Дипломная работа

ФГБОУ ВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра методики преподавания математики

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой

доктор пед. наук, профессор,

член-корреспондент РАО

_____________________Г.И. Саранцев

«_____» _____________ 2014 г.

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ РЕШЕНИЮ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ЗАНЯТИЯХ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО АЛГЕБРЕ

Автор дипломной работы___________________________ О. А. Добрынкина

Обозначение дипломной работы ДР-02080256-050201.65-11-13

Специальность 050201.65 «Математика» с дополнительной специальностью 050202 «Информатика»

Руководитель работы

канд. пед. наук,

ст. преподаватель ___________________________ Ж. А. Сарванова

Нормоконтролер

канд. пед. наук,

ст. преподаватель ___________________________ Ж. А. Сарванова

Рецензент

доктор пед. наук,

профессор ____________________________ Л. С. Капкаева

Саранск 2014

ФГБОУ ВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра методики преподавания математики

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой

доктор пед. наук, профессор,

член - корреспондент РАО

________________Г. И. Саранцев

«_____» _______________ 2013 г.

ЗАДАНИЕ НА ДИПЛОМНУЮ РАБОТУ

Студент Добрынкина О.А. группа МДМ-109

1. Тема: Обучение учащихся 10-11 классов решению тригонометрических уравнений на занятиях элективного курса по алгебре.

Утверждена по МордГПИ № 1247 от 10.11.2012 г.

2. Срок представления к защите: 22.04.2013 г, протокол №6.

3. Исходные данные для дипломной работы: учебное пособие Г. И. Саранцева «Методика обучения математике»; учебное пособие Л. С. Капкаевой «Интеграция алгебраических и геометрических методов решения задач»; диссертационные работы по проблеме обучения учащихся методам решения задач, организации элективных курсов (Е. А. Ермолаев, И. В. Ульянова и др.) и соответствующие методические статьи, а также исследования по обучению учащихся функционально-графическому методу решения задач (диссертации Л. К. Садыковой, С. И. Мещеряковой, статьи из журнала «Математика в школе», «Педагогика», газеты «Математика» и др.); школьные учебники алгебры и т.д.

4. Содержание дипломной работы:

4.1 Введение.

4.2 Теоретические основы обучения учащихся 10-11 классов решению тригонометрических уравнений на занятиях элективного курса по алгебре.

4.2.1 Анализ литературы по проблеме исследования.

4.2.2 Понятие элективных курсов, их цели и содержание.

4.2.3 Методические особенности обучения учащихся тригонометрическим уравнениям .

4.3. Методические основы обучения учащихся 10-11 классов решению тригонометрических уравнений на занятиях элективного курса по алгебре.

4.3.1 Программа элективного курса по алгебре «Тригонометрические уравнения».

4.3.2 Задачи для формирования умений решать комбинированные уравнения

4.4 Педагогический эксперимент

4.5 Список использованных источников

4.6 Приложение 1

4.7 Приложение 2

Руководитель работы

канд. пед. наук ______________________Ж. А. Сарванова

Задание принял к исполнению ______________________О. А. Добрынкина

Реферат

Дипломная работа содержит 54 страницы, 59 использованных источников.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС, МЕТОД, ПРИЕМ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД, ЗАДАЧИ, ОБУЧЕНИЕ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Объект исследования - процесс обучения учащихся 10-11 классов решению тригонометрических уравнений.

Цель исследования - разработка элективного курса по алгебре, направленного на обучение учащихся решению тригонометрическихуравнений.

Методы исследования - анализ научной и учебно-методической литературы по проблеме исследования; анализ учебников и учебно-методических пособий по алгебре; конкретизация теоретических и методических положений; беседы с учителями и учащимися основной школы; наблюдение за процессом обучения алгебре в 10-11 классах; анализ опыта учителей математики по проведению элективных курсов.

В ходе исследования проанализированы различные подходы к определению понятия «тригонометрические уравнения», определена деятельностная основа решения тригонометрических уравнений, разработана программа элективного курса по алгебре для учащихся 10-11 классов, разработана совокупность задач для обучения учащихся.

Степень внедрения - частичная.

Область применения - использование в практике обучения учащихся на занятиях элективного курса по алгебре.

Эффективность - повышение качества знаний учащихся по алгебре.

Содержание

Введение…..…………………………………………………………...……..

1 Теоретические основы обучения учащихся 10-11 классов решению тригонометрических уравнений на занятиях элективного курса по алгебре…………………………….…………………………

1.1 Анализ литературы по проблеме исследования………………..…

1.2 Понятие элективных курсов, их цели и содержание ……….…….

1.3 Методические особенности обучения учащихся тригонометрическим уравнениям …………………………..……………………………

2 Методические основы обучения учащихся 10-11 классов решению комбинированных уравнений на занятиях элективного курса по алгебре

2.1 Программа элективного курса по алгебре «Тригонометрические уравнения»…………………………………………………………………

2.2 Задачи для формирования умений решать тригонометрические уравнения………………………………………………………………….

2.3 Педагогический эксперимент……....………….…..………………...

Заключение………………………..………………………...………………..

Список использованных источников …….………………….……………..

Приложение 1………………………………………………………………….

Приложение 2………………………………………………………………….

6

9

9

13

23

28

28

39

44

47

49

Введение

К уровню подготовки выпускников предъявляются требования, среди которых указывается готовность использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни такие как: описание и исследование с помощью функций реальных зависимостей, представление их графически; интерпретация графиков, диаграмм. Огромными возможностями для исследования, применения нестандартных методов решения задач обладают тригонометрические уравнения, для решения которых необходимы систематизированные знания как всех типов уравнений, их методов решения, так и свойств функций, их применение при решении задач.

Анализ методической литературы в контексте обучения учащихся решению тригонометрических уравнений показал, что имеются работы, посвященные вопросам: методики обучения учащихся решению уравнений нестандартными методами (С. И. Мещерякова, Л. К. Садыкова); взаимосвязи понятия функции с понятиями линии уравнений и неравенств (А. А. Ундуск, Л. И. Токарева, Н. А. Ильина и др.); интеграции алгебраических и геометрических методов в обучении математике (М. И. Башмаков, Л. С. Капкаева, Н. А. Резник и др.); обучение применению свойств функций при решении уравнений и неравенств (М. Бейсеков, А. Б. Василевский, В. А. Гусев, Н. И. Зильберберг, С. И. Мещерякова, Т. Д. Моралишвили, С. Н. Олехник, И. И. Чучаев, Л. К. Садыкова и др.).

