Экспресс-репетитор по математике для подготовки к Внешней оценке учебных достижений

ГУ «Приреченская средняя школа»

Экспресс-репетитор по математике для подготовки к Внешней оценке учебных достижений.

2016

Полякова Н.Б., учитель математики ГУ «Приреченская средняя школа», Денисовский район, Костанайская область, Казахстан

Пособие рассчитано на самостоятельную или с помощью учителя подготовку учащихся к внешней оценке учебных достижений. В него входят задания, включающие темы « Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля», «Уравнения, неравенства, системы с параметром», «Элементы комбинаторики», «Элементы теории вероятностей и статистики». Каждый раздел предваряется кратким теоретическим материалом и примерами решения задач. Количество заданий в теме варьируется в зависимости от ее сложности.

Каждая тема включает в себя упражнения, которые позволяют учащимся самостоятельно повторить и закрепить изученное.

Чтобы проверить, усвоен ли материал, приведено решение упражнений.

Аннотация

Данное методическое пособие содержит материал для систематизации

знаний и умений учащихся по математике. Перечисленные задания помогают отрабатывать практические умения и навыки учащихся.

Цели разработки:

1. Повторение учебного материала по математике за курс основной школы и подготовка учащихся к внешней оценке учебных достижений.

2. Составление сборника в помощь учителю в организации индивидуальной работы с учащимися. 3. Составление сборника в помощь учащимся для самостоятельного овладения знаниями и в организации контроля имеющихся знаний .

Задачи:

1. Систематизация содержания учебного материала по математике за курс основной школы.

2. Определение уровня знаний, умений учащихся в усвоении учебного материала.

Спецификация материала

Методическое пособие содержит краткий справочный материал, методы решения, задания для самостоятельного решения и решение заданий для самостоятельного решения, составленные по разделам за курс основной школы. В пособие включен учебный материал по математике на основе Госстандарта по следующим разделам:

I раздел - 1.Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля.(стр.5) 2. Методы решения уравнений с переменной под знаком модуля.(стр.5)

3. Методы решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.(стр.10)

II раздел -

1. Графики функций, содержащих знак модуля (стр.15)

2. Задания для самостоятельного решения (стр.16)

3.Решение заданий для самостоятельного решения (стр.17) III раздел - Уравнение, неравенства, системы с параметрами (стр.22)

1.Уравнения с параметрами (стр.23)

2.Системы уравнений с параметрами (стр.29)

3.Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена (стр.29)

4.Неравенства, содержащие параметр (стр.33)

5.Системы неравенств с параметрами (стр.36)

6.Задания для самостоятельного решения (стр.37) 7.Решение заданий для самостоятельного решения (стр.38) IV раздел - Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

1.Основные понятия и формулы комбинаторики. Методы решения задач.(стр.45)

2. Задания для самостоятельного решения (стр.50) 3. Решение заданий для самостоятельного решения (стр.50) V раздел - Элементы теории вероятностей (стр.52)

1. Классическое определение вероятности (стр.53)

2. Свойства вероятности ( стр.54)

3. Геометрическое определение вероятности (стр.60)

4. Элементы статистики (стр.61)

5. Задания для самостоятельного решения (стр.63) 3. Решение заданий для самостоятельного решения (стр.63)

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Определение. Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, и ему противоположное, если число отрицательное, т.е.

=

Модулем выражения f(x) называется само это выражение f(x), если оно неотрицательно, и ему противоположное, если f(x) отрицательно:

=

Геометрический смысл модуля: модуль действительного числа a есть расстояние от начала координат до соответствующей числу a точки на числовой оси (рис. 1).

Модуль разности двух чисел есть расстояние между точками координатной прямой с координатами a и b (рис. 2).

Свойства модуля

1. Модуль любого числа есть число неотрицательное, т.е. .

2. Модуль числа не меньше самого числа, т.е. .

Модуль числа равен самому числу тогда и только тогда, когда число неотрицательно, т.е..

Модуль числа больше самого числа тогда и только тогда, когда это число отрицательное, т.е. .

Модуль числа равен числу, ему противоположному, тогда и только тогда, когда число неположительное, т.е. .

3. Модули противоположных чисел равны, т.е. .

4. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е. .

5. Модуль произведения (частного) двух чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, т.е.

6. Модуль суммы двух чисел не больше суммы их модулей, т.е. .

Модуль суммы двух чисел равен сумме их модулей тогда и только тогда, когда эти числа одного знака, т.е. .

Модуль суммы двух чисел меньше суммы их модулей тогда и только тогда, когда эти числа разных знаков, т.е.

7. Модуль суммы двух чисел равен сумме этих чисел тогда и только тогда, когда оба числа неотрицательны, т.е.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

1. Уравнения вида где - некоторое число.

Если a<0, то уравнение = не имеет корней.

Если a=0, то уравнение = равносильно уравнению f(x)=0.

Если a>0, то уравнение = равносильно совокупности уравнений

Пример 1. Решите уравнение:

а) =5

б) = - 3

Решение. а) Уравнение =5 равносильно совокупности уравнений

Решая эти уравнения, находим, что

Ответ:

б) Уравнение = - 3 не имеет корней, так как модуль принимает только неотрицательные значения, правая часть отрицательна (-3<0).

Ответ: нет решений.

2. Уравнения вида

Способ 1. Уравнение можно решать, используя определение модуля выражения.

Уравнение равносильно совокупности двух систем

Пример 2. Решите уравнение 4

Решение. Пользуясь определением модуля, получаем, что данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Ответ:; 5.

Способ 2. Заметим, что корни уравнения g(x) должны удовлетворять условию g(x). Уравнение равносильно системе

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ: 1.

Выбор способа решения уравненияg(x) определяется тем, какое из условий проще g(x) или f(x) (f(x)<0).

Пример 4. Решите уравнение:

а)

б)

Решение. а) . Перепишем уравнение в виде

Выражение, стоящее в правой части, проще, чем под модульное, поэтому перейдем к равносильной системе

Ответ: -12.

б) Уравнение равносильно системе

Непосредственной подстановкой в неравенство x²-10убеждаемся, что условию удовлетворяет только x=-4.

Ответ: - 4.

3. Уравнения вида

Модули двух выражений равны тогда и только тогда, когда эти выражения равны или противоположны. Уравнение равносильно совокупности уравнений.

Пример 5. Решите уравнение

Решение. Уравнение Равносильно совокупности уравнений

Ответ:

4. Метод замены переменной.

Если уравнение содержит то его удобно решать, используя замену

Пример 6. Решите уравнение:

а)

б)

Решение. а) . Пусть t=, тогда и уравнение примет вид t=1 или t=-8.

Вернемся к прежней переменной: x= или - нет корней.

Ответ: .

Замечание. При введении подстановки t= можно отметить, что t≥0, и значение t=-8 не рассматривать.

б) . Пусть тогда уравнение примет вид или t=5. Вернемся к прежней переменной: - нет корней; тогда

Ответ:

5. «Раскрытие» знака модуля по определению (метод разбиения на промежутки).

Если уравнение содержит несколько разных выражений под знаком модуля, то можно область допустимых значений переменной разбить на промежутки, внутри каждого из которых все подмодульные выражения сохраняют знак (для этого достаточно нули подмодульных выражений), далее исходное уравнение рассмотреть на каждом из полученных промежутков, т.е. заменить равносильной ему совокупностью систем.

Пример 7. Решите уравнение:

а) б)

Решение. а) . ОДЗ уравнения (множество R) разбивается числами 1 и 5 (нулями подмодульных выражений) на три промежутка: ( - ∞;1), , (5; + ∞) (рис.3).

Исходное уравнение равносильно совокупности трех систем:

1. нет решений;

3. нет решений.

Ответ:

б) . ОДЗ уравнения разбивается числами 3 и 5 на три промежутка : ( - ∞;3), , (5; + ∞) (рис.4).

Исходное уравнение равносильно совокупности трех систем:

1. нет решений;

3. нет решений.

Ответ: 3.

6. Уравнение вида

Уравнения решаются с использованием свойств модуля (6 и 7):

Пример 8. Решите уравнение:

а) б)

Решение. а) . Перепишем уравнение в виде или т.е. модуль суммы двух выражений равен сумме модулей этих выражений. Значит, уравнение равносильно неравенству

Ответ:

б) Перепишем уравнение в виде или т.е. сумма модулей равна сумме под модульных выражений. Значит, уравнение равносильно системе

Ответ:

Приведем еще несколько примеров уравнений.

Пример 9. Решите уравнение.

а) б)

Решение. а) . Перепишем уравнение в виде Пусть , тогда и уравнение примет вид t=3 или t=5. Вернемся к прежней переменной:

Ответ: -3; -1; 5; 7.

б) Заметим, что в левой части уравнения сумма неотрицательных слагаемых, а в правой части 0. Значит, уравнение равносильно системе

Подстановкой убеждаемся, что числа 2 и 3 удовлетворяют первому уравнению системы, а значит, являются корнями данного уравнения.

Ответ: 2; 3.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

1. Неравенства вида где - некоторое число.

Если aто неравенство не имеет решений.

Если a>0, то неравенство равносильно двойному неравенству т.е. системе неравенств

Пример 10. Решите неравенство.

а) б)

Решение. а) . Неравенство равносильно двойному неравенству

Ответ:

б) Неравенство решений не имеет, так как левая часть принимает только неотрицательные значения, а правая - отрицательна. Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного.

Ответ: нет решений.

2. Неравенства вида где - некоторое число.

Если a<0, то неравенство верно при любом допустимом значении x.

Если a=0, то неравенство верно при всех допустимых значениях x, при котором

Если a>0, то неравенство равносильно совокупности неравенств

Пример 11. Решите неравенство.

а) б)

Решение. а) Неравенство равносильно совокупности

Ответ:

б) Неравенство выполняется при всех допустимых значения x т.е.

Ответ:

3. Неравенства вида

Неравенства вида являются обобщением неравенств вида , где - некоторое число. Неравенство равносильно системе

Пример 12. Решите неравенство:

а) б)

Решение. а) Неравенство равносильно системе

Ответ: (1; 3)

б) Неравенство равносильно системе

Решением системы неравенств, а значит и решением исходного неравенства, является пересечение полученных множеств значений x (рис. 5).

Ответ:

4. Неравенства вида

Неравенства вида являются обобщением неравенств вида , где - некоторое число.

Неравенство равносильно совокупности

Пример 13. Решите неравенство:

а)

Решение. а) Неравенство равносильно совокупности Решая первое неравенство, получим , а решением второго неравенства является объединение промежутков

Тогда решением совокупности является

Ответ:

5. Неравенство вида

Так как обе части неравенства неотрицательны при всех допустимых значениях x, то можно возвести обе части неравенства в квадрат и получить равносильное неравенство т.е. Полученное неравенство, не содержащее модуля, чаще всего удобно решать методом интервалов.

