Образовательный модуль на повторение курса планиметрии по теме «Касательная к окружности»

Образовательный модуль

на повторение курса планиметрии по теме

«Касательная к окружности»

Введение

Модульная технология возникла как альтернатива традиционным подходам к обучению и первоначально была осуществлена в сфере профессионального образования для устранения недостатков существующей профессиональной подготовки. Она приобрела большую популярность в учебных заведениях США и Западной Европы в начале 40-х годов XX века. Ее идеи берут начало в трудах Б. Ф. Скиннера и получают теоретическое обоснование и развитие в работах Б. М. Гольдшмид, К. Курха, Г. Оуенса, Дж. Расселла. В отечественной дидактике наиболее полно основы модульного обучения изучались и разрабатывались И. Б. Сенновским, П. И. Третьяковым, Т. И. Шамовой, П. А. Юцявичене и др.

Модульное обучение интегрирует в себе все то, что накоплено в педагогической теории и практике, и базируется на теории поэтапного формирования умственных действий. Идея активности ученика, четкость и определенная логика его действий, постоянное подкрепление их на основе самоконтроля, индивидуализированный темп учебно-познавательной деятельности пришли в модульное обучение из программированного. Кибернетический подход обогатил модульное обучение идеей гибкого управления деятельностью учащихся, переходящего в самоуправление.

Пояснительная записка

• Актуальность.

Личностно-ориентированное обучение, главная цель которого - развитие личностного отношения к миру, деятельности, себе, обогатило модульное обучение субъективной активностью и самостоятельностью учащегося.

При модульной технологии обучения содержание состоит из системы модулей, количество которых определяется целями, глубиной, широтой познания предметной культуры. Содержание разбивается на обособленные законченные части.

• Принципы.

Устные задачи для повторения теории; ключевые задачи; практикум по решению задач на уроке; задания для самостоятельной работы; задания для домашней работы.

• Цель составления методической разработки.

Оказание учителям математики методической помощи при подготовке выпускников основной школы к итоговой аттестации по математике.

• Задачи, решаемые внедрением разработки.

Выделение базового уровня по теме модуля, выделение основных затруднений учащихся; выделение повышенного уровня сложности по теме.

• Практическая направленность материала.

Поурочно - тематическое планирование по данному модулю, рекомендации по форме уроков, по учебно - методическим ресурсам.

• Предполагаемые результаты от применения методической разработки.

Обеспечение эффективности и результативности проведения итогового повторения, создание условий повышения познавательной активности учащихся.

• Критерии оценки результатов внедрения разработки.

Входная диагностика(устная работа), результаты самостоятельной и домашней работ, мониторинг результатов ГИА по математике в 9 классе.

• Технология осуществления разработки и ограничения в использовании.

Предлагаемая система работы предназначена для учителей математики 9 класса при повторении курса планиметрии при условии выделения 2 -3 часов. (Приложение 1)

1. Образовательный модуль на повторение курса планиметрии по теме «Касательная к окружности».

• Устная работа.

Теория.

1. Определения: - окружность,

- центр окружности,

- радиус,

- касательная,

- точка касания,

- секущая,

- хорда,

- диаметр,

- перпендикуляр,

- описанная окружность.

- равносторонний треугольник,

- биссектриса.

2. Теоремы:

2.1- Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

2.2- Признак касательной. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

2.3- Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равнее произведению секущей на её внешнюю часть.

2.4- Угол между касательной и хордой. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

2.5- Теорема о центре вписанной окружности в треугольник. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис.

• Ключевые задачи.

1. Свойство углов равностороннего треугольника.

2. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30 °.

3. Свойство острых углов прямоугольного треугольника.

4. Теорема Пифагора

• Подходы к решению задач (исходя из условий)

1. Проведение перпендикуляра из центра окружности в точку касания.

2. Обозначение длины отрезка за х, составление уравнения.

3. Общий ход рассуждений: дано - найти- решение; дано - доказать - доказательство.

• Практикум по решению задач на уроке

№

Задача ( текст, рисунок, решение, ответ)

Определения (№ из списка)

Теоремы

(№ из списка)

На что обратить особое внимание

1.

DC - касательная к окружности с центром в точке О. В - точка касания. Треугольник ВОА равносторонний. Определите угол АВ D.

Решение:

Треугольник ВОА равносторонний, следовательно, все углы равны по 60º.

Угол ОВD= 90 º.

< АВD= <ОВD - <ОВА= 90º- 60º = 30º

Ответ: 30º

Свойство углов равностороннего треугольника

2.1

Аксиома измерения углов.

2.

Из точки С к окружности с центром в точке О проведены касательная СМ. (А - точка касания) и секущая СN. Угол CNM = 28º. Определите величины других углов треугольника ОАС.

