Памятка по математике для учащихся 5 - 6 классов

ПАМЯТКА 5 КЛАСС

Натуральные числа.

АРИФМЕТИКА - раздел математики, который изучает свойства чисел и действия над ними.

Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 называются натуральными.

0 не является натуральным числом.

Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 называются арабскими.

Римские цифры - знаки для обозначения чисел: I, V, X, L, C, D, M.

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

Чтобы записать число арабскими цифрами, надо сложить римские цифры:

VIII=5+1+1+1=8, DCLII=500+100+50+1+1=652.

Если в записи числа подразумевается вычитание, меньшую цифру (вычитаемое) ставить перед большей (уменьшаемым):

IV=51, XIV=10+(51)=10+4=14.

Десятичная система счисления - позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. В ней используются арабские цифры.

Например, 543=500+40+3=5×100+4×10+3×1

Старший разряд

Разряд сотен Разряд десятков Разряд единиц

21 165 499=20 000 000+1 000 000+100 00+60 00+5 000+400+90+9=

=2×10 000 000+1×1 000 000+1×100 00+6×10 000+5×1 000+4×100+9×10+9×1

Разряд десятков миллионов

Разряд миллионов

Разряд

сотен тысяч

Разряд десятков тысяч

Разряд тысяч

Разряд сотен

Разряд десятков

Разряд единиц

Сравнение натуральных чисел

Правила сравнения:

1. При сравнении двух натуральных чисел больше то, цифр в котором больше.

345 > 76, 198 < 1 110, 12 345 > 9 999

2. Если же при сравнении чисел количество цифр совпадает, то сравниваются разрядные единицы, начиная со старшего разряда. Больше то число, у которого цифра старшего разряда больше.

628 > 311, 1 283 < 1 417, 35 > 29, 125 < 152

Округление натуральных чисел.

Округлить натуральное число - это значит отбросить одну или несколько цифр младших разрядов, заменив их нулями. Приближённое значение числа - это число, полученное при округлении.

Цифра разряда, до которого выполняется округление остается без изменения, если в округленном числе за ней следует одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4. В остальных случаях к ней прибавляется ЕДИНИЦА.

В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и т.д.: если число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единиц; если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков.

Записывают результат округления после специального знака «≈». Этот знак читается как «приближённо равно».

При округлении натурального числа до какого-либо разряда надо воспользоваться правилами округления.

1. Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.

2. Отделить все цифры, стоящие справа этого разряда вертикальной чертой.

3. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, прибавляется 1.

Пример: округлить

до разряда тысяч число: и до разряда сотен

Деление с остатком.

Деление с остатком - это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

a:b=c (d остаток), причем d<b.

делимое делитель неполное частное

Запомните!!! Остаток всегда меньше делителя!!!

Пример: 15:4=3 (3 остаток), 34:8=4 (2 остаток), 497:4=124 (1 остаток).

Чтобы выполнить проверку при делении с остатком, необходимо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток: a=b×c+d.

Пример: 29:4=7 (1 остаток). Проверка: 29=4×7+1=28+1=29.

Числовые и буквенные выражения.

АЛГЕБРА - это раздел математики, который изучает буквенные выражения.

Числовое выражение - это выражение, которое содержит только числа и знаки действия. Пример, 30:5+7×(3322).

Буквенное выражение - это выражение, которое содержит не только числа и знаки действия, но и буквы. Пример, 30:a+7×(33b).

Рассмотрим выражение 4b: 4 - это числовой множитель, т.е. КОЭФФИЦИЕНТ, b - буквенный множитель.

Слагаемые называются подобными, если их буквенная часть одинаковая.

Пример: 12а и 3а, 4x и 7x, 15b и 9b.

Упростить выражение - это значит сложить (вычесть) коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения.

Пример, 2a+3a=(2+3)×а=5а, 12x9x=(129)×x=3x, 3y+4yy+5=(3+41)y+5=6y+5.

Общий множитель - это число, на которое умножены все слагаемые данного выражения: 2a+2b=2(a+b), 35x10y=5×7x5×2y=5×(7x2y)

Чтение выражения начинается с последнего действия: 2аb - разность удвоенного числа а и числа b.

ЗАКОНЫ АРИФМИТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Переместительный закон сложения:

от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

a+b=b+a.

Сочетательный закон сложения:

значение суммы не зависит от того, как сгруппированы слагаемые.

(a+b)+с=a+(b+с).

Переместительный закон умножения:

от перемены мест множителей произведение не меняется.

a×b=b×a.

Сочетательный закон умножения:

значение произведения не зависит от того, как сгруппированы множители.

(a×b)×с=a×(b×с).