Пример 14. Решите неравенство:

а) ; б)

Решение. а) . Возведем обе части неравенства в квадрат:

Решением неравенства является объединение промежутков

Ответ:

б) . Возведем обе части неравенства в квадрат:

Ответ:

Пример 15. Решите неравенство:

а) б)

Решение. а) . Пусть тогда неравенство примет вид Вернемся к прежней переменной: Решением первого неравенства является объединение промежутков а второе не имеет решений. Значит, решением исходного неравенства является объединение числовых промежутков

Ответ:

б) . Перепишем неравенство в виде Пусть тогда неравенство примет вид Вернемся к прежней переменной: Полученное неравенство равносильно совокупности

Ответ:

6. «Раскрытие» знака модуля по определению (метод разбиения на промежутки).

Пример 16. Решите неравенство:

а) б)

Решение. а) Неравенство равносильно совокупности двух систем:

Ответ: .

б) . ОДЗ неравенства (множество R) разбивается числами -1 и 3 (нулями подмодульных выражений) на три промежутка: (рис. 6).

Исходное неравенство равносильно совокупности трех систем:

Решением исходного неравенства является объединение множеств решений трех систем:

Ответ:

7. Неравенства вида

Неравенство вида не имеет решений, так как модуль суммы двух выражений не больше суммы модулей этих выражений.

Неравенство вида равносильно уравнению .

Неравенство вида выполняется при всех допустимых значениях x.

Неравенство вида равносильно неравенству (свойство 6).

Пример 17. Решите неравенство:

а)

б)

Решение. а) . Неравенство равносильно уравнению . Сумма модулей двух выражений равна модулю их суммы в том и только том случае, если выражения имеют одинаковый знак, т.е.

Ответ:

б) Сумма модулей двух выражений больше модуля их суммы тогда и только тогда, когда эти выражения разных знаков, т.е. Решением этого неравенства является объединение промежутков

Ответ:

Рассмотрим еще несколько неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Пример 18. Решите неравенство:

а)

б)

Решение. а) . Так как при всех допустимых значениях x левая часть неотрицательна, то неравенство равносильно уравнению т.е. равносильно системе

Ответ: 5.

б) Так как левая часть неравенства принимает только неотрицательные значения, а правая - неположительные, то неравенство равносильно системе

Ответ: 0,5.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ

1. График функции

Чтобы построить график функции имея график функции нужно:

1. Сохранить ту часть графика функции где (т.е. расположенную не ниже оси Ox);

2. Отобразить симметрично относительно оси Ox ту часть графика функции где (т.е. расположенную ниже оси Ox (рис. 7)).

Пример 19. Постройте график функции и укажите промежутки возрастания функции.

Решение. Графиком функции служит парабола с вершиной в точке (3; -1), ветви параболы направлены вверх; (2;0), (4;0) - точки пересечения параболы с осью Ox. если (рис. 8, а).

Часть параболы, соответствующую , отображаем симметрично относительно оси Ox (рис. 8, б).

Функция является возрастающей на промежутках

Ответ:

2. График функции

Чтобы построить график функции , имея график функции нужно:

1. Сохранить ту часть графика функции , где (т.е. расположенную не левее оси Oy). Ликвидировать часть графика, соответствующую x<0 (т.е. расположенную левее оси Oy);

2. Отобразить сохраненную часть графика симметрично относительно оси Oy (рис. 9).

Пример 20. Постройте график функции и укажите промежутки, на которых функция положительна.

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх; (2;-1) - координаты вершины параболы; А (0;3) - точка пересечения параболы с осью Oy (рис. 10, а)

Стираем часть параболы, расположенную левее оси Oy, а оставшуюся часть отображаем симметрично относительно оси Oy (рис. 10, б). Функция положительная на промежутках

Ответ:

3. График функции имея график функции (рис. 11, а), нужно применить последовательно преобразования, необходимые для построения графиков функций и :

1. Сохранить ту часть графика функции где (рис. 11, б);

2. Отобразить симметрично относительно оси Ox ту часть графика функции , где (рис.. 11, в);

3. Выполнить симметрию относительно оси Oy получившейся при части графика (рис. 11, г).

Пример 21. Постройте график функции . Укажите промежутки, на которых функция убывает.

Решение.

1. Строим график функции (рис. 12, а);

2. Отображаем симметрично относительно оси Ox часть графика, расположенную ниже оси Ox (рис. 12, б);

3. Отображаем получившийся график симметрично оси Oy (рис. 12, в).

Функция убывает на промежутках

Ответ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнение (1-6).

Решите неравенство (7-13).

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. Найдите все х, удовлетворяющие условиям:

Найдите область определения функции (14-18).

14. 

15. 

16. Постройте график функции . Укажите промежутки возрастания функции.

17. Постройте график функции Какие значения принимает функция, если

18. Постройте график функции . Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения (1-6).

Решение. ; второе уравнение совокупности не имеет решения, первое уравнение имеет корни 1 и 3.

Ответ: 1; 3

Решение. Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Ответ:

Решение. Уравнение равносильно системе нет решений.

Ответ: нет решений.

Решение. Уравнение равносильно совокупности трех систем:

Ответ:

Решение. Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Ответ:

Решение. Перепишем уравнение в виде Так как сумма подмодульных выражений равна правой части, то уравнение равносильно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток , а второго - объединение промежутков Значит, решением системы является

Ответ:

Решите неравенство (7-13).

Решение. Неравенство равносильно системе

Ответ:

Решение. Перепишем неравенство виде Неравенство равносильно системе

Решением первого неравенства системы является объединение промежутков Решением второго неравенства является объединение промежутков Пересечением множеств решений неравенств является

Ответ:

Решение. Неравенство равносильно совокупности Множеством решений первого неравенства является объединение промежутков Множеством решений второго неравенства является промежуток Объединяя решения неравенств, получим

Ответ:

Решение. Неравенство равносильно совокупности трех систем:

Ответ:

Решение. Заменим переменную, пусть тогда Вернемся к прежней переменной

Ответ:

Решение. Неравенство равносильно неравенству

Ответ:

13. Найдите все х, удовлетворяющие условиям:

Решение. Первое неравенство равносильно совокупности Решая совокупность, получим

Множеством решений неравенства является промежуток [-4;2]. Тогда множеством решений системы является (-3;2)ᴗ(1;2].

Ответ: (-3;2)ᴗ(1;2].

Найдите область определения функции (14-18).

Решение. Область определения функции задается системой неравенств Множеством решений первого неравенства является промежуток Множеством решений второго неравенства является (-∞;-4)ᴗ(4;+∞). Значит, область определения функции:

Ответ:

Решение. Область определения функции задается системой Множеством решений неравенства является Значит,

Ответ:

16. Постройте график функции . Укажите промежутки возрастания функции.

Решение. Зададим функция кусочно:

Построим график функции (рис. 1).

Функция возрастает на промежутках [-2;-1.5], [0; +∞).

Ответ: [-2;-1.5], [0; +∞).

17. Постройте график функции Какие значения принимает функция, если

Решение. Зададим функцию кусочно:

Построим график функции (рис. 2).

Если

Ответ:

18. Постройте график функции . Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения.

Решение. Чтобы построить график функции , надо:

1. Построить график функции

2. Сместить график вдоль оси Ох на 2 единицы влево, получим график функции

3. Сместить полученный график вдоль оси Оу на 1 единицу вниз, получим график функции

4. Отобразить часть графика, расположенную ниже оси Ох, симметрично относительно оси Ох, получим график функции

5. Сместить график функции вдоль оси Оу на 3 единицы вниз (рис. 3).

Функция принимает положительные значения при

Ответ:

УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРОМ

Если в уравнение, неравенство или систему входят коэффициенты, обозначенные буквами, то эти коэффициенты называются параметрами. Давая параметрам различные числовые значения, получаем разные уравнения (неравенства, системы).

Рассматривая уравнение мы придаем буквам и x разный смысл, считая, что буквой x обозначена переменная, а буквой - некоторое фиксированное число, значение которого в разных случаях различно. Коэффициент называют параметром, а уравнение называют уравнением с параметром.

Решить уравнение (систему, неравенство) с параметром - это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства, системы) или доказать, что их нет.

Два уравнения (неравенства, системы), содержащие одни и те же параметры, называют равносильными, если:

1. Имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

2. Каждое решение первого является решением второго и наоборот;

Если данные уравнения (неравенства, системы) вовсе не имеют решений. То они так же считаются равносильными.

Приведем некоторый (не претендующий на полноту) перечень типов заданий с параметром.

1. Решите уравнение, неравенство или систему с параметром.

2. Определите количество корней уравнения при различных значениях параметра.

В большинстве задач такого типа оказывается возможным записать данное уравнение в виде или и решить задачу графически.

В первом случае строим график функции и прямой при разных значениях и записываем ответ.

Во втором случае строим график функции и семейство графиков функций при различных значениях . Далее поступаем, как в первом случае. Сами корни при этом, как правило, не находятся.

3. Найдите все значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) имеет единственное решение, ровно два решения, не имеет решений, выполняется при всех x и .т.д.

4. Найдите все значения параметра, при которых данные уравнения или неравенства равносильны, одно является следствием другого, имеют хотя бы один общий корень и т.д.

5. Найдите все значения параметра, при которых корни квадратного уравнения удовлетворяют поставленным условиям (один корень меньше данного числа m, а другой больше m; оба корня меньше m; оба корня больше m; один корень является квадратом другого; сумма кубов корней меньше числа q и т.д.).

Для решения поставленной задачи в простейших случаях бывает достаточным воспользоваться теоремой Виета. В других случаях полезно обратиться к графику квадратичной функции, выяснить направление ветвей и положение вершины параболы при разных значениях параметра.

Рассмотрим примеры решений уравнений, неравенств и систем с параметром.

УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду

Мы имеет линейное уравнение, число корней которого зависит от того, равен ли нулю коэффициент при x. Поэтому рассмотрим два случая:

1. Если т.е. , то уравнение примет вид , его корнем является любое число;

2. Если то можно разделить обе части уравнения на получим, что ,

Ответ: если a=-3, то x

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Преобразуем уравнение к виду

Коэффициент при x зависит от параметра, поэтому рассмотрим два случая:

1. Если a-1=0, т.е. a=1, то уравнение имеет вид 0*x=-5 - корней нет;

2. Если а-1≠0 т.е. а≠1, то можно разделить обе части уравнения на (а-1), получим, что .

Ответ. Если a=1, то корней нет; если а≠1, то .

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Коэффициент x зависит от параметра поэтому рассмотрим два случая.

