9-класс. Геомерия. Өзіндік жұмыс

Тақырып: Векторлардың скалярлық көбейтіндісі. 2 сағат.

ӨЗДІК ЖҰМЫС

Інұсқа

1. m-нің қай мәнінде ( m; 2 ) және ( -1; 3) векторлары перпендикуляр болады?

2. (7; 2) және (-2; -3) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.

3. (3;-1) және (1; 2) векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар.

ІІнұсқа

1. m-нің қай мәнінде ( 2; -3 ) және ( m ; 5) векторлары перпендикуляр болады?

2. (3; -1) және (3; 2) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.

3. (2;0) және (-1;4 ) векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар.

ІІІнұсқа

1. m-нің қай мәнінде ( 4; 5 ) және ( m ; -4) векторлары перпендикуляр болады?

2. (5; 4) және (3;-4) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.

3. (2;-5) және (-4; 0 ) векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар.

ІVнұсқа

1. m-нің қай мәнінде ( -5; m ) және ( 2 ; -4) векторлары перпендикуляр болады?

2. (3; 4) және (2;-5) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.

3. (6;-8) және (2; -1 ) векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар.

ТЕСТТЕР

І нұсқа

А(-2;0), В(3;4), С(0;-1) нүктелері берілген:

1. , векторларының координаталарын табыңдар.

А) = (4;5), =(-5;-3);

B) = (5;4), =(-3;-5);

C) = (-4;-5), =(3;5);

D) жауабы өзге.

2. = болатындай D нүктесінің координаталарын табыңдар.

А) D(5;3)

В) D(3;5)

С) D(-3;5)

D) D(-5;3)

3. ⊥ , P (x;-3) болатындай P нүктесінің абсцисасын табындар.

А) P(6;-3)

В) P(5;-3)

С) P(4;-3)

D) P(3;-3)

4. -ны табыңдар.

А)

В) 2

С)

D)

5. * -ны табыңдар.

А) 6

В) 13

С) 12

D) 14

6. -ны табыңдар.

А) 6

В) 5

С) 4

D) 3

7. векторына параллель және С нүктесі арқылы өтетін түзу теңдеуін жазыңдар.

А) 4x-5y-5=0

В) 4x+5y-3=0

С) 5x-4y=0

D) 5x+4y+5=0

8. AC түзуінің теңдеуін жазыңдар.

А) x+2y-2=0

В) 2x+y-2=0

С) x-2y+2=0

D) 2x-y+2=0

9 . A нүктесі арқылы өтетін және векторына перпендикуляр түзу теңдеуін жазындар:

А) 5x+3y+6=0

В) 5x-3y-6=0

С) 3x-5y-6=0

D) 3x+5y+6=0

10. B нүктесінен AC түзуіне дейінгі қашықтықты табыңдар.

А) 5;

В) 2,5;

С) 0,5;

D) .

11. АС түзуінің бұрыштық коэффициентін табыңдар.

А) 0,5;

В) -0,5;

С) 2;

D) -2.

1 нұсқа.

1-4 есептерін шығарғанда Оху тік бұрышты координаталар жүйесі берілген. Және , координаталық векторлар берілген.

1. векторды , координаталық векторлар арқылы жіктеңдер.

Жауаптары: А) =- 3; В) =-3+; С) =3- ;Д) =--+3;

2. Суреттегі координатасын табыңыз

Жауаптары: А) В) С) Д)

3. Егер және коллинеар болса, онда х саны неге тең?

Жауаптары: А) 2 В) С) -2 Д)

4. и векторлары берілген. координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) В) С) Д)

5. АВС.үшбұрыштың DF- орта сызығы. t- нің мәнін табыныз, егер .

А) - ге тең; В) 2 - ге тең С) - - ге тең Д) болмайды

6. АВС үшбұрышында АМ=МС. векторын = a, векторлары арқылы өрнектеңдер.

Жауаптары: А) =; В) =- ; С) =; Д) =

7.А(-1;-1), В(0;-1), С(1;-2) нүктелері берілген. - . вектордың координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-1;0) ; В) (3;-2); С) (1;0) ; Д) (-3;2)

8. А(-3;4) және В(3;-1) нүктелері берілген. вектордың координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-6;5) ; В) (6;-5) ; С) (0;3) ;Д) (0;-3)

9.А(1;0) және В(5;-3 ) нүктелері берілген.В нүктесі АС кесіндінің ортасы. С нүктесінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (9;-6) ; В) (11;-6) ; С) (2;- ) ; Д) (3;- )

10.

А(1; 1), В(2;1), С(2;2) нүктелері - АВСD параллелограмның төбелері.

D төбесінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-1;0) ; В) (1;-2); С) (1;0) ; Д) (1;2)

2 нұсқа.

1-4 есептерін шығарғанда Оху тік бұрышты координаталар жүйесі берілген. Және , координаталық векторлар берілген.

1. =-+ вектордың координатасы мынаған тең:

Жауаптары: А) ; В) ; С) ;Д) ;

2. Суреттегі координатасын табыңыз

Жауаптары:А) В) С) Д)

3. 6 +-3у+ х=0 мына шартқа сәйкес х және у сандарын табыңыз.

Жауаптары:А) х=1 В)х=-1 С) х=-1 Д) х=1

у=-2 у=-2 у=2 у=2

4. и векторлары берілген. координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) В) С) Д)

5.

5. АВС.үшбұрыштың DF- орта сызығы. t- нің мәнін табыныз, егер .

Жауаптары: А) 2- ге тең; В) - 2 - ге тең С) - ге тең

Д) болмайды

6. АВСД параллелограмда ВК =КС. векторын = , d векторлары арқылы өрнектеңдер.

Жауаптары: А) =; В) = ; С) =; Д) =

7.А(1;2) нүктесі және (-1;0) векторы берілген. В нүктесінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (0;2) ; В) (2;2) ; С) (0;-2) ;Д) (-2;-2)

8.С(1;3) және D(-5;7) нүктелері берілген. М нүктесі CD кесіндінің ортасы. М нүктесінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (2;-5) ; В) (3;-2) ; С) (-3;2) ; Д) (-2;5)

9. А(-1; 1), С(2;0), D(1;2) нүктелері - АВСD параллелограмның төбелері. В төбесінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (1;-2) ; В) (0;3) ; С) (0;-1); Д) (-2;-1)

10. А(0;-1), В(-2;1), С (1;1), D(4;-2) нүктелері берілген. t санын табыңыз, егер = t

Жауаптары: А) - ге тең; 2)- - ге тең; 3) -ге тең; 4) болмайды

3 нұсқа.

1. А(1;2), В(-1;0), С(1;-4) нүктелері - АВС үшбұрыштың төбелері. Егер К нүктесі - АС қабырғасының ортасы болса, вектордың координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (2;-1) ; В) (0;-2); С) (1;1) ; Д) (0;-1)

2. А(1;-1), В(-1;0), С(1;1) нүктелері берілген. + . вектордың координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (1;-1) ; В) (-5;-1); С) (-1;1) ; Д) (5;1)

3. Егер =4, = , =18 тең болса, онда неге тең?

Жауаптары: А) 3 ; В) 9; С) ; Д) 4,5

4. және векторлардың скаляр көбейтіндісін табыңыз.

Жауаптары: А)19; В) 10; С) -20; Д) -4.

5. Егер векторы векторына перпендикуляр болса, онда х-тің координатасы неге тең?

Жауаптары: А) 6; В) -6; С) - ; Д) .

5. АВС тең қабырғалы үшбұрыштың МN - орта сызығы. және векторлар арасындағы бұрышты табыңыз.

Жауаптары: А) В) С) Д)

6. А (4;3), В (0;7), С(-1;-1) нүктелері - АВС үшбұрыштың төбелері. А бұрыштың түрін анықтаңдар.

Жауаптары: А) А - сүйір бұрыш; В) А -тік бұрыш;

С) А -доғал бұрыш; Д) А бұрыштың түрін анықтай алмаймыз.

7. Егер =2, =3, = - қа тең болса, онда ( - ) (2+ ) неге тең?

Жауаптары: А) 7 В) 14 С) -19 Д)-1

8. A(1;2) және В (0;0) В нүктесі АС кесіндісінің ортасы болса, С нүктесінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-1;-4); В) (1;2); С) (-1;-2); Д) (18;0)

9.A(1;2) нүктесінен және координат басынан бірдей қашықтықтағы абcцисса өсіндегі нүктенінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-1,5;-4); В) (1,2;2,5); С) (-1;-2); Д) (2,5;0)

10. Координат басы АМ кесіндісін қақ бөледі. А(4;4) болса М нүктесінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-1;-4); В) (1;2,5); С) (-4;-4); Д) (2,5;1)

4 нұсқа.

1.ABC және DEF үшбұрыштары ұқсас. екені белгілі. АС - ны табыңдар.

Жауаптары: А) АС=30; В) АС=31; С) АС=25 Д) АС=20

2. ABC және үшбұрыштарында қабырғасы АВ қабырғасынан 2,2 үлкен. . Үшбұрыштың белгісіз қабырғаларын табыңдар.

Жауаптары: А)АВ=2,2; ВС=1,4 ; В) А ₁С ₁=4,4; В)АВ=2,2; ВС=1,8 ; В) А ₁С ₁=8,4;

С)АВ=2,5; ВС=1,4 ; В) А ₁С ₁=4,4 Д) АВ=2,5; ВС=1,8 ; В) А ₁С ₁=4,8

3. О центрі бар шеңбердің доғасы 60⁰ -қа тең. Шеңбердің радиусі 6 см-ге тең болса, А нүктесінен бастап ОВ радиуске дейінгі ара қашықтығын табыңдар.

Жауаптары: А)3 см; В) 4 см; С) 2 см ;Д) 5 см

4. АВ және АС шеңбердің хордалары. болса, АС доғаның градустық өлшемін табыңдар.

Жауаптары: А)100⁰; В) 120⁰; С) 102⁰;Д) 130⁰

5. Дөңгелектің ішінде М нүктесі белгіленген. Сол нүкте арқылы АВ, СД хордалар жүргізілген. АМ= МВ, СМ= 16 см, ДМ:МС=1:4 екені белгілі.АВ - ны табыңдар.

Жауаптары: А)3 см; В) 14 см; С) 16 см ;Д) 17 см

6. АВ - шеңбердің диаметрі. С нүктесі шеңберде жатыр. СД тең екені белгілі. СД- ны табыңдар.

Жауаптары: А) ; В) ; С) ;Д) 17 .

7. Шеңберде АВ диаметрі және АС хордасы жүргізілген.ВАС бұрышын табыңдар, егер АС:СВ=7:2

Жауаптары: А)100⁰; В) 20⁰; С) 102⁰;Д) 30⁰

8. Шеңбердің АВ және СД хордалары Е нүктесінде қиылысады. Егер АЕ:ЕВ=1:3, СД=20, ДЕ= 5 тең екені белгілі.АВ - ны табыңдар.

Жауаптары: А)3 см; В) 14 см; С) 20 см ;Д) 21см

9. Деректер бойынша х- ті табыңдар.

Жауаптары: А)100⁰; В) 64⁰; С) 102⁰;Д) 130⁰

10. Деректер бойынша х- ті табыңдар.

Жауаптары: А)100⁰; В) 120⁰; С) 175⁰;Д) 130⁰

5 нұсқа.

1. АВ - шеңбердің диаметрі. Е нүктесі шеңберде жатыр. ЕFFB=4, EF= 6 тең екені белгілі. Шеңбердің радиусын табыңдар.

Жауаптары: А) 3 см; В) 14 см; С) 6,8 см ;Д) 6,5см

2.О центрі бар шеңбердің радиусы 16- ға тең. Егер . АВ хордасын табыңдар.

Жауаптары: А)3; В) 16 ; С) 20 ;Д) 21.

3. О центрі бар шеңбердің АВ және СД хордалары тең. <АОВ = 112⁰ деп алып С және Д ұштары бар доғаларды табыңдар.

Жауаптары: А) 112⁰ және 248⁰ ; В) 112⁰ және 250⁰ ; С) 114⁰ және 248⁰ ;Д) 114⁰ және 250⁰

4. АВ жарты шеңберінде АС=37⁰, ВД = 23⁰ болатындай С және Д нүктелері белгіленген . Егер шеңбердің радиусы 15см - ге тең болса,онда СД хордасы неге тең?

Жауаптары: А)3 см; В) 4 см; С) 2 см ;Д) 15 см

5. Өзі тірелетін АС доғасы 48⁰ болса,онда АВС іштей сызылған бұрышын табыңдар.

Жауаптары: А)100⁰; В) 120⁰; С) 24⁰;Д) 130⁰

6. АОВ центірлік бұрыш АВ доғасына тірелетін іштей сызылған бұрыштан 30⁰ үлкен. Осы бұрыштарды тап.

Жауаптары: А) 60⁰ және 30⁰ ; В) 140⁰ және 110⁰ ; С) 114⁰ және 248⁰ ;Д) 114⁰ және 250⁰

7. АВ хордасы 115⁰-қа тең доғаны , ал АС хордасы 43⁰ - қа тең доғаны кереді. ВАС бұрышын тап.

Жауаптары: А) ≈101⁰ ; В) ≈ 36⁰; С) ≈248⁰ ;Д) ≈114⁰

8. Ажәне В нүктелері шеңберді екі доғаға бөледі,оның кішісі 140⁰-қа тең, ал үлкенін N нүктесі, А нүктесінен бастап санағанда ,6:5 қатынасындай етіп бөледі.ВАN бұрышын тап.

Жауаптары: А) 258⁰ ; В) 50⁰ ; С) 114⁰;Д) 60⁰

9. Шеңбердің AB және CD хордалары E нүктесінде қиылысады.Егер АД =54⁰, ВС=70⁰ болса ВЕС бұрышын тап.

Жауаптары: А) 62⁰; В) 63⁰; С) 248⁰ ;Д) 250⁰

10. Деректер бойынша х- ті табыңдар.