Распределительный закон относительно сложения:

чтобы число умножить на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое суммы и результаты сложить.

a×(b+с)=a×b+а×с.

Распределительный закон относительно вычитания:

чтобы число умножить на разность, можно это число умножить на каждое слагаемое разности и результаты вычесть.

a×(b-с)=a×b-а×с.

Уравнения.

Уравнение - это равенство, в котором есть хотя бы одна переменная.

Решить уравнение с одной переменной - это значит найти число, при подстановке которого получается верное числовое равенство.

Корень уравнения - это число, при подстановке которого получается верное числовое равенство.

Правила нахождения неизвестных.

1. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

x+5=7 6+y=9

x=75 y=96

x=2 y=3

2. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

y4=5

y =5+4

y=9

3. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого с вычесть разность.

13z=2

z =132

z=4

3. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

5а=30

а =30:5

а=6

3. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

x:4=5

y =5×4

y=9

3. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

24:y=8

y =24:8

y=3

Прямая. Отрезок. Луч.

Математический язык - это язык цифр, знаков, действий, символов, рисунков и чертежей.

ГЕОМЕТРИЯ - это раздел математики, который изучает свойства фигур.

Прямая - это линия, которая не имеет начала и конца.

а А

В

На рис. изображена прямая а и прямая АВ.

Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками этой прямой.

На рис. изображен отрезок АВ.

Сравнение отрезков.

1. Отрезки равны, если они имеют одинаковую длину.

2. Отрезки равны, если при наложении их можно совместить.

Ломаная - это последовательное соединение отрезков, где отрезок - это звенья, а концы отрезков - это вершины.

Длина ломаной - это сумма длин всех звеньев ломаной.

Луч - это часть прямой, ограниченная с одной стороны какой-либо точкой этой прямой.

Координатный луч.

Координатный луч - это луч, на котором задано начало отсчета и показано направления увеличения чисел.

Координата точки - это число, которое соответствует точке координатного луча.

Геометрические фигуры.

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

У прямоугольника противоположные стороны равны.

А В

D C

На рисунке изображен квадрат АВСD и диагонали прямоугольника ВС и АD.

В любом прямоугольнике есть две диагонали.

Диагональ - это отрезок, соединяющий две не соседние вершины. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника.

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

А В

D C

Фигуры равны, если при наложении их можно полностью совместить.

Окружность - это геометрическая фигура, каждая точка которой равноудалена от одной точки - центра.

Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. Радиус обозначается буквой r.

Диаметр окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Диаметр окружности обозначается буквой d.

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью.

ЦИРКУЛЬ - инструмент для черчения окружностей и дуг окружностей

Угол - это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), имеющими одно начало (вершина угла).

Развернутый угол - это угол, стороны которого образуют прямую. Лучи, с помощью которых образован развернутый угол, называются дополнительными или противоположными.

ТРАНСПОРТИР - это инструмент, измеряющий углы.

Единица измерения углов - градус. Развернутый угол равен 180°.

Обозначение 1°, 1°= развернутого угла.

Прямой угол - это угол, величина которого равна 90°

Острый угол - это угол, величина которого меньше 90°

Тупой угол - это угол, величина которого больше 90°

Биссектриса угла - это луч с началом в вершине угла, делящий угол пополам.

Свойство биссектрисы угла.

Каждая точка биссектрисы угла находится на одном расстоянии от сторон этого угла.

Треугольник - это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами треугольника.

Равнобедренный треугольник - это треугольник у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Правило треугольника

Сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.

Рассмотрим : АВ<AC+BC, AC<AB+BC, BC<AB+AC

Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины угла к противоположной стороне под прямым углом.

h - высота

Формула площади треугольника:

Свойства углов треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2. Сумма всех углов прямоугольного треугольника равна 180°.

3. Сумма углов любого треугольника равна 180°.

4. В равностороннем треугольники все углы равны 60°.

5. Против большего угла лежит большая сторона и, наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

6. Против меньшего угла лежит меньшая сторона и, наоборот, против меньшей стороны лежит меньший угол.

Прямоугольный параллелепипед

Формулы.

Формула - это равенство, представляющее собой запись правила вычисления значений какой-либо величины.

1. Формула периметра прямоугольника: Р=2(а+b), где а и b - стороны прямоугольника.

2. Формула площади прямоугольника: S=a×b, где а и b - стороны прямоугольника.

3. Формула периметра квадрата: Р=4а, где а - сторона квадрата.

4. Формула площади квадрата: S=a×а, где а - сторона квадрата.

5. Формулы нахождения пути, скорости и времени: S=V×t, V=S:t t=S:V, где S - путь, V - скорость, t - время.