а) Если b=0, то уравнение примет вид 0*x=9 - корней нет;

б) Если b=3, то уравнение примет вид 0*x=9 - корнем является любое число;

2. Если то можно разделить обе части уравнения на b(b-3); получим

Ответ: если b=0, то корней нет; если b=3, то x; если , , то

Пример 4. Решите уравнение

Решение. Уравнение является квадратным при всех , так как коэффициент не зависит от параметра. Найдем дискриминант этого уравнения D=25+8a. Количество корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта. Рассмотрим три случая:D<0, D=0, D>0.

1. D<0, т.е. 25+8a<0, a<. При a< уравнение не имеет действительных корней.

2. D=0, т.е. a= -, тогда x= 1.

3. D>0, 25+8a>0, т.е. a>, тогда уравнение имеет два корня

Ответ: если a<, то корней нет; если a= -, то x=1.25; если a>, то

Пример 5. Решите уравнение .

Решение. Коэффициент при зависит от параметра. Поэтому рассмотрим два случая:

1. Если а+1=0, т.е. а=-1, то уравнение примет вид -2х+2=0, х=1;

2. Если а+1≠0, т.е. а≠-1, то уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант: D₁=1-(1-a)(a+1)=a². Дискриминант неотрицателен при всех а≠-1.

Если D₁=0, т.е. а=0, то уравнение имеет один (два совпадающих) корень х=1.

Если D₁≠0, т.е. а≠0 и а≠-1, то уравнение имеет два различных корня .

Ответ: если а=-1, то х=1; если ф=0, то х=1; если а≠0, а≠-1, то х=1 или .

Пример 6. Решите уравнение

Решение. Коэффициент при x² зависит от параметра, поэтому рассмотрим два случая.

1. Если b-2=0, т.е. b=2, то уравнение примет вид -4x+1=0, x=0.25.

2. Если b-2≠0, т.е. b≠2, то уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: D₁=4-1(b-2)=6-b. Рассмотрим случаи: D₁<0, D₁=0, D₁>0.

а) D₁<0, т.е. 6-b<0, b>6, уравнение не имеет корней.

б) D₁=0, т.е. b=6, уравнение имеет один (два совпадающих) корень x=0.5.

в) D₁>0, т.е. b∈(-∞;2)ᴗ(2;6), уравнение имеет два различных корня .

Ответ: Если b=2, то x=0.25; если b=6, то x=0.5; если b>6, то корней нет; если b∈(-∞;2)ᴗ(2;6), то .

Сформулируем алгоритм решения целого уравнения с параметром.

1. Привести уравнение к стандартному виду и проверить, зависит ли коэффициент при старшем члене от параметра. Если зависит, то рассмотреть случай, когда он равен нулю.

2. Решить уравнение при условии, что коэффициент при старшем члене не равен нулю.

3. Объединить все полученные результаты. В ответе для каждого возможного значения параметра должны быть записаны формулы корней уравнения.

Пример 7. Решите уравнение:

а) б)

Решение. а) . Запишем условие равенства дроби нулю: Заметим, что если то система примет вид решений нет; если то система имеет решение

Ответ: если , то корней нет, если то

б) . Уравнение равносильно системе

Найдем, при каком значении число 4 не является решением системы: Если , то система не имеет решений: если , то система имеет решение .

Ответ: если , то корней нет; если , то .

Пример 8. Решите уравнение

Решение. Уравнение равносильно системе По теореме, обратной теореме Виета, числа и являются корнями уравнения , а числа 1 и 3 - корнями уравнения . Тогда имеем

Рассмотрим все случаи, когда хотя бы одно из чисел или совпадает с числом 1 или 3, и когда ни одно из чисел и не совпадает с числами 1 или 3.

1. Если , т.е. то система примет вид

2. Если , т.е. то система примет вид

3. Если , т.е. то система примет вид

4. Если , т.е. то система примет вид

5. Если , то система

Ответ: если , то ; если , то ; если , то если , то если то .

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения с параметром

1. Привести уравнение к виду

2. Записать условие равенства дроби нулю: .

3. Рассмотреть все случаи, когда хотя бы один из нулей числителя является и нулем знаменателя, и когда ни один из нулей не является нулем знаменателя.

4. Записать ответ, объединив все полученные результаты.

Пример 9. Решите уравнение:

а) б)

Решение. а) . Рассмотрим три случая:

1. Если , то уравнение не имеет корней.

2. Если , то уравнение примет вид .

3. Если , то уравнение равносильно совокупности

Решим уравнение . так как a>1, то D₁>0. Значит уравнение имеет два корня .

Решим уравнение .

Если a>4, то D₁<0, значит при >4, корней нет.

Если a=4, то D₁=0, значит, уравнение имеет один (два совпадающих) корень x=1.

Если 1<a<4, то уравнение имеет два различных корня .

Ответ: , то корней нет; если =1, то ; если 1< <4, то или ; если =4, то x=1 или , если >4, то .

б) . Корни двучленов разбивают координатную прямую на три промежутка . Данное уравнение равносильно совокупности трех систем:

(1) Найдем, при каких значениях параметра эта система имеет решение. Очевидно, что при т.е. при система решений не имеет, а при условии т.е. решением системы является

(2) Если то система решений не имеет, а если , то ее решением является промежуток

(4) Если т.е. , то система не имеет решение, а если , т.е. то решением системы является

Ответ: при корней нет; при ; при

Определите количество корней уравнения в зависимости от параметра (10-11).

Пример 10. .

Решение. Применим графический способ решения.

Построим графики функций (рис. 13)

При <0 нет корней.

При =0 два корня.

При 0< <2 четыре корня.

При =2 три корня.

При >2 два корня.

Ответ: нет корней при <0; два корня при ∈(2;+∞)ᴗ; три корня при =2; четыре корня при ∈(0;2).

Пример 11.

Решение. Применим графический способ решения. Построим графики функций (рис. 14)

Если <-2, то два корня.

Если =-2, то три корня.

Если -2< <2, то четыре корня.

Если =2, то два корня.

Если >2, то нет корней.

Ответ: нет корней при ∈(2;+∞); два корня при ∈(-∞;-2)ᴗ; три корня при =-2; четыре корня при ∈(-2;2).

Пример 12. При каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы один корень?

Решение. Перепишем уравнение в виде . Применим графический способ решения. Построим графики функций . Зададим первую функцию кусочно

График функции получается из графика с сдвигом вдоль оси Ox на единиц (рис. 15).

Найдем, при каких значениях а график функции пройдет через точку Значит, при уравнение будет иметь хотя бы один корень, а при корней нет.

Ответ:

Пример 13. При каких значения параметра уравнение не имеет корней?

Решение. перепишем уравнение в виде Применим графический метод решения. Построим графики функций

График первой функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси Ох на - единиц.

Вторую функцию зададим кусочно (рис. 16).

Найдем, при каких значениях график функции , пройдет через точку При графики функций имеют общие точки, т.е. уравнение имеет хотя бы один корень; при общих точек у графиков нет. Т.е. уравнение не имеет корней.

Ответ:

Пример 14. Найдите все значения параметра , при которых уравнения имеют хотя бы один общий корень.

Решение. Пусть х₀ - общий корень данных уравнений. Тогда (1)

Вычтем из первого уравнения второе, получим Если любое значение x удовлетворяет уравнению. При данные уравнения имеют один и тот же вид , но дискриминант этого уравнения отрицателен, т.е. при данные уравнения корней не имеют.

Если , то система равносильная системе (1), имеет решение Итак, данные уравнения имеют общий корень (x=1), если =-2.

Ответ: =-2

Пример 15. Найдите все значения , при которых равносильны уравнения.

Решение. Заметим, х=0 является корнем второго уравнения. Так как уравнения равносильны, то х=0 должно быть корнем и первого уравнения. Это возможно лишь при условии , т.е. при =4 или =3.

Итак, уравнения могут быть равносильными только при =3 или =4.

Если а=3, то первое уравнение имеет вид и имеет корни х=0 или х=-4; второе уравнение имеет вид и имеет единственный корень (второй кратности) х=0. Уравнения имеют разное множество корней и поэтому не являются равносильными. Если =4, то уравнения имеют вид

Уравнения вновь оказались неравносильными.

Ответ: ни при каких значениях уравнения не являются равносильными.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Пример 16. Решите систему уравнений:

а)

Решение. а) +

Если , то система примет вид Решение нет.

Если то система имеет решение

Ответ: при нет решений; при .

Пример 17. Найдите значение параметра а, при которых система имеет единственное решение. Найдите это решение.

Решение. Рассмотрим систему равносильную данной. Квадратное уравнение имеет единственный корень в том и только в том случае, если его дискриминант равен 0;

Если , то имеет систему, т.е. т.е. - единственное решение системы.

Если , то система имеет вид - единственное решение системы.

Ответ: если , то ; если , то

ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С РАСПОЛОЖЕНИЕМ КОРНЕЙ

КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА

Используем следующие обозначения: квадратичная функция

Пример 18. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных отрицательных корня?

Решение. Заметим, что при всех значениях графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим схематично график функции, удовлетворяющий условию задачи (рис.17)

Для того, чтобы корни были различны и отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы Решением системы, а следовательно, и самой задачи являются числа а из промежутка (-0,5;0). заметим, что такую же систему мы получили бы, используя теорему Виета

Ответ: (-0,5;0).

Пример 19. При каких значениях параметра один из корней уравнения меньше - 2, а другой - больше 1?

Решение. При всех значениях графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим схематично график функции, удовлетворяющий условию задачи (рис. 18).

Числа -2 и 1 расположены между корнями уравнения тогда и только тогда, когда

Ответ:

Замечание. Требование D>0 в данном случае было бы излишним, так как наличие корней уравнения обеспечивается тем, что на параболе есть точки, расположенные ниже оси Ох в то время как ветви параболы направлены вверх.

Пример 20. При каких значениях параметра уравнение имеет корни, заключенные между числами -1 и 2?

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим схематично график функции, удовлетворяющий условию задачи (рис. 19).

Для того, чтобы корни (не обязательно различные) были заключены между числами -1 и 2 необходимо и достаточно, чтобы

Система решений не имеет. Значит, нет таких значений , при которых корни заключены между числами -1 и 2.

Ответ: таких значений нет.

Пример 21. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня одного знака.

Решение. Так как уравнение должно иметь два различных корня, то оно является квадратным и . Воспользуемся теоремой Виета. Чтобы квадратное уравнение имело различные корни одного знака, необходимо и достаточно, чтобы

Первое неравенство выполняется при любом значении , решением второго является объединение промежутков Тогда решением системы, а, следовательно, и самой задачи является

Ответ:

Пример 22. При каких значениях параметра корни уравнения больше 1?

Решение. Рассмотрим два случая:

1. Если

При исходное уравнение имеет вид Условие задачи не выполняется.

При уравнение примет вид Условие задачи не выполняется.

