысл эластичности функции в том, что она выражает приближённый процентный прирост значения функции при приращении аргумента на 1%.

Свойства эластичности:

1. Эластичность - безразмерная величина, т.е. её значение не зависит от единиц измерения величин х и у.

2. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций.

3. Эластичность частного двух функций равна разности эластичностей этих функций.

Эластичность спроса q относительно цены p.

Пусть спрос зависит от цены по закону . Функция показывает, как изменится спрос на данный товар, если цена изменится на 1%. Так как обычно , т.е. с увеличением цены спрос падает, то берут со знаком «-», т.е. .

Если то говорят, что спрос эластичен; если то не эластичен; если жето спрос нейтрален.

Перекрестная эластичность спроса по цене характеризует относительное изменение величины спроса на один товар или услуги при изменении цены на другие (замещающие или дополняющие) на один процент.

Положительный знак в (10) свидетельствует о замещаемости, а отрицательный - о дополняемости.

Эластичность спроса q относительно дохода r.

Пусть - закон зависимости спроса от дохода. Тогда есть эластичность спроса относительно дохода, она показывает как изменится спрос на данный товар, если доход изменится на 1%.

Аналогично можно определить эластичность предложения s относительно цены р или дохода r:

и

Ценовая эластичность ресурсов.

Характеризует относительное изменение величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (зарплаты) на один процент.

Эластичность замещения одного ресурса другим

Характеризует необходимое изменение величины одного ресурса (капитала) при изменении количества другого ресурса (труда) на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не сократился.

Пример 1: Функция спроса: Функция предложения: S = p + 0,5. Здесь р(руб) - цена товара, q(шт.) - количество покупаемого товара; S(шт.) - количество предлагаемого на продажу товара в единицах времени.

Найти: а) равновесную цену: q= S; б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Решение: а)  p = 2 руб.

б)

;  неэластична

 ;  неэластична.

Следовательно изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. При увеличении цены р на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

Пример 2: Функция спроса y от цены х продукта имеет вид . Найти коэффициент эластичности спроса при цене товара единицы.

Решение. Коэффициент эластичности спроса равен

.

При получаем , т.е. при повышении цены на 1% спрос на товар уменьшится на 0,25%. Так как , то спрос при цене единицы не эластичен.

VII. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

VIII. Домашнее задание, слайд № 15.

Тематические тесты. Раздел 2.5. А₃; А₆ ; А₁₅; В_30; В₃₈; В₄₃.

Записи в тетрадях.

IX. Рефлексия урока.

Цель деятельности педагога: создание условий для саморазвития, самопознания школьника.

Цель деятельности учащегося: воспроизведение полученных в ходе занятия знаний; осознание собственной деятельности.

Слово преподавателя:

1. Какими навыками, умениями вы овладели на сегодняшнем уроке?

2. Что было непонятно?

3. Решение каких задач показалось вам сложным?

4. Какие задания вам понравились?

5. Что удивило вас?

9