- Преподавателю
- Математика
- Реферат по математике на тему Комбинаторика
Реферат по математике на тему Комбинаторика
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Уильямс М.(. |
Дата | 25.04.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Реферат
По дисциплине: Математика
" Комбинаторика "
Комбинаторика
Комбинаторика (Комбинаторный анализ) - раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.
Примеры комбинаторных конфигураций и задач
Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:
-
Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
-
Перестановкой из n элементов (например, чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
-
Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
-
Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
-
Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.
Примеры комбинаторных задач:
-
Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам, чтобы выполнялись заданные ограничения?
-
Сколько существует функций из m-элементного множества в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?
-
Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?
Ответ: 52! (52 факториал), то есть, 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8,0658 × 1067.
-
При игре в кости бросаются две кости, и выпавшие очки складываются; сколько существует комбинаций, в которых сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?
Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции - это номер кости, значение - очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом, существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, при которой сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.
Разделы комбинаторики
Перечислительная комбинаторика
Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.
Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.
Типичным примером задач данного раздела является подсчёт количества перестановок. Другой пример - известная Задача о письмах.
Структурная комбинаторика
К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов, а также теории матроидов.
Экстремальная комбинаторика
Примером этого раздела может служить следующая задача: какова наибольшая размерность графа, удовлетворяющего определённым свойствам.
Теория Рамсея
Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:
в группе из 6 человек всегда можно найти трёх человек, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.
В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так:
в любом графе с 6 вершинами найдётся либо клика, либо независимое множество размера 3.
Вероятностная комбинаторика
Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определённого свойства у заданного множества.
Топологическая комбинаторика
Топологическая комбинаторика (англ.) применяет идеи и методы комбинаторики в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.
Инфинитарная комбинаторика
Инфинитарная комбинаторика (англ.) - применение идей и методов комбинаторики к бесконечным (в том числе, несчётным) множествам.
Открытые проблемы
Комбинаторика, и в частности, теория Рамсея, содержит много известных открытых проблем, подчас с весьма несложной формулировкой. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, либо попарно знакомых друг с другом, либо попарно незнакомых (хотя известно, что 49 человек достаточно).[1]
Исторический очерк
Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей. В историю зарождавшейся теории вероятностей вошла переписка заядлого игрока шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии - как для разработки шифров, так и для их взлома.
Треугольник Паскаля
Блёз Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику. Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.
В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» (arrangement).
После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала.
Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера. Он детально рассмотрел, например, следующие проблемы:
-
задача о ходе коня;
-
задача о семи мостах, с которой началась теория графов;
-
построение греко-латинских квадратов;
-
обобщённые перестановки.
Кроме перестановок и сочетаний, Эйлер изучал разбиения, а также сочетания и размещения с условиями.
Комбинаторика в языкознании
Комбинаторика (языкознание) - это свойство единиц языка и соответствующих им единиц речи вступать в синтагматические отношения, то есть в отношения сочетаемости.
Литература
-
Андерсон Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. - М.: «Вильямс», 2006. - С. 960. - ISBN 0-13-086998-8.
-
Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. - М.: Наука, 1975.
-
Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика - СПб.: СПбГУАП, 2001. - 37 c.
-
Липский В. Комбинаторика для программиста. - М.: Мир, 1988. - 213 с.
-
Раизер Г. Дж. Комбинаторная математика. - пер. с англ. - М., 1966.
-
Райгородский А. М. Линейно-алгебраические и вероятностные методы в комбинаторике. - Летняя школа «Современная математика». - Дубна, 2006.
-
Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. - М.: Мир, 1980. - 476 с.
-
Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ - пер. с англ. - М., 1963.
-
Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. - М.: «Мир», 1990. - С. 440. - ISBN 5-03-001348-2.
-
Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции = Enumerative Combinatorics. Volume 2. - М.: «Мир», 2009. - С. 767. - ISBN 978-5-03-003476-8.