Конспект урока по геометрии «Задачи на построение сечений»

Конспект урока по геометрии

Тема: «Задачи на построение сечений»

Цели урока:

Образовательная: отработка умений решения задач на построение сечений параллелепипеда.

Развивающая: Развивать пространственные представления, умение работать с чертежом.

Воспитательная: воспитание интереса к предмету посредством использования аккуратности и точности при выполнении чертежей и решении задач.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.

Литература:

1. Атанасян, Л.С. Геометрия. 10-11 класс: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян и др. - 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.

2. Яровенко, В.А. Поурочные разработки по геометрии. 10 класс / В.А. Яровенко. - М.: ВАКО, 2013. - 304 с.

3. Колягин, Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: Уч. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. институтов/ Ю. М.Колягин. - М:Просвещение,1977. - 480с.

4. Упражнения в обучении математики, Г.И. Саранцев, 2005 год, 255 с.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин.)

2. Актуализация знаний (5 мин.)

3. Изучение нового материала (23 мин.)

4. Первичное закрепление изученного материала (13 мин.)

5. Подведение итогов (2 мин.)

6. Домашнее задание (1 мин.)

Ход урока:

I. Организационный момент

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь. На прошлом уроке мы познакомились с понятием секущая плоскость и рассмотрели задачи на построение сечений тетраэдра. Сегодня на уроке мы рассмотрим задачи на построение сечений параллелепипеда.

II. Актуализация знаний

(Запись на доске)

M

MM

M

Учитель: На доске изображены многогранники. Чем они являются?

Ученик: Параллелепипедами.

Учитель: Что называется параллелепипедом?

Ученик: Геометрическое тело, поверхность которого составлена из двух равных параллелограммов, лежащих в параллельных плоскостях и четырех параллелограммов, называется параллелепипедом.

Учитель: Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда?

Ученик: Треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Учитель: Давайте вспомним два основных правила для построения сечений, которые мы записали на прошлом уроке.

Ученик: 1. Можно проводить отрезки только через точки, лежащие в одной грани.

2. Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-либо отрезкам, то эти отрезки параллельны.

Учитель: На сегодняшнем уроке мы будем использовать данные правила.

III. Изучение нового материала

Учитель: Каждый из вас получил распечатку с задачей. Давайте рассмотрим данную задачу.

(Запись на доске)

На ребрах параллелепипеда даны три точки A, B, C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Учитель: Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки A, B, C. Возможны 4 случая, в зависимости от этого в сечении будут получаться: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник. Рассмотрим первый случай, когда данные точки A, B и C лежат на ребрах, выходящих из одной вершины.

(Учитель выполняет на доске, ученики на распечатках с готовыми чертежами)

Построение:

I случай

A MM₁, B M₁Q_1, C M₁N₁

1. A MM₁Q₁ AB MM₁Q₁

B MM₁Q₁

2. B N₁M₁Q₁ BC MM₁Q₁

C N₁M₁Q₁

3. A MM₁N₁ AC MM₁Q₁

C MM₁N₁

4. ABC - искомое сечение.

- Какие из данных точек лежат в одной грани? (A и B, B и C, A и C)

- Что из этого следует? (По правилу 1 построения сечений мы можем соединить точки, лежащие в плоскости одной грани)

- Соединяем отрезками точки, лежащие в одной плоскости (отрезки AB, BC, AC)

- Какую фигуру образуют данные отрезки? (треугольник)

- Таким образом, мы можем сделать вывод: сечением параллелепипеда MNPQM₁N₁P₁Q₁ в данном случае является треугольник ABC.

Учитель: Рассмотрим II случай, когда точки A,B и C принадлежат ребрам MM₁, NN₁ и QQ₁ соответственно.