Жауаптары: А) 105⁰; В) 63⁰; С) 248⁰ ;Д) 250⁰

6 нұсқа.

1. Егер =2, =7, = , тең болса , онда неге тең?

Жауаптары: А) ₁₄ ; В) 7; С)-14; Д) -7

2. Егер =15 тең болса, мұндағы және . у- тің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А)-1; В) 11; С) 1; Д) 5.

3. Егер векторы векторына перпендикуляр болса, вектордың координатасы неге тең?

Жауаптары: А) (-2;-5); В) (-5;-2); С) (2;-5); Д) (-5;2)

4. АВСД төртбұрышы - шаршы. О нүктесі - диагональдардың қиылысу нүктесі. және векторлар арасындағы бұрышты табыңыз.

Жауаптары: А) 45⁰; В) 90⁰;С) бұрыштың шамасын анықтай алмаймыз;

Д) 135⁰

5. А (4;-4), В (-1;,6), С(-3;-2) нүктелері - АВС үшбұрыштың төбелері. С бұрыштың түрін анықтаңдар.

Жауаптары: А) С бұрыштың түрін анықтай алмаймыз;

В) С -тік бұрыш; С) С -доғал бұрыш; Д) С - сүйір бұрыш;

6. Егер ==1, = - тең болса, онда неге тең?

Жауаптары: А) 1 В) 3 С) 9 Д)

7. А(0;1), В(4;-1), С(-2;3) нүктелері - АВС үшбұрыштың төбелері. Егер М нүктесі - ВС қабырғасының ортасы болса, вектордың координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-1;0); В) (1;0); С) (-3;1); Д) (-3;3)

8. {-2;2} және {2;-2} векторларының арасындағы бұрышты табыныз.

Жауаптары: А)90⁰; В) 180⁰; С) 102⁰;Д) 130⁰

9. A(1;3) және В(3;1) кесіндінің ұштары болса, ортасының координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-6;-10); В) (2;2); С) (-2;-2); Д) (18;10)

10. 14. вектордың ұзындығын табыңыз.

А) 2 В) С) -2 Д) 5

7 нұсқа.

1.M(-1;-3) нүктесінен және координат басынан бірдей қашықтықта орналасқан ордината осіндегі нүктенінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-1;-4); В) (1;2,5); С) (0;-5/3); Д) (2,5;1)

2. вектордың ұзындығын табыңыз.

Жауаптары: А) 12 В) С) -2 Д) 5

3.А(-3;4) және В(3;-1) нүктелері берілген. вектордың координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-6;5) В) (6;-5) С) (0;3) Д) (0;-3)

4. m-нің қай мәнінде ( m; 2 ) және ( -1; 3) векторлары перпендикуляр болады?

Жауаптары: А)-1; В) 11; С) 6; Д) 5.

5. (7; 2) және (-2; -3) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.

Жауаптары: А) 12 В) С) -20 Д) -5

6. (3;-1) және (1; 2) векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар.

Жауаптары: А) 12 В) С) -2 Д) -

7. {1;6}, {-5;7} болса, =2+ векторын табыңыз.

Жауаптары: А) {-3;4}; В) {-3;-19}; С) {-3;19}; Д) {-6;1}

8. {1;6}, {-5;7} болса, = - векторын табыңыз.

Жауаптары: А) {-3;-4}; В) {-6;-1}; С) {-3;4}; Д) {-6;1}

9. =2+3 векторының координаттарын жаз.

Жауаптары: А) {-2;-3}; В) {6;-1}; С) {2;3}; Д) {-6;1}

10. Егер M(4;0), N(12;-2), P(5;-9) болса, онда MNP үшбұрышының периметрін тап.

Жауаптары: А) 2++; В) ++; С) 2--;

Д) +

8 нұсқа.

1. m-нің қай мәнінде ( 2; -3 ) және ( m ; 5) векторлары перпендикуляр болады?

Жауаптары: А)-1; В) -7,5; С) 6; Д) 7,5

2. (3; -1) және (3; 2) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.

Жауаптары: А)-1; В) 11; С) 7; Д) -7.

3. (2;0) және (-1;4 ) векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар.

Жауаптары: А)-17; В) ; С)- ; Д) 17.

4. {7;5} {-6;2} болса =3- векторын табыңыз

Жауаптары: А) {-27;-13}; В) {6;-1}; С) {27;13}; Д) {-6;13}

5.{7;5} {-6;2} болса =+ векторын табыңыз

Жауаптары: А) {-7;-1}; В) {7;-1}; С) {27;13}; Д) {1;7}

6.{1;4} {1;2} {7;2} болса, =3-2+ векторын табыңыз.

Жауаптары: А) {-8;-10}; В) {8;-10}; С) {27;13}; Д) {8;10}

7. = - векторының координаттарын жаз.

Жауаптары: А) {0;-10}; В) {8;0}; С) {0;-0,5}; Д) {0;0,5}

8. х шарттарын қанағаттандыратындай х пен у сандарын тап.

Жауаптары:А) х=1 В)х=-5 С) х=5 Д) х=5

у=-2 у=-2 у=-2 у=2

9. Егер болса, онда векторының координаттарын тап.

Жауаптары: А) {-8;-10}; В) {8;-10}; С) {5;7}; Д) {5;-7}

10. Төбелерінің координаталары: А(0;1), В(1;-4), С(5;2) болатын АВС үшбұрышының AN медианасын тап.

Жауаптары: А) 12 В) С) 13 Д) 5

9 нұсқа.

1. m-нің қай мәнінде ( 4; 5 ) және ( m ; -4) векторлары перпендикуляр болады?

Жауаптары: А)-1; В) -5; С) 6; Д) 5

2. (5; 4) және (3;-4) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.

Жауаптары: А)-1; В) -7,5; С) 6; Д) 7,5

3. векторларының ұзындықтарын тап.

Жауаптары: А)-1; В) -7,5; С) 5; Д) 7,5

4. . Егер болса, онда векторының координаттарын тап.

Жауаптары: А) {-8;-10}; В) {1;-1}; С) {27;13}; Д) {1;11}

5. -3 шарттарын қанағаттандыратындай х пен у сандарын тап.

Жауаптары:А) х=1 В)х=-3 С) х=3 Д) х=3

у=-2 у=7 у=-7 у=2

6. M(-1;-3) нүктесінен және координат басынан бірдей қашықтықта орналасқан ордината осіндегі нүктенінің координатасын табыңыз.

А) {-8;-10}; В) {1;0 }; С) {27;13}; Д) {0;-5/3}

7.A(1;2) B(7;10) АВ кесіндісін 1:3 қатынасында бөлетін нүктенінің координатасын табыңыз.

А) {2,5;-10}; В) {2,5;-4}; С) {2,5;4}; Д) {1;4 }

8. векторының координаттарын жаз.

Жауаптары: А) {-8;0}; В) {0;-8}; С) {8;0 }; Д) {1;8}

9. Егер а) болса, онда векторының координаттарын тап.

Жауаптары: А) {-1;-3}; В) {1;-3}; С) {7;13}; Д) {1;3}

10. Егер: А (2;3) және В(х;1) нүктелерінің ара қашықтығы 2-ге тең болса,онда х-ті тап.

Жауаптары: А) 2; В) 2,5; С) -2; Д) 7,5

10 нұсқа

1. m-нің қай мәнінде ( -5; m ) және ( 2 ; -4) векторлары перпендикуляр болады?

Жауаптары: А)-1; В) -2,5; С) 6; Д) 2,5

2. (3; 4) және (2;-5) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.

Жауаптары: А)-14; В) 14; С) 6; Д) 7,5

3. (6;-8) және (2; -1 ) векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар.

Жауаптары: А)-17; В) ; С)- ; Д) 17

4. M нүктесі РК кесіндісінде жатыр, РМ:МК=2:1. Р(6;3) және М (14;9) болса, К нүктесінің координатасын табыңыз.

Жауаптары: А) (-18;-12); В) (18;2); С) (-18;-2); Д) (18;12)

5.А(1;2) және В(-1;0) нүктелері берілгенвектордың координатасын табыңыз.

Жауаптары:А) (0;2) В) (2;2) С) (0;-2) Д) (-2;-2)

6. векторының координаттарын жаз.

Жауаптары:А) (0;2) В) (2;2) С) (0;-2) Д) (-2;-2)

7. х шарттарын қанағаттандыратындай х пен у сандарын тап.

Жауаптары:А) х=1 В)х=-4 С) х=-4 Д) х=4

у=-2 у=0 у=2 у=0

8. Егер болса, онда векторының координаттарын тап.

Жауаптары: А) {-1;0}; В) {1;0}; С) {27;13}; Д) {0;10}

9.Егер А (-1;х) және В(2х;3) нүктелерінің ара қашықтығы 7-ге тең болса,онда х-ті тап.

Жауаптары: А) -8 немесе -10; В) -3 немесе 2,6; С) 3 немесе -2,6;

Д) -3 немесе -2,6

10. Егер: М(1,1), N (6;1), Р (7;4), Q (2;4) болса, онда МNРQ төртбұрышының параллелограмм екенін дәлелдеңіз, оның диагональдарын табыңыз.

Жауаптары: А) 3 және 5; В) 3 және 7; С) 2 және 5; Д) 5 және 5

«Жазықтықтағы векторлар» тақырыбына арналған тесттер

1. А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1) үшбұрышының төбелері болса,

А төбесіндегі үшбұрыштың бұрышын табыңыз.

А) B) C) D) E)

Шешуі: А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1).

Жауабы:

2. векторлары өзара перпендикуляр.

скаляр көбейтіндісін табыңыз

А) B) C) D) E)

Шешуі: ; болса,

скаляр көбейтіндісін табамыз

3

А) 24 B) 23 C) 24,5 D) 23,5 E) 21. Төбелері А(7;3;4), В(1;0;6), С(4;5;-2) нүктелерінде жатқан үшбұрыш ауданын тап.

Төбелері А(7;3;4), В(1;0;6), С(4;5;-2) нүктелерінде

жатқан үшбұрыштың ауданын табамыз:

4. Егер және болса, онда табыңыз.

А) 15 B) 13 C) 16 D) 14 E) 12

Шешуі:

Жауабы: 15

5. Егер және векторлар арасындағы бұрыш ,

әрі скаляр көбейтіндісі болса, онда осы

в

А) B) 2 C) D) 1 E) екторлар арқылы салынған параллелограмның ауданы қаншаға тең болады?

Шешуі:

Жауабы: 1

Векторлар

ТЕСТ №1

І-нұсқа

1. Дұрыс тұжырым болуы үшін, толықтыру керек:

а)Нөльдік емес мен векторларының бағттары бірдей болса, онда

бұл векторларды ... деп атаймыз.

б) Егер ... , онда .

в) Егер ... , онда мен k векторлары қарама-қарсы бағытталған.

В) Егер ABCD параллелограмм болса, онда = ...

2.Тұжырымның ақиқаттығын анықтау керек:

а) мен айырмасы деп векторын айтады, мұндағы + =

б) Трапецияның орта сызығы табандарына параллель және

табандарының жарым қосындысына тең.

в) Нөльдік емес векторлар бірдей бағытталған болса, онда олар

коллинеар векторлар деп аталады.

3. ABCD -квадрат, AB = 5, онда ІІ

а) 10

б) 5

бв

4.Өрнекті ықшамдаңыз:

а)

б)

в)

5. ABCD- параллелограмында О -диагональдарының қиылысу нүктесі .

Егер = , = болса, онда

а) = ( + )

б) =- ( + )

в) = ( - )

6. ( өрнегін ықшамдаңдар:

а)

б)

в)

7. ABCD- трапеция, ВС АD, АВ CD. Бағыттас векторларды көрсетіңдер.

а)

б)

в)

8. ABCD- трапеция, ВС АD, АВ CD. Қарама-қарсы бағытталған векторларды

көрсетіңдер.

а)

б)

в)

9. ABCD- трапеция, ВС АD, АВ CD.

Ұзындықтары тең векторларды көрсетіңдер.

а)

б)

в)

10. ABCD-тіктөртбұрыш. АВ=4см, ВС=8см. -ның табыңдар.

а) 4см

б) 12см

в) 8см

ІІ-нұсқа

1. Дұрыс тұжырым болуы үшін, толықтыру керек:

а) Нөльдік емес мен векторлары қарама-қарсы бағытталған деп аталады, егер ...

б)Егер ... , онда= -

в) Егер ... , онда мен k векторлары бірдей бағытталған.

г) Егер ABCD - ромб болса, онда = …

2. Тұжырымның ақиқаттығын анықтау керек:

а) Нөльдік емес мен k санының көбейтіндісі деп векторын атайды,

б) Трапецияның орта сызығы оның қарама -қарсы қабырғаларының орталарын қосатын кеінді.

в) Кез келген М нүктесінен бастап. векторына тең жалғыз ғана векторды салуға болады.

3. Дұрыс жауапты таңдау керек:

ABCD -квадрат. АВ=4, онда

а) 8

б) 4

в)

4. Өрнекті ықшамдаңыз:

а)

б)

в)

5. ABCD - параллелограмында О-диагональдарының қиылысу нүктесі. Егер =, =

болса, онда

а) = ( - )

б) = - ( - )

в) = ( + )

6. өрнегін ықшамдаңдар.

а)

б)

в)

7. ABCD- ромб. Бағыттас векторларды көрсетіңдер.

а)

б)

в)

8. ABCD- ромб, Қарама-қарсы бағытталған векторларды

көрсетіңдер.

а)

б)

в)

9. ABCD- ромб

Ұзындықтары тең векторларды көрсетіңдер.

а)

б)

в)

10.Ромбының диагональдары 6см, 18см. Диагональдарының қиылысу нүктесі- О.

-ні табыңдар. а) 3см ; б) 3см; в) см; г) 6см.

Векторлар

ТЕСТ №2

1 нұсқа

1. ABCD- параллелограмм. АС мен BD диагональдарының қиылысу нүктесі- О.

табыңыз.