2. Если , т.е. то уравнение является квадратным. Изобразим схематично график функции , удовлетворяющий условию задачи (рис. 20, а, б).

Для того, чтобы оба корня были больше 1, необходимо и остаточно, чтобы или

Заметим, что совокупность этих систем равносильна системе

Решением неравенства является объединение промежутков (-4;-3), (1;1;5). Решением неравенства является объединение промежутков (-∞;-4), (-2;1) и (2;+∞). Тогда система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример 23. При каких значениях а неравенство выполняется при всех

Решение. По условию задачи множество решений неравенства должно содержаться в множестве решений первого неравенства. Рассмотрим три случая:

Если , то неравенство примет вид и условие задачи выполняется.

Если , то графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз (рис. 21). Ни при каких данное неравенство не будет выполняться для всех

Если , то графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (рис.22).

Так как то неравенство выполняется при всех

Значит, условие выполняется при всех

Ответ: .

НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР

Пример 24. Для каждого значения m решите неравенство

Решение. Если , т.е. , то неравенство принимает вид 0*x>19 и решений не имеет.

Если .

Если

Ответ: если , то ; если , то решений нет;

Пример 25. Для каждого значения b решите неравенство

Решение. Применим метод интервалов. Рассмотрим функцию Требуется решить неравенство Область определения функции содержит все действительные числа, кроме Итак,

Возможны три случая взаимного расположения чисел b и -3 на оси Ох.

1. B<-3 (рис. 23). x=b - нуль функции.

Находим знак функции на каждом промежутке оси Ох.

Если

Если

Если

Итак, если

2. Если , то неравенство принимает вид и выполняется при любом значении х, не равном -3.

Если

3. - нуль функции. Неравенство выполняется, если

Ответ: если , то если то если то

Пример 26. Для каждого значения а решите неравенство

Решение. Применим для решения неравенства метод интервалов.

1. Рассмотрим функцию , требуется решить неравенство Область определения функции: .

2. Находим нули функции: Полученные нули функции следует отметить на оси Ох. Отличительная особенность решения уравнения с параметром состоит в том, что приходится рассматривать разные возможные случаи расположения числа а относительно чисел и на оси Ох.

Если ; при переходе через каждый нуль знак функции изменяется, так как все нули функции не являются кратными.

Итак, если

2. . Функция имеет нуль второй кратности, при переходе через него знак функции не меняется.

Если то .

Если , то

Если

5. >3 (рис.29).

Если >3, то

Ответ: если , то Если то Если , то Если Если >3, то

Пример 27. При каких значениях неравенство выполняется при всех значениях х?

Решение. Рассмотрим функцию . Требуется найти значения , при которых при любом х.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Возможны три случая расположения параболы относительно оси Ох (рис. 43).

В первом случае функция имеет два нуля и принимает как положительные, так и отрицательные значения и поэтому не удовлетворяет условию задачи.

Во втором случае функция при одном значении х обращается в нуль и поэтому не удовлетворяет условию задачи.

В третьем случае функция не имеет нулей и принимает только положительные значения, что и требуется в задаче.

Квадратичная функция не имеет нулей тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение имеет отрицательный дискриминант.

Ответ:

Пример 28. При каких значениях p неравенство не выполняется ни при каких значениях х?

Решение.

1. Если p=0, то неравенство принимает вид , то неравенство принимает вид -3>0 и не выполняется ни при каких значениях х. Значит, p=0 удовлетворяет условию задачи.

2. Если p≠0, то неравенство является квадратичным.

Введем функцию . Графиком функции является парабола. Возможны шесть случае расположения параболы относительно оси Ох (рис. 32).

По условию неравенство не должно выполнятся ни при каких значениях х.

Значит, необходимо и достаточно рассмотреть пятый и шестой случаи расположения графика функции относительно оси Ох. Ветви параболы должны быть направлены вниз общих точек с осью Ох либо не должно быть (D<0), либо может быть одна точка касания (D=0).

.

Решаем систему

Вспомним, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ

Приведем примеры решений систем неравенств, содержащих параметр.

Пример 29. Найдите все значения параметра m, при которых множество решений системы содержит четыре целых числа.

Решение. Решим систему неравенств

Рассмотрим различные случаи расположения чисел 3 и на координатной прямой (рис. 33).

1. Если

2. Если

3. Если то решением системы служит промежуток На промежутке должны содержаться целые числа 4; 5; 6; 7. Значит,

Ответ:

Пример 30. Найдите все значения параметра b, при которых система неравенств

Решение. Решаем данную систему:

Если то решением системы служит числовой промежуток

Если

Если

Чтобы система имела решения, необходимо и достаточно выполнения условия

Ответ:

Пример 31. При каких значениях параметра p система неравенств

Решение. Выражаем множество решений системы через параметр p: Если .

Система не будет иметь решений, если

Ответ: .

Пример 32. При каких значениях параметра система

Решение. Если
Если Если то система имеет решение

Если то система не имеет решений (рис. 35, б).

Ответ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения (1-7).

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет решение.

9. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?

10. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня?

11. Определите количество корней уравнения в зависимости от параметра ?

12. Прямая некоторое число, касается гиперболы в точке с положительной абсциссой. Найдите .

Решите систему уравнений

При каких значениях параметра система уравнений имеет единственное решение? Найдите его.

Определите количество решений системы в зависимости от параметра (15-16).

Решите неравенство при всех значениях (17-19).

17. 

18. 

19. 

20. При каких значениях параметра b система неравенств

21. При каких значениях параметра m система неравенств не имеет решений?

При каких значениях k система неравенств имеет ровно два целых решения?

Решите систему неравенств при всех значениях параметра а.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения (1-7).

Решение. Перепишем уравнение в виде

Рассмотрим два случая:

1. Если

2. Если

Ответ: при решений нет; при

Решение. Перепишем уравнение в виде

Рассмотрим два случая:

1. Если , то получим

2. Если

Ответ: если то если то

Решение. Приведем уравнение к виду При всех значениях параметра уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант: Значит, при любом уравнение имеет два различных корня

Ответ:

Решение. Уравнение равносильно системе

1. Если то система примет вид

2. Если то система Имеет два решения

Ответ: , то если , то

Решение. . Если

Если равносильно совокупности

Ответ: если если если

Решение. . Корни двучленов и разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞;-2], (-2;-1), [-1;+∞). Данное уравнение равносильно совокупности трех систем.

1. Если то решений нет. Если , то решением системы является промежуток (-∞;-2].

2. Если

3. Если то решений нет.

Если то решением системы является промежуток [-1;+∞).

Ответ: если то корней нет; если то х∈[-1;+∞); если если то х∈(-∞;-2]; если то корней нет.

Решение. . Если т.е. то корней нет.

Если то уравнение примет вид

Если то уравнение равносильно совокупности .

Решим первое уравнение

так как

Решим второе уравнение

Если Если

Если то уравнение имеет два корня

Ответ: если то корней нет; если то если то если то если то

8. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Решение. Пусть , t Найдем, при каких значениях параметра а уравнение имеет хотя бы один неотрицательный корень. Решим задачу: при каких значениях а уравнение не имеет корней или оба его корня неотрицательны?

Уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда

Уравнение имеет только отрицательные корни тогда и только тогда, когда

Итак, уравнение не имеет корней или имеет только отрицательные корни при ; а тогда при имеет хотя бы один неотрицательный корень, т.е. данное уравнение имеет хотя бы один корень.

Ответ:

9. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?

Решение. Коэффициент при зависит от параметра, рассмотрим два случая:

Если , то уравнение примет вид - единственный корень.

Если , то уравнение является квадратным и для того, чтобы оно имело единственный корень, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был равен нулю.

Ответ:

10. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня?

Решение. Область допустимых значений параметра задается условием Уравнение должно иметь два корня, значит, и его дискриминант положителен. Уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда

Ответ:

11. Определите количество корней уравнения в зависимости от параметра а?

Решение. Построим графики функций (рис. 1). Графиком функции (при каждом фиксированном значении а) является прямая, проходящая через точку с координатами (0;4), не совпадающая с осью Оу.

Найдем, при каком значении прямая проходит через точку с координатами (3;0):

Если то прямая проходит через точку (-2;0).

Если , то одна общая точка; если , то общих точек бесконечно много; если то четыре общие точки; если , то три общие точки; если то две общие точки; если то одна общая точка.

Ответ: один корень при

12. Прямая некоторое число, касается гиперболы в точке с положительной абсциссой. Найдите а.

Решение. Прямая касается гиперболы , значит, система имеет два одинаковых решения. Система имеет два одинаковых решения, если уравнение имеет два одинаковых решения.

Так как запрещенное значение не является решением уравнения ни при каком значении а, то дискриминант уравнения должен быть равен нулю. Если то уравнение примет вид 2 - абсцисса точки касания, 2>0.

Если то уравнение имеет вид - условию задачи не удовлетворяет.

Ответ:

Решите систему уравнений

Решение.

Если то корнем уравнения является любое действительное число:

Если то корнем уравнения является Вернемся к системе: если если

Ответ:

При каких значениях параметра система уравнений имеет единственное решение? Найдите его.

Решение. Система Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые пересекаются, т.е. Найдем решение при

Ответ:

Определите количество решений системы в зависимости от параметра (15-16).

Решение. Система не имеет решений, если прямые, заданные уравнениями параллельны.

Система имеет одно решение, если эти прямые пересекаются, и имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Прямые параллельны, если

Прямые совпадают, если

Решим уравнение

Если Значит, при прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений .

Если значит, при прямые параллельны, и система решений не имеет.

При прямые пересекаются, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: при решений бесконечно много; при решений нет; при одно решение.

Решение. Применим графический метод. Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 2. График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси Оу на единиц (рис.2).

Наименьшее значение функция принимает при Если то решений нет.

Если то система имеет одно решение.

Если то система имеет два решения.

Если то система имеет три решения.

Найдем, при каком значении а график функции касается окружности.

Рассмотрим

Значит, точка А имеет координаты Если то система имеет четыре решения, если то система имеет два решения. Если то решений нет.

Ответ: нет решений при одно решение при два решения при три решения при ; четыре решения при

Решите неравенство при всех значениях (17-19).

Решение.

Если , то

Если , то если

Ответ: если , то нет решений; если , то

Решение.

а) если Если

б) если

Ответ: если если то нет решений, если

Решение.

Если

Если

Ответ: если Если

20. При каких значениях параметра b система неравенств

Решение. Решаем каждое неравенство системы

Система имеет решения в том и только в том случае. Если

Ответ: (-∞;3).

21. При каких значениях параметра m система неравенств не имеет решений?

Решение. Решаем каждое неравенство системы

Случай 1.

Случай 2.

Случай 3.

Система не имеет решений тогда и только тогда, когда

Ответ:

При каких значениях k система неравенств имеет ровно два целых решения?