6. Формула нахождения скорости сближения при одновременном движении навстречу друг другу: V=V₁+V₂

7. Формула нахождения скорости удаления при одновременном движении друг от друга: V=V₁+V₂

8. Формула нахождения скорости сближения при одновременном движении в одну сторону: V= V₂ V₁

9. Формула нахождения скорости удаления при одновременном движении в одну сторону: V= V₂ V₁

10. Формула нахождения времени, через которое один объект догонит другой при движении в одну сторону: t=S:(V₂V₁).

11. Формула нахождения времени, через которое один объект догонит другой при движении в одну сторону: t=S:(V₁+V₂).

12. Формула нахождения пути, пройденного по реке по течению реки:

S=(V_лодки+V_{течения})×t, где S - путь, пройденной лодкой (катером, теплоходом), V_лодки - собственная скорость лодки, V_{течения} - скорость течения реки, t - время.

13. Формула нахождения пути, при движении по реке против течения реки:

S=(V_лодкиV_{течения})×t, где S - путь, пройденной лодкой (катером, теплоходом), V_лодки - собственная скорость лодки, V_{течения} - скорость течения реки, t - время.

14. Формула нахождения стоимости товара: C = а ∙ n, где С - стоимость товара, а - его цена (то есть стоимость единицы товара - 1 штуки, 1 метра, 1 килограмма, 1 литра и т. д.), а n - количество товара.

15. Формулы нахождения радиуса и диаметра круга: где r - радиус окружности, d - диаметр окружности.

16. Формула площади треугольника: , где а - сторона треугольника, а - высота треугольника, опущенная на сторону а.

17. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V=abc, где a, b, c -высота, ширина и длина.

Обыкновенные дроби.

Обыкновенная дробь - это частное двух чисел, записанное определенным образом с помощью горизонтальной линии.

Правила нахождения дроби:

1. Чтобы получить дробь , надо число а разделить на число b.

2. Чтобы получить дробь , надо единицу (целое) разделить на b равных частей и взять а таких частей.

Основное свойство дроби.

1. Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме) нуля, то величина дроби не изменится: .

Пример:

2. Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме) нуля, то величина дроби не изменится: .

Пример:

Сокращение дроби - это деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число.

Пример:

Дробь, в которой числитель равен знаменателю, равна единице:

Сравнение дробей.

Правило 1: При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, числитель которой больше.

Пример: сравнить две дроби: . Так как 4>2, то .

Правило 2: При сравнении дробей с одинаковыми числителями, больше та дробь, знаменатель которой меньше.

Пример: сравнить две дроби: . Так как 15<17, то .

Правило 3: При сравнении дробей с разными знаменателями, надо:

1. Привести дроби к общему знаменателю;

2. Сравнить полученные дроби по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

3. Сравнить данные дроби.

Пример: сравнить две дроби: Приведем дроби к общему знаменателю.

. Сравним полученные дроби: . Сравним данные дроби:

Правильная дробь - это дробь, числитель которой меньше знаменателя:

Неправильная дробь - это дробь, числитель которой больше знаменателя.

Смешанное число - это число, которое содержит в себе целую часть и правильную дробь.

Правило перевода смешанного числа в неправильную дробь.

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, надо в числитель записать сумму произведения целой части и знаменателя и числа, которое стоит в числителе, а в знаменатель записать знаменатель дробной части.

Правило перевода неправильной дроби в смешанное число.

Чтобы перевести неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель, неполное частное будет соответствовать целой части, остаток - числителю, а знаменатель останется прежним.

Представить неправильную дробь в виде смешанного числа, значит выделить целую часть.

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, надо вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями:

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю.

Чтобы вычесть две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю.

Число, которое подписывают над дробью, называется дополнительным множителем.

Дополнительный множитель - это число, на которое умножается числитель и знаменатель дроби для того, чтобы привести дробь к нужному знаменателю.

Алгоритм сложения (вычитания) смешанных чисел:

1. Сложить (вычесть) целые части дробей - это получится целая часть результата;

2. Сложить (вычесть) дробные части дробей - это получится дробная часть результата;

3. Представить результат в виде несократимого смешанного числа.

Примеры:

Правило умножения дроби на натуральное число:

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число:

Пример:

Правило деления на натуральное число, если числитель делится на это число:

Чтобы разделить дробь на натуральное число с, надо числитель разделить на это число, а знаменатель оставить без изменения:

Пример:

Правило деления на нат. число, если числитель не делится на это число:

Если числитель дроби не делится на нат. Число с, то чтобы разделить дробь на натуральное число с, надо ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения:

Пример:

Отыскание части от целого и целого по его части.