а)

б)

в)

г)

2. PE MPK үшбұрышының медианасы. векторларының айырмасын табыңыз.

а)

б)

в)

г)

3. А(-3;2), В(-1;1) берілген. табыңыз.

а) 5

б) 3

в)

г)

4. (4;-3), = 15 берілген. Табу керек:

а) немесе -

б)3

в) 3 немесе -3

г)

5. (4;-1), (-2; -5) берілген. Табу керек: ∙

а) -3 б) 3

в) 6 г) -6

6. Δ MNP, M( -3; -2), P (2; -1) берілген болса, М бұрышы

а) 40

б) 30

в) 45

г) 60

7. векторлары а-ның қандай мәнінде коллинеар болады, егер А(2;-1), В(-4;3),

С(4;-1), D (1;а)

а) -1

б) 1

в) 2,5

г) -2,1

8.А(1; -3), В ( -3; -1), С( 1; 3), болса, АВС үшбұрышының периметрін табыңдар.

а) 2+4+6

б) 2+6

в) 2+4

г) 4+67.

9. (3;-2)және (0; 4) векторларын координаталық векторлар бойынша жіктеңдер

а) 3-2 ; 4

б) -+5; 2

в) 2-3; 5

г) - + 7; -4

10. (-1;5)және (2; 0) векторларын координаталық векторлар бойынша жіктеңдер

а) 3-2 ; 4

б) -+5; 2

в) 2-3; 5

г) - + 7; -4

2-нұсқа

1.МКРС параллелограмм. МР мен КС диагональдарының қиылысу нүктесі-Е.

табыңыз.

а)

б)

в)

г)

2.AD АВС үшбұрышының медианасы. векторларының айырмасын табыңыз.

а)

б)

в)

г)

3. М (4; -5), К (2; -2) берілген табыңыз.

а) 7

б)

в)

г) 5

4. (-6;8 ), = 25 берілген. Табу керек:

а) 1

б) 2,5

в) 2,5 немесе -2,5

г) 1немесе -1

5. (-2;7 ), (-3; -4) берілген. Табу керек: ∙

а) -22

б) 22

в) -2

г) 2

6. Δ АВС, А( -5; -2), В (-1; 4) берілген болса, В бұрышы

а) 120

б) 80

в) 100

г) 90

7. векторлары а-ның қандай мәнінде коллинеар болады, егер А(-3;2), В(-1;-2),

С(2;1), D (5;а)

а) -3

б) -4,5

в) -5

г) -4

8.А(2; -5), В ( -5; -2), С( 2; 5), болса, АВС үшбұрышының периметрін табыңдар.

а)

б)

в)

г) -10

9. (-1;7)және (-4; 0) векторларын координаталық векторлар бойынша жіктеңдер

а) 3-2 ; 4

б) -+5; 2

в) 2-3; 5

г) - + 7; -4

10. (2;-3)және (0; 5) векторларын координаталық векторлар бойынша жіктеңдер

а) 3-2 ; 4

б) -+5; 2

в) 2-3; 5 г) - + 7; -4

Жазықтықтағы векторлар.

Тест.

I нұсқа

1. , , , векторларының ішіндегі бірлік векторды жазыңдар.

А) ; Ә) ; Б) ; В)

2. Егер А(-3;7) , В(6;4) болса,онда векторының координатасын табыңдар.

А)(1;13) ; Ә) ; Б); В)

3. (3;-2)векторы белгілі. Егер (-5;6) болса, онда C нүктесінің координатасын табыңдар.

А) С(-2;4) ; Ә) ; Б); В)

4 (-12;5) векторының абсолют шамасын табыңдар. А); Ә) ; Б); В);

5.Төмендегі векторлардың қай жұбы перпендикуляр болады?

А)(-3;7)және; Ә) және; Б) және; В)Болмайды

6. векторын және векторларына жіктеңдер.

А); Ә); Б); В)Жіктеуге болмайды;

7.(-3;1) және ; векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар. А)0,6; Ә)-0,7; Б); В)

8. Р(2;-2), Q(4;0),R(0;4) нүктелері PQR үшбұрышының төбелері. PT-PQR үшбұрышының медианасы. векторының координаталарын табыңдар.

А); Ә); Б); В)

9. Егер =5 , және болса, онда m неге тең. А)0; Ә); Б); В)

10.Егер ,=3 және =1 болса, онда m неге тең. А)1; Ә)2; Б); В)

11. және векторлары коллинеар. векторының абциссасын табыңдар. А)2; Ә)-3; Б); В)

12.АВС - қабырғасы 4-ке тең теңқабырғалы үшбұрыш. және векторларының скалярлық көбейтіндісін табыңдар.

А)-8; Ә)4; Б); В)

13.АВС төбелері А(; В(-1;1) ; С(4;1). А); Ә); Б); В)

14.Егер болса, АВС үшбұрышындағы неге тең. А)-7; Ә)0; Б); В)

15. Егер және болса, () неге тең. А)32; Ә)58; Б); В)

16.Егер және векторлар параллель болса, х неге тең? А); Ә); Б); В)

17.Егер А(-1;3) , В(0;2) , С(1;2) D(4;2) болса, онда неге тең. . А)(1;-1); Ә)(3;0); Б)(4;1); В) (4

18. (х;) және ; арасындағы бұрыш болса, х неге тең? А) 2; Ә)-1; Б); В)

19.АВСД параллелограмындағы Е нүктесі ВС қабырғасының ортасы. векторлары бойынша жіктеңдер.

А)= Ә)=; Б); В)

20. , векторлары берілген. және векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар. А)5; Ә)-; Б); В)

II нұсқа

1.(2;1) және векторлары берілген. 2 векторының абсолют шамасын табыңдар. А); Ә)13; Б); В)

2. , , , векторларының қайсысы коллинеар болады? А) ;Ә); Б);В)

3. , , , векторларының қайсысының абсолют шамасы 10-ға тең? А) ; Ә); Б); В)

4. , , , векторының қайсысы векторына перпендикуляр? А) ; Ә) Б); В)

5 векторының координаталарын табыңдар. А)(5;6); Ә)(-5;6); Б)(5;-6); В) (-5

6. векторының координатасын табыңдар, егер(5;-1) ,(-1;8).

7.Егер М(2;-5) және векторы белгілі болса, онда N нүктесінің координатасын табыңдар.

А) N(6;4); Ә) N(6;-9); Б) N(-2;-14); В)(-6;-4)

8.АВСД- параллелограмм екені белгілі. Тура теңдікті табыңдар. А); Ә);

Б); В);

9. (-7;-24) векторының абсолют шамасын табыңдар. А); Ә) ; Б); В);

10. Төмендегі векторлардың қай жұбы перпендикуляр болады?

А)(-3;8)және; Ә) және ; Б) және ; В)Болмайды

11. векторын және векторларына жіктеңдер.

А); Ә); Б); В)Жіктелінбейді;

12. .(-8;-6) және ; векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар. А); Ә)0,6; Б); В)

13.АВС тік бұрышты үшбұрыш. =. Егер BN-биссектриса және болса неге тең?

А); Ә); Б); В)

14. А(1;-2) , В(3;-2) , С(-1;1) болса, неге тең? А); Ә); Б); В)

15. Егер және болса, неге тең? А); Ә) ; Б); В);

16.Егер болса, неге тең? А); Ә) ; Б); В);

17. А,В,С және Д - жазықтықтағы нүкте -*ге тең? А); Ә) ; Б); В);

18.LMNK тік бұрышты трапециясында АД- орта сызық, , LNNK. өрнегін ықшамдаңдар.

19. Р(2;-2), Q(4;0),R(0;4) нүктелері PQR үшбұрышының төбелері. PT-PQR үшбұрышының медианасы. векторының координаталарын табыңдар.

А); Ә); Б) В)

20.M(1;3), N(4;0), K(0;-1) нүктелері берілген. ,T(3;y) болатындай у-ті табыңдар. А); Ә) Б); В) 1.

БАҚЫЛАУ ЖҰМЫСЫ

Тақырыбы: Векторлар

Мақсаты: Векторлар тақырыбы бойынша оқушылардың білім деңгейін анықтау.

І-нұсқа

1. ABCD квадратының диагональдары О нүктесінде қиылысады. E және F -сәйкес ВС және CD қабырғаларының орталары, АВ=2 см.

а) Сәйкесінше және векторларына тең векторларды көрсетіндер;

ә) , , -ті табыңдар;

б), , , , векторларын = және = векторлары арқылы өрнектеңдер;

в) + -ті және арқылы өрнектеңдер;

г) * -скаляр көбейтіндісін табыңдар.

2. АВС үшбұрышында АВ= ВС, , AB=6 см. BD Және AE медианалары О нүктесінде қиылысады.

a) (+-)+(+) өрнегін ықшамдандар;

ә) және векторларын =және =векторлары арқылы өрнектендер;

б) мен -ны табыңдар;

г) * -ны табыңдар.

3. PQRT -ромб , , PQ=8 см және QT диогоналының ортасы -О нүктесі.

а) * скаляр көбейтіндісін табыңдар;

ә) Ромб қабырғаларының орталары тік төртбұрыш төбелері болатынын дәлеледендер (скаляр көбейтінді көмегімен).

ІІ-нұсқа

1. PQRT квадратының диагональдары О нүктесінде қиылысады. M және N -сәйкес PQ және QR қабырғаларының орталары, PQ=4 см.

а) Сәйкесінше және векторларына тең векторларды көрсетіндер;

ә) , , -ті табыңдар;

б), , , , векторларын = және = векторлары арқылы өрнектеңдер;

в) + -ті және арқылы өрнектеңдер;

г) * -скаляр көбейтіндісін табыңдар.

2. KMN үшбұрышында KM=MN, , KN=8 см. MR Және KP медианалары О нүктесінде қиылысады.

a) (+-)+(+) өрнегін ықшамдандар;

ә) және векторларын =және =векторлары арқылы өрнектендер;

б) мен -ны табыңдар;

г) * -ны табыңдар.

3. ABCDтік төртбұрышында АС диогоналының ортасы -О нүктесі , АВ=5 см, AD=12 см.

а) * скаляр көбейтіндісін табыңдар;

ә) Тік төртбұрыш қабырғаларының орталары робм төбелері болатынын дәлеледендер (скаляр көбейтінді көмегімен).

І -нұсқа

ІІ-нұсқа

1.АВСD тіктөртбұрышы берілген. 1) мен ; 1. MNPQ параллелограмы берілген. 1) мен ;

2) мен векторларының қосындысын табыңдар. 2) мен векторларының қосындысын табыңдар.

2. (1; 2) және ( 2; -4) векторлары берілген. 2 - 3 2. (3; -2) және ( 2; 4) векторлары берілген. 2 - 3

векторының координаталарын және ұзындығын векторының координаталарын және ұзындығын

табыңдар. табыңдар.

3. (3; 0) мен (3; ) векторларының арасындағы 3. (2; 0) мен (2; 2) векторларының арасындағы

бұрышты табыңдар. бұрышты табыңдар.

ІІІнұсқа ІVнұсқа

1. BCDE ромб берілген. 1) мен ; 1. BDEF параллелограмы берілген. 1) және ;

2) мен векторларының қосындысын табыңдар. 2) және векторларының қосындысын табыңдар.

2. (-1; 3) және (2; -5) векторлары берілген. 3 + 2 2. (2; -1) және ( 5; 2) векторлары берілген. + 2

векторының координаталарын және ұзындығын векторының координаталарын және ұзындығын

табыңдар. табыңдар.

3. (; 1) мен (0; 3) векторларының арасындағы 3. (-3; 0) мен (-3;3) векторларының арасындағы

бұрышты табыңдар. бұрышты табыңдар.

ФАКУЛЬТАТИВ

«Планиметрия есептерін шығару практикумы»

Түсінік хат

Бүгінгі таңда азаматтардың жоғары индустриялды және ақпараттық қоғамға қарқынды түрде өтуіне байланысты өркениеттің бет-бейнесі тұтастай өзгеруде. осы кезеңде білім беру үрдісі де түйінді мәселеге айналып отыр.

Қазақстандағы білім беру жүйесінің қалыптасуы мен дамуы қазақ мемлекеттілігінің құрылу кезеңінен бастап ұзақ уақыт бойы елдегі болып жатқан саяси-әлеуметтік және мәдени өзгерістерінің көрсеткіші болып табылады. Белгілі бір кезеңдердегі болып жатқан білім беру үрдістеріндегі объективтік көріністерінің қажеттілігі қазіргі отандық тарихи-педагогикалық ғылымда пісіп жетілген.

Жас ұрпақтың жаңаша ойлауына, олардың біртұтас дүниетанымының қалыптасуына әлемдік сапа деңгейдегі білім, білік негіздерін меңгеруіне ықпал ететін жаңаша білім мазмұнын құру - жалпы білім беру жүйесіндегі өзекті мәселенің бірі.

Математикалық білім беру мазмұнының жаңарту мәселесі туындауынан, ғылыми техникалық прогресс, ғылымның басқа салаларының дамуы жаратылыстану ғылымның құрылымын анықтау үшін математиканың білім алу ерекшеліктеріне қызығуды арттыруда математиканың орасан зор маңызы бар.

Оқушылардың ой-өрісін кеңейтіп, шығармашылық қабілеттерін дамытып, математикаға қызығушылығын арттыру мақсатында жаратылыстану-математикалық бағытында оқитын 9-сынып оқушыларына құрылған курстың тақырыбы «Планиметрия есептерін шығару практикумы» деп аталады.

Геометриялық есептерді шығару барысында 3 негізгі әдіс қолданылады:

1. Геометриялық. Мұнда белгілі теоремалардың ішінен талап етілген тұжырымдама логикалық ойлау арқылы шығарылады.

2. Алгебралық. Ізделінді геометриялық шаманы геометриялық фигуралардың арасындағы тәуелділікті пайдалана отырып және теңдеу құру арқылы шешу.