Решение.

1. Если

2. Если

3. Если

Двумя целыми решениями системы должны быть числа -1 и 0, поэтому, чтобы системы неравенств имела ровно два целых решения, необходимо и достаточно, чтобы

Ответ: при система неравенств имеет ровно два целых решения.

Решите систему неравенств при всех значениях параметра .

Решение.

1. Если

2. Если

3. Если

Ответ: если если

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Комбинаторикой называется раздел математики, в котором решаются задачи на составление и подсчет числа различных комбинаций из конечного множества элементов.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое переводится как «соединять, сочетать».

Простейшие комбинаторные задачи можно решать методом перебора возможных вариантов.

Пример 1. Четыре ученика Миша, Саша, Алеша, Таня углубленно изучают математику. На математическую олимпиаду требуется послать двух учеников. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Составим схему возможных вариантов.

Миша

Саша

Алеша

Саша

Алеша

Таня

Алеша

Таня

Таня

Получаем шесть способов выделения двух человек из четырех.

Ответ: 6.

Пример 2. В меню столовой три первых блюда А₁, А₂, А₃, два вторых В₁, В₂, и три сока С₁, С₂, С₃. Сколько вариантов комплексного обеда можно составить из этих блюд?

Решение. Составляем схему возможных вариантов.

А₁

А₂

А₃

В₁

В₂

В₁

В₂

В₁

В₂

С₁

С₂

С₃

С₁

С₂

С₃

С₁

С₂

С₃

С₁

С₂

С₃

С₁

С₂

С₃

С₁

С₂

С₃

Получаем 18 вариантов комплексного обеда.

Ответ. 18

Комбинаторные задачи можно решать и, не выписывая все возможные комбинации элементов (не составляя схему вариантов).

Пример 3. В поселке имеется 5 светофоров. Каждый может находится в одном из трех состояний (гореть красным, зеленым или желтым светом). Сколькими способами можно зажечь все светофоры?

Решение. Первый светофор может быть включен тремя разными способами. Для каждого способа включения первого светофора можно получить 3 способа включения второго светофора, т.е. будем иметь 3*3 способом включения двух светофоров. Из всякого способа включения двух светофоров снова можно получить три способа включения третьего светофора, изменяя его состояние, всего получаем 3*3*3 способов включения трех светофоров. При включении каждого нового светофора число способов увеличивается в три раза. Значит, пять светофоров могут быть включены 3*3*3*3*3=3⁵ способами.

Ответ: 243 способа.

Задачи комбинаторики решаются проще, если использовать комбинаторные правила сложения и умножения.

Пусть даны два непересекающихся множества элементов: .

Правило сложения.

Пусть элемент a(a ∈ A) может быть выбран m способами, а элемент b(b ∈ B) может быть выбран n способами, то число способов, которыми можно выбрать один элемент из множества A или множества B, равно сумме m+n.

Пример 4. В одном классе 25 учеников, в другом - 27 учеников. Сколькими способами можно выбрать одного ученика из двух классов?

Решение. 25+27=52

Ответ: 52

Правило умножения (основное правило кобинаторики).

Если элемент a(a ∈ A) может быть выбран m способами, а элемент b(b ∈ B) после каждого выбора элемента a может быть выбран n способами, то число способов, которыми можно выбрать пару элементов a и b в указанном порядке по одному из каждого множества, равно произведению m*n.

Пример 5. В одном классе 25 учеников, в другом 27 учеников. сколькими способами можно выбрать двух учеников по одному из каждого класса?

Решение. Одного ученика первого класса можно выбрать 25 способами, а второго класса - 27 способами. Двух учеников по одному из каждого класса ( по правилу умножения) можно выбрать 25*27 способами; 25*27=675.

Ответ: 675.

Пример 6. На книжной полке стоит 6 исторических романов и 4 приключенческих. Сколькими способами можно взять с полки две книги разных жанров?

Решение. По правилу умножения существует 6*4 способов взять с полки 2 книги разных жанров.

Ответ: 24

Сформулируем комбинаторное правило умножения в общем виде.

Пусть имеем n элементов, из которых требуется выбрать один за другим некоторые k элементов.

Если первый элемент можно выбрать n₁ после чего второй элемент можно выбрать n₂ затем третий элемент - n₃ способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n₁*n₂*n₃…n_k.

Пример 7. Собрание из 30 человек должно выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Председателем собрания можно выбрать 30 способами, после чего секретаря - 29 способами (из 29 оставшихся членов собрания). По правилу умножения существует 30*29 способов выбора председателя и секретаря. 30*29=870.

Ответ: 870.

Пример 8. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей за праздничным столом, если приготовлено 8 мест?

Решение. Для первого гостя имеется 8 возможностей выбрать место. После выбора места первым, для второго гостя остается 7 возможностей, аналогично для 3 гостя - 6 возможностей (из 6 свободных мест), для четвертого - 5 вариантов, для пятого - 4. По правилу умножения получаем 8*7*6*5*4=6720 способов рассадить гостей.

Ответ: 6720.

Пример 9. Из 10 членов шахматного кружка требуется составить команду из 3 человек для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Первого члена команды (на первую доску) можно выбрать 10 способами, после чего второго (на вторую доску) - 9 способами, а третьего (на третью доску) - 8способами.

Всего получаем 10*9*8=720 вариантов выбоа трех шахматистов из 10.

Ответ: 720.

Перестановки.

Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок его элементов.

Число перестановок из n элементов обозначают символом P_n (от французского слова permutation - «перестановка»).

Различные перестановки из n элементов отличаются друг от друга лишь порядком элементов. Если n=1 (т.е. имеем один элемент a), то очевидно, что P₁=1.

Если n=2 (т.е. имеем два элемента), то возможны две перестановки: ab и ba; P₂=2.

Если n=3 то возможны шесть перестановок: abс и acb, bac, bca, cab, cba; P₃=6.

Если n=4, то из каждой предыдущей перестановки, например abс, можно получить четыре различных перестановки из 4 элементов: dabc, adbc, abdc, dbcd; P₄=4*6=24.

Таким образом, P₁=1; P₂=1*2=2; P₃=1*2*3=6; P₄=1*2*3*4=24.

Число перестановок из n элементов находится по формуле P_n=1*2*3*…*(n-1)*n.

Произведение первых n натуральных числе обозначают n! (читают «n факториал»). Например, 5!=1*2*3*4*5=120. Для пустого множества принимается соглашение: пустое множество можно упорядочить только одним способом; поэтому принимается по определению, что 0!=1.

Число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n; P_n=n!.

Пример 10. Сколькими способами семья из 5 человек может занять пять спальных мест в пятиместном гостиничном номере?

Решение. P₂=1*2*3*4*5=120.

Ответ: 120

Пример 11. Каким числом способов 8 человек могут находится в очереди?

Решение. P₈=1*2*3*4*5*6*7*8=40320

Ответ: 40320

Пример 12. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 9,7,5,0, если в каждом числе все цифры должны быть разными?

Решение. Если бы среди данных чисел не было нуля, то количество составленных из них четырехзначных чисел (без повтора цифр в каждом числе) было бы равно количеству перестановок из 4 элементов: P₄=1*2*3*4=24.

Целое число не может начинаться цифрой о. Среди найденных 24 чисел с цифры 0 будет начинаться столько чисел, сколько существует перестановок из 3 элементов (цифр 9,7,5): P₃=1*2*3=6. Значит, четырехзначных чисел, составленных из данных цифр, будет P₄ - P₃=24-6=18.

Ответ: 18.

Пример 13. 9 мальчиков купили 9 билетов в театр. Сколькими способами они могут занять 9 кресел в театральном ряду, если Миша, Петя и Ваня обязательно хотят сидеть рядом (в любом порядке).

Решение. Будем считать трех неразлучных друзей (Мишу, Петю, Ваню) как один элемент общей компании, а три занятых ими кресла - как одно место. Тогда можем считать, что размещаем 7 человек в 7 креслах. Это можно сделать столькими способами, каково число перестановок из 7 элементов: P₇=1*2*3*4*5*6*7=5040. В то же время трое друзей (Миша, Петя и Ваня) в своих трех креслах могут распределиться P₃ способами P₃=1*2*3=6.

Таким образом, каждой перестановке из 7 элементов соответствует любая перестановка из трех элементов. Всего перестановок по правилу умножения будет P₃* P₃=5040*6=30240.

Ответ: 30240.

Размещения.

Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое упорядоченное множество, состоящее из k элементов, взятых их данных n элементов.

Два размещения могут отличаться самими элементами или порядком расположения элементов.

Символ обозначает число всевозможных размещений, которые можно составить из n элементов по k (А - первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение», «приведение в порядок»).

Число размещений из n по k равно произведению k последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно n.

Например,

Значит, .

Формула может быть записана и так: .

Пример 14. Учащиеся класса изучают 11 различных предметов. сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 5 различных предметов?

Решение. Различные варианты расписания могут отличаться либо самими предметами, либо их порядком. Количество вариантов равно количеству размещений из 11 элементов по

Ответ: 55440

Пример 15. Сколько четырехзначных числе можно составить их нечетных цифр, если все цифры в числе различны?

Решение. Нечетные цифры: 1,3,5,7,9. Разные числа могут отличаться или самими цифрами, или порядком четырех цифр, из которых они составлены. Количество чисел равно числу размещений из 5 элементов по 4.

Ответ: 120.

Пример 16. Сколькими способами 10 человек могут занять четыре кресла, имеющиеся в комнате?

Решение.

Ответ: 5040

Пример 17. В одиннадцатом класе25 учащихся. На выпускном вечере ребята обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Решение. 25 человек на упорядоченные пары можно разбить способами;

Ответ: 600

Пример 18. Студенту необходимо сдать 4 зачета за 10 дней.

1. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколькими способами это можно сделать, если известно, что последний зачет будет сдаваться на 10 день?

Решение. 1. Искомое число способов равно числу упорядоченных подмножеств из 4 элементов (дней сдачи зачетов), которые можно получить из данных 10 элементов.

2. Так как известно, что последний зачет должен быть в последний день, число вариантов этого зачета равно 4, а - число размещений из 9 элементов (дней для других зачетов) по 3 элемента (3 других зачета) равно , то по правилу умножения общее число вариантов сдачи зачетов равно

Ответ: а) 5040; б) 2016.

Сочетания.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных их n элементов.

В отличие от размещений, сочетания различаются только элементами, и не имеет значения, в каком порядке заданы элементы.

Например, {a,b,c} и {b,c,a} - одно и то же сочетание.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается (от французского combinaison- сочетание, комбинация).

Число сочетаний, составленных из n элементов по k, вычисляется по формуле

Пример 19. В вазе стоят 10 красных и 5 белых роз.

