Метод ключевой задачи

Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода ключевой задачи

Метод составления системы задач, построенной по принципу - каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.

Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме.

«Ключевая» задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися обязательно. Разворачивающаяся система задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в «ключевой» задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала.

Свойство биссектрисы

Ключевая задача. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

F

C

D

А

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем CF, параллельно биссектрисе BD. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках .

Треугольник BCF - равнобедренный.

Так как углы и равны как соответственные при параллельных прямых BD и CF и секущей AF, углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и CF и секущей ВС, по свойству биссектрисы.

Следовательно, BF=BC. Тогда .

Следствие:

F

В

D

С

А

Если BD - биссектриса внешнего угла треугольника АВС, то .

Доказательство аналогичное.

Задачи системы:

Задача 1. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника.

a

4

3

С

A

D

Р е ш е н и е. Пусть , . Тогда по свойству биссектрисы , а по теореме Пифагора . Решая систему получим: , . Вычисляя площадь треугольника по формуле , получим .

О т в е т: 11,76.

Задача 2. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее с основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найдите острые углы треугольника.

O

D

С

M

A

Р е ш е н и е. Пусть AD - биссектриса прямоугольного треугольника АВС.

Точка О - точка пересечения медиан. Тогда по условию задачи .

По свойству медиан .

По теореме Фалеса .

Так как AD - биссектриса, то . Следовательно, .

Так как гипотенуза АВ в два раза больше катета АС, то . Следовательно, .

О т в е т: 30⁰; 60⁰.

Задача 3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону ВС в точке К, причем , . Найдите периметр треугольника АВС.

18

12

6

К

В

С

А

О

Р е ш е н и е. Так как О - центр вписанной окружности, то АК - биссектриса треугольника АВС. Тогда . Имеем , .

.

О т в е т: 45.

Задача 4. В окружность радиуса см вписан треугольник АВС, в котором , а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка С.

12-х

х

М

С

А

В

Р е ш е н и е. АМ - биссектриса треугольника АВС. Тогда .

Чтобы воспользоваться свойством биссектрисы, необходимо найти длину стороны ВС. По теореме синусов . Отсюда .

Пусть , тогда . Имеем , откуда .

О т в е т: 4.

Задача 5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ, которую центр О вписанной окружности делит в отношении . Найдите АВ, если , .

3

D

M

О

4

8

k

2k

A

В

C

Е

Р е ш е н и е. Так как О - центр вписанной окружности, то АМ и CD - биссектрисы.

По свойству биссектрисы треугольника ВСЕ , , .

Следовательно, .

По свойству биссектрисы треугольника АВЕ , , .

О т в е т: 6.

Задача 6. Найдите стороны треугольника, если медиана и высота, проведенные из одного угла, делят его на три равные части, а длина медианы равна 10.

x

x

2x

A

K

N

С

Р е ш е н и е. Пусть СN - медиана, а СК - высота.

Так как СК - высота и биссектриса, то треугольник CNB равнобедренный, следовательно, и .

, следовательно, .

CN - биссектриса в треугольнике АСК, следовательно,

Треугольник - прямоугольный, поэтому , , , , .

О т в е т: .

Задача 7. Биссектриса BD внутреннего угла треугольника АВС равна 6, а биссектриса ВF смежного с ним угла равна 8. Найдите площадь треугольника АВС, если .

10

6

8

F

M

C

A

D

В

Р е ш е н и е. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому .

по теореме Пифагора.

По свойству биссектрисы .

Пусть , тогда , , .

Имеем , .

.

Чтобы найти площадь треугольника АВС необходимо знать длину высоты ВМ, проведенной к стороне АС. Из треугольника BDF найдем . Тогда , .

, .

О т в е т: 10.

Задачи для самостоятельного решения

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

О т в е т: 54.

2. В треугольнике ВСЕ , . Отрезок СК - биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника окружности равен .

О т в е т: 18.

3. Дан треугольник АВС. Его высота BD равна 30. Из основания Е биссектрисы АЕ опущен перпендикуляр EF на сторону АС. Найдите длину этого перпендикуляра, если .

О т в е т:16.

4. В треугольнике АВС из вершины В проведена высота BD и биссектриса BL. Найдите площадь треугольника BLD, если известны длины сторон треугольника АВС: см; см; см.

О т в е т: 2,25.

5. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Найдите площадь треугольника ADC, если , , .

О т в е т: .

6. В треугольнике АВС , , . Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.

О т в е т: 1:2.

7. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12. Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.

О т в е т: 4,8.