3. Аралас. Есеп шығару барысында геометриялық та, алгебралық әдістер та пайдаланылады.

Қай әдісті қолдансақ та теоремаларды білу керек және оларды есеп шығару барысында қолдана білу қажет.

Бұл курстың тиімділігі - оқушыларды геометриялық есептер шығаруға үйретеді. Мысалы, үшбұрыштың медианасын, биіктігін, биссектрисасын және үшбұрышқа іштей, сырттай сызылған шеңбердің радиусын табу.

Геометриялық есептерді шығарудың алғашқы және маңызды кезеңі - есепетің суретін сала білу . Суреті бойынша берілгені мен ізделінді шаманы табу.

Сонымен, геометриялық есептерді шығара білу үшін суретін салып, шығару әдісін, геометриялық фактілер мен теоремаларды білу, есептер қорының жеткілікті болуы керек.

Курстың материалы тақырыптарға бөлінген және геометриялық фигуралардың түрлері бойынша жүйеленген.

Ұсынылған есептердің қиындық деңгейі әртүрлі, бірақ әдістемелік жағынан мұғалімге пайдалы.

«Планиметрия есептерін шығару практикумы» курсы негізінде және математика пәні бойынша орта білім стандартына сәйкес жасалған. Бұл бағдарламаны жасау барысында элективті курс білім берудің компоненті ретінде танымдық қажеттіліктерін қанағаттандыруға және танымдық, практикалық әрекеттердің жаңа түрлерін қалыптастыруға бағытталғандығы ескерілді.

Көп ғасырлар бойы геометрия математиканың ғана емес, басқа да ғылымдардың даму көзі ретінде қызмет етіп келді. Математиканың ойлау заңдары геометрия арқылы қалыптасты. Көптеген геометриялық есептер жаңа ғылыми бағыттардың пайда болуына әсер етті. Керісінше, көптеген ғылыми мәселелер геометриялық әдістер арқылы шешілді. Қазіргі ғылымды геометриясыз және оның жаңа бөлімдерінсіз елестету мүмкін емес. Мысалы, топология, дифференциалдық геометрия, графтар теориясы, компьютерлік геометрия және т.б. оқушылардың математикалық білім алуында геометрияның алатын рөлі орасан зор.

Сонымен, геометриялық білім жалпы мәдениеттің маңызды элементі болып табылады. Геометриядан есептеу шығарып үйрену алгебрадан қарағанда қиын.

Курстың мазмұны жаңа бағдарлама бойынша мектептегі математиканы оқыту тұжырымдамасының негізгі элементтерін жүзеге асыру принциптерін сақтай отырып жазылды.

Курстың тақырыптары 3 тарауға бөлінген: үшбұрыштар, төртбұрыштар және шеңбер. Әр тараудың тақырыптарынан кейін жаттығулар берілген. жаттығуларға дәлелдеулер мен оқушыларды тереңдете ойлауға жетелейтін тапсырмалар мен есептер енгізілген.

Осы курс оқушылардың планиметриялық есептерді шығарудың стандартты емес әдістерімен танысуына мүмкіндік береді және интеллектуалдық қабылдау, жаңа ақпататты меңгеру қабілетін, логикалық ойлау тәуелсіздігі сияқты қасиеттердің дамуына және қалыптасуына әсер етеді. ҰБТ-да геометриядан кездесетін есептерді шығаруға көмектеседі.

Курс мақсаты:

• оқушылардың планиметрияның негізгі бөлімдері бойынша білімдерін жалпылау және жүйелеу;

• оқушыларды планиметриялық есептерді шығарудың кейбір әдіс-тәсілдерімен және мысалдарымен таныстыру;

• оқушыларың алған білімдерін стандартты емес есептерді шығаруда қолдана білу дағдыларын қалыптастыру;

Курс міндеті:

• оқушылардың білімін есептерде кездесетін қолданбалы теоремаларымен толықтыру;

• оқушыларда планиметриялық есептерді шығарудың әдіс-тәсілдері туралы білімдерін кеңейтіп, тереңдету;

• интеллектуалдық біліктерін еркін қолдану деңгейінде меңгеруге көмектесу;

• оқушылардың геометрияға деген қызығушылықтарын және оң мотивациясын дамыту.

Осы курсты оқып шығу нәтижесінде оқушылар білуі тиіс:

• теорииялық білімін нақты және дәлме-дәл жеткізу және есеп шығару барысында өз ойларын жеткізе білу;

• дәлелдеуге, салуға арналған есептерді еш қиындықсыз шеше білу;

• геометриялық есептерді шығаруда алгебра және тригонометрия аппаратын қолдана білу;

• есеп шығаруда геометриялық түрлендірулер қасиеттерін қолдана білу.

Курс бағдарламасы

№

тақырыбы

Сағат саны

1

Үшбұрыштар . Тік бұрышты үшбұрыштардағы метрикалық қатынастар.

1

2

Медиана, биіктік және биссектриса қасиеттері.

1

3

Кез келген үшбұрыштардағы метрикалық қатынастар.

1

4,5

Үшбұрыштардың ауданы.

2

6,7

Параллелограмм

2

8

Трапеция

1

9

Төртбұрыштарға емептер шығару

1

10

Бақылау жұмысы

1

11,12

Шеңберлер

2

13,14

Шеңбер мен үшбұрыш

2

15-17

Шеңбер мен төртбұрыш

3

Сабақтың тақырыбы: Тік бұрышты үшбұрыштардағы метрикалық қатынастар.

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: Оқушыларды тік бұрышты үшбұрыш туралы қосымша материалмен таныстырып , тік бұрышты үшбұрыштың метрикалық қатынастарын қолданып, есептер шығару барысында қолдана білуге үйрету.

Дамытушылық:Оқушылардың іскерліктерін, өз бетімен еңбектену сезімдерін , білімдерін дамыту

Тәрбиелік: Оқушыларды шыдамдылыққа, шапшаңдыққа, дәлдікке тәрбиелеу

Сабақтың түрі: Аралас сабақ

Сабақтың түрі: Жаңа білімді меңгеру.

Сабақтың көрнекілігі: Карточкалар,интербелсенді тақта

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру

2.Сабаққа қажетті құралдарын түгендеп,дұрыс

отыруына назар аудару.

Әдістемелік нұсқау

Тақырыптың алдын ала даярлық тапсырмаларды орындату қажет.

Мұнда оқушылар тік бұрышты үшбұрыш анықтамасын, қасиеттерін естеріне түсіріп, сабақ барысында пайдаланады.

Тақырыптың мазмұнына шолу

Пифагор теоремасы:

Катеттердің квадраты гипотенуза мен олардың гипотенузаға проекциясының көбейтіндісіне тең:

Гипотенузаға түсірілген биіктіктің квадраты катеттерінің гипотенузаға жүргізілген проекцияларының көбейтіндісіне тең:

Катеттердің көбейтіндісі гипотенуза мен гипотенузаға түсірілген биіктіктің көбейтіндісіне тең:

Гипотенузаға жүргізілген медиана гипотенузаның жартысына тең:

Тікбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы гипотенузаның жартысына тең:

Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына түсірілген биіктік осы үшбұрышты өзара ұқсас екі үшбұрышқа бөледі.

Катеттердің қосындысы іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустарының 2 еселенген қосындысына тең:

немесе

мұндағы жарты периметр

1-есеп. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузаға түсірілген катеттерінің проекциялары 9 және 16 -ға тең. Осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңдар.

Шешуі:

Жауабы:5

2-есеп. Тік бұрышты үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустары сәйкесінше 2 және 5 -ке тең. Осы үшбұрыштың ауданын табыңдар.

Шешуі:

Екі жағын да квадраттайық:

Жауабы:24

3-есеп. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузаға жүргізілген медианасы 20-ға тең. Гипотенузаның ортасынан үлкен катетке перпендикуляр жүргізілген. Перпендикулярдың ұзындығы 15. Осы үшбұрыштың катеттерін табыңдар.

Шешуі:

1) - -ның медианасы болғандықтан, сырттай сызылған шеңбердің центрі, сондықтан

2) үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша табамыз:

3) Екі бұрышы бойынша,

үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

Жауабы:24 және 32

Сабақты бекітуге арналған жаттығулар

1) Тік бұрышты үшбұрыштың катеті 5-ке тең, ал екінші катеттің гипотенузаға проекциясы 2,25. Осы үшбұрыштың гипотенузасын табыңдар. (Жауабы:6,25)

2) Тік бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы катеттердіңайырмасының жартысына тең. Үлкен катеттің кіші катетке қатынасын табыңдар. (Жауабы: )

3) Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына түсірілген биіктік оны екі үшбұрышқа бөледі. Осы екі үшбұрышқа іштей сызылған шеңберлердің радиустары 1 және 2-ге тең. Үлкен үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңдар. (Жауабы: )

4) Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасынан А нүктесі алынған. А нүктесі гипотенузаны ұзындықтары 30 және 40 болатын кесінділерге бөледі. Егер А нүктесінен катеттерге дейінгі арақашықтық тең болса, онда катеттердің ұзындықтарын табыңдар. (Жауабы: 56; 42)

5) тік бұрышы С болатын үшбұрышына AD биссектрисасы жүргізілген. . үшбұрышының ауданын табыңдар. (Жауабы: 18)

6) үшбұрышының тік бұрышының төбесінен биіктігі жүргізілген. . гипотенузасын табыңдар. (Жауабы: 5)

Сабақтың тақырыбы: Медиана, биіктік және биссектриса қасиеттері.

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: Оқушыларды медиана, биіктік және биссектриса қасиеттерін пайдаланып,есептер шығару бейімділіктерін қалыптастыру.

Дамытушылық:Оқушылардың іскерліктерін, өз бетімен еңбектену сезімдерін , білімдерін дамыту

Тәрбиелік: Оқушыларды шыдамдылыққа, шапшаңдыққа, дәлдікке тәрбиелеу

Сабақтың түрі: Аралас сабақ

Сабақтың түрі: Жаңа білімді меңгеру.

Сабақтың көрнекілігі: Карточкалар,интербелсенді тақта

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру

2.Сабаққа қажетті құралдарын түгендеп,дұрыс

отыруына назар аудару.

Әдістемелік нұсқау

Тақырыптың алдын ала даярлық тапсырмаларды орындату қажет.

Мұнда оқушылар тік бұрышты үшбұрыш анықтамасын, қасиеттерін естеріне түсіріп, сабақ барысында пайдаланады.

Тақырыптың мазмұнына шолу

Медиана ұзындығын табу формуласы:

Үшбұрыштың медианасы мен қабырғалары төменгі формуламен байланысқан:

Үшбұрыштың бұрышының биссектрисасы осы бұрышқа қарсы жатқан қабырғасын басқа екі қабырғасына пропорционал кесінділерге бөледі:

Биссектриса ұзындығын табу формуласы:

Биссектрисалардың қиылысу нүктесі биссектрисаны бөлу қатынасы:

Биіктіктің қасиеті:

Үшбұрыштың биіктіктері оның қабырғаларына керіпропорционал:

Үшбұрыштың биіктігін табу формуласы:

1-есеп. Тең бүйірлі үшбұрыштың табаны 2-ге тең. Бүйір қабырғаларына жүргізілген медианалары өзара перпендикуляр. Үшбұрыштың ауданын табыңдар.

Шешуі:

1-тәсіл

нүктесі - және медианаларының қиылысу нүктесі.

медианасын жүргізейік. үшбұрышын қарастырайық.

Шарт бойынша - тік бұрышты, - -тың медианасы.

Тік бұрышты үшбұрыштың медианасының қасиеті бойынша - -тың биіктігі.

2-тәсіл.

- -тың медианасы.

- тік бұрышты үшбұрыштың медианасы ретінде .

Тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының қасиеті бойынша, - -тың биіктігі болып табылады.

Жауабы: 3

2-есеп. Үшбұрыштың екі қабырғасының ұзындықтары 6 және 8. Осы қабырғаларына жүргізілген медианалары өзара перпендикуляр. Үшбұрыштың үшінші қабырғасының ұзындығын табыңдар.

Шешуі:

1-тәсіл

нүктесі - және медианаларының қиылысу нүктесі.

Шарт бойынша - тік бұрышты.

медианасын жүргізейік.

- -тың медианасы

, ендеше

Медиана ұзындығының формуласы бойынша .

2-тәсіл.

нүктесі - және медианаларының қиылысу нүктесі.

Шарт бойынша болғандықтан, .

.

Айталық, , ендеше . .

үшбұрыштарынан Пифагор теоремасы бойынша

Сәйкесінше,

үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

Жауабы:

3-есеп. Қабырғалары 5, 6 және 10 болатын үшбұрыштың кіші қабырғасына медиана мен биссектриса жүргізілген. Медиана мен биссектрисаның осы қабырғамен қиылысу нүктелерінің ара қашықтығын табыңдар.

Шешуі:

Айталық, .

биссектрисса, медиана.

Жауабы:

4-есеп. үшбұрышы берілген. Оның биіктігі 30. биссектрисасының табанынан қабырғасына перпендикуляр түсірілген. Егер боллса, онда осы перпендикулярдың ұзындығын табыңдар.

Шешуі:

Екі бұрышы бойынша, .

Жауабы: 16

5-есеп. Үшбұрыштың екі қабырғасының ұзындықтары 6 және 3. Егер осы қабырғаларына жүргізілген биіктіктерінің қосындысының жартысы үшінші биіктігіне тең болсағ онда үшінші қабырғасының ұзындығын табыңдар.

Шешуі:

Жауабы: 4

6-есеп. үшбұрышында - биссектриса, . биссектрисасының ұзындығын табыңдар.