а) сколькими способами можно составить букет из 3 роз?

б) сколькими способами можно составить букет из 1 красной и 2 белых роз?

Решение. а) Так как порядок выбора роз не имеет значения, то выбрать 3 розы из 15 можно способами:

б) Одну красную розу можно выбрать 10 способами, а две белые из имеющихся 5 можно выбрать способами. Поэтому букет из 1 красной и 2 белых роз можно составить по правилу умножения, 10*10=100 способами.

Ответ: а) 455; б) 100

Пример 20. Из 9 мальчиков и 11 девочек спортивного класса для участия в соревнованиях надо составить команду, в которую должны входить 3 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Ответ: 13860

Пример 21. На витрине магазина выставлено 6 сортов сыра и 5 видов йогурта. Покупателю требуется 2 куска сыра разных сортов и 3 йогурта разного вида. Сколькими способами покупатель может составить свою покупку?

Решение. Выбрать 2 сорта сыра из 6 имеющихся можно способами. Выбрать 3 йогурта из 5 предлагаемых видов можно способами. По правилу умножения имеем вариантов составления покупки.

*

Ответ: 150

Пример 22. Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?

Решение. Из 10 цифр (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9) можно выбрать подмножеств, состоящих из 4 цифр. Расположив в каждой выбранной группе цифры в порядке убывания, получаем искомые четырехзначные числа. При этом цифра 0 всегда будет стоять лишь последней, так как является наименьшей среди цифр.

Ответ: 210

Пример 23. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?

Решение. Искомые числа составляем из 9 цифр, исключив 0 (целое число не может начинаться с нуля). Количество искомых чисел равно

Ответ: 126.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Для проезда из города M в город N можно воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3 железнодорожными. Сколькими способами можно поехать из города M в город N?

2. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10 третьекурсников надо выбрать трех студентов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если студенты должны быть разных курсов?

3. Сколькими способами можно расставить на полке 10 разных книг?

4. На полке стоят 8 разных книг по математике и 2 разные книги по физике. Сколькими способами можно расставить эти книги, если книги по физике должны стоять рядом?

5. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 20 местах?

6. Требуется распределить 4 путевки на 4 различные турбазы среди 9 работников. Каким количеством способов это можно сделать?

7. Сколько трехзначных числе можно составить из цифр 9, 8, 7, 6, 2, если цифры в числе не повторяются?

8. Сколько существует пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые делятся на 10?

9. Из 16 рабочих надо выделить 5 для выполнения некоторой работы. Сколькими способами это можно сделать?

10. Сколькими способами можно отправить 15 школьников в 3 спортивных лагеря, если в один из них могут принять 8 школьников, во второй - 3, а в третий - 4 школьника?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Для проезда из города M в город N можно воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3 железнодорожными. Сколькими способами можно поехать из города M в город N?

Решение. По формуле сложения количество способов равно сумме 5+3=8.

Ответ: 8.

2. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10 третьекурсников надо выбрать трех студентов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если студенты должны быть разных курсов?

Решение. По теореме умножения получаем 5*7*10=350 способов.

Ответ: 350

3. Сколькими способами можно расставить на полке 10 разных книг?

Решение. Количество способов равно числу перестановок из 10 элементов.

Р₁₀=10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800

Ответ: 3628800

4. На полке стоят 8 разных книг по математике и 2 разные книги по физике. Сколькими способами можно расставить эти книги, если книги по физике должны стоять рядом?

Решение. Будем рассматривать две книги по физике как одну книгу. Тогда 9 книг можно расставить Р₉ способами. Далее две книги по физике можно в каждом случае поставить двумя разными способами. По правилу умножения общее количество вариантов равно

2* Р₉=2*9!=2*1*2*3*4*5*6*7*8*9=725760.

Ответ: 725760

5. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 20 местах?

Решение.

Ответ: 116280

6. Требуется распределить 4 путевки на 4 различные турбазы среди 9 работников. Каким количеством способов это можно сделать?

Решение.

Ответ: 3024.

7. Сколько трехзначных числе можно составить из цифр 9, 8, 7, 6, 2, если цифры в числе не повторяются?

Решение. Даны 5 различных цифр, в каждое число должны входить 3 цифры. Числа могут отличаться самими цифрами или порядком их расположения. Количество составленных таким образом чисел равно

Ответ: 60

8. Сколько существует пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые делятся на 10?

Решение. Способ 1. Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно оканчивается на нуль. Первая цифра числа может быть любой, кроме нуля. Значит, имеем 9 вариантов первой цифры. Тогда для второй цифры 8 вариантов, так как первая и последняя цифры уже выбраны. Аналогично, для третьей цифры - 7 вариантов, для четвертой - 6 вариантов, пятая цифра равна 0. По правилу умножения имеем 9*8*7*6=3024 вариантов написания искомого числа.

Способ 2. Так как последняя цифра определена и она равна 0, то количество вариантов для заполнения четырех оставшихся разрядов равно

Ответ: 3024.

9. Из 16 рабочих надо выделить 5 для выполнения некоторой работы. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. .

Ответ: 4368

10. Сколькими способами можно отправить 15 школьников в 3 спортивных лагеря, если в один из них могут принять 8 школьников, во второй - 3, а в третий - 4 школьника?

Решение. В первый лагерь школьников можно отправить способами. Во второй лагерь выбираем 3 человек из 7 оставшихся, а в третий - 4 из 4 школьников.

Для определения общего числа вариантов применим правило умножения

Ответ: 225225

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей, зародившаяся в 17 веке из потребностей азартных игр. В современном мире является краеугольным камнем всех наук.

Теория вероятностей - это наука о вычислении вероятностей случайных событий, позволяющих делать прогнозы в области случайных явлений.

В теории вероятностей всякий результат, полученный в процессе испытания, проведения опыта, называется событием.

Примеры.

1. Играет шахматная партия - это испытание. Выигрыш, ничья, проигрыш - его возможные исходы, т.е. события.

2. Студент сдаёт экзамен - испытание. Получение оценки «2», «3», «4», «5» - события.

3. У донора проверяют группу крови - испытание. Первая, вторая, третья, четвертая группы - события.

4. Производится выстрел - испытание. Поражение мишени, промах - событие.

5. Подбрасывание монеты - испытание. Выпадение орла или решки - события.

События можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Например, «1 января 2011 года - суббота» - достоверное событие; «1 января 2011 года - будет снегопад» - случайное событие; «1 января 2011 года - вторник» - невозможное событие.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет выполнена определенная совокупность условий. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20⁰, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» является достоверным.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет иметь место заданная совокупность условий.

Событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» является невозможным, если будет совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называется событие, которое при выполнении данных условий может произойти или не произойти.

Например, выигрыш или проигрыш футбольной команды в матче - случайное событие; пробег новой машиной «Жигули» 100 тыс.км. без капитального ремонта - тоже случайное событие.

Пусть определенное испытание повторяется много раз и при этом каждый раз фиксируется, произошло или нет некоторое событие А. Если n - общее число испытаний, а m - число появления события А в результате проведенных n испытаний, то отношение называется частотой случайного события А.

Каждое случайное событие есть следствие многих причин, законы действий которых нам не известны. Поэтому предсказать, произойдет единичное событие или нет, принципиально невозможно. Другое дело, если рассматриваются массовые однородные случайные события, т.е. такие, которые могут многократно наблюдаться при выполнении одних и тех же условий. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий подчиняется определенным закономерностям. При большом числе испытаний частота случайного события А принимает достаточно устойчивые значения.

Постоянное число, около которого группируются наблюдаемые значения частоты А при большом количестве испытаний, называется статистической вероятностью события А.

Определение статистической вероятности случайного события возможна лишь в результате реального проведения достаточно большого числа экспериментов.

В то же время, если шансы наступления случайного события равновозможные, то вероятность наступления этого события можно определить путем логических рассуждений.

Теория вероятностей и занимается установлением закономерностей, которым подчиняется достаточно большое число однородных случайных событий.

Вероятность является объективной числовой характеристикой, дающей представление о том, как часто при большом числе наблюдений появится событие А.

Вероятность случайного события - это числовая мера его правдоподобности.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие, т.е. все события имеют равные «шансы».

Например, появление определенного числа очков на брошенном игральном кубике есть события равновозможные.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров. Причем 2 - красных, 3 - синих, 1 - белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной шар больше, чем извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно.Появление цветного шара назовем событием А. Каждый из возможных результатов испытания 9испытание состоит в извлечении шара из урны). Т.е. каждое событие, назовем элементарным исходом и обозначим Е₁, Е₂… . возможны 6 элементарных исходов: Е₁ - появится белый шар; Е₂, Е₃ - красный шар, Е₄, Е₅, Е₆ - синий шар. Все исходы равновозможные. Исходы, при которых событие А наступает, назовем благоприятствующими. Таких исходов 5: Е₂, Е₃, Е₄, Е₅, Е₆. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу исходов называют вероятностью события А и обозначают Р(А) (Р - первая буква французского слова «probabilite». Что означает «вероятность»). В нашем примере - это число и дает количественную оценку возможности появления цветного шара.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n равновозможных элементарных исходов испытания: .

Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Событие А - набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр. Общее число элементарных исходов равно 10. Число благоприятствующих событию А исходов равно 1.

Ответ:

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Событие В - набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько пар цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по две, т.е. . Общее число исходов 90, благоприятствует событию В лишь один исход, .

Ответ:

Пример 3. Указать ошибку «решения» задачи:

«Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие «А»)».

Решение. Всего возможны два исходы испытания: сумма выпавших очков равна 4 и не равна 4. Поскольку событию А благоприятствует один исход, а общее число исходов равно двум. То . Ошибка этого решения состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение.

Общее число равновозможных исходов равно 6*6=36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться сов семи числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (1;3);(3;1);(2;2). Следовательно .

Ответ: .

Пример 4. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наугад деталей будет 4 стандартных.

Решение. Общее число элементарных исходов равно числу способов. Которыми можно извлечь 6 деталей из 10, то есть ; 4 детали можно взять из 7 стандартных способами; при этом остальные две детали должны быть нестандартными, взять же 2 детали из 3 нестандартных можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно* . Тогда =.

Ответ: 0,5

СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ

1. Вероятность достоверного события равна 1.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарных исход благоприятствует событию, т.е. m=n.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию А, т.е. m=0;

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания, т.е. 0<m<nследовательно

Итак, вероятность любого события удовлетворяет неравенству

Пример 5. На 5000 произведенных заводом телевизоров в среднем приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный телевизор?

Решение. По условию из 5000 телевизоров в среднем 4995 телевизоров оказываются исправными. Вероятность купить исправный телевизор равна .

Ответ: 0,999

Пример 6. Из 30 экзаменационных вопросов студент успел подготовить22. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется вопрос, который он не подготовил?

