Теңдеу және теңдеулер жүйесін теңсіздіктер қолданып шешу

Теңдеулер және теңдеулер жүйесін теңсіздіктер қолданып шешу

1.1.5^x+12^x=13^x теңдеуін шешіңдер.

Шешуі: x=2 теңдеудің бір шешімі болатындықтан байқау қиын емес . Теңдеудің басқа шешімі жоқ екендігін дәлелдейік. Берілген теңдеуді

=1 түрінде жазуға болады.

x<2 болса > және > болады.

> = 1

x>2 болса < 1 болады. Олай болса теңдеудің x=2 басқа шешімі жоқ екен.

Жауабы: х=2

1.2. = 4-2x-x² теңдеуді шеш.

Шешуі:

Берілген өрнектерді =; =

4-2x-x² = 5 - (1+x)² түрінде жазуға болады.

=2, =3 екендігі белгілі. Осыдан

+5 ; 5 - (1+x)² 5 болады.

Берілген теңдеудің сол жағы 5-тен кем емес , оң жағы 5-тен артық емес.

Олай болса теңдік екі өрнектің де тек 5-ке тең мәнінде ғана орындалады.

Осыдан:

5 - (1+x)²=5; (1+x)²==0; x=-1 болады.

Теңдеудің x=-1 деген бір ғана шешімі бар.

Жауабы: х=-1

1.3. n (n+2)=m (m+1) теңдеуін қанағаттандыратын n,m натурал сандар табыла ма?

Шешуі: n (n+2)=m (m+1) теңдіктің екі жағына 1-ді қосайық:

(n+1)²= m²+m+1; Бірақ m² < m²+m+1<(m+1)² болғандықтан

m² < (n+1)² <(m+1)² немесе m< n+1 болатын n натурал саны табылмайды.

Жауабы: Берілген теңдікті қанағаттандыратын m, n натурал сандары табылмайды.

1.4. x , y нақты сандар болса,

теңдеулер жүйесін шеш.

Шешуі: Арифметикалық және геометриялық орта туралы теоремадан

== болады.

Осыны ескерсек: = тура емес теңсіздікке келтіріледі. Олай болса теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ.

Жауабы: шешімі жоқ.

1.5. n-нің қандай натурал мәндерінде жәнетеңдіктерін қанағаттандыратын оң сандары табыла ма?

Шешуі: х-оң сан болса х+ және х=1 болса екендігі белгілі.

Теңдеулерін мүшелеп қосайық:

болады. Жақша ішіндегі өрнектердің әрқайсысы 2-ден кем емес. Олай болса болады.

Егер болса, екендігі айқын.

болса екендігін квадрат теңдеу шешу арқылы табуға болады. болғанда шешімі жоқ.