Однако в содержание школьных учебников алгебры не достаточно содержится теоретических сведений о данном методе, а также в рассматриваемых исследованиях совокупность задач, направленная на формирование деятельностных компонентов метода либо совсем не приводится, либо предлагается для студентов вуза. Поэтому предлагаемый в нашей работе элективный курс по алгебре для учащихся 10-11 классов, направленный на обучение учащихся решению тригонометрических уравнений обуславливает актуальность данной работы.

Проблема исследования заключается в поиске и обосновании организационных форм обучения учащихся нестандартным методом решению тригонометрических уравнений.

Объектом исследования является процесс обучения учащихся 10-11 классов нестандартному методу решения тригонометрических уравнений , а предметом исследования - цели, содержание и средства обучения нестандартному методу решения тригонометрических уравнений на занятиях элективного курса по алгебре.

Цель работы заключается в разработке методики обучения учащихся 10-11 класса тригонометрическому методу решения уравнений на занятиях элективного курса по алгебре.

Гипотеза исследования. Если выявить пути и средства обучения учащихся 10-11 классов решению тригонометрических уравнений нестандартными приемами, на этой основе разработать элективный курс по алгебре, внедрить его в практику обучения алгебре, то это будет способствовать повышению качества математических знаний учащихся и росту их интереса к математике.

Задачи исследования:

1. Выполнить анализ состояния проблемы обучения учащихся решению тригонометрических уравнений нестандартными приемами.

2. Выяснить цели и содержание элективных курсов по алгебре для учащихся 10-11 классов.

3. Выявить особенности обучения учащихся решению тригонометрических уравнений с использованием свойств, входящих в них функций.

4. Разработать программу элективного курса по алгебре для учащихся 10-11 классов.

5. Разработать совокупность задач для обучения учащихся решению тригонометрических уравнений нестандартными приемами.

Методы исследования: анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования; анализ школьных программ и учебных пособий; изучение и обобщение педагогического опыта.

Практическая значимость заключается в том, что разработанный курс, составленные задачи могут активно использоваться учителем в процессе обучения алгебре.

1 Теоретические основы обучения учащихся 10-11 классов решению

уравнений и неравенств функционально-графическим методом

на занятиях элективного курса по алгебре

1.1 Анализ литературы по проблеме исследования

Основной содержательной линией в изучении математики является линия уравнений и неравенств. Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что эти понятия являются фундаментальными, необходимыми при изучении других математических понятий, богаты своими приложениями. Поэтому вопросу обучения учащихся решению уравнений отводится значительная роль в методике обучения математике.

В стандартах среднего (полного) общего образования (базовый и профильный уровни) по математике (2004 г.), в отличие от предыдущих, акцентировано внимание на формировании знаний и умений, необходимых и востребованных в практической (профессиональной) и повседневной жизни общества. В них сформулированы требования к уровню подготовки выпускников, среди которых указывается готовность использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Среди заданий единого государственного экзамена содержатся так называемые тригонометрические уравнения. Как справедливо замечено Л. О. Денищевой, Ю. А. Глазковым, К. А. Краснянской [14], для решения таких задач нужно применять как аналитические, так и графические методы решения. Сказанное свидетельствует о возросшей роли тригонометрического метода в обучении математике.

А какое же место занимает этот метод в школьных учебниках?

В учебниках для 10-11 классов по алгебре и началам анализа авторов Ш. А. Алимова [5], М. И. Башмакова [7], А. Н. Колмогорова [3] для общеобразовательных классов, Н. Я. Виленкина [10], [11] для классов с углубленным изучением математики, в которых почти половина учебного материала посвящена функциям, предусмотрено изучение лишь алгебраических приемов и методов решения уравнений. Правда, в учебнике А. Ш. Алимова [5], также как и в некоторых других названных выше, представлен тригонометрический метод, но отсутствует обоснование его применения, например, обоснование факта пересечения графиков функций в одной точке, а не в двух, что не способствует формированию у учащихся умений доказывать математические предложения. А именно обучение школьников математическим доказательствам является одной из важнейших задач обучения математике (В. А. Далингер, С. Н. Дорофеев, М. И. Зайкин, Г. И. Саранцев, А. А. Столяр и др.). Но как быть в случае тригонометрических уравнений, при решении которых ни одно тождественное преобразование не приведет к решению задачи? Таких уравнений и неравенств нет ни в учебнике Ш. А. Алимова [5], ни в учебнике А. Н. Колмогорова [3]. А именно такие уравнения, как уже говорилось выше, входят в содержание КИМ на ЕГЭ. Это говорит о наметившемся противоречии между содержанием и контролем результатов обучения (в условиях проведения ЕГЭ проверкой готовности учащихся к обучению в вузе), на разрешение которого должна быть направлена подготовка будущих учителей математики в педвузе.

Так, в «Методике преподавания математики» под редакцией Е. С. Ляпина говорится, что существуют три отличающихся друг от друга определения:

• уравнение рассматривается как равенство, справедливое только при некоторых значениях входящих в него букв;

• уравнение рассматривается как любое равенство, в котором одно или несколько чисел, выраженных буквами, считаются неизвестными, а значения остальных букв (если они имеются) считаются известными;

• уравнение определяется так: вопросительное предложение о том, существуют ли такие значения неизвестной величины, при которых одно выражение равно другому; если существуют, то одно ли, если не одно, то сколько и какие [35].

Надо сказать, что попытка преодоления указанных противоречий предпринята в учебниках С. М. Никольского и др. [4], А. Г. Мордковича [26, 27], Г. В. Дорофеева [2] и др.

Учебник С. М. Никольского и др. [4] по алгебре и началам анализа представляет собой новый тип учебника, включающий в себя материал как для общеобразовательных классов, так и для классов с углубленным изучением математики. Рассматриваемый учебник заканчивается главой «Уравнения. Неравенства. Системы», в которой выделены два параграфа для углубленного изучения «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств», «Уравнения, неравенства и системы с параметрами». В этой главе приведены основные функциональные приемы решения уравнений и неравенств, а именно: использование областей существования функции, использование неотрицательности функций, использование ограниченности функций, использование свойств синуса и косинуса, использование числовых неравенств, использование производной для решения уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств с параметром проиллюстрировано на уравнениях и неравенствах, содержащих функции со свойствами квадратного трехчлена.

Учебник Г. В. Дорофеева и др. [2] по алгебре и началам анализа предназначен для учащихся общеобразовательных учреждений естественнонаучного и физико-математических профилей. Девятая глава посвящена нестандартным эвристическим приемам решения уравнений и неравенств, а также решению уравнений и неравенств с параметром. Приведено большое количество упражнений на данную тему. Среди нестандартных эвристических приемов авторы выделяют: нахождение границ для левой и правой частей уравнения; использование монотонности функции; доказательство функциональных неравенств и числовых неравенств, используя прием «функционализации»; решение функциональных уравнений.

