Конспект урока Действия над матрицами

Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Конспект урока по теме «Действия над матрицами»

Учитель математики: Григорьева Е. Д.

Цели:

Образовательные:

- рассмотреть операции сложения, вычитания, умножения матрицы на число и матрицы на матрицу, возведение в степень, нахождение обратной матрицы;

Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора заданий, соответствующего уровню мыслительной деятельности;

- формировать и развивать умения и навыки: обобщение, поиск способов решения.

Воспитательные:

- воспитание личных качеств, обеспечивающих успешность творческой деятельности;

- воспитание требовательности, принципиальности, самокритичности, благородства, чувства товарищества.

Тип урока: комбинированный.

Структура урока.

1) Организационный этап.

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

3) Актуализация знаний.

4) Изучение нового материала.

5) Закрепление изученного материала.

6) Домашнее задание.

1. Организационный этап.

Приветствия учащихся; проверка их явки и готовности аудитории к уроку.

2. Постановка цели и задач урока.

Сообщает тему и цели практического занятия. Слушают, записывают в тетрадь.

3. Актуализация знаний.

Организует фронтальный опрос по теоретическим вопросам с использованием записей на диске.

Продумывают ответы, работают с лекционным материалом, анализируют, сравнивают, обобщают, отвечают на вопросы преподавателя, аргументируют ответы.

Беседа.

4. Изучение нового материала.

Операции над матрицами, свойства операций.

В этой статье мы разберемся как проводится операция сложения над матицами одного порядка, операция умножения матрицы на число и операция умножения матриц подходящего порядка, аксиоматически зададим свойства операций, а также обсудим приоритет операций над матрицами. Параллельно с теорией будем приводить подробные решения примеров, в которых выполняются операции над матрицами.

Сразу заметим, что все нижесказанное относится к матрицам, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа.

Операция сложения двух матриц.

Определение операции сложения двух матриц.

Операция сложения определена ТОЛЬКО ДЛЯ МАТРИЦ ОДНОГО ПОРЯДКА. Другими словами, нельзя найти сумму матриц разной размерности и вообще нельзя говорить о сложении матриц разной размерности. Также нельзя говорить о сумме матрицы и числа или о сумме матрицы и какого-нибудь другого элемента.

Определение.

Сумма двух матриц Конспект урока Действия над матрицами и Конспект урока Действия над матрицами - это матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, то есть, Конспект урока Действия над матрицами.

Конспект урока Действия над матрицами

Таким образом, результатом операции сложения двух матриц является матрица того же порядка.

Свойства операции сложения матриц.

Какими же свойствами обладает операция сложения матриц? На этот вопрос достаточно легко ответить, отталкиваясь от определения суммы двух матриц данного порядка и вспомнив свойства операции сложения действительных (или комплексных) чисел.

  1. Для матриц А, В и С одного порядка характерно свойство ассоциативности сложенияА+(В+С)=(А+В)+С.

  2. Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А+О=А.

  3. Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица (-А), их суммой является нулевая матрица: А+(-А)=О.

  4. Для матриц А и В данного порядка справедливо свойство коммутативности сложения А+В=В+А.

Операция умножения матрицы на число.

Определение операции умножения матрицы на число.

Операция умножения матрицы на число определена ДЛЯ МАТРИЦ ЛЮБОГО ПОРЯДКА.

Определение.

Произведение матрицы Конспект урока Действия над матрицами и действительного (или комплексного) числа Конспект урока Действия над матрицами - это матрица, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов исходной матрицы на число Конспект урока Действия над матрицами, то есть, Конспект урока Действия над матрицами.

Конспект урока Действия над матрицами

Таким образом, результатом умножения матрицы на число является матрица того же порядка.

Свойства операции умножения матрицы на число.

  1. Для матриц одного порядка А и В, а также произвольного действительного (или комплексного) числа Конспект урока Действия над матрицами справедливо свойство дистрибутивности умножения относительно сложения Конспект урока Действия над матрицами.

  2. Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел Конспект урока Действия над матрицамии Конспект урока Действия над матрицами выполняется свойство дистрибутивности Конспект урока Действия над матрицами.

  3. Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел Конспект урока Действия над матрицамии Конспект урока Действия над матрицами справедливо свойство ассоциативности умножения Конспект урока Действия над матрицами.

  4. Нейтральным числом по умножению на произвольную матрицу А является единица, то есть, Конспект урока Действия над матрицами.

Из свойств операции умножения матрицы на число следует, что умножение нулевой матрицы на число ноль даст нулевую матрицу, а произведение произвольного числа и нулевой матрицы есть нулевая матрица.

Операция умножения двух матриц.

Определение операции умножения двух матриц.

Операция умножения двух матриц А и В определяется только для случая, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В.

Определение.

Произведение матрицы А порядка Конспект урока Действия над матрицами и матрицы В порядка Конспект урока Действия над матрицами - это такая матрица С порядка Конспект урока Действия над матрицами, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В, то есть,
Конспект урока Действия над матрицами

Конспект урока Действия над матрицами

Таким образом, результатом операции умножения матрицы порядка Конспект урока Действия над матрицами на матрицу порядка Конспект урока Действия над матрицами является матрица порядка Конспект урока Действия над матрицами.

Свойства операции умножения матриц.

Если матрицы А, В и С подходящих порядков, то справедливы следующие свойства операции умножения матриц.