Шешуі:

Жауабы:

Сабақты бекітуге арналған жаттығулар

1) Қабырғалары болатын үшбұрышындағы А бұрышының биссектрисасын табыңдар. (Жауабы: 10)

2) Тік бұрышты үшбұрыштың катеттеріне жүргізілген медианалары және . Гипотенузаның ұзындығын табыңдар. (Жауабы: 10)

3) Үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтары 5, 6, және 8. осы үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесінен оның төбелеріне дейінгі ара қашықтықты табыңдар. (Жауабы: )

4) Үшбұрыштың биіктігі, табанының ұзындығы және бүйір қабырғаларының ұзындығы сәйкесінше 12, 14 және 28. Бүйір қабырғаларының ұзындығын табыңдар. (Жауабы: 56; 42)

5) үшбұрышында медианасы медианасына перпендикуляр. Егер болса, үшбұрышының ауданын табыңдар. (Жауабы: 8)

Сабақтың тақырыбы: Кез келген үшбұрыштардағы метрикалық қатынастар.

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: Оқушыларды кез келген үшбұрыштардағы метрикалық қатынастарды пайдаланып, үшбұрыштардың белгісіз қабырғасын, бұрышын, радиусын табуға үйрету.

Дамытушылық:Оқушылардың іскерліктерін, өз бетімен еңбектену сезімдерін , білімдерін дамыту

Тәрбиелік: Оқушыларды ұқыптылыққа, шапшаңдыққа, дәлдікке тәрбиелеу

Сабақтың түрі: Аралас сабақ

Сабақтың түрі: Жаңа білімді меңгеру.

Сабақтың көрнекілігі: Карточкалар,интербелсенді тақта

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру

2.Сабаққа қажетті құралдарын түгендеп,дұрыс

отыруына назар аудару.

Әдістемелік нұсқау

Тақырыптың алдын ала даярлық тапсырмаларды орындату қажет.

Мұнда оқушылар синустар теоремасын, косинустар теоремасын пайдаланып есептер шығаруға, кез келген үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустарын табуды үйренеді.

Тақырыптың мазмұнына шолу

Синустар теоремасы. Үшбұрыштың қабырғалары қарсы жатқан бұрыштардың синустарына пропорционал болады:

Косинустар теоремасы. Кез келегн үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының қвадраттарының қосындысынан олардың ұзындықтары мен арасындағы бұрыштың косинусының екі еселенген көбейтіндісін азайтқанға тең:

Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын төменгі формула бойынша табамыз:

Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусын синустар теоремасы арқылы табуға болады:

1-есеп. үшбұрышының С бұрышының синусы . Егер болса, онда осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңдар.

Шешуі:

1)

2) Косинустар теоремасы бойынша

болғандықтан, ендеше Сәйкесінше,

Жауабы: 1

2-есеп. Тік бұрыштың үшбұрыштың катеттерінің ұзындықтары 6 және 8. Осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі мен медианаларының қиылысу нүктесінің ара қашықтығын табыңдар.

медианасы

- үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі.

медианалардың қиылысу нүктесі.

Пифагор теоремасы бойынша

биссектриса,

Тік бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусының формуласы бойынша

. үшбұрышынан .

үшбұрышынан косинустар теоремасы бойынша

Жауабы:

Сабақты бекітуге арналған жаттығулар:

1) Үшбұрышының екі қабырғасыы 5 және 6, ал олардың арасындағы бұрыштың косинусы 0,6-ға тең. Үшбұрыштың медианаларын табыңдар. (Жауабы:)

2) Үшбұрыштың екі қабырғасы және , ал үшінші қабырғасы өзіне түсірілген биіктікке тең. Үшбұрыштың үшінші қабырғасын табыңдар. (Жауабы: 2,25)

3) Қабырғалары болатын үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің диаметрін табыңдар. (Жауабы: 5м)

4) Тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғаларына жүргізілген медиана мен биіктіктің арасындағы бұрыштың тангенсі 0,5. Осы бұрыштың синусын табыңдар.

Сабақтың тақырыбы: Үшбұрыштардың ауданы.

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: Оқушыларды үшбұрыштың ауданын табуға арналған формулаларды пайдаланып, үшбұрыштың ауданын табуға үйрету.

Дамытушылық:Оқушылардың іскерліктерін, өз бетімен еңбектену сезімдерін , білімдерін дамыту

Тәрбиелік: Оқушыларды ұқыптылыққа, шапшаңдыққа, дәлдікке тәрбиелеу

Сабақтың түрі: Аралас сабақ

Сабақтың түрі: Жаңа білімді меңгеру.

Сабақтың көрнекілігі: Карточкалар,интербелсенді тақта

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру

2.Сабаққа қажетті құралдарын түгендеп,дұрыс

отыруына назар аудару.

Тақырыптың мазмұнына шолу

Үшбұрыштың ауданы табаны мен сәйкес биіктігі көбейтіндісінің жартысына тең:

мұндағы

1-есеп. Табаны болатын тең бүйірлі үшбұрышының және биіктіктері нүктесінде қиылысады. үшбұрышының ауданын табыңдар.

Шешуі:

биіктігін жүргізейік. тең бүйірлі болғандықтан, медиана да, биссектриса да болады.

үшбұрышын қарастырайық. биссектриса.

Үшбұрыштың биссектрисасының қасиеті бойынша

үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша аламыз:

Шарт бойынша

Жауабы: 60

2-есеп. медиана табыңдар.

Шешуі:

(Әрбір медиана үшбұрышты бірдей екі үшбұрышқа бөледі)

Жауабы: 96

Сабақты бекітуге арналған жаттығулар

1) Тік бұрышты үшбұрышының қабырғалары төбесінен жүргізілген медиана мен биіктік арқылы пайда болған үшбұрыштың ауданын табыңдар. (Жауабы: )

2) үшбұрышында биіктігі және биссектрисасы жүргізілген. табыңдар. (Жауабы: 2,25)

3) Қабырғалары болатын үшбұрышында биссектрисасы жүргізілген. ауданын табыңдар. (Жауабы: )

Үйге берілетін тапсырмалар:

1) үшбұрышында , ал оның биіктіктері және . Үшбұрыштың ауданын табыңдар. (Жауабы: )

Сабақтың тақырыбы: Параллелограмм

Сабақтың мақсаты: Білімділік: Оқушыларға параллелограмм,ромб,

тік төртбұрыш және шаршы туралы қосымша

материалмен таныстырып ,оларды есептер

шығару барысында қолдана білуге үйрету.

Дамытушылық:Оқушылардың іскерліктерін,

өзбетімен еңбектену сезімдерін , білімдерін дамыту

Тәрбиелік: Оқушыларды шыдамдылыққа,

ұйымшылдыққа , сыйластыққа тәрбиелеу

Сабақтың түрі: Аралас сабақ

Сабақтың түрі: Жаңа білімді меңгеру.

Сабақтың көрнекілігі: Карточкалар,интербелсенді тақта

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру

2.Сабаққа қажетті құралдарын түгендеп,дұрыс

отыруына назар аудару.

Әдістемелік нұсқау

Тақырыптың алдын ала даярлық тапсырмаларды орындату қажет.

Мұнда оқушылар параллелограмның анықтамасын,қасиеттерін және белгілерін естеріне түсіріп,сабақ барысында пайдаланады.

Тақырыптың мазмұнына шолу

Планиметрияда « Төртбұрыштар» тақырыбында көптеген есептер параллелограм тақырыбына байланысты қарастырылады ( кей жағдайжа ромб , тік төртбұрыш және шаршы) ,және трапецияға байланысты есептер. Оларды шешу үшін анықтамалары,қасиеттері және белгілері қолданылады.Сонымен қатар есептерді шешуде келесі қосымша мәліметтер мен жағайларды қарастырған жөн.

•Параллелограмның ауданы:

1) S= ( барлық дөңес төртбұрыштарға сай)

2) S = а;

3) S = авsin α.

•Ромбының ауданы:

ВА =а

1. S=аһ

2. S=2ar

3. S=a²sin α

4. S=

•Параллелограмның диагональдарының ұзындықтарының квадраты оның қабырғаларының ұзындықтарының квадратына тең.

= 2а² + 2в²

Параллелограмға байланысты есептерді шығарғанда келесі фактілерге назар аудару керек:

• Параллелограмның бұрышының биссектрисасы жүргізгенде пайда болған үшбұрыш теңбүйірлі үшбұрыш болады.

• Паралелограмның бір қабырғасына жүргізілген биссектрисалары өзара перпендикуляр.

• Параллелограмның диагональдарының қиылысуы арқылы пайда

болған төрт үшбұрыштың аудандары өзара тең.

Қызықты геометриялық факт:

• Кез келген төртбұрыштың қабырғаларының орталарын реттігімен қосқанда пайда болған төртбұрыш -параллелограм және оның ауданы алғашқы төртбұрыштың ауданынан 2 есе кіші болады.

Егер алынған төртбұрыштың диагональдары тең болса (АС = ВД), бұл сызылған төртбұрыш -ромб болады.

Егер алынған төртбұрыштың диагональдары өзара перпендикуляр болса (АС ВД),бұл сызылған төртбұрыш - тік төртбұрыш.

Егер алынған төртбұрыштың диагональдары тең және перпендикуляр (АС = ВД, АС ВД), бұл сызылған төртбұрыш - шаршы болады.

Жаттығуларға шолу

Есеп № 1

АВСД төртбұрыштың , АС ВД, АС = 12, ВД = 16 АВ және СД қабырғаларының ортасын қосатын кесіндінің ұзындығын табыңдар.

есептің шешімі

1)Берілген АВСД төртбұрыштың қабырғаларының орталары параллелограмның төбелері болып табылады.Бұл қабырғалар АС және ВД диагональдарының ұзындықтарының жарсына тең .Немесе 6см және 8см

1. АС ВС болғандықтан параллелограмм - тік төртбұрыш болып табылады. ЕндешеАВ және СД қабырғаларының ортасын қосатын кесіндінің ұзындығын осы тіктөртбұрыштың диагоналіболады . Осыдан Пифагор теоремасы бойынша

Жауабы: 10.

Есеп № 2

Параллелограмның диагональдарының ұзындықтары 17см және 19см- ге тең , ал бір қабырғасының ұзындығы 10см -ге тең.Екінші қабырғасының ұзындығын табыңыз.

есептің шешімі

= 17см , =19см , а= 10см ; онда = 2а² + 2в²,

Жауабы: 15.

Есеп № 3

Ромбының диагональдарының қатынасы 3 : 4 қатынасындай. Ромбының қабырғасының ұзындығы оған іштей сызылған шеңбердің радиусынан неше есе артық?

есептің шешімі

1 тәсіл.

және ромбының диагональдары болсын , а -қабырғасының ұзындығы, r - іштей сызылған шеңбердің радиусы. Ромб параллелограмм болғандықтан = 4а². Сонымен қатар =4аr

Осы теңдікті әр қайсысын жеке -жеке бөлсек

Есептің шарты бойынша

Сондықтан

Жауабы :

2 тәсіл.

АС = 4х,ВД = Зх, онда АО = 2х; ОВ = 1,5х.

АОВ үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

АВ =

АОВ - ның ОН - биіктігі

АОВ тікбұрышты болғандықтан ,ОН

Сонымен

Жауабы :

Есеп № 4

АВСД ромбының сүйір бұрышы .Ромбының ауданы 320,ал синус бұрыш 0,8 -ге тең .СН биіктігі ВД диагоналін К нүктесінде қияды. СК кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

есептің шешімі

-дан Пифагор теоремасы бойынша

-ның ВК -биссектриса( ромбының қасиеті бойынша)

Үшбұрыштың биссектрисалар қасиеті бойынша :

3КС = 5(16-КС),

3КС=80-5КС

8КС=80

КС=10

Жауабы: 10

Оқушылапдың өзбетінше орындайтын тапсырмалар

1. АВСД параллелограмның ВС және СД қабырғаларында Е және К нүктелері берілген. ВЕ =2ЕС; СК=3КД.ВД диагоналі АЕ және АК кесінділерін P және Q нүктелерінде қияды.үшбұрыш APQ мен параллелограмның аудандарының қатынасын табыңдар.

Жауабы : 0,2

2. АВСД ромбының Д төбесінен ВС қабырғасына ДЕ перпендикуляр жүргізілген.Егер АС =,АЕ = ,болса ромбының қабырғасының ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 2

3. АВСД тік төртбұрыштың АВ =5.АД=4.АВ қабырғасынан Е нүктесі алынған және СЕД = АЕД .АЕ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 2

4. АВСД параллелограмның А бұрышының биссектрисасы ВС қабырғасын К нүктесінде қияып ВК:КС=4:3 қатынасындай.Параллелограмның үлкен қабырғасының ұзындығын табыңыз,егер периметрі 132-ге тең болса.

Жауабы: 42

5. АВСД параллелограмның А және В бұрыштарының биссектриса лары К нүктесінде,ал С және Д бұрышының биссектрисалары М нүктесінде қиылысса, КМ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 4

6. Ромбының ауданы 600, ал диагональдарының қатынасы 4:3 қатынасындай.Ромбының биіктігін табыңыз.

Жауабы : 4

Оқушылардың үйде орындайтын тапсырмалары:

1.АВСД параллелограмның А және С бұрыштарының биссектрисалары

ВС және АД қабырғаларында К және Р нүктелеріқияды. ВС:КС=5:2 қатынасындай.Параллелограмның ауданы 75-ке тең.АКСР төтрбұрышының ауданың табыңыз.

Жауабы: 30

2. АВСД параллелограмның АВ қабырғасында К және М нүктелері белгіленген .АК=КМ=МВ.СК және ДМ кесінділері О нүктесінде қиылысады.Егер параллелограмның ауданы 40-қа тең болса,СОД үшбұрышының ауданы неге тең?

Жауабы: 15

3. АВСД ромбының С бұрышының биссектрисасы АД қабырғасын М нүктесінде және АВ түзуін К нүктесінде қияды.Егер СМ=12,МК=20,ВС=24 ,болса СДМ үшбұрышының ауданы неге тең?

Жауабы : 30

Сабақтың тақырыбы: Трапеция

Сабақтың мақсаты: Білімділік: Оқушыларға трапеция туралы қосымша

материалмен таныстырып ,оларды есептер

шығару барысында қолдана білуге үйрету.