Однако ни в одном из выше перечисленных школьных учебниках не содержится достаточного количества упражнений для формирования действий, составляющих нестандартные приемы решения уравнений. Поэтому для более тщательно подготовки учащихся к итоговому экзамену, для углубления их знаний по математике учителю необходимо самому отыскивать задания для обучения решению таких уравнений. Одним из путей преодоления такого противоречия является разработка элективного курса по алгебре. А значит, возникает необходимость рассмотреть цели и требования, предъявляемые к такого рода организационным формам обучения.

1.2 Понятие элективных курсов, их цели и содержание

Программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определённом методе познания мира. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объём знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых часов для занятий сокращается. Математика как школьная дисциплина оставляет учащихся на рубеже прошлых веков и чрезвычайно мало знакомит с современными научными достижениями.

Одним из средств реализации требований программы и разрешения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов по математике.

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору для старшеклассников, которые реализуются за счет школьного компонента.

Элективные курсы играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы.

В соответствии с одобренной Минобразованием России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трёх типов: базовых, профильных, элективных (с. 12).

Элективные же курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов.

Элективные курсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников. Эта роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач.

При этом предполагается, что элективные курсы должны способствовать внутрипрофильной специализации обучения, а так же для разработки учащимися собственного образовательного профильного маршрута, так как одной из основных задач, стоящих перед системой образования, является переориентация на подготовку человека, самостоятельно выбирающего индивидуальную траекторию развития в соответствии со своими способностями и возможностями, ответственно принимающего решения и эффективно действующего в современно меняющемся мире. Самостоятельность как ответственное, инициативное, независимое поведение - это основной вектор взросления молодых людей.

Элективные курсы должны быть содержательно и деятельно связаны с конкретным профилем, моделируя характерные для него учебные ситуации и проблемы.

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору для старшеклассников, которые реализуются за счет школьного компонента и имеют следующие цели:

• развитие содержания базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать на профильном уровне или получать дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по математике;

• дополнение содержания профильного курса математики, выступают его надстройкой, что позволяет профильному курсу быть в полной мере углублённым;

• удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников, выходящих за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности;

• развитие математического мышления, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углублённого изучения математики.

Элективные курсы играют большую роль в совершенствовании школьного образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, а также варьировать объём и сложность изучаемого материла.

Значит, элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий школьников.

I. По разрешаемым задачам:

Элективные курсы выполняют ряд задач:

1. Создать условия для того, чтобы ученик утвердился или отказался от сделанного им выбора направления дальнейшего учения и связанного с ним определенного вида профессиональной деятельности.

2. Помочь старшекласснику, совершившему в первом приближении выбор образовательной области для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности с ней связанных.

3. Удовлетворить естественное любопытство молодого человека к какой-то области знаний, которая не представлена в традиционном учебном плане.

4. Ознакомить с дополнительными разделами учебного материала.

Следующие виды элективных курсов решают поставленные выше задачи:

1. Пробные (их можно сравнить с факультативными курсами, программы которых будут ориентированы на знакомство с видами деятельности, характерными для человеческой работы в той или иной деятельности; при подготовке можно использовать научно-популярную литературу, пособия для профессиональной школы и т.д.).

2. Ориентационные (например, элективный курс «Задачи на проценты» для экономического профиля); для подготовки можно использовать научно-популярную литературу, пособия для профессиональной школы, дополнительные главы к школьным учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.

3. Общекультурные (например, элективный курс «Золотое сечение», «Кривые в архитектуре» для любого профиля).

4. Углубляющие (на данных элективных курсах происходит углублённое изучение дополнительного раздела;

для подготовки можно использовать темы и задания к факультативным курсам, дополнительные главы к школьным учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.) [16].

II. Следующую типологию можно условно обозначить «по связи с предметом»:

Итак, «по связи с предметом» элективные курсы делятся на предметные, межпредметные и на элективные курсы по предметам, не входящим в базовый учебный план.

III. По содержанию:

Таким образом, из приведённых типологий элективных курсов ясно, что существуют элективные курсы, которые помогают глубоко изучить предмет, входящий в базовый учебный план, другие элективные курсы помогают показать межпредметные связи изучаемых предметов, а третьи помогают изучить предметы, не входящие в базовый учебный план. Некоторые из этих курсов направлены на изучение путей и методов применения знаний математики на практике, другие посвящены изучению методов решения математических задач, но все приведённые элективные курсы удовлетворяют потребности и интересы учащихся.

Но каждый учитель должен придерживаться ряда правил по организации элективного курса:

Требования к элективным курсам

· Избыточность (их должно быть много).

· Кратковременность (6-16 часов).

· Оригинальность содержания, названия.

· Курс должен заканчиваться определенным результатом (творческое сочинение, проект и др.).

· Нестандартность.

· Элективные курсы, как правило, носят авторский характер.

Определение учебной программы

Учебная программа - нормативный документ, в котором отражены цели, содержание, особенности оценки эффективности результатов процесса обучения конкретного учебного курса.

Структурные элементы программы элективных курсов:

1. Титульный лист.

2. Пояснительная записка.

3. Содержательная часть.

4. Методическая часть.

5. Приложение.

1. Титульный лист

2. Пояснительная записка

• Актуальность программы, обоснование необходимости программы (доводы о важности изучаемого компонента, недостаточность изучения в базовом курсе, соответствие возрасту, связь с наукой и др.).

• Цели и задачи программы (развитие интереса, оказание помощи в выборе профессии и др.), цель должна отражать результат (создать проект и др.).

• Обоснование отбора содержания его логике (элементы программы должны быть взаимосвязаны, должно быть выделено содержание).

• Указание внутрипредметных и межпредметных связей.

• Сведения об учащихся, на которых рассчитана программа.

• Характеристика временных и материальных ресурсов (программа предусматривает типовое оборудование, нуждается в экскурсиях и др.).

• Технические указания к тексту программы (для всех один текст, повышенного уровня - другой).

3. Содержательная часть

· Последовательный перечень тем с их кратким содержанием, указанием времени, необходимого на их изучение.

· Список демонстраций, практических и лабораторных работ, экскурсий.

4. Методическая часть

· Методические рекомендации.

· Требования к уровню знаний, умений и навыков, полученных в результате обучения.

· Развитие компетентности.

· Критерии эффективности реализации программы.

· Формы и методы контроля.

· Список рекомендуемой литературы.

5. Приложение

· Тематическое планирование.

· Дидактический материал.

· Дискеты с электронными презентациями.

6. Экспертиза программы

Экспертиза программы может проводиться на методсовете школьного муниципального уровня.