Как найти часть от целого:

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть:

Как найти целое по его части:

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть:

Десятичные дроби.

Десятичная дробь - это разновидность дроби, в записи которой используется запятая.

Пример: 2,3 (две целых три десятых);13,25 (тринадцать целых, двадцать пять сотых); 3,126 (три целых сто двадцать шесть тысячных) и т.д.

Правила умножения и деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:

1. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 100 и т.д., надо запятую перенести вправо на 1, 2, 3, и т.д. цифры, а если цифр не хватает, приписать справа нули;

2. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 100 и т.д., надо запятую перенести влево на 1, 2, 3, и т.д. цифры, а если цифр не хватает, приписать слева нули;

Пример: 0,043×100=; 0,043:100=

Округление десятичной дроби.

Десятичную дробь можно округлить как до целых, так и до разрядов дробной части: десятых, сотых, тысячных и т.д.

Важно помнить и не путать названия разрядов до и после запятой в десятичной дроби.

Правила округления десятичной дроби до разряда единиц, десятых, сотых и т.д.

При округлении дробной части десятичной дроби пользуемся правилами округления.

1. Подчёркиваем цифру округляемого разряда.

2. Вертикальной чертой отделяем все цифры, стоящие справа от округляемого разряда.

3. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то подчёркнутую цифру оставляем без изменений, а все цифры после вертикальной черты отбрасываем. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то к подчёркнутой цифре добавляем 1, а все цифры после вертикальной черты отбрасываем.

4. При округлении десятичной дроби до разряда, старше разряда единиц, цифры последующих разрядов целой части числа заменяются нулями, цифры дробной части - отбрасываются.

Пример: Округлим 41,958 до сотых.

Округлим десятичную дробь 14,89 до разряда единиц в целой части:

Сложение и вычитание десятичных дробей.

При сложении или вычитании десятичной дроби записываются «столбиком» так, чтобы одноименные разряды находились друг под другом без смещения. При этом, запятые должны стоять чётко друг под другом.

Складывают и вычитают десятичные дроби в столбик как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. В ответе запятую ставим под запятыми в исходных дробях.

Пример:

Умножение десятичных дробей.

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

• Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.

• Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.

• В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимообратными.

0,8×1,25=1; 2,5×0,4=1; 0,5×2=1

Деление десятичной дроби на натуральное число

Правило деления десятичной дроби на натуральное число:

1. Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую.

2. Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

3. Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим 0 целых.

Деление десятичной дроби на десятичную дробь.

Правило: чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо:

1. И в делимом, и в делителе перенести запятую на столько знаков вправо, сколько их содержится после запятой в делителе.

2. Выполнить деление на натуральное число по правилам деления в столбик.

3. Если в делимом не хватает знаков, то справа приписываем нули.

Пример: 16,38 : 0,7 = 163,8 : 7=23,4; 15,6 : 0,15 = 1560 : 15 = 104.

Степень числа.

Выражение 4⁶ называют степенью числа и произносят «четыре в шестой степени», где:

• 4 - основание степени;

• 6 - показатель степени.

Выражение aⁿ называется степенью числа, где а - основание степени, n - основание.

Запись aⁿ читается так: «а в степени n» или «а в энной степени».

Исключение составляют:

• a² - её можно произносить как «а в квадрате»;

• a³ - её можно произносить как «а в кубе».

• Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0): a¹ = a; a⁰ = 1; 0ⁿ = 0; 1ⁿ = 1.

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.

• 32⁰ = 1

• 0²⁵³ = 0

• 1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.

Пример. Возвести в степень.

• 5³ = 5 • 5 • 5 = 125

• 2.5² = 2.5 • 2.5 = 6.25

Процент

Процент - это одна сотая часть от числа. Процент записывается с помощью знака %.

1% = , при этом 1 = 100%

• Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.

Пример:

• Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

Пример: 0,14=0,14 ∙ 100% = 14%; 0,07=0,07 ∙ 100% = 7%

• Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь.

Пример:

Правило нахождения процента от числа:

Чтобы найти процент от данного числа нужно это число умножить на проценты и разделить на 100

или

Чтобы найти процент от данного числа нужно обратить проценты в десятичную или обыкновенную дробь, а затем умножить данное число на эту дробь.

Пример: 6% от 35. 35 ∙ 6 : 100 = 210 : 100 = 2,1 или 0,06∙35=2,1

Правило нахождения целого по данному проценту:

Чтобы найти число по его процентам нужно это число умножить на сто и разделить на процент

или

Чтобы найти число по его процентам нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем разделить данное число на эту дробь.

Пример: 5% равны 80. 80 ∙ 100 : 5 = 1 600 или 80 : 0,05=8000 : 5 = 1 600.

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ

19