Решение: Проведем отрезок ОА. ОА - радиус окружности. ОА перпендикулярен касательной АС.

Рассмотрим треугольник ОАС

<ОАС = 90º.

< АОС= 90º - <ОАС= 90º- 28º = 62º

Ответ: 90º, 62º.

2.1

Ключевая задача №3

3.

Треугольник АВС описан около окружности с центром в точке О. угол САО = 27º. Чему равен угол ВОА?

Решение:

<ВАО = <САО = 27º

Ответ: 27º

2.2

4.

Задача по готовому чертежу.

АО = 17. АВ - ?

Решение:

Рассмотрим треугольник АОВ. Он прямоугольный, <АВО = 90º.

ОВ = ОК = 15.

АО² = АВ²+ ВО²,

17²= АВ² + 15², АВ² =289 - 225=64. АВ = 8.

Ответ: 8.

2.1

Ключевая задача №5(Теорема Пифагора)

5.

Задача по готовому чертежу.

R = 8.

Решение:

Проведем радиусы ОВ и ОС. ОВ перпендикулярен АВ. ОС перпендикулярен АС.

ОА биссектриса угла ВАС.

<ВАО = <САО = 30º.

Рассмотрим треугольник АВО, он прямоугольный.

ВО = 8, <ВАО = 30º.

АВ = ВО •ctg 30º = 8 √3.

Ответ:8√3.

2.1.

2.2

2.1

Опреде

ление котан

генса острого

угла прямоугольного треугол

ьника

6.

Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону равнобедренного треугольника на отрезки 3 см и 5 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Треугольник АВС - равнобедренный. АВ= ВС = 3 +5 = 8см.

<ВАС = <ВСА

Следовательно, <КАО = <ОАМ = <ЕСО = <ОСМ.

Рассмотрим треугольники ОЕС и ОМС. Они прямоугольные.

И треугольник ОЕС = треугольнику ОМС (<ЕСО = <ОСМ, ОЕ = ОМ = R).

Из равенства данных треугольников следует, что ЕС = МС = 3 см.

Аналогично, треугольник ОКА = треугольнику ОМА, АК = АМ = 3см.

АС = 6 см.

Периметр треугольника АВС = АВ + ВС + АС = 8 + 8 + 6 = 22 см.

Ответ: 22 см.

2.2

2.1

По определению равно

бедренного треугольника

По свойству равнобед. тр..

Признак равенства прямоугольных треугольников: по катету и острому углу)

По аксиоме измерения отрезков.

7.

Хорда проведена параллельно касательной к окружности. Докажите, что концы хорды и точка касания образуют равнобедренный треугольник.

Решение: АС׀׀ DE, 1.<DВА=<ВАС.

<DВА= ^1/₂<ВОА.

2.<ЕВС = <ВСА

<ЕВС= ^1/₂<ВОС.

По доказанному выше 1:

<DВА=<ВАС= ^1/₂<ВОА.

Но <ВАС= ^1/₂<ВОС.

Учитывая доказанное в пункте 2: <ВСА= ^1/₂<ВОС.

Следует, что:

<ВСА =<ВАС.

Значит , треугольник АВС - равнобедренный.

2.4

2.4

Свойство параллельных прямых

Теорема о вписанном угле

Признак равнобедренного треугольника

Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений его обоих катетов имеет радиус q. Найдите периметр треугольника.

Решение:

СN =CD , BM=BD , следовательно:

AN = AC+CD, AM = AB = BD

Значит, Р = AN+AM

Угол MAN = углу АМО = углу ANO=90°.

Следовательно, AMNO- квадрат.

Р = 2ОМ = 2q.

По определению

2.2

2.1

По аксиоме измерения отрезков.

• Задания для самостоятельной работы.

№

Задача

Ответ

1

МР касательная к окружности. Угол КМР равен 30º.вычислите градусную меру угла МОК.

60º

2

Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К - точка касания. Найдите длину ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.

10 см

3

В треугольнике АВС отрезки АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажите, что АВ - отрезок касательной, проведенной из точки А к окружности с центром в точке С радиуса 3 см.

-

4

ЕК и ЕF - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 6 см, Угол КОF = 120°, А - точка пересечения КF и ОЕ. Найдите длины ОА и АЕ.

ОА =3 см,

АЕ = 9 см

• Задания для домашней работы.

Учащиеся могут выбирать задание из предложенных учителем с учётом индивидуальных возможностей. УУД познавательные, регулятивные, коммуникативные

Используя конспект сегодняшнего урока, решите задачи.

№

Задача

Ответ

1

АВ и АС касательные. Угол А = 60º. Найдите угол ВОС.

120º

2

Угол ВОА = 110º, угол САВ = 55º. Докажите, что прямая АС является касательной к данной окружности.