Дамытушылық:Оқушылардың іскерліктерін,

өзбетімен еңбектену сезімдерін , білімдерін дамыту

Тәрбиелік: Оқушыларды шыдамдылыққа,

ұйымшылдыққа , сыйластыққа тәрбиелеу

Сабақтың түрі: Аралас сабақ

Сабақтың түрі: Жаңа білімді меңгеру.

Сабақтың көрнекілігі: Карточкалар,интербелсенді тақта

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру

2.Сабаққа қажетті құралдарын түгендеп,дұрыс

отыруына назар аудару.

Әдістемелік нұсқау

Тақырыптың алдын ала даярлық тапсырмаларды орындату қажет.

Мұнда оқушылар трапецияның анықтамасын ,түрлерін және қасиеттерін естеріне түсіріп,білімді байланыстыра тиянақтайды.

Тақырыптың мазмұнына шолу

Планиметрияда «Трапеция» тақырыбына көптеген есептер шығаруға беріледі. Оларды шешу үшін анықтамалары,қасиеттері және белгілері қолданылады.Сонымен қатар есептерді шешуде келесі қосымша мәліметтерге назар аударған жөн.

• Кез келген трапецияның қабырғаларының және диагональдарының ортасы бір түзудің бойында жатады.

• Трапецияның орта сызығы оның табандарының жарты қосындысына тең,диагональдарының ортасын қосатын кесінді табандарының жарты айырмасына тең.

• Кез келген трапецияның табандарының ортасы,диагональдарының қиылысу нүктесі және бүйір қабырғаларының жалғасының қиылысу нүктесі бір түзудің бойында жатады.

• Табандарын қосатын және диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы өтетін кесінді ОХ:ОУ=ВС:АД қатынасындай.Бұл барлық диагональдармен биіктіктерге тәуелді.

Үшбұрыш ВОС ұқсас үшбұрыш АОД - мен;

k=АД:ВС

ВОА үшбұрышының ауданы СОД үшбұрышының ауданына тең.

• Трапецияның бұрышының биссектрисасы жүргізгенде пайда болған үшбұрыш теңбүйірлі үшбұрыш болады.

• Трапецияның бүйір қабырғасында қиылысатын биссектрисалары перпендикуляр.

• Теңбүйірлі трапецияның биіктігі оның табанын екі кесіндіге бөледі және олардың үлкені трапецияның орта сызығына ,ал кішісі - табандарының айырымына тең.

•SAOB=SDOC; үшбұрыш АОД ұқсас үшбұрыш ВОС. SAOB:SDOC AD² : ВС² =АO²:СO² = DO²:BO².

үшбұрыш ВАО жәнеАОД -ның ортақ биіктігі болады,сондықтан SДOА:SАоD =ВО:ДО Сондай ақ SАOД:SDОС =АО:ОС т.с.с .

• SАOВ=SDОС болғандықтан SАOВ•SDОС = SАOД•SВОС осыдан мынадай жазуға болады ; Sаов=Sаоd •SBOC; (Sаов)² =Sаod •SBOC

Жаттығуларға шолу

Есеп № 1

Теңбүйірлі трапецияның бүйір қабырғаларының жалғасы тік бұрыш жасап қиылысады.Егер трапецияның аудуны 12тең,ал биіктігі 2-ге тең болса үлкен табанының ұзындығын табыңыз.

есептің шешімі

1. АВ=СД және бұрыш О =90º, ал ВАД = САД =45º

2. Қосымша ВВжәне ССбиіктіктерін жүргіземіз.

ВВ= СС=АВ=СД=2

ВС=4 Сонымен АД= ВС+2АВ=4+4=8

Жауабы : 8

Есеп № 2

Трапецияның орта сызығы оны екі трапецияға бөледі және олардың аудандарының қатынасы 1:2 қатынасындай.Трапецияның кіші қабырғасының үлкен қабырғасына қатынасы қандай?

есептің шешімі

ВС=а; АД=в

;ВР - биіктік

L1 = EF-MBCN-ның орта сызығы

L2=HQ-AMND-ның орта сызығы

BK=KP - шарты бойынша

Жауабы:0,2

Есеп № 3

Трапецияның үлкен табанының ұзындығы 25,ал бүйір қабырғасының ұзындығы 15-ке тең.Диагоналі берілген бүйір қырына перпендикуляр,ал екінші диагоналі берілген бүйір қыры мен кіші табанының арасындағы бұрышты қақ бөледі.Трапецияның ауданын табыңдар.

В С

А М Д

есептің шешімі

ВСА = САД(ішкі айқыш бұрыштар) , себебі ВС II АД

АВС -теңбүйірлі, АВ =ВС=15

һ=ВМ=АВ sin A= 15 sinA

Үшбұрыш АВМ қарастырайық : cos A=,онда sin A=

Жауабы: 240

Есеп № 4

Трапецияның табандары 10 және 31,бүйір қабырғылары - 20 және 13-ке тең.Трапецияның биіктігін табыңыз.

есептің шешімі

ВМ//СД -ға жүргізейік .Үшбұрыш АВМ -ды қарастырайық : АМ = 21.

Жауабы :12

Оқушылапдың өзбетінше орындайтын тапсырмалар

1.Теңбүйірлі трапецияның диагоналінің ұзындығы 5-ке тең,ал ауданы

12-ге тең.Трапецияның биіктігін табыңыз.

Жауабы : 3,4

2.АВСД теңбүйірлі трапецияның О нүктесі оның ВС кіші қабырғасы ның ортасы.ОА -А бұрышының биссектрисасы.Егер АД=16 , биіктігі 6-ға тең болса,онда трапецияның ауданы неге тең?

Жауабы: 85,5

3. Трапецияның ауданын табыңыз,егер оның табандарының ұзындықтары 10 см және 24 см-ге ,ал бүйір қабырғалары 13см және 15 см-ге тең болса.

Жауабы: 204

4. Егер трапецияның диагональдары орта сызығын өзара тең үш бөлікке бөлсе ,оның табандарының қатынасы неге тең?

Жауабы: 2

5. АВСД трапецияның бүйір қабырғалары АВ =8,СД= 10.ВСтабан қабырғасына 2-ге тең.АДС бұрышының биссектрисасы АВ қабырғасының ортасынан өтеді.Трапецияның ауданын табыңыз.

Жауабы: 9,6

6. АВСД трапецияның биіктігі 7-ге,ал табан қабырғалары АД =8,ВС = 6. СД қабырғасына тиісті Е нүктесінен ВЕ түзуін жүргіземіз.Бұл түзу АС диагоналімен О нүктесірде қиылысып оны АО:ОС=3:2 өатынасындай етіп бөледі.ОЕС үшбұрышының ауданын табыңыз.

Жауабы: 40

Оқушылардың үйде орындайтын тапсырмалары:

1.Трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр,ал орта сызығы

13-ке тең.Бір диагоналірің ұзындығы 10-ға тең,екінші диагоналінің

ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 24

2. АВСД трапецияның бүйір қабырғалары АВ =12,СД= 16,ал олар тиісті

түзулер өзара перпендикуляр.Трапецияның ауданын 144 -ке тең

табыңыз.Трапецияның орта сызығының ұзындығын табыңдар.

Жауабы: 15

3. Тең бүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр,бір табанының ұзындығы 17-ге тең,ал трапецияның ауданы 81 -ге тең Екінші табанының ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 1

Сабақтың тақырыбы: Білімдерін тиянақтау

Сабақтың мақсаты: Білімділік: Оқушыларға төртбұрыштар туралы алған

қосымша материалдарды есептер шығару барысын

да қолдана білуге үйрету.

Дамытушылық:Оқушылардың іскерліктерін,

өзбетімен еңбектену сезімдерін , білімдерін дамыту

Тәрбиелік: Оқушыларды шыдамдылыққа,

ұйымшылдыққа , сыйластыққа тәрбиелеу

Сабақтың түрі: Аралас сабақ

Сабақтың түрі: Білімді бекіту.

Сабақтың көрнекілігі: Карточкалар,интербелсенді тақта

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру

2.Сабаққа қажетті құралдарын түгендеп,дұрыс

отыруына назар аудару.

Әдістемелік нұсқау

Тақырыпты бекіту кезеңдерінде «Математикалық диктант» немесе «Жалауға кім бұрын жетеді?» ойынын ойнатуға болады.

Ойын немесе диктант тапсырмалары алдын ала баспалдақтарға жазылады. Оқушылар екі тапқа бөлініп ,тапсырманы орындайды.

Жаттығуларға шолу

Есеп № 1

АВСД параллелограмның .В және С ұрыштарының биссектрисалары К нүктесінде қиылысады.К нүктесі АД қабырғасына тиісті және СК=3.Параллелограмның ауданын табыңыз.

есептің шешімі

Есеп № 2

Ромбының ауданын табыңыз,егер биіктігі 4,8 ,ал диагональдарының қатынасы 3:4 -сындай.

есептің шешімі

ДВ = 3х,АС = 4х, онда АО = 2х; ОВ = 1,5х.

АОВ үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

Аудандар әдісі арқылы

Жауабы :24

Оқушылапдың өзбетінше орындайтын тапсырмалар

1. Параллелограмның қабырғасы 21-ге тең, ал диагональдары 34 және 20 -ға тең.Параллелограмның ауданын табыңыз.

Жауабы: 336

2. АВСД ромбының диагональдары 3және 4-ке тең,доғал С бұрышынан СЕ және СК биіктіктер түсірілген . АЕСК -ның ауданын есептеңіз.

Жауабы: 4,32

3.АВСД теңбүйірлі трапецияның АВ қабырғасы мен АД табан

қабырғасының арасындағы бұрыш 45º АС диагоналі ВАД

бұрышының биссектрисасы,ал ВСД бұрышының биссектрисасы АД

табанын М нүктесінде қияды.Үшбұрыш АВN-ның ауданын

табыңыз,егер N нүктесі ВМ және АС -ның қиылысу нүктесі және

трапецияның ауданы 3+ тең

Жауабы: 1

4.АВСД трапецияның диагональдары О нүктесінде қиылысады, табандарының ұзындықтары ВС=3 АД=4, ал ауданы 98-ге тең.АОВ үшбұрышының ауданын табыңыз.

Жауабы: 24

Сабақтың тақырыбы: Бақылау жұмысы

Сабақтың мақсаты: Білімділік: Оқушыларға төртбұрыштар тақырыбы

бойынша алған материалдарды есептер шығару

қолдана білуін тексеру.

Дамытушылық:Оқушылардың іскерліктерін,

өзбетімен еңбектену сезімдерін , білімдерін дамыту

Тәрбиелік: Оқушыларды шыдамдылыққа,

ұйымшылдыққа , сыйластыққа тәрбиелеу

Сабақтың түрі: бақылаусабақ

Сабақтың түрі: Білімді тексеру.

Сабақтың көрнекілігі: Карточкалар

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру

2.Сабаққа қажетті құралдарын түгендеп,дұрыс

отыруына назар аудару.

І нұсқа

1. АВСД параллелограмның В және С бұрыштарының биссектрисалары К нүктесінде қиылысады .К нүктесі АД қабырғасына тиісті және параллелограмның ауданы -ке тең,.Параллелограмның үлкен қабырғасының ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 12

2.АВСД параллелограмның Д бұрышының биссектрисасы АВ қабырғасын К нүктесінде ,ал ВС түзуін Р нүктесінде қияды. АДК үшбұрышының периметрін есептеңіз,егер АД=20,РК=21, ДК=9

Жауабы: 21

3.Теңбүйірлі трапецияның бүйір қабырғасының ұзындығы ,ал үлкен табанындағы бұрышы 45ْ°-қа тең және диагональдар арасындағы бұрыш 60°-қа тең .Трапецияның ауданын табыңыз.

Жауабы : 96

4.Диагоналі бүйір қабырғасына перпендикуляр және табан қабырғаларының ұзындықтары 17 см,15 см-ге тең теңбүйірлі трапецияның ауданын табыңыз.

Жауабы : 64

5.СЕКМ трапецияның диагональдары О нүктесінде қиылысады.(ЕК және СМ табандары).Үшбұрыш СОЕ -ның ауданы 16 -ға тең,СО =2ОК.Трапецияның ауданын табыңыз.

Жауабы : 72

ІІ нұсқа

1. АВСДпараллелограмның В бұрышының биссектрисасы СД қабырғасын Т нүктесінде ,ал АД түзуін М нүктесінде қияды.Үшбұрыш АВМ -ның ауданын есептеңіз,егер ВС=15,ВТ=18,ТМ=12

Жауабы: 80

2. АВСД параллелограмның А бұрыштарының биссектрисасы ВС қабырғасын Е нүктесінде,ал С бұрышының биссектрисасы АД қабырғасын М нүктесінде қияды.Егер ВС=3АВ және АЕ,СМ,ВМ және ДЕ түзулерінің қиылысуында пайда болған төртбұрыштың ауданы 4-ке тең болса, параллелограмның ауданың неге тең?

Жауабы: 18

3.Теңбүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр.Кіші табанының ортасы мен бүйір қабырғасының ортасын қосатын кесінді 5-ке тең. Трапецияның ауданын табыңыз.

Жауабы : 50

4. АВСД трапецияның табандары АВ=5-ке,СД= 10-ға АД= 3,ВС=7.А және Д бұрыштарының биссектрисалары К нүктесінде,ал В және С бұрышының биссектрисалары М нүктесінде қиылысса, КМ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Жауабы: 2,5

5.АВСД тік төртбұрының АС және ВД диагональдары О нүктесінде қиылысады.Егер үшбұрыш АОВ және үшбұрыш АОД -ның аудандары сәйкесінше 12 және 8-ге тең, АО:ОС = 4:5 қатынасындай болса, тіктөрт -бұрыштың ауданы неге тең?

Сабақтың тақырыбы: : үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер.