  1. Свойство ассоциативности умножения матриц Конспект урока Действия над матрицами.

  2. Два свойства дистрибутивности Конспект урока Действия над матрицами и Конспект урока Действия над матрицами.

  3. В общем случае операция умножения матриц некоммутативна Конспект урока Действия над матрицами.

  4. Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо равенство Конспект урока Действия над матрицами, а для произвольной матрицы А порядка n на p - равенство Конспект урока Действия над матрицами.

Следует отметить, что при подходящих порядках произведение нулевой матрицы О на матрицуА дает нулевую матрицу. Произведение А на О также дает нулевую матрицу, если порядки позволяют проводить операцию умножения матриц.

Среди квадратных матриц существуют так называемые перестановочные матрицы, операция умножения для них коммутативна, то есть Конспект урока Действия над матрицами. Примером перестановочных матриц является пара единичной матрицы и любой другой матрицы того же порядка, так как справедливо Конспект урока Действия над матрицами.

5. Закрепление изученного материала.

Сложение матриц - решения примеров.

Рассмотрим несколько примеров сложения матриц.

Пример.

Найдите сумму матриц Конспект урока Действия над матрицами и Конспект урока Действия над матрицами.

Решение.

Порядки матриц А и В совпадают и равны 4 на 2, поэтому мы можем проводить операцию сложения матриц и в результате должны получить матрицу порядка 4 на 2. Согласно определению операции сложения двух матриц, сложение производим поэлементно:
Конспект урока Действия над матрицами

Пример.

Найдите сумму двух матриц Конспект урока Действия над матрицами и Конспект урока Действия над матрицамиэлементами которых являются комплексные числа.

Решение.

Так как порядки матриц равны, то мы можем выполнить сложение.
Конспект урока Действия над матрицами

Пример.

Выполните сложение трех матриц Конспект урока Действия над матрицами.

Решение.

Сначала сложим матрицу А с В, затем к полученной матрице прибавим С:
Конспект урока Действия над матрицами

Получили нулевую матрицу.

Умножение матрицы на число - примеры и их решение.

Разберемся с проведением операция умножения матрицы на число на примерах.

Пример.

Найдите произведение числа 2 и матрицы Конспект урока Действия над матрицами.

Решение.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число:
Конспект урока Действия над матрицами

Пример.

Выполните умножение матрицы Конспект урока Действия над матрицами на число Конспект урока Действия над матрицами.

Решение.

Умножаем каждый элемент заданной матрицы на данное число:
Конспект урока Действия над матрицами

Умножение матрицы на матрицу - решения примеров.

Разберемся с умножением матриц на примерах, после этого перейдем к перечислению свойств операции умножения матриц.

Пример.

Найдите все элементы матрицы С, которая получается при умножении матриц Конспект урока Действия над матрицами и Конспект урока Действия над матрицами.

Решение.

Порядок матрицы А равен p=3 на n=2, порядок матрицы В равен n=2 на q=4, следовательно, порядок порядок произведения этих матриц будет p=3 на q=4. Воспользуемся формулой
Конспект урока Действия над матрицами

Последовательно принимаем значения i от 1 до 3 (так как p=3) для каждого j от 1 до 4(так как q=4), а n=2 в нашем случае, тогда
Конспект урока Действия над матрицами

Так вычислены все элементы матрицы С, и матрица, полученная при умножении двух заданных матриц, имеет вид Конспект урока Действия над матрицами.

Пример.

Выполните умножение матриц Конспект урока Действия над матрицами и Конспект урока Действия над матрицами.

Решение.

Порядки исходных матриц позволяют провести операцию умножения. В результате мы должны получить матрицу порядка 2 на 3.
Конспект урока Действия над матрицами

Пример.

Даны матрицы Конспект урока Действия над матрицами и Конспект урока Действия над матрицами. Найдите произведение матриц А и В, а также матриц В и А.

Решение.

Так как порядок матрицы А равен 3 на 1, а матрицы В равен 1 на 3, то А⋅В будет иметь порядок 3 на 3, а произведение матриц В и A будет иметь порядок 1 на 1.
Конспект урока Действия над матрицами

Как видите, Конспект урока Действия над матрицами. Это одно из свойств операции умножения матриц.

Пример.

Даны матрицы Конспект урока Действия над матрицами. Выполните с заданными матрицами указанные действия Конспект урока Действия над матрицами.

Решение.

Начинаем с умножения матрицы А на матрицу В:
Конспект урока Действия над матрицами

Теперь умножаем единичную матрицу второго порядка Е на два:
Конспект урока Действия над матрицами

Складываем две полученные матрицы:
Конспект урока Действия над матрицами

Осталось выполнить операцию умножения полученной матрицы на матрицу А:
Конспект урока Действия над матрицами

Следует заметить, что операции вычитания матриц одного порядка А и В как таковой не существует. Разность двух матриц по сути есть сумма матрицы А и матрицы В, предварительно умноженной на минус единицу: Конспект урока Действия над матрицами.

Операция возведения квадратной матрицы в натуральную степень так же не самостоятельна, так как является последовательным умножением матриц.

Подведем итог.

На множестве матриц определены три операции: сложение матриц одного порядка, умножение матрицы на число и умножение матриц подходящих порядков.

6. Домашнее задание.

Конспект урока Действия над матрицами

Конспект урока Действия над матрицами

© 2010-2022