II случай

A MM₁, B NN_1, C QQ₁

1. A MM₁Q₁ AC MM₁Q₁

C MM₁Q₁

2. A MM₁N₁ AB MM₁N₁

B MM₁N₁

3. AB | | CD

4. B NN₁P₁ BD NN₁P₁

D NN₁P₁

5. ABDC - искомое сечение.

- Какие из данных точек лежат в одной грани? (A и B, A и C)

- Что из этого следует? (По правилу 1 построения сечений мы можем соединить точки, лежащие в плоскости одной грани)

- Соединяем отрезками точки, лежащие в одной грани (отрезки AB, AC)

- Давайте вспомним правило 2 построения сечений, которой мы записали на прошлом уроке (Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-либо отрезкам, то эти отрезки параллельны)

- Отрезок AB принадлежит секущей плоскости ABC, значит, мы можем провести параллельный ему отрезок в противоположной грани QQ₁P₁P параллелепипеда MNPQM₁N₁P₁Q₁. Данная прямая будет проходить через точку C и пересечет ребро PP₁ в точке D.

- Какие из данных точек лежат в одной грани? (B и D)

- Соединяем отрезком точки, лежащие в одной грани (отрезок BD)

- Какую фигуру образуют данные отрезки? (четырехугольник)

- Таким образом, мы можем сделать вывод: сечением параллелепипеда MNPQM₁N₁P₁Q₁ в данном случае является четырехугольник ABDC.

Учитель: Рассмотрим III случай, когда точки A,B и C принадлежат ребрам MM₁, NN₁ и PP₁ соответственно.

III случай

A MM₁, B NN_1, C PP₁

1. A MM₁N₁ AB MM₁Q₁

B MM₁N₁

2. B NN₁P₁ BC NN₁P₁

C NN₁P₁

3. AB | | CD

4. BC | | AE

5. E MNP ED MNP

D MNP

6. ABCDE - искомое сечение.

- Какие из данных точек лежат в одной грани? (A и B, B и C)

- Что из этого следует? (По правилу 1 построения сечений мы можем соединить точки, лежащие в плоскости одной грани)

- Соединяем отрезками точки, лежащие в одной грани (отрезки AB, BC)

- По правилу 2 построения сечений проводим прямую параллельную прямой AB через C, получаем точку D, которая принадлежит ребру QP

- Проводим прямую параллельную прямой BC через тоску A, получаем точку E, которая принадлежит ребру MQ.

- Какие из данных точек лежат в одной грани? (E и D)

- Соединяем отрезком точки, лежащие в одной грани (отрезок ED)

- Какую фигуру образуют данные отрезки? (пятиугольник)

- Таким образом, мы можем сделать вывод: сечением параллелепипеда MNPQM₁N₁P₁Q₁ в данном случае является пятиугольник ABCDE.

Учитель: Рассмотрим IV случай, когда точки A,B и C принадлежат ребрам MM₁, M₁N₁ и N₁P₁ соответственно.

IV случай

A MM₁, B M₁N_1, C N₁P₁

1. A MM₁N₁ AB MM₁N₁

B MM₁N₁

2. B M₁N₁P₁ BC M₁N₁P₁

C M₁N₁P₁

3. AB MN = L, L MNP

4. BC | | DE

5. A MM₁Q₁ AD MM₁Q₁

D MM₁Q₁

6. AD | | CF

7. F QQ₁P₁ FE QQ₁P₁

E QQ₁P₁

6. ABCFED - искомое сечение.

- Какие из данных точек лежат в одной грани? (A и B, B и C)

- Что из этого следует? (По правилу 1 построения сечений мы можем соединить точки, лежащие в плоскости одной грани)

- Соединяем отрезками точки, лежащие в одной грани (отрезки AB, BC)

- Правилом 2 построения сечений мы воспользоваться пока не можем, так как нет точек, принадлежащих противоположным граням. Следовательно, мы должны получить эту точку. Для этого мы продолжим прямые AB и MN до пересечения, получим точку L.

- По правилу 2 построения сечений проводим прямую параллельную прямой BC через L. Данная прямая пересечет грань MNPQ в двух точках: D и E.

- Какие из данных точек лежат в одной грани? (A и D)

- Соединяем отрезком точки, лежащие в одной грани (отрезок AD)

- По правилу 2 построения сечений проводим прямую параллельную прямой AD через C, получим точку F на ребре PP₁.