Мақсат / Цель: үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер қасиеттерін сол шығаруда қолдана

Сабақ барысы/ Ход урока

1. Оқыту үрдісінің маңыздылығы/ актуализация учебного процесса:

• Шеңбер центрі мен жанасу нүктесін қосатын кесінді сол қабырғаға перпендикуляр.

• Екі көршілес қабырғаның жанасу нүктелеріне дейінгі бір төбеден жүргізілген кесінділер өзара тең.

• Іштей құрылған шеңбер центрі екі биссектрисасының қиылысу нүктесі болып табылады.

2. Жаңа тапсырмаларды қалыптастыру / Формирования новых заданий:

• Егер шеңбер тік бұрышты үшбұрышқа іштей сызылса, онда сүйір бұрыштары арқылы жүргізілген биссектрисалар өзара 135⁰ бұрыш жасайды.

• KOMC КВАДРАТ

• 

№1 Шеңбер ∆АВС теңбүйірлі үшбұрышқа іштей сызылған (АС табаны). Шеңбер АК, ВС қабырғаларын К, М нүктелерінде жанайды.

АК=6; КВ=12 т/к КМ

МВ=ВК=12

КА=АТ=ТС=СМ=6 (жанама қасиеті)

АВ=18 АС=12

∆КВМ ∆АВС

Жауабы: 8.

№2 Тікбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы 5, ал іштей сызылған шеңбер радиусы - 2. Үшбұрыштың үлкен катеттің ұзындығын табыңдар.

АВ=2R=10. OK=OP=R=2. AK=X, AT=X, BT=10-X (жанама қасиеті)

ТВ=ВР

∆АВС үшін Пифагор теоремасы

(x+2)²+(2+10-x)²=100

AK 5-тен кіші болу мүмкін емес, ендеше АК=6

М=6+2=8

Жауабы: 8

3. Жаңа білімді бекіту / Закрепление новых знаний:

Тең бүйірлі үшбұрышқа іштей шеңбер сызылған. Үшбұрыш табаны 12 см. Осы шеңберге үш жанама жүргізілген, олар үшбұрыштан үш кішкентай үшбұрыштарды қияды. Кішкентай үшбұрыштардың периметрінің қосындысы 48 см. Үшбұрыштың бүйір қабырғасын тап.

Жауабы: 18.

Үйге тапсырма беру / Задание на дом:

Тікбұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер катеттері 3 және 5-ке тең бөлікке бөледі. Осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусын табыңдар.

Тақырып: Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер.

Мақсат: үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер қасиеттерін сол шығаруда қолдана білу бейімділіктерін тексеру.

Сабақ барысы

Оқыту үрдісінің маңыздылығы:

• ∆АВС сырттай сызылған шеңбер центрі осы қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлардың қиылысу нүктесі болып табылады.

• АОВ, ВОС, СОА - тең бүйірлі үшбұрыштар.

• <AOC=2

• AB=2Rsin

BC=2Rsin

AC=2Rsin

4. Жаңа тапсырмаларды қалыптастыру:

№1 Сүйір бұрышты тең бүйірлі үшбұрыш табаны 48, ал оған сырттай сызылған шеңбер радиусы 25. Осы үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлер центрлері арасындағы қашықтықты табыңдар.

1. Q - іштей сызылған шеңбер центрі АН биіктік бойында орналасқан, себебі АН-орта перпендикуляр.

∆АВС сүйір бұрышты болғандықтан О нүктесі үшбұрыштың ішкі жағында жатыр. ОА=ОВ=ОС=25

∆ОВН үшін ; яғни АН=25+7=32

2. ∆АВС іштей сызылған шеңбер радиусын S=Pr формуласы арқылы табайық

Р=24+40=64 S=0.5BC AH=24*32

Жауабы: 5.

№2. ∆АВС үшбұрышқа сырттай шеңбер сызылған. АН медианасы шеңберді К нүктесінде қияды. АН=18 МК=8 ВК=10 т/к: АС

5. Жаңа білімді бекіту:

Жауабы: 15.

Үйге тапсырма беру:

Тең бүйірлі үшбұрышқа сырттай шеңбер сызылған. АС табаны <A=75⁰. 0-шеңбер центрі. S_BOC=16 болса, шеңбер радиусы

Тақырып: Жанама, хорда, қиюшы қасиеттері.

Мақсат: жанама, хорда, қиюшы қасиеттерін есеп шығаруда қолдана білу бейімділіктерін қалыптастыру.

Оқыту үрдісінің маңыздылығы:

• Бір шектеуден жүргізілген жанамалар, жанасу нүктесіне дейін өзара тең.

• Берілген нүкте мен шеңбер центрі арқылы өткен түзу жанамалар арасындағы бұрышты қақ бөлуі.

• Жанама кескіннің квадраты қиюшы ұзындығының оның сыртындағы бөлік ұзындығының көбейтіндісіне тең. AM²=AN*AK

• Егер екі хорда өзара қиылысса, онда бір хорданың бөліктерінің көбейтіндісін екінші хорда бөліктерінің көбейтіндісіне тең. KC*CN=FC*CA

6. Жаңа тапсырмаларды қалыптастыру:

• Хордаға перпендикуляр диаметр оны қақ бөледі. Кері хорданың ортасы арқылы өтетін диаметр оған перпендикуляр.

• А нүктеден жүргізілген қиюшы шеңберді M1, N1, M2, N2 нүктелері арқылы қияды. Онда AM₁*AN₁=AM₂*AN₂

• Егер радиусы R-ге тең шеңберге а хордаға тірелген бұрыш α болса, онда a=2Rsinα

• Бір доғаға тірелген бұрыштар өзара тең және олар тірелген доғаның жартысына тең.

• Диаметрге тірелген бұрыш тік болады.

• Екі қиылысатын хорда арасындағы бұрыш γ=(α+β)/2

• Екі қиюшы арасындағы бұрыш γ=(β-α)/2

• Қиюшы мен жанама арасындағы бұрыш γ=(β-α)/2

• Екі жанама арасындағы бұрыш γ=(β-α)/2=π-α

• Жанама мен хорда арасындағы бұрыш γ=α/2

7. Жаңа білімді бекіту:

№1 Шеңбер радиусы . Диаметр ұшынан осы диаметрге перпендикуляр радиус ортасы арқылы өтетін хорда ұзындығын тап.

Т/к: AC 1) ∆AOM=> Пифагор теоремасы

2) AC, DK қиюшы ретінде қарастырайық, онда

AM*MC=DM MK

MC=1,5

3) AC=AM+MC=2,5+1,5=4

Жауабы: 4.

Үйге тапсырма беру:

Радиус арасы арқылы оған перпендикуляр хорда жүргізілген. Хордадан листқа болған кіші доғаның шамасын табыңдар.

Тақырып: Жанама, хорда, қиюшы қасиеттері.

Мақсат: жанама, хорда, қиюшы қасиеттерін есеп шығаруда қолдана білу бейімділіктерін тексеру.

Сабақ барысы

8. Оқыту үрдісінің маңыздылығы:

№2. Берілген нүктеден шеңберге жанама мен қиюшы жүргізілген. Пайда болған доға шамасы 120⁰. Шеңбер радиусы 4, жанама ұзындығы 8 болса, қиюшы ұзындығын табыңдар.

∆ОСВ: ОС=ОВ=R косинустар теоремасы бойынша

СВ²=ОС2+ОВ2-2ОСОВсos120⁰

CB2=(4)2+(4)2-2*4*4*()

CB=12

Қиюшы мен жанама арасындағы қасиет б/ша

АМ²=МВ МС

8²= (12+МВ) МВ

МВ²+12МВ-64=0

МВ=4

МС=4+12=16

Жауабы: 16.

9. Жаңа тапсырмаларды қалыптастыру:

№3. Центрі О болатын шеңбер <B бұрышын А және С нүктелерінде жанайды. АО және ВС сәулелері М нүктесінде қиылысады. ОМ=9; ВМ=18. Т/к: S_∆BOM.

1. ∆АВМ үшін ВО биссектрисасы, ендеше

ВА=2АО

2. АО=х => АВ=2х болсын.

∆АВМ үшін (2х)²+(х+9)²=18²

5х2+18х-243=0

х=5,4

АО=5,4 АВ=10,8.

S_BOM=AB*OM=*10.8*9=48.6

№4. Центрі О болатын шеңбер <B бұрышын А және С нүктелерінде жанайды. ВО кесіндісі шеңберді К нүктесінде қияды. ⁰, ВК=12. Т/к: АКСО периметрін тап.

1. болсын, тік бұрышты үшбұрыш үшін

2. ∆АКО. <АКО=60⁰; АО=ОК үшбұрыш тең қабырғалы. АК= R=12.

3. Сол сияқты СК= R=12.

Р_АКСО=48.

Жауабы: 48.

№5. В нүктесінен шеңберге ВР және ВQ жанамалары жүргізілген (В₁Q жанасу нүктелері). РВ=40, шеңбер центрінен РQ хордаға дейінгі қашықтық 18 болса, РQ ұзындығын табыңдар.

РQ=2РМ; ∆РОВ - тік бұрышты, РМ - биіктік

РВ2=ВМ*ВО

Айталық ВМ=х

40²=(18+х)х

х²+18х-1600=0

х=32

РМ²=ОМ*ВМ=18*32

РМ=24

РQ=2РМ=48

Жауабы: 48.

10. Жаңа білімді бекіту:

Өздік есептер.

1. Шеңбер төбесі А болатын тік бұрыштың бір қабырғасын О нүктесінде жинап, екінші қабырғасы С нүктесінде қияды. АВ=4, АС=8 болса, онда АВ табыңдар.

Жауабы: 6.

2. М нүктесіне центрі О болатын шеңберге МО түзуі және МА жанама (А - жанасу нүктесі) жүргізілген. А нүктесінен МО түзуіне АВ перпендикуляры тұрғызылған АМ=40, АВ=24 болса, М нүктесінен О центріне дейінгі қашықтықты табыңыздар.

Жауабы: 50.

3. Дөңгелектің ішкі нүктесінен өзара перпендикуляр хордалар жүргізілген. Дөңгелек радиусы 10, хордалар ұзындықтары 16 және 12. Хордалар орталары арасындағы қашықтықты табыңдар.

Жауабы: 10.

Үйге тапсырма беру:

∆АВС үшбұрышының бұрыштары А және В сәйкес 38⁰ және 86⁰. АВС үшбұрышқа іштей сызылған шеңберден пайда болған жанасу нүктелерінен құралған үшбұрыш бұрыштарын тап.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9 кл.: М. Просвещение, 1996

2. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы

3. Погорелов А.В.. Геометрия. Учебник для 7-11кл. Средней школы

4. Шарыгин, И.Ф. Геометрия. 9-11 кл М: дрофа

5. Энциклопедический словарь юного математика

ҚОСЫМША ЕСЕПТЕР

Вектор.

• Егер | ā |=2, | в |=3, олардың арасындағы бұрыш 135⁰ болса, онда осы векторлардың скаляр көбейтіндісін тап. -32

• |а-в|=17, |а+в|=15, |ā|=1 болса,|ā|-|в| тап. 15

• Қабырғалары х=0, у=0, 3х+4у-12=0 түзулерінде жататын үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің теңдеуін жаз.

(х-1)²+(у-1)²=1

• Егер |в|=42, |а+в|=17 және |а-в|=15 болса, |а| тап. 14

• АВСD паралелограмның үш төбесінің координаталары берілген А(2;3), В(-1;4) және С(1;1). Төртінші D төбесінің координатасын тап. (4;0)

• Екі нүкте берілген. Р(-1;5), Q(3;2). Q нүктесіне қарағанда Р нүктесіне симметриялы М нүктесінің координатасын тап. М(7;-1)

• Ордината осін (0;6) нүктесінде қию үшін у=х+3/х ф-ның графигіне жанаманың қандай нүктеде жүргізу керек? (-1;4)

• А(3;-4) нүктесінен өтетін, центрі координаталар басында орналасқан шеңбердің теңдеуін көрсет. х²+у²=25

• Төбелері А(1;-1), В(4;2), С(0;4) нүктелері болатын АВС үшбұрышының АС қабырғасына параллель келетін орта сызығы жататын түзудің теңдеуін тап. у= х+1

• А(1;-1), В(2;3) нүктелер арқылы өтетін түзудің бұрыштық коэффицентін тап. 2

• - ның қандай мәнінде А(2;1), В(3;-2), С(0;) бір түзуде жатады? 7

• А(-2;2), В(-1;3) нүктелерден бірдей қашықтықта орналасқан және ОХ осінде жататын нүктенің координаталар қосындысын тап. 1

• А(1;-1), В(2;5) нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеуін жаз. 4х-3у+7=0

• А(1;3), В(5;-7), С(-1;9) төбелері болатын АВС үшбұрышының ВМ медианасы жататын түзудің теңдеуін жаз. 5у+13х-30=0

• АВС үшбұрышының РК орта сызығы АВ- ға параллель. Р(2;3), К(-1;2), С(0;0). АВ қабырғасы жататын түзудің теңдеуін тап. 3у-х-14=0

• ā(2m;-3) векторы в(7m;5) және с(-18;2n) векторларының қосындысына тең болатындай m және n мәндерін тап. m=3.6 n=-4

• а-ның қандай мәнінде х²+у²=16 және х=a сызықтарының тек бір ғана ортақ нүктесі болады. а=4

• а- ның қандай мәнінде ā(-1;4;а) және в(5;-1;2) векторларының арасындағы бұрыш доғал болады?

(-∞;4,5)

Синустар теоремасы

- Синустар теоремасы

= 2R - Кез келген үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы

1. Үшбұрыштың қабырғасы 2, алоған іргелес бұрыштар 30⁰ пен 45⁰ -қа тең. Үшбұрыштың басқа қабырғаларын тап. 2 - 2 ; -

2. АВС үшбұрышында АС = 1, А = 60⁰ , В = 45⁰ . Үшбұрыштың ВС қабырғасын тап.