Итак, разработка элективного курса - это трудно, так как необходимо придерживаться ряда правил, а так же иметь большой запас знаний и умений.

В литературе выделяются следующие принципы отбора задач, ориентированных на усвоение содержания элективного курса:

1. Принцип преемственности. Отметим, что задачи содействуют установлению преемственных связей, так как уже в самом содержании задачи «заложено» содержание обучения математике (понятия, теоремы, способы деятельности и т.д.). С помощью задач устанавливаются взаимосвязи между различными понятиями, суждениями, между различными темами и предметами и основного курса математики, и элективного курса.

2. Принцип связи теории с практикой. В процессе обучения задачи должны выступать как средство связи теории с практикой, при этом практика может как предшествовать познанию, так и сопутствовать ему и заключать его. Задачи «должны не только заключать изучение теорем, понятий, … но и предшествовать, и сопутствовать им, то есть выступать в качестве средства усвоения знаний» (Г.И. Саранцев).

3. Принцип полноты, то есть стремление более полно отразить в цепочке задач математические идеи, а также привести примеры, относящиеся к различным отраслям знаний (физика, экономика и т.д.), установить межпредметные связи.

4. Принцип контрастности ориентирован на то, что уже на начальных этапах обучения при подборе заданий необходимо брать контрастные виды заданий, не допускать повторяемости одних и тех же видов (Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев и др.). При этом задания должны быть как с положительными, так и с отрицательными ответами.

5. Овладение методами научного познания происходит, главным образом, в процессе решения задач. Поэтому система задач должна предусматривать обучение эвристическим приёмам. Эвристические приёмы являются элементами содержания, однако школьные учебники практически не знакомят с ними учащихся, отсутствуют и задачи, способствующие их формированию. Поэтому на занятиях в процессе решения задач целесообразно обучать школьников основным эвристическим приёмам. В исследованиях по методике преподавания математики среди эвристических приёмов наиболее часто встречаются следующие: аналогия, индукция, приём элементарных задач, приём моделирования и т.д.

В литературе также выделяются и другие эвристические приёмы: введения вспомогательных элементов и нового неизвестного, достраивания фигуры, обобщения, постановки и выполнения производного задания, равносильного преобразования требования задачи, получения следствий и т.д. При этом одни приёмы раскрывают весь процесс решения задачи (иногда его называют способом решения задачи), другие - отдельные его фрагменты (тактические или локальные приёмы).

6. Принцип формирования исследовательских умений. Под учебными исследованиями будем понимать вид познавательной деятельности, который связан с выполнением учебных заданий, предполагающих самостоятельный творческий поиск учащимися новых для них знаний. Учебные исследования состоят из нескольких основных этапов: постановка проблемы, выдвижение гипотез, доказательство или опровержение гипотез. Чаще всего в учебном исследовании проблема формулируется самим учителем.

Заметим, что элективные курсы реализуются в школе за счет времени, отводимого на компонент образовательного учреждения. Именно поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены часы в 10-11 классах на организацию учебных практик, проектов, исследовательской деятельности. При этом организация обучения в рамках элективного курса предполагает разделение класса, как минимум, на две подгруппы.

1.3 Методические особенности обучения учащихся
решению уравнений нестандартными методами

Под нестандартным методом решения уравнений понимают метод решения уравнений, в котором основную роль при переходе к равносильным уравнениям и неравенствам играют свойства функций (монотонность, четность, нечетность, периодичность и др.) [35 ;44 ; 55]. Согласно последнему утверждению, функционально-графический метод решения уравнений, является нестандартным, а составляющие его приемы - нестандартными. В чем же заключается обучение приемам решения уравнений, основанным на использовании свойств функций?

Обратимся к исследованию Л. К. Садыковой, согласно которому усвоения учащимися функционально-графического метода связано с решением двух задач. Первая состоит в том, чтобы добиться понимания учащимися сути метода и овладения действиями по его применению (деятельностные компоненты). Особо отметим, что в деятельностной составляющей функционально-графического метода исследователем выделены следующие действия:

1) выполнение операций, адекватных приемам решения уравнений и неравенств алгебраическими методами. Считаем, что учащиеся овладели всеми приемами решения уравнений алгебраическими методами на занятиях по алгебре и элементарной математике.

2) выполнение операций над функциями и нахождение суперпозиции функций;

3) построение графиков и эскизов графиков функций, в том числе с применением компьютерных технологий.

4) определение структуры уравнения: выяснение, из каких функций и каким образом оно составлено;

5) выделение свойств, присущих функциям, входящим в уравнение (ограниченность, монотонность, четность, нечетность и т.д.), то есть исследование функции;

6) решение уравнений с применением отдельных свойств элементарных функций;

7) составление уравнений, решаемых функционально-графическим методом;

8) решение уравнений повышенной сложности с выбором методов решения уравнений [44].

Вторая задача заключается в обучении применению функционально-графического метода для решения уравнений (в процессе ее решения происходит и дальнейшее усвоение деятельностных компонентов, и раскрытие объективной стороны, гносеологической основы метода). Решение этих задач предполагает обязательное выделение в процессе формирования функционально-графического метода следующих этапов: подготовительный этап, этап решения уравнений и неравенств с применением отдельных свойств функций, Этап составления уравнений и неравенств, решаемых функционально-графическим методом, этап выбора метода решения уравнений и неравенств повышенной сложности.

На первом этапе происходит формирование следующих действий:

а) выполнение операций над функциями и нахождение суперпозиции функций; б) построение графиков функций, в том числе с применением компьютерных технологий. Эти действия основной частью сформированы при обучении учащихся на уроках алгебры, поэтому нас интересует второй этап, на котором учащиеся должны решать задачи, являющиеся составной частью уравнений и неравенств повышенной сложности - специальные уравнения и неравенства на применение отдельных свойств функций (области определения, ограниченности, монотонности, выпуклости (вогнутости), четности (нечетности), периодичности).

На втором этапе происходит формирование следующих действий, входящих в состав функционально-графического метода решения уравнений и неравенств:

а) определение структуры уравнения и неравенства: выяснение, из каких функций и каким образом они составлены;

б) выделение свойств, присущих функциям, входящим в уравнение и неравенство (ограниченность, монотонность, четность, нечетность и т.д.), то есть исследование функции;

в) решение уравнения (неравенства) с применением отдельных свойств элементарных функций.

Мы будем рассматривать обучение учащихся решению уравнений, используя свойства входящих в них функций. За основу возьмем разработанные Л. К. Садыковой частные приемы решения уравнений с использованием области допустимых значений уравнений, ограниченности функций, монотонности функций. К ним мы добавим прием с использованием не отрицательности функций. Их выбор обусловлен тем, что это основные свойства функций, которые учащимися изучены [44].