-

3

Через точку А проведены две касательные к окружности с центром О, причем В и С- точки касания. 1) Докажите, что АО является биссектрисой угла ВАС.2) Сравните длины отрезков АВ и АС.

-

4

МА и МВ - касательные, МО = 2см, угол АМО равен 45º. Найдите расстояние между точками А и В.

2 см

5

Центр О окружности лежит на стороне АВ треугольника АМВ, причем окружность касается сторон АМ и МВ. Известно, что АО = 6, ОВ = 4, ОМ = 12. Найдите радиус окружности.

6√3/√7

2. Форма учета знаний учащихся.

В качестве мониторинга знаний можно предложить тестовую работу по данной теме. Работа представлена в виде двух равноценных вариантов с некоторым превышением степени трудности. Вопросы и задания тестовой работы разделены на три уровня сложности: А - базовый; В - более сложный и содержит задачи на умение использовать и ранее изученный материал; С - две задачи повышенного уровня. На выполнение теста отводится от 10 до 20 минут в зависимости от уровня подготовки учащихся. За каждое выполненной задание части А учащийся получает 0,5 балла. В части В - 1 балл, в части С - 2 балла. Максимальное количество баллов за тест - 8.

Оценка

Количество баллов.

2

Менее 1,5

3

1,5 - 2,5

4

3 - 4

5

4,5 - 8

Тест по теме «Касательная к окружности».

Вариант 1.

А1. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. ОА = 16 см, а радиусы, проведенные к точкам касания, образуют угол, равный 120º. Чему равен отрезок ОВ?

1. 8 см 2) 16 см 3) 32 см 4) 24 см

А2. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиуса 4 см в точке А так. Что ОВ = 4 √2 . Чему равен отрезок АВ?

1. 2√ 2см 2) 2см 3) 4√ 2 см 4) 4 см

А3. АВ и ВС отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. ОВ = 10. АО = 5.Чему равен угол АОС?

1. 120º 2) 60º 3) 45º 4) 90º

А4. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 6 см. Известно, что АВ = 16 см, АО = ОВ. Чему равна длина АО?

1. 9см 2) 6см 3) 8см 4) 10см

В1. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках М, К и Р соответственно так, что ВМ=4 см, КС =6 см, АР = 8 см. Найдите периметр треугольника АВС.

В2. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 10 см. Найдите периметр четырехугольника АВСО, если угол АОС равен 120º.

С1. Угол между диаметром АВ и хордой Ас равен 30º. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке К. Найдите радиус окружности, если СК = 4 см.

Вариант 2.

А1. Отрезки касательных АВ и ВС. Проведенных из точки В к окружности с центром О, образуют угол, равный 60º, ОВ = 28 см. Чему равен отрезок АО?

1)28см 2) 42см 3)56см 4)14см.

А2. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 2 см в точке А так. ОА = ОВ. Чему равен отрезок ОВ?

1)2 √2 см 2) 2см 3)3√ 2 см 4) 4см.

А3. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. АВ = 6, ВО = 12. Чему равен угол АВС?

1)30º 2)120º 3)60º 4)90º

А4. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 5см. Известно, что ОА = ОВ = 13 см. Чему равна длина АВ?

1)24см 2)12см 3)26см 4)10см

В1. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках М, К и Р соответственно так, что ВМ = 5 см, РС = 7 см, а периметр треугольника АВС равен 32 см. Найдите длину стороны АС.

В2. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 6 см. Найдите периметр четырехугольника АВСО, если угол АВС равен 60º.

С1. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30º. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке Е. Найдите СЕ, если радиус окружности равен 6 см.

Ключ к тесту.

Вариант

А1

А2

А3

А4

В1

В2

С

1

3

4

1

4

36 см

20 + 20 √ 3 см

4 √3/3 см

2

4

1

2

1

11 см

12+ 12 √3 см

6√ 3

3. Список литературы.

1. «Геометрия 7-9», А.В. Погорелов, «Просвещение», 2010г..

2. «Рабочая тетрадь. Геометрия 7», Ю.П. Дудницын, «Просвещение», 2011г..

3. «Алгебра. Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы», А.П. Ершова, «Илекса», 2006г..

4. «Я иду на урок. Геометрия 7», И.Л. Соловейчик, «Первое сентября», 2002г..

5. «Геометрия. Задачи на готовых чертежах», М.Р. Рыбникова, «Учебная книга», 2004г..

6. «Решение экзаменационных задач повышенной сложности по геометрии (планиметрия)», И.Л. Бродский, «АРКТИ», 2003г..

7. «Контрольно - измерительные материалы», Н.Ф. Гаврилова, М.: ВАКО, 2013.

Приложение 1.

Тематическое повторение по геометрии в 9 классе.