Решение. Из 30 вопросов студент не подготовил 8. Вероятность получить на экзамене неподготовленный вопрос равна .

Ответ:

Пример 7. Из 20 полученных магазином компьютеров 3 оказались с дефектами. Школа купила в этом магазине 2 компьютера. Какова вероятность того, что оба компьютеры не имеют дефектов?

Решение. Выбор 2 компьютеров из 20 - равновозможные события. Выбрать 2 компьютера из 20 можно столькими способами, каков число сочетаний из 20 по 2, т.е. . Пусть А - событие, при котором 2 купленных компьютера не имеют дефектов. Исходом, благоприятным для события А, является выбор 2 компьютеров из имеющихся 17 исправных. Число благоприятных исходов равно . Тогда

Ответ:

Пример 8. Бросаем 2 монеты. Какова вероятность появления хотя бы одного орла?

Решение. Выпадение орла или решки - равновозможные события. Перечислим исходы испытания, которые могут быть: (о,р); (о,о); (р,о); (р,р). Из 4 равновозможных событий благоприятными являются 3. Значит, вероятность появления хотя бы одного орла равна .

Ответ: 0,75

Пример 9. В урне 3 белых и 4 черных нара. Внимаем сразу 2 шара. Найдите вероятность того, что вынуты 2 белых шара.

Решение. Событие А - вынуты 2 белых шара. Вынуть 2 шара из 7 имеющихся можно способами. Вынуть 2 белых шара из 3 имеющихся можно способами. Итак, имеем исходов испытания, из них число благоприятствующих событию А равно . Тогда

Ответ:

Пример 10. В классе, в котором учатся 20 девочек и 5 мальчиков, распределяют по жребию 1 билет в цирк. Какова вероятность того, что билет получит мальчик?

Решение. Событие А - билет получит мальчик. Всего исходов испытания 25, из них благоприятствующих событию А - 5. Тогда

Ответ: 0,2

Пример 11. Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?

Решение. При подбрасывании двух игральных кубиков имеем 6*6=36 равновозможных исходов. Событие А - в сумме выпало 7 очков.

Благоприятствующие исходы: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Имеем 6 благоприятствующих исходов.

Ответ:

Пример 12. В классе 30 учащихся, из них 4 отличника. Какова вероятность того, что среди 3 случайно выбранных учащихся окажутся 2 отличника? Ответ округлить до значащей цифры.

Решение. Событие А - среди выбранных учащихся 2 отличника и 1 ученик, не являющийся отличником. Общее число исходов испытания равно . Событию А благоприятствуют исходов, так как двух отличников из 4 можно выбрать способами. А еще одного ученика (не отличника) - способами. Значит,

Ответ: 0,04

Пример 13. Среди 200 электрических ламп 5 бракованных. Какова вероятность того, что 2 взятые наугад лампы окажутся обе бракованными?

Решение. Событие А - 2 взятые лампы оказались бракованными. Общее число исходов испытании равно . Число благоприятствующих событию А исходов равно

Ответ:

Правило сложения вероятностей несовместимых событий. Правило умножения вероятностей независимых событий.

Суммой А+В двух событий называют событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А - попадание при первом выстреле, В - попадание при втором выстреле, то А+В - попадание при первом выстреле или при втором, или в обоих выстрелах. Если событие А - последняя цифра случайно набранного телефонного номера 5. А событие В - последняя цифра набранного номера 7, то событие А+В - последняя цифра набранного номера 5 или 7.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же опыте. Т.е. эти события не могут произойти вместе в одном опыте.

Например, событие А- последняя цифра случайно набранного телефонного номера равна 5 и событие В - последняя цифра набранного номера равно 7, являются несовместными. Если же событие А - попадание в цель при первом выстреле, а событие В - попадание в цель при втором выстреле. То события А и В могут произойти в одном и том же испытании, т.е. они являются совместными.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Пример 14. В урне 30 шаров: 10 красных. 5 синих и 5 белых. Найдите вероятность появления цветного шара т.е. красного или синего).

Решение. Пусть событие А - появление красного шара, В - появление синего шара.

Событие А+В - появление красного или синего (т.е. цветного) шара.

События А и В - несовместны.

Ответ: 0,5

Пример 15. Вероятность того, что початки кукурузы сорта Буковинский = 3 имеют 12 рядов, равна 0,49, 14 рядов -0,27 и 15 - 0,24. Какова вероятность того, что наудачу выбранный початок будет иметь не менее 14 рядов?

Решение. Событие А - початок кукурузы имеет 14 или 15 рядов.

Р(А)=0,27+0,24=0,51

Ответ: 0,51

Пример 16. Группа, состоящая из 5 юношей и 7 девушек, распределяет по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что в числе получивших билеты окажется больше девушек, чем юношей?

Решение. Испытание - распределение 4 билетов в театр среди 12 человек. Общее число исходов испытания равно . Событие А - в числе получивших билеты девушек больше, чем юношей. Событие А произойдет в двух случаях:

а) билеты получили 3 девушки и один юноша (событие А₁);

б) билеты получили 4 девушки (событие А₂).

Событие А равно сумме несовместных событий А₁ и, А = А₁+ А₂.

В первом случае 3 девушки из 7 могут быть выбраны способами. , а один юноша из способами. По правилу умножения число исходов, благоприятствующих событию А₁, равно . Во втором случае число исходов , благоприятствующих событию А₂, равно

Ответ:

Пример 17. Какова вероятность того, что последняя цифра случайно набранного телефонного номера равна 5 или кратна 3?

Решение. Испытание - набор случайного телефонного номера. Пусть событие А - последняя цифра набранного номера 5. Всего исходов испытания - 10, так как последняя цифра случайно набранного номера может быть любой из 10 цифр; при этом порядок предыдущих цифр не имеет значения. Число благоприятных исходов равно 1 (последняя цифра 5); .

Пусть событие В - последняя цифра набранного номера кратна 3, т.е. равна 0, 3, 6 или 9. Благоприятных исходов для события В-4; .

События А и В являются несовместными. Событие А+В - последняя цифра набранного номера 5 или кратна 3. Р(А+В)=Р(А)+Р(В); Р(А+В)=0,1+0,4=0,

5

Ответ: 0,5

Следствия из теоремы 1. Система несовместных событий А₁, А₂,…,А_n называется полной, если события, входящие в данную систему, являются единственно возможными.

Следствие 1. Если в результате испытания обязательно происходит одно из возможных попарно несовместных событий А₁, А₂,…,А_n, то сумма вероятностей этих событий равна 1.

Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое событие. Событие, противоположное А, обозначают . например, опоздание на урок и приход на урок вовремя - противоположные события.

Очевидно, что события А и всегда несовместны и составляют полную систему событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

На этом следствии основан очень распространенный в теории вероятностей прием перехода к противоположному событию, когда вероятность интересующего события А вычислить трудно, а вероятность противоположного легко; тогда вычисляют и вычитают её из единицы;

Пример 18. В урне находится 3 синих, 5 красных, 11 желтых, 7 белых, 23 зеленых и 1 черный шар одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления не черного шара при одном вынимании шара из урны?

Решение. Испытание - одно вынимание шара из урны. Пусть событие А - вынимание не черного шара из урны. Тогда событие - вынимание черного шара из урны.

Число исходов испытания, благоприятных для , равно 1. Общее число исходов испытания равно числу шаров в урне: 3+5+11+7+23+1=50

Ответ: 0,98

Пример 19. В результате испытания обязательно происходит только одно из равновозможных событий А₁, А₂, А₃, А₄, А₅. Если вероятности событий А₁, А₂, А₃ соответственно 0,2;0,15;0,27, то чему равна вероятность наступления каждого из событий А₄, и А₅?

Решение. Р(А₄+ А₅)=1-(0,2+0,15+0,27)=1-0,62=0,38; Р(А₄)=Р(А₅)=0,19

Ответ: 0,19

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Например, если в ящике содержаться детали, изготовленные заводами №1 №2, А - появление стандартной детали, В - появление детали, изготовленной заводом №1, то АВ - появление стандартной детали завода №1.

События А и В называются независимыми, если наступление одного из событий не зависит от наступления другого.

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В).

Пример 20. Найти вероятность одновременного появления двух гербов при одном бросании двух монет.

Решение. Пусть событие А - появление герба на первой монете, . Событие В - появление герба на второй монете, . Так как А и В - независимые события, то

Ответ: 0,25

Пример 21. Стрелок производит 4 выстрела по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в цель хотя бы один раз.

Решение. Пусть событие А - попадание в цель хотя бы один раз. Тогда событие - ни одного попадания при 4 выстрелах. По условию вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3, тогда вероятность противоположного события, т.е. промаха при одном выстреле, равна 1-0,3=0,7. Попадание или промах при каждом выстреле не зависит от результата других выстрелов. Значит, вероятность промаха при 4 выстрелах равна произведению вероятностей промаха при каждом из этих выстрелов . Попадание и промах при выстрел - несовместные события, поэтому

Ответ: 0,7599

Пример 22. Имеется 2 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором - 7. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Решение. Пусть событие А - деталь из первого ящика оказалась стандартной.

Событие В - деталь из второго ящика оказалась стандартной. События А и В являются независимыми. Событие АВ - обе детали оказались стандартными Р(А*В)=Р(А)*Р(В); Р(А*В)=0,8*0,7=0,56

Ответ: 0,56

Пример 23. Вероятность того, что двигатель новой автомашины проработает безотказно при пробеге автомобиля 100 тыс. км равна 0,9, а вероятность того, что ходовая часть проработает без поломок такой же срок равна 0,7. Чему равна вероятность того, что и двигатель и ходовая часть проработают безотказно 100 тыс.км?

Решение. Р(А*В)=0,9*0,7=0,63

Ответ: 0,63

Примеры решения задач на совместное применение теорем о вероятности суммы и вероятности произведения событий.

Пример 24. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в цель по одному разу. Вероятность попадания в цель 1-го стрелка - 0,5. 2-го - 0,7. Какова вероятность того, что один стрелок промахнется, а другой попадет в цель?

Решение. Испытание состоит в выполнении двух независимых выстрелов по мишени. Пусть событие А - попадание в цель 1-го стрелка, В - попадание в цель 2-го стрелка. Требуется найти События и несовместны, т.е.

Ответ: 0,38

Пример 25. Вероятность того, что учащийся Иванов сдаст математику - 0,9, физику - 0,8. Какова вероятность того, что Иванов сдаст хотя бы один экзамен?

Решение. Испытание состоит в сдаче 2-х экзаменов. Пусть событие А₁ - сдача экзамена по математике, А₂ - по физике, событие А - учащийся сдаст хотя бы один экзамен. Тогда противоположное событие означает, что учащийся не сдал ни одного экзамена.

Способ 1.