3. АВС үшбұрышының А бұрышы В бұрышынан екі есе артық, ал осы бұрыштарға қарсы жатқан қабырғалар сәйкес 12см мен 8см-ге тең. 10

4. АВС үшбұрышың А = , В = , АВ = a. АК - биссектриса. ВК -ны тап.

5. АВС үшбұрышының А = 30⁰ , АС = 9, ВС = 6. В бұрышын тап. arcsin

6. А = 30⁰ , BC = 6 болатын АВС тік бұрышты үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын тап. 6

7. А = , BC =b болатын АВС тең бүйірлі ( AB = BC ) үшбұрышының АЕ биссектрисасын тап.

8. ABC сүйір бұрышты үшбұрышында BH AC, А = , В = , BH = h AC-ны тап.

9. АВС үшбұрышында А = 30⁰ , В= 45⁰ . қатынасын тап.

10. АВС үшбұрышында А = 60⁰ , В= 75⁰ . қатынасын тап.

11. АВС үшбұрышында АВ = 5см, ВС = 7 см. А бұрышы синусының С бұрышы синусына қатынасын тап.

12. АВС үшбұрышында sinA = , sinB = 7. ВС -ның АС-ға қатынасын тап. 9 : 2

13. Н = 60⁰ болатын ЕНҒ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы -ке тең. ЕҒ қабырғасын тап. 3

14. AB = 2, C = 45⁰ болатын АВС тік бұрышты үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын тап. 2

15. Табанындағы бұрышы 30⁰ - қа тең және бүйір қабырғасына түсірілген биіктігі 3-ке тең болатын АВС тең бүйірліүшбұрышының бүйір қабырғасын тап. 2

16. AB = 6, AC = 10, А = 30⁰ болатын АВС үшбұрышының ауданын тап. 15

17. Үшбұрыштың ұзындығы 5м болатын қабырғасымен іргелес бұрыштары 45⁰ және 75⁰ . Осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусын анықтаңыз. 5

18. АВС үшбұрыштың ауданы S, AC = b, BC = a болса, онда C-ны тап. S = 14, a = 7, b = 8 30⁰

19. Егер қабырғалары 5, 4 және 4 болса, онда үшбұрыштың бұрыштарына қатысты түрін анықта. Тең бүйірлі, сүйір бұрышты

20. Ромбның диагоналы 20 см және оның қабырғасымен 20⁰ бұрыш жасайды. Ромбының қабырғасы мен екінші диагоналін тап. ; 20tg20⁰

21. Параллелограмм диагоналы 18 см және оның қабырғасымен 20⁰ және 40⁰ бұрыштар жасайды. Параллелограмм қабырғаларын тап. 12sin40⁰ ; 12sin20⁰

22. Параллелограмм диагоналінің ұзындығы 20 см, ол параллелограмм қабырғаларымен 90⁰ және 30⁰ бұрыш жасайды. Осы параллелограмның қабырғаларын тап. ;

23. Тең бүйірлі трапецияның диагоналі 10 дм және ол бүйір қабырғасымен 60⁰ бұрыш, ал табанымен 45⁰ бұрыш жасайды. Трапецияның бүйір қабырғасы мен кіші табанын тап. ;

Косинустар теоремасы

Косинустар теоремасы: Үшбұрыштың кез келген қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасы ның қосындысынан осы қабырғалар мен олардың арасындағы бұрыш косинусының екі еселенген көбейтіндісін шегенгенге тең.

a² = b² + c² - 2bc * cosA

b² = a² + c² - 2ac * cosB

c² = a² + b² - 2ab * cosC

1. Дұрыс АВС үшбұрышының Д нүктесімен қосылған А төбесі оның ВС қабырғасын BД = 1, ДС = 2 болып келетін кесінділерге бөледі. АД кесіндісін тап.

2. АВС үшбұрышының үш қабырғасы берілген: a = 18см, b = 15см, c = 12см. А бұрышының биссектрисасын тап. 10

3. Қабырғалары a =, b = 2 және а қабырғасына қарсы жататын А бұрышы 30⁰ - қа тең болатын үшбұрыштың үшінші қабырғасын тап. 3

4. АВС, А = 120⁰ , АС = 3, АВ = 2. ВС - ның квадратын тап. 19

5. Егер үшбұрыштың басқа екі қабырғасы 6 см және 10см-ге тең болса, онда 120⁰ бұрышқа қарсы жататын қабырғасын тап. 14

6. Егер үшбұрыштың басқа екі қабырғасы 2 см және 3см-ге тең болса, онда 135⁰ бұрышқа қарсы жататын қабырғасын тап.

7. Қабырғалары 4см және 5 см, сүйір бұрышы 60⁰ болатын параллелограммның сүйір бұрыштарының төбелерін қосатын диагоналін тап.

8. МКРТ трапециясының табанындағы М = 45⁰ , МК = 6, МТ = 10см, КР = 4см. Диагональдар квадраттарының қосындысын тап. 188

9. Үшюұрыштың ауданы 44 см² . Ұзындықтары 8 см, 11см болатын қабырғалары арасындағы бұрыштарын табыңыз. 90⁰

10. Параллелограмм қабырғалары 4см және 2см. Егер оның ауданы 12 см² болса, онда параллелограмның сүйір бұрышын тап. 60⁰

11. Диагональдары d₁ = 10 см, d₂ = 12 см -ге, ал кіші қабырғасы a = см тең параллелограмның диагональдары арасындағы арасындағы бұрышты тап. 60⁰

12. Үшбұрыштың екі қабырғасы 6см және 8см, ал олардың арасындағы бұрыштың синусы 0,6-ға тең. Үшбұрыштың қалған бұрышының синустары мен үшінші қабырғасын тап. см, sin= ; sin =

13. Қабырғалары 5см, 6см және 7 см болатын үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусын тап.

14. Үшбұрыштың үш қабырғасы берілген: 13,14,15. Осы үшбұрыштың үлкен бұрышының косинусын тап.

15. Үшбұрыштың үш қабырғасы берілген: 13,14,15. Осы үшбұрыштың кіші бұрышының косинусын тап.

Шеңбердің теңдеуі

1. Центрі (3;-1) нүктесінен өтетін R=2 тең шеңбердің теңдеуін тап.

А) (х+3)² + (у-1)² =2 Б) (х+3)² + (у+1)² =2² В) (х-3)² + (у-1)² =2³

2. Центрі (5;-2) нүктесінен өтетін R=3 тең шеңбердің теңдеуін анықта.

А) (х+5)²+(у-2)² =3² Б) (х+5)²+(у+2)² =3² В) (х-5)²+(у+2)² =3²

3. Центрі (5;-5) нүктесінен өтетін R=8 тең шеңбердің теңдеуін тап.

А) (х+5)²+(у+5)² =8² Б) (х-5)²+(у-5)² =8 В) (х-5)²+(у+5)² =8²

4. Бұл теңдеулерден шеңбердің теңдеуін тап.

А) (х-а)²+(у-в)² =R² Б) (А+В)² =0 В) (х-у)+(х+у) =R

5. Центрі (3;1) және В(4;2) нүктелері арқылы өтетін шеңбердің теңдеуін тап.

А) (4-3)²+(2-1)² =R² Б) (4+3)²+(2+1)² =R В) (4-3)²+(2+1)² =R²

6. Центрі - ( 2; 4 ) ал радиусы 3 - ке тең шеңбердің теңдеуін тап. А) (х-4)²+(у+2)²=3 Б) (х-4)²+(у+2)²=9 В) (х+4)²+(у-2)²=3

7. Қандай нүктеде шеңбер Ох-ті кесіп өтеді:(х-1)²+(у+2)²=8

А) 4 Б) 2 В) -2

8. Шеңбердің радиусын тап. Егер де теңдеуі: х²+у²+6х-8у+5=0

А) 4√2 Б) 3√2 В) 2√5

9. Центрі (6;-8) нүктесінен өтетін R=3 тең шеңбердің теңдеуін анықта.

А) (х-6)²+(у+8)²=3² Б) (х+6)²+(у-8)²=3 В) (у+6)²+(у-8)²=3²

10. Ц(3;5) В(4;9) B нүктесі шеңберге тиісті болса, шеңбердің радиусын тап.

А) 10 Б) 9 В) 11

11. Қандай нүктеде шеңбер Ох-ті кесіп өтеді:(х-3)²+(у-2)²=18

А) 5 Б)-5 В)4

12. Шеңбердің радиусын тап. Егер теңдеуі:х²+у²-10х+4у-3=0

А) 9 Б) 4√2 В) √20

Дөңгелектің ауданы

1. Дөңгелектің ауданынын формуласын анықта.

А) S_q =ПR² Б) С=2ПR В)(х-а)²+(у-в)²=R²

2. Дөңгелектің ауданын 2 есе арттыру үшін R-сын неше есе арттыру керек.

А) 1 Б) 3 В)

3. Дөңгелектің R= 10 см. Ауданын тап.

А) 314 см² Б) 362 см В) 928 см²

4. Егер дөңгелектің диаметрін 2 есе үлкейтсе, онда дөңгелектің ауданын неше есе үлкейеді?

А) 2 есе Б) 3 есе В) 4 есе

5. Егер шеңбердің ұзындығы L, болса дөңгелектің ауданын тап.

А) Б) В) ПR²

6. Дөңгелектің R=5 см. Ауданын тап.

А) 78,5 Б) 79,9 В) 75

7. Дөңгелектің ауданын 3 есе арттыру үшін R-сын неше есе арттыру керек.

А) Б) 6 В) 9

8. Егер дөңгелектің диаметрін 6 есе үлкейтсе, онда дөңгелектің ауданы неше есе үлкейеді?

А) 12 Б) 36 В) 14

9. Дөңгелектің R=20 см. Ауданын тап.

А) 1256 Б) 120 В) 200

10. Дөңгелектің ауданын 7 есе арттыру үшін. R-сын неше есе арттыру керек.

А) 7 Б) 14 В) 49

9. Дөңгелектің ауданын 2 есе арттыру үшін R-сын неше есе арттыру керек.

10. Дөңгелектің ауданы 14,49% -ке өсу үшін оның радиусын қанша процентке үлкейту керек? 7%

11. Дөңгелектің R= 10 см. Ауданын тап. 314 см²

12. Егер дөңгелектің диаметрін 2 есе үлкейтсе, онда дөңгелектің ауданын неше есе үлкейеді? 4 есе

13. Егер шеңбердің ұзындығы L, болса дөңгелектің ауданын тап.

14. Дөңгелектің R=5 см. Ауданын тап. 78,5

15. Дөңгелектің ауданын 3 есе арттыру үшін R-сын неше есе арттыру керек.

16. Егер дөңгелектің диаметрін 6 есе үлкейтсе, онда дөңгелектің ауданы неше есе үлкейеді? 12

17Дөңгелектің R=20 см. Ауданын тап. 1256

10. Сырттай жанасатын екі дөңгелектің аудандарының қосындысы 1300 см² Егер олардың центрлерінің ара қашықтығы 14 см-ге тең болса, онда олардың радиустары неге тең? 11см;3 см

10. Квадрат дөңгелекке іштей сызылған . Егер де дөңгелектің радиусы 4 см болса, онда квадраттың керіп тұрған қырының кіші сегментінің ауданын тап. (4 + 8)

10. АВСД квадраты дөңгелекке іштей сызылған. Дөңгелек радиусы 4см-ге тең болса, онда ВС қабырғасы қиып түсіретін кіші сегменттің ауданын тап. дөңгелекке іштей сызылған . Егер де дөңгелектің радиусы 4 см болса, онда квадраттың керіп тұрған қырының кіші сегментінің ауданын тап. (4 - 8)

10. Радиусы а-ға тең дөңгелекке іштей квадрат сызылған, бұл квадратқа іштей дөңгелек сызылған және т.с.с. Онда барлық квадраттардың аудандарының қосындысы тең. 4а²

10. Ромбтың биіктігі 2 тең. Бүрышы 30⁰ болса, іштей сызылған дөңгелек ауданын тап.

10. Радиусы R-ға тең болатын дөңгелектің 300⁰ центрлік бұрышқа сәйкес секторының ауданын тап.

«Жазықтықтағы векторлар» тақырыбына берілген есептер

1.Егер ;

;

мен векторларының арасындағы бұрышы ; ; болса, онда мен векторларының скаляр көбейтіндісін есептеңдер.

Шешуі:

1. Егер тең болса, онда векторына коллинеар болатын векторының координаталарын табыңдар.

Шешуі:

Жауабы:

2. Егер болса, онда мен скаляр көбейтіндісін табыңдар.

Шешуі:

Жауабы:

3. Берілген және векторлары бойынша векторына перпендикуляр болатын векторының мәнін табыңдар.

Шешуі: болғандықтан

²=

Жауабы:

1. А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1) үшбұрышының төбелері болса,

А төбесіндегі үшбұрыштың бұрышын табыңыз.

А) B) C) D) E)

Шешуі: А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1).

Жауабы:

2. векторлары өзара перпендикуляр.

скаляр көбейтіндісін табыңыз

А) B) C) D) E)

Шешуі: ; болса,

скаляр көбейтіндісін табамыз

3

А) 24 B) 23 C) 24,5 D) 23,5 E) 21. Төбелері А(7;3;4), В(1;0;6), С(4;5;-2) нүктелерінде жатқан үшбұрыш ауданын тап.

Төбелері А(7;3;4), В(1;0;6), С(4;5;-2) нүктелерінде

жатқан үшбұрыштың ауданын табамыз:

4. Егер және болса, онда табыңыз.

А) 15 B) 13 C) 16 D) 14 E) 12

Шешуі:

Жауабы: 15

5. Егер және векторлар арасындағы бұрыш ,

әрі скаляр көбейтіндісі болса, онда осы

в

А) B) 2 C) D) 1 E) екторлар арқылы салынған параллелограмның ауданы қаншаға тең болады?

Шешуі:

Жауабы: 1

САБАҚ ПРЕЗЕНТАЦИЯСЫ