- Какие из данных точек лежат в одной грани? (C и F)

- Соединяем отрезком точки, лежащие в одной грани (отрезок CF)

- Какую фигуру образуют данные отрезки? (шестиугольник)

- Таким образом, мы можем сделать вывод: сечением параллелепипеда MNPQM₁N₁P₁Q₁ в данном случае является шестиугольник ABCFED.

IV. Первичное закрепление изученного материала

Учитель: Давайте рассмотрим задачу из учебника №79 (а).

Ученик: Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение: а) плоскостью ABC₁. Докажите, что построенное сечение является параллелограммом.

(К доске вызывается ученик)

Учитель: Давайте еще раз прочитаем формулировку задачи. Что нам дано?

Ученик: Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим его.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.

Построить: сечение (ABC₁)

Доказать: сечение (ABC₁) - параллелограмм

Построение:

1. AB, BC₁

2. BC₁ | | AD₁

3. AD₁C₁B - искомое сечение.

Док-во:

1. AB | | CD, AB = CD (т.к. ABCD - параллелограмм)

2. CD | | C₁D₁, CD = C₁D₁ (т.к. CDD₁C₁ - параллелограмм)

3. AB | | C₁D₁ (по теореме о трех параллельных прямых)

4. AD₁C₁B - параллелограмм (по первому признаку параллелограмма).

- Какие из данных точек лежат в одной грани? (A и B, B и C₁)

- Что из этого следует? (По правилу 1 построения сечений мы можем соединить точки, лежащие в плоскости одной грани)

- Соединяем отрезками точки, лежащие в одной плоскости (отрезки AB, BC₁)

- Теперь воспользуемся правилом 2 построения сечений, проведем прямую параллельную прямой C₁D через точку A.

- Какую фигуру образуют данные отрезки? (четырехугольник)

- Таким образом, мы можем сделать вывод: сечением параллелепипеда MNPQM₁N₁P₁Q₁ в данном случае является четырехугольник ABC₁D₁.

- Докажем теперь, что полученный четырехугольник является параллелограммом.

- Для этого воспользуемся первым признаком параллелограмма.

V. Итог урока

Учитель: На сегодняшнем уроке мы рассмотрели задачи на построение сечений параллелепипеда. Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда?

Ученик: Треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Учитель: В зависимости от чего получаются разные многоугольники в сечении параллелепипеда?

Ученик: В зависимости от расположения точек секущей плоскости.

Учитель: Сегодня на уроке вы получили инструкцию построения сечений параллелепипеда, которая в дальнейшем пригодится при решении задач.

VI. Домашнее задание

Учитель: п.14, №79 (б), №87 (б)

Самоанализ урока по геометрии

Урок на тему: «Задачи на построение сечений» был проведен мной, Лемясевой Надеждой Александровной в 10А классе МОУ «Средняя школа №37» г. Саранска - 27 ноября 2012 года. Этот урок - второй в изучении темы: «Задачи на построение сечений». Тип урока: комбинированный. Были поставлены следующие цели:

Образовательная: отработка умений решения задач на построение сечений параллелепипеда.

Развивающая: Развивать пространственные представления, умение работать с чертежом.

Воспитательная: воспитание интереса к предмету посредством использования аккуратности и точности при выполнении чертежей и решении задач.

Подготовка к уроку была продуктивной: были поставлены цели урока путем ознакомления с программой и методическими указаниями по теме; ознакомилась с поурочными разработками для проведения урока; консультировалась с методистом по математике и учителем-предметником, изучила содержание учебного материала по теме в учебнике, подготовила распечатки с задачами на готовых чертежах, выделила основные научные и воспитательные идеи, понятия, навыки, умения, которые должны быть усвоены учащимися в соответствии с поставленными целями; выбрала методы и средства обучения; определила темп обучения на уроке.

Учащиеся в свою очередь были хорошо подготовлены к уроку: рабочее место соответствовало уроку, выучили необходимые к уроку определения, правила. Классное помещение было подготовлено к уроку. Все необходимые чертежи были сделаны на доске во время перемены, ученики получили распечатки с задачами на готовых чертежах.