Обучить приемам решения - значит обучить действиям, составляющим их, используя для этого соответствующие задачи.

Приведем содержание приемов решения уравнений с применением свойств функций.

Прием решения уравнений с применением ОДЗ:

1. Найдите ОДЗ уравнения.

2. Если область определения конечное множество, то непосредственно подстановкой определите, удовлетворяют ли эти числа уравнению.

3. Если область определения пустое множество, то сделайте вывод, что уравнение не имеет решений.

4. Если область определения интервал, то необходимы дополнительные исследования функций, входящих в уравнение с учетом найденного ограничения на неизвестные. Эти исследования могут привести практически сразу к ответу, либо к дополнительным преобразованиям, сводящим данное уравнение к равносильному. Дальнейшее решение полученного уравнения возможно либо с применением теории равносильности, либо с применением функционального подхода.

Прием решения уравнений с применением ограниченности функций:

1. Найдите ОДЗ уравнения (если это не вызывает затруднений).

2. Найдите множество значений функций, стоящих в правой и левой частях уравнения.

3. На основании утверждений 1-3 (приложение 1) сделайте вывод.

Прием решения уравнений с применением свойства функций:

1. Найдите ОДЗ уравнения.

2. Определите структуру уравнения (f(x)=g(x)).

3. Исследуйте функции f(x) и g(x) на монотонность.

4. Примените соответствующее утверждение 4-5(приложение 1).

Сделайте вывод о множестве решений уравнения (либо подобрать корень уравнения при решении уравнения вида f(x)=g(x), либо перейти к равносильному уравнению и решить его) [45].

Определим состав приема с использованием неотрицательности функций:

1. Найти ОДЗ уравнения.

2. Привести уравнение к виду (х) + (х) + … + (х) = 0, где

(1)

3. Составить и решить систему (1) (утверждение 6 из приложения 1).

4. Отобрать найденные значения x, принадлежащие ОДЗ уравнения.

Для отработки нестандартных приемов решения уравнений необходима конкретная система задач. При конструировании и отборе задач полезно использовать предложенные И.Я. Лернером дидактические основания построения учебного материала, в частности задач. В каждом учебном предмете включаемые проблемно-познавательные и практические задачи должны составлять не простую совокупность, диктуемую знаниями и умениями, составляющими данный предмет, а определенную систему, отвечающую следующим показателям [53]:

1. Система задач должна охватить свойственные данному предмету аспектные проблемы.

2. Система задач должна охватить важные для общего образования методы научного познания, т.е. при конструировании системы задач надо отдавать себе отчет в том, какой метод предусматривается данной задачей и все ли методы в доступных вариантах их применения охвачены системой.

3. Охват системой задач процедур творческой деятельности (самостоятельный перенос знаний и умений в новую ситуацию, видение новой проблемы в знакомой ситуации, видение новой функции объекта, самостоятельное комбинирование известных способов деятельности в новый, видение структуры объекта, альтернативное мышление, построение принципиально нового способа решения в отличие от других способов). В ряде случаев одна задача требует осуществления одной процедуры, во многих случаях - нескольких.

4. Система задач должна отличаться постепенно возрастающей сложностью в соответствии с критериями сложности.

5. Строя систему задач, надо определить повторяемость каждого типа в целях его оптимального усвоения, последовательность типов и их взаимозависимость.

Соблюдение этих показателей системы задач помогает обеспечить достижение определенного уровня развития, на который способен тот или иной ученик.

Опираясь на выделенные признаки к системе задач Г. И. Саранцевым, учитывая выделенные приемы решения уравнений с использованием свойств функций, перечислим требования к совокупности упражнений для формирования этих приемов: однотипность упражнений (формирует прочные умения и навыки, но рождает скуку и ложные ассоциации); непрерывность повторения (в однотипную систему упражнений по новой теме с первого ее изучения включаются задачи из предыдущих разделов, чтобы воспрепятствовать появлению ложных ассоциаций); наличие контр примеров и задач с неполными или противоречивыми условиями, задач, провоцирующих на ошибку и заставляющих учеников быть внимательными, критичными. Кроме того, совокупность задач должны характеризовать признаки: сравнение (чередование упражнений на прямые и обратные операции); полнота (совокупность задач и способы их решения не способствуют формированию ошибочных ассоциаций и позволяют учащимся глубоко усвоить все необходимые вопросы темы); последовательное нарастание трудности, доступности, прочности.

Учитывая эти требования, мы разработали задачи, соответствующие нестандартным приемам решения уравнений, которые представлены во второй главе.

2 Методические основы обучения учащихся
10-11 классов решению уравнений нестандартными приемами на занятиях элективного курса по алгебре

2.1 Программа элективного курса по алгебре
«Решение тригонометрических уравнений нестандартными приемами»

Пояснительная записка

Обучение методам решения уравнений традиционно является важнейшей частью школьного курса математики. Курс направлен на обобщение, систематизацию и углубление знаний по теме использование свойств функций при решении уравнений, недостаточно представленной в школьной программе, однако необходимой для успешного решения учащимися широкого круга задач.

Цель курса: обучение учащихся решению тригонометрическихуравнений с использованием свойств, входящих в них функций.

Структура и содержания курса основаны на соблюдении принципов системности, дифференциации (развития склонностей к работе на различных уровнях сложности), междисциплинарной интеграции, занимательности (для поддержания позитивной мотивации изучения темы).

Формы работы соответствуют содержанию занятий. Для передачи теоретического материала наиболее эффективна школьная лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися. Для закрепления материала проводятся семинары по обсуждению теории и решению математических задач. Значительное место отводится самостоятельной математической деятельности учащихся - решению уравнений, проработке теоретического материала, подготовке сообщений.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- определять приемы решения тригонометрических уравнений ;

- решать тригонометрические уравнения нестандартными методами.

На изучение курса отводится 14 ч. во втором полугодии 10 класса или первом полугодии 11 классах по одному часу в неделю. Тематический план занятий мы привели в таблице 1.

Таблица 1

Тематический план элективного курса

Содержание занятий.

Тема 1. Решение тригонометрических уравнений с использованием ОДЗ функций (3ч).

Область определения функции. Область допустимых значений уравнения. Приемы решение уравнений с использованием ОДЗ.

Практические задания: нахождение области определения функций, ОДЗ уравнений, решение тригонометрических уравнений с применением свойств области определения входящих в них функций.

Домашнее задание: решение задач, повторение свойств элементарных функций.

Тема 2. Решение тригонометрических уравнений с использованием ограниченности функция (4ч).

Понятие ограниченности функции, множества значения функций. Прием решение уравнений с использованием ограниченности входящих функций.