Тогда

Способ 2.

Ответ: 0,98

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Классическое определение вероятности случайного события ) применимо лишь тогда, когда число исходов испытания конечно. При изучении же многих явлений реального мира оказывается, что число исходов бесконечно.

Например, если испытание состоит в том, что сигнальщик в течение часа должен принимать мгновенный световой сигнал, то его исходами можно считать появление или не появление сигнала в любой момент времени этого часа. Число исходов оказывается бесконечным.

Другой пример. Вне шара находится точечный источник света. Испытание состоит в изучении освещенности различных точек, взятых на поверхности шара. Исходы испытания: точка освещена или точка не освещена. Точек на поверхности шара, а, значит, и число исходов испытания, бесконечно.

Как определить вероятность того, что наудачу взятая точка на поверхности шара освещена?

Ещё пример. В круге радиуса R вписан квадрат. Как найти вероятность того, что точка, наудачу взятая в этом круге, попадет внутрь этого квадрата.

В приведенных примерах число возможных исходов испытания и число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, бесконечно.

В этом случае применяется геометрический способ вычисления случайного события.

Пусть в результате испытания наудачу выбирается точка Ев некоторой области S, которая геометрически изображается в виде совокупности точек отрезка прямой, плоской фигуры или пространственного тела. Требуется найти вероятность того, что точка E окажется в области s, являющейся частью области S.

Делается допущение, что исходы испытания распределены равномерно. Это значит, что если разделить область S на конечное число равновеликих частей , то события, означающие попадание наудачу выбранной точки из области S в любую ее часть , равновозможны. Тогда можно считать, что вероятность попадания наудачу выбранной точки из области S в какую-либо часть s этой области пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы (т.е. считаем не количество исходов испытаний, а занимаемую ими длину отрезка, площадь или объем). Значит, , где - вероятность того, что наудачу выбранная точка из области S окажется в области s, m(s) и m(S) - меры соответствующих областей, выраженных в единицах длины, площади или объема.

Пример 26. Товарищ должен прийти на встречу с другом в промежутке времени от 15 ч. До 15 ч. 30 мин. Найдите вероятность того, что встреча произойдет с 15 ч. 10 мин. До 15 ч. 20 мин.

Решение. пусть событие А - встреча произошла в промежуток времени от 15 ч. 10 мин. До 15 ч. 20 мин. Т.е. в течение 10 мин. После 15 ч. 10 мин.

Изобразим все исходы испытания в виде отрезка ОМ на оси Ох.

Событие А произойдет, если точка (время встречи) окажется на отрезке KN. Следовательно,

Ответ:

Пример 27. В круг радиуса R вписан квадрат. Найдите вероятность того, что наудачу взятая в этом круге точка окажется внутри квадрата. Ответ округлите до сотых.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что наудачу взятая точка оказывается внутри квадрата. Тогда

Ответ: 0,64

Замечание. В отличие от задач. Решаемых на основе классического определения вероятности, вероятность, вычисленная на основе геометрического определения, может выражаться иррациональным числом.

Пример 28. Внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 5 см, 6 см, 10 см расположен куб с ребром 4 см. наудачу выбирается точка В внутри параллелепипеда. Найдите вероятность того, что точка В окажется внутри куба.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что точка В оказалась внутри куба с ребром 4 см. Считаем, что исходы испытания распределены равномерно. Тогда

Ответ:

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ

Математическая статистика - раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Предметом математической статистики является изучение случайных событий по результатам наблюдений. Данные (как правило, числовые), которые получают в результате экспериментов (наблюдений), называются статистическими (от латинского status - состояние).

Статистических данных должно быть очень много. Поэтому, прежде всего, полученные данные необходимо упорядочить: расположить в порядке возрастания (убывания), представить в виде таблицы, диаграммы, графика и т.д.

Затем ставится задача оценить, хотя бы приближенно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины.

В простейших случаях, когда данные исследования представлены в виде чисел, такими характеристиками могут быть среднее арифметические, мода, медиана, размах числового ряда.

Пример 1. Для анализа результатов ВОУД по алгебре выпускников 9 класса сельской школы выписали количество заданий, верно выполненных каждым из 15 учеников этого класса. Расположив полученные данные в порядке возрастания, получили следующий ряд числе: 6; 7; 10; 13; 13; 13; 13; 15; 15; 16; 16; 17; 18; 20; 21.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Для данного ряда чисел имеем

Итак, в среднем учащиеся класса смогли верно выполнить приблизительно 124 заданий экзаменационной работы. Однако, выпускники показали очень разный уровень математической подготовки. Чтобы количественно охарактеризовать разброс данных в числовом ряду, вычисляют размах ряда.

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

В нашем примере учащиеся класса решили от 6 до 21 экзаменационной задачи, т.е. размах ряда равен 21-6=15.

Следующий вопрос: какое количество решенных задач является типичным для выпускников этого класса, т.е. какое число чаще других встречается в нашем ряду чисел? Легко увидеть. Что таким числом является число 13. Число 13 называется модой данного ряда чисел.

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Заметим, что ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел 23; 23; 24; 27; 27; 27; 41; 45; 45; 45 две моды - это числа 27 и 45 (каждое из них входит в ряд 3 раза), а ряд чисел 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 не имеет моды.

Моду ряда полученных в ходе эксперимента данных находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Мода, если существует, то обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Понятие моды может применяться не только к числовым данным. Например, проведя опрос учащихся, можно выяснить любимый учебный предмет каждого из них. Модой будут являться те ответы, которые будут встречаться чаще других.

Пример 2. В таблице показано число посетителей музея в разные дни недели:

День недели

понедельник

вторник

среда

четверг

пятница

суббота

воскресенье

Число посетителей

230

535

350

290

512

711

820

Какие дни недели являются наиболее посещаемыми?

Решение. Упорядочим данный ряд чисел:

День недели

понедельник

вторник

среда

четверг

пятница

суббота

воскресенье

Число посетителей

230

535

350

290

512

711

820

Для ответа на вопрос выделим число, расположенное в середине данного ряда чисел - это 512, оно показывает число посетителей музея в пятницу. Дни недели, расположенные в таблице правее пятницы, дают ответы на поставленный вопрос. Итак, наиболее посещаемые дня - вторник, суббота воскресенье. Число 512 называется медианой данного ряда чисел (от латинского слова mediana - «среднее»).

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине.

Рассмотрим упорядоченный числовой ряд, содержащий четное число членов:

53; 62; 67; 71; 85; 98. В середине ряда расположены два числа: 67 и 71. Среднее арифметическое этих чисел равно Число 69, не являясь членом данного ряда, разбивает ряд на две одинаковые по численности части: слева от него находится три числа (53; 62; 67) и справа тоже три числа (71; 85; 98). Число 69 называется медианой данного ряда чисел.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Пример 3. При каких значениях x медианы ряда чисел 7; 5; 4; 8; х равна 7?

Решение. Упорядочим данный ряд чисел при различных значениях х: х; 4; 5; 7; 8, , если

Для каждого ряда найдем медиану: 5; 5; х; 7; 7. Значит, медиана равна 7, если .

Ответ:

Пример 4. При каких значениях х среднее арифметическое ряда чисел 15; 9; 7; 10; х будет равно 11?

Решение. По условию

Ответ: 14.

Пример 5. В школе четыре одиннадцатых класса. В таблице приведен средний балл, полученный выпускниками каждого класса на ЕГЭ по математике:

Найдите средний балл ЕГЭ по математике по всей школе. Ответ округлите до десятых.

Решение. Чтобы найти средний балл по школе, надо сумму баллов, набранных всеми выпускниками школы, разделить на общее количество выпускников.

Количество баллов, полученных учениками каждого класса, равно произведению среднего балла на число учащихся этого класса. Тогда сумма баллов, полученных всеми выпускниками школы, равна 65*26+59*28+61*25+55*27=6352

Общее количество выпускников школы 26+28+25+27=106

Средний балл по школе равен

Ответ: 59,9

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «школа». Маленький мальчик перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «школа»?

2. На полке стоят учебники по географии, истории, алгебре, геометрии, физике. Наугад с полки берутся три книги. Найдите вероятность того, что книги взяты в таком порядке: геометрия, алгебра, физика.

3. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, равна 5.

4. Одновременно бросают три монеты. Какова вероятность того, что на них выпадут 2 орла и 1 решка?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «школа». маленький мальчик перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «школа»?

Решение. Пусть событие А - составлено вновь слово «школа». Событию А благоприятствует один исход. Разных слов из 5 букв можно составить столько, сколько существует перестановок из 5 элементов (букв), т.е. Р₅. Вероятность события А равна

Ответ:

2. На полке стоят учебники по географии, истории, алгебре, геометрии, физике. Наугад с полки берутся три книги. Найдите вероятность того, что книги взяты в таком порядке: геометрия, алгебра, физика.

Решение. Испытание - выбор трех книг из пяти. Событие В - книги выбраны в указанном порядке. Общее число равновозможных, несовместных исходов испытания Исход, благоприятствующий событию В, один, m=1. Вероятность наступления события В:

Ответ:

3. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, равна 5.

Решение. Испытание - бросание двух игральных кубиков. Событие А - сумма выпавших очков равна 5. Общее число исходов испытания равно 6*6=36; n=36.

4 исхода благоприятствуют событию А: 1+4; 2+3; 3+2; 4+1; m=4. Тогда

Ответ:

4. Одновременно бросают три монеты. Какова вероятность того, что на них выпадут 2 орла и 1 решка?

Решение. Испытание - одновременное бросание трех монет. Возможны 8 несовместных исходов испытания: ООО; ООР; ОРО; ОРР; РРО; РОР; РОО; n=8.Событию А выпали 2 орла, 1 решка. Имеем 3 исхода, благоприятствующих событию А: ООР; ОРО; РОО; m=3. Вероятность наступления события А:

Ответ:

Литература

1. Математика 5 класс Т. Алдамуратова, Е. Байшоланов, Атамұра, 2010

2. Математика 6 класс, Т. Алдамуратова, Е. Байшоланов, Атамұра, 2006

3. Алгебра 7 класс, А. Әбілқасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, Мектеп, 2007

4. Геометрия 7 класс, И. Бекбоев, А.Абдиев, Ж.Қайдасов, Мектеп, 2007

5. Алгебра 8 класс, А. Әбілқасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, Мектеп, 2008

6. Алгебра 9 класс, А. Әбілқасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, Мектеп, 2009

7. Геометрия 8 класс, И. Бекбоев, А.Абдиев, Ж.Қайдасов, Мектеп, 2008

8. Геометрия 9 класс, .Бекбоев, А.Абдиев, Ж.Қайдасов, Мектеп, 2009

9. Тестовые задания составленные по материалам учебников, рекомендованных Министерством образования и науки РК

88