Урок включал следующие этапы:

1. Организационный момент (1 мин.)

2. Актуализация знаний (5 мин.)

3. Изучение нового материала (23 мин.)

4. Первичное закрепление изученного материала (13 мин.)

5. Подведение итогов (2 мин.)

6. Домашнее задание (1 мин.)

Этапы были определены четко, на каждом из них было выделено главное, основное.

Учащиеся 10А класса пришли на урок вовремя, сразу подготовились к уроку геометрии, приготовили все, что нужно на урок. Я начала урок с организационного момента, на котором поприветствовала учащихся, настроила их на работу. После чего был проведен этан актуализации знаний, в который входило повторение ранее изученной темы. После актуализации знаний был осуществлен плавный переход к изучению нового материала. Были рассмотрена задача построения сечений параллелепипеда, которая выполнялась на готовых чертежах, которые были получены учениками на перемене. Данная задача включала в себя 4 различных случая расположения точек секущей плоскости. В зависимости от этого в сечении получились: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник. Во время изучения нового материала я совместно с учащимися выполняла построение сечений на доске, ребята внимательно слушали и повторяли построения. Первичное закрепление материала, заключалось в решении задач из учебника А.С. Атанасяна «Геометрия» 10-11 класс. Домашнее задание было заранее записано на доске, объем, которого не превосходил объема письменной работы в классе. Внимание уделялось всему классу. На последнем этапе я задала домашнее задание, комментируя каждый номер. Считаю, что все этапы урока были успешно реализованы.

Урок был плодотворным и деятельным. Работа на уроке была интенсивной, интересной. Все было наглядно.

Объем фактического материала, используемого на уроке, средний: задача на готовых чертежах с рассмотрением 4 случаев при изучении нового материала и одна задача из учебника, соответствующие выводы. Материал соответствовал программе и уровню знаний учащихся. Материал излагался научным языком. Предложения я старалась строить грамотными, четкими, яркими. Упражнения я стремилась подобрать в соответствии с теоретическим материалом, изученным на данном уроке. Считаю, что сделать это мне удалось.

На уроке использовались следующие методы:

На уроке мною были использованы такие методы обучения, как объяснительно-иллюстративный, репродуктивный. Объяснительно-иллюстративный потому, что представление новой информации осуществлялось мною с помощью различных средств: устного слова (объяснение), печатного слова (учебник), наглядных средств (запись на доске). Репродуктивный потому, что знания, полученные в результате объяснительно-иллюстративного метода, не формируют навыков и умений пользоваться этими знаниями. Для приобретения учащимися навыков и умений и вместе с тем для достижения большего уровня усвоения знаний была организована деятельность школьников по неоднократному воспроизведению сообщенных им знаний. Думаю, что это два наиболее подходящих метода при изучении данной темы, так как они в полной мере отражают степень активности познавательной деятельности учащихся 10 класса.

Наличие обратной связи «ученик-учитель» проявилось в том, что учащиеся активно отвечали на вопросы, неоднократно с ними обращались ко мне, также я помогала им при возникновении проблем.

Для достижения и поддержания внимания учащихся на уроке и интереса к предмету я обращалась с вопросами к классу, наблюдала за решением на местах.

Считаю, что поставленные цели были достигнуты на уроке. В конце урока были подведены итоги. Воспитательная ценность урока была заключена в том, что на уроке прослеживалось стремление не только изучить новый материал, но и развить, заложить некоторые черты всесторонне развитого человека. На уроке воспитывалась доброжелательность, аккуратность, активность в работе.

Считаю, что урок был построен методически грамотно: наличие четкой структуры урока, реализация каждого этапа соответствующими методами, учет дидактических принципов и целей математического образования.

Требовательность и тактичность характеризовали отношения с детьми на уроке. Я стремилась относиться к ним добродушно, реагировала на каждый их вопрос, содействовала при возникновении проблем в решении или в закреплении, всегда готова дать совет и рекомендацию.

Считаю, что проведенный мною урок был эффективным: поставленные цели были достигнуты, все этапы реализованы, временные рамки были соблюдены.

13