Практические задания: нахождение множества значений элементарных функций, пересечения множеств значений функций, решение тригонометрических уравнений с использованием ограниченности входящих в них функций.

Домашнее задание: решение задач.

Тема 3. Решение тригонометрических уравнений с разложением на множители (2ч).

При решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.

Практические задания: нахождение области допустимых значений значений элементарных функций, решение уравнений используя разложение на множители. Домашнее задание: решение задач.

Тема 4. Решение тригонометрическихуравнений с использованием монотонности функций. (4ч).

Монотонность функций. Свойства монотонных функций. Теорема, устанавливающая связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения. Виды уравнений, при решении которых используется свойство монотонности функций.

Практические задания: определение возрастания или убывания функций, входящих в уравнение, решение уравнений с использованием изученного приема.

Домашнее задание: решение задач.

Тема 5. Контрольная работа (1ч).

Список литературы.

1. Аксенов, А.А. Решение задач методом оценки / А.А. Аксенов // Математика в школе. - 1999. - №3. - С. 31-35.

2. Барчунова, Ф.М. Применение свойств функций при решении уравнений/ Ф.М. Барчунова, Л.О. Денищева// Математика в школе. - 1992- №6. - С. 11.

3. Канель-Белов, А. Я. Как решают нестандартные задачи: учебное пособие / А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи / Под ред. В. О. Бугаенко (4-е изд., стереотип.). − М. : МЦНМО, 2008. − 96 c.

4. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка в ЕГЭ-2013: учебно-методическое пособие. - Ростов-на Дону, 2012.

5. Потапов, М. К. Готовимся к экзаменам по математике : учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. - М. : Научно-технический центр «Университетский» : АСТ-Пресс, 1997.-357 с.

6. Садыкова, Л.К. Свойства функций при решении нестандартных уравнений и неравенств: методическая разработка по курсам элементарной математики и методики преподавания математики/ Л. К Садыкова, Н. С. Новичкова. - Самара: Изд-во СГПУ, 2005. - 90 с.

7. Хорошилова, Е. В. Элементарная математика: учеб.пособие для старшеклассников и абитуриентов. Часть 1 : Теория чисел. Алгебра. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 2010. - 472 с.

8. Чучаев, И. И. Нестандартные (функциональные) приемы решения уравнений: учебное пособие / И. И. Чучаев. - Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 2001. - 168 с.

Приведем подробное содержание занятий по теме «Решение тригонометрических уравнений с использованием ОДЗ функций».

Уравнением будем называть равенство с одной переменной вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) - некоторые функции. Выделяют следующие виды уравнений: алгебраические и трансцендентные. К алгебраическим относят : линейные, квадратные, кубические, рациональные степени n (квадратные, кубические и т.п.) дробно-рациональные, иррациональные. Трансцендентные - это показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрическим.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Под стандартными методами решения тригонометрических уравнений и неравенств понимаем методы, основанные на:

- тождественных преобразованиях (раскрытии скобок, освобождении от знаменателя, приведении подобных членов, возведении в натуральную степень обеих частей и т.д.);

-введении вспомогательных неизвестных [35,с. 34].

Далее предлагаем задание на распознавание комбинированных уравнений.

Задача 1.Определите, какие из приведенных уравнений являются тригонометрическими? Какие из них можно решить стандартными методами?

1. 

2. 

3. ;

4. - = x ;

5. = ;

6. ;

7. sin x = arctgx;

8. ;

9. (ctgx)²+cosx=sinx.

Далее перечисляем основные свойства функций. Формулируем следующее определение: «Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x)=g(x), называется пересечение областей определения (существования) функций у= f(x) и у=g(x)».

Перечислим основные утверждения, касающиеся использования ОДЗ функции при решении уравнений и неравенств.

Возможные случаи решения комбинированных уравнений с использованием ОДЗ функций:

1. Если область определения конечное множество, то непосредственно подстановкой определите, удовлетворяют ли эти числа уравнению;

2. Если область определения пустое множество, то сделайте вывод, что уравнение не имеет решений. [45, с. 9].

Задача 2. Найдите область определения функций:

1. у = ;

2. у=

3. у = .

4. у = 5^sinx+1.

5. у = tg(x² - 5x +6).

6. y = cos(x +.

7. y = tg(2x - ).

Задача 3.Найдите область допустимых значений уравнений:

1)

Решение:ОДЗ этого уравнения состоит из всех k, одновременно удовлетворяющих условиям +2πk, +2πk, k€z

2) arcsin x = .

Решение: ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям -1 x 1 и х 1, т. е. ОДЗ этого уравнения конечное множество, состоящее из 1.

Задача 4.Решите уравнения: (ОДЗ пустое)

а) ;

б) arccos (x²)=log₅(x³-8);

в) = sin² x.

Задача 5. Решите уравнение .

Решение.

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности:

Из уравнения получаем только , так как . Решением уравнения является Одно из которых лежит в первой четверти (и значит, для него неравенство не выполняется), а другое - в четвертой четверти (для него неравенство выполняется), значит решение только .

Теперь осталось решить второе уравнение совокупности .

Ответ: .

Задача 6. Решите уравнение

а)

Решение.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

Решив уравнение системы как квадратное относительно находим либо Если то то есть Следовательно, Если то В этом случае с учетом условия системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения нужно оставить только ту, для которой Это точка четвертой четверти, и решение уравнении имеет вид

Ответ:

б) .

Решение.

Решим уравнение :

откуда .

Из найденный решений условию (*) удовлетворяет только и .

Ответ: , .

в)

Решение.

Уравнение равносильно системе

Решим уравнение:

Тогда или . Последнее уравнение не имеет решений, а из первого, учитывая, что , получаем: .

Ответ: .

Домашнее задание.

1) Приведите примеры комбинированных уравнений.

2) Повторите основные свойства элементарных функций.

3) Решите уравнение

4) Решите уравнение

5) Решите уравнение .

6) Решите уравнение arcsin (1-x) =.

2.2 Задачи для формирования умений решать
уравнения с использованием свойств, входящих в них функций

Задачи для формирования умений решать уравнения с использованием
ограниченности функций.

Задача 7. Найдите множество значений функций :

а) y = sin2x+1;

б) y =tgx+sin2x;

в) у =3 sin (x²+1);

г) у = ctg(x² - 4 +6);

Задача 8. Заданы функции :

1. у₁ = cos(x³ + 2x² + 14);

2. y₂ = sin(x² + 2x + 2);

3. y₃ = tg(4x² + 4x + 17);

4. y₄ = ctg();

5. у₅= sin( 3x² +5);

6. у₆= sin( 3x² +5).

а) Найдите множество значений функций.

б) Найти пересечение множеств значений функций у₁ и у₂, у₃ и у₄, у₁ и у₃.

в) Объясните имеют ли уравнения у₁ = у₂, у₃ = у_4, у₁ = у₃ решения, найдите корни этих уравнений.

Задача 9. Решите уравнение:

sin(x³ + 2х² + 1) = х² + 2х + 2

Решение: для любого действительного числа х имеем-1 sin (x³ + 2х² + 1) ≤ 1, х² + 2х + 2 = (x + 1)² + 1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только, когда и обе его части принимают значение, равное 1.

Корнем уравнения , является -1, подставляя которое в левую часть уравнения находим . Т.е. при уравнение корней не имеет.

Задача 10. Решите уравнение: sin3xcos4x=1.

Из свойств функций sin t и cos t следует, что | sin t|≤1 и |cost|≤1. Следовательно, произведение sin3xcos4x может быть равно единице тогда только тогда, когда

,

Решение каждой из систем приводит к уравнениям в целых числах.

Имеем в итоге х=-.

Задача 11.Решить уравнения:.cos x+cos5x=2,

Задача 12Решите уравнение:cos⁴3x-sin²2x=1,

Задача 13. Решите уравнение: cos xcos(x)=1,

Задача14.Решите уравнение:sin x sin2x sin3x=0,8,

Задачи для формирования умения решать тригонометрические уравнения разложением на множители.

Задача 15. 2.

Перегруппируем члены уравнения:

(2

Выносим общий множитель sin x за скобки, получим

sin x( 2cos x-1) + ( 2cos x-1)=0(2cos x-1)( sin x+1)=0.

Имеем совокупность равносильную исходному уравнению.

Итак, Х=±

Задания для самостоятельной работы:

Задача 16.Решить уравнения: sin²2x+sin²4x=1,

Задача 17.Решить уравнения 4sin³x+3cos(-2x)=10sin(5π-x)

Задача 18.Решить уравнения sin4x=3cos2x

Задачи для формирования умения решать тригонометрические уравнения с использованием монотонности функций.

Задача 19. Решить уравнение 2arcsin 2x = 3arccos x.

Решение. Функция y = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция y = 3arccos x - монотонно убывающей. Число x = 0,5 является, очевидно, корнем данного уравнения. В силу теоремы 2 этот корень - единственный.

Ответ: {0,5}.

Задача 20. Решить уравнение

Решение. Пусть x² + x = t. Тогда уравнение примет вид

Функции являются монотонно возрастающими. Поэтому функция также является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому x² + x = 0

Ответ: {- 1; 0}.

Задача 21.Решить уравнение arcsin (x(x + y)) + arcsin (y(x + y)) = p.

Решение. Поскольку arcsin то левая часть уравнения не превосходит Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно . Таким образом, уравнение равносильно системе:

Решение последней системы не представляет труда.

Занятие Зачет.

Решение уравнений и неравенств с использованием всех изученных методов.

Примерные задания к зачету.

1.Найти корень, принадлежащий отрезку(или произведение таких корней, если их несколько) уравнения sin(2πx) ctg=0.

2.Найти число положительных корней уравнения (ctg2)=0,

3. Решить уравнение arcsin 2x-arcsin x=,

4. sin 5x+cos 5x=1

5. sin⁸x+cos⁸x=,

6. (1-tgx)(1+sin2x)=1+tgx

7.

2.3 Педагогический эксперимент

Целью экспериментальной работы явилась проверка эффективности предложенной методики изучения комбинированных уравнений, а также необходимость организации элективного курса, направленного на формирование умений решать названные типы уравнений в старшей школе. Перед нами стояли следующие задачи:

- выяснить, известно ли учащимся понятие «тригонометрическое уравнение»;

- уточнить, владеют ли учащиеся нестандартными приемами решения уравнений;

- выяснить перечень элективных курсов, проводимых с учащимися 10-11 классов;

- уточнить содержание и формы организации элективного курса в старшей школе.

Апробация результатов исследования проводилась в период прохождения педагогической практики в 10 классе в МБОУ «Низовская средней общеобразовательной школы» Ардатовского района. Были опрошены учителя математики. Им были заданы следующие вопросы:

1. Используются ли в работе с учащимися элективные курсы?

2. Сколько раз в неделю проводятся занятия по элективным курсам?

3. Каковы критерии отбора материала для элективных курсов?

4. Какие формы организации элективных курсов Вы применяете в своей практике?

5. Помогают ли элективные курсы добиться более высоких результатов в обучении?

6. Возможно ли на уроке алгебры обучать учащихся нестандартным методам решения задач?

Из опроса выяснилось, что введение элективных курсов состоялось в 2013 / 2014 учебном году. В этот период осуществлялась подготовка к их проведению, а именно: предоставление учащимися предстоящего выбора профилей обучения, повышение квалификации и переподготовка педагогических кадров; уточнение базисных учебных планов, разработка и принятие примерных учебных планов профилей и др. Из опроса выяснилось, что занятия элективного курса проводятся 1 час в неделю. В качестве критериев отбора содержания работы назывались: интересы учащихся; соответствие материала целям программы; яркость, занимательность и т.д.

Содержание курса может представлять собой:

расширенный, углубленный вариант какого-то раздела базового курса;

введение в одну из «сопутствующих» данному предмету профессий;

отдельные фрагменты из различных разделов одного или нескольких предметов, если курс ориентирован на определенный уровень обобщения или освоение определенного вида деятельности.

При определении форм организации учебных занятий, следует исходить, прежде всего, из целей курса. Поскольку в принципе не исключается изучение элективного курса даже одним учащимся, необходимо предусмотреть варианты как коллективных, так и индивидуально-групповых форм обучения. В то же время, если содержание курса может быть освоено только в групповых или коллективных формах, следует оговорить минимальную численность учебной группы.

Таким образом, была установлена необходимость более подробного изучения теоретических основ организации элективных курсов. Так же нами были разработаны и проведены несколько занятий элективного курса, фрагменты которого приведены во 2 главе настоящей дипломной работы. Для проведения был выбран10 класс. Варьирующими условиями эксперимента выступают организационная форма обучения, а неизменными - система знаний учащихся.

Учащимся были предложены 2 экспериментальные контрольные работы (приложение 2), которые проводились до и после проведения представленного в дипломной работе элективного курса. Первая контрольная работа показала, что учащиеся не умеют решать комбинированные уравнения, решают задачи стандартными методами, не ищут более рациональных способов. После проведения занятий элективного курса было замечено следующее: при решении задач учащиеся выбирают рациональные способы решения задач, исследуют полученное решение, применяют методы решения в нестандартных ситуациях.

Таким образом, результаты, полученные в ходе апробации, подтверждают выдвинутую гипотезу исследования.

Заключение

В данной дипломной работе рассмотрены вопросы, связанные с обучением учащихся 10-11 классов решению уравнений нестандартными приемами на занятиях элективного курса по алгебре.

В данной работе нашли решение задачи, выдвинутые в связи с проблемой и целью исследования. Проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы:

1. Анализ литературы по теме исследования, показал, что в во многих школьных учебниках сведений о нестандартных приемах решения уравнений содержится крайне мало, либо не содержится вовсе. Более того, совокупности имеющихся задач, не направлены на формирование всех действий, составляющих рассматриваемые приемы. Поэтому учащиеся 10-11 классов затрудняются решать уравнения, которые не относятся к тому или иному виду, испытывают трудности в использовании свойств функций при решении задач, а значит предлагаемый в нашей работе элективный курс по алгебре для учащихся 10-11 классов будет способствовать формированию умений учащихся решать задачи повышенной трудности.

2. Определены цели и содержание элективных курсов для учащихся 10-11 классов. Прежде всего, курс должен быть направлен на развитие содержания базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет получать дополнительную подготовку для итоговой аттестации по математике; его содержание позволяет быть в полной мере углублённым. Элективный курс может представлять собой одну тему, при изучении которой учащиеся получают систематические и более прочные знания.

3. Охарактеризован функциональный метод решения уравнений, его деятельностные компоненты, наиболее значимые действия; раскрыто содержание частных приемов решения уравнений с применением отдельных свойств элементарных функций (нахождение области допустимых значений, применение свойств ограниченности, монотонности), выявлены требования к совокупности задач для обучение выделенным приемам (число однотипных упражнений не должно превышать трех; предупреждать появление ложных ассоциаций; применение принципа единственного различия в сходных упражнениях; содержать упражнения на систематизацию материала; отличаться разнообразием формулировок задач; содержать задачи соответствующие каждому действию, входящему в приемы решения комбинированных уравнений).

4. Разработана программа элективного курса «Решение уравнений нестандартными приемами», целью которого является обучение учащихся решению к уравнений с использованием свойств входящих в них функций. Приведено содержание одного из занятий. Предлагаемый курс рассчитан на 14 лекционно-практических занятий и заканчивается контрольной аттестацией. Занятия рекомендуем проводить во втором полугодии 10 класса или первом полугодии 11 классах по одному часу в неделю (в зависимости от содержания обучения алгебре по тому или иному школьному учебнику).

5. Разработана совокупность задач на формирование умений решать уравнения с применением области определения входящих в них функций, их ограниченности, не отрицательности, монотонности.

6. Результаты данной дипломной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке курсовых и дипломных работ, при составлении элективных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к единому государственному экзамену.

Все это дает основание считать, что поставленные задачи исследования решены.

Список использованных источников

1. Агапитов, А. Н. О некоторых видах «нестандартных» уравнений / А. Н. Агапитов // Математика в школе. 1969. №3. с. 49-52.

2. Аксенов, А. А. Решение задач методом оценки / А. А. Аксенов // Математика в школе. 1999. №3. С. 31-35.

3. Алгебра и начала анализа. 11 класс : учеб. для общеобразовательных учреждений : в 2 ч. Ч. 1. / Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова. - М. : Дрофа, 2007. - 334 с.

4. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын [и др.]; под ред. А. Н. Колмогорова. - М.: Просвещение, 2008. - 384 с.

5. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин - М. : Просвещение, 2009. - 464 с.

6. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа : учебник для 10-11 классов средней школы / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров [и др.] - М. : Просвещение, 2012. - 464 с.

7. Барчунова, Ф. М. Применение свойств функций при решении уравнений/ Ф. М. Барчунова, Л. О. Денищева // Математика в школе. 1992. № 6. С. 11.

8. Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов средней школы / М. И. Башмаков [и др.] - СПб. : Свет, 1998. - 384 с.

9. Богданова, Е. А. Дидактическая система подготовки студентов к проектированию учебного процесса в рамках школьного компонента профильного обучения : дис. … канд. пед. наук : 13.00.08 / Богданова Елена Анатольевна. -Самара, 2006. - 176 с.

10. Бусев, В. Элективные курсы: вопросы и ответы / В. Бусев // Математика. - 2007. - №2. - с. 14.

11. Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - М. : Просвещение, 2012. - 288 с.

12. Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса : учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - М. : Просвещение, 2012. - 335 с.

13. Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. /Выгодский Я.Я. - М.: Наука, 1970.

14. Груденов, Я. И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике / Я. И. Груденов. - М. : Педагогика, 1987. - 160 с.

15. Дворянинов, С. В. Некоторые замечания об изучении функций в школе / С. В. Дворянинов, Н. Х. Розов // Математика. - 1994. - №5. - с.27-30.

16. Денищева, Л. О. Проверка компетентности выпускников средней школы при оценке образовательных достижений по математике / Л. О. Денищева, Ю. А. Глазков, К. А. Краснянская // Математика в школе. - 2008. - №6. - C. 19-31.

17. Дорофеев, Г. В. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики / Г. В. Дорофеев // Математика в школе. - 1980 -№5.- С. 12-21.

18. Епишева, О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе : учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. - Тобольск : Изд. ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 1997. - 191 с.

19. Епишева, О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: кн. для учителя / О. Б. Епишева. - М. : Просвещение, 2003. - 223 с.

20. Епишева, О. Б. Учить школьников учиться математике. Формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителей / О. Б. Епишева, В. И. Крупич. - М. : Просвещение, 1990. - 128 с.

21. Ермаков, Д. С. Организационно-педагогические проблемы разработки и изучения элективных курсов / Д. С. Ермаков // Профильная школа. - 2009. - № 3. - С. 36-41.

22. Ермаков, Д. С. Создание элективных курсов для профильного обучения / Д. С. Ермаков, Г. Д. Петрова // Школьные технологии. - 2003. - № 6. - С. 27.

23. Ермаков, Д. С. Элективные курсы : требования к разработке и оценка результатов обучения / Д. С. Ермаков, Т. И. Рыбкина // Профильная школа. - 2004. - №3. - С. 6-11.

24. Канель-Белов, А. Я. Как решают нестандартные задачи: учебное пособие / А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи / под ред. В. О. Бугаенко. - 4-е изд., стереотип. − М. : МЦНМО, 2008. − 96 c.

25. Капкаева, Л. С. Интеграция алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании: Монография / Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2004. - 287 с.

26. Капкаева, Л. С. Лекции по теории и методике обучения математике : Частная методика : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов : в 2 ч. Ч. 1/ Л. С. Капкаева; Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2009. - 262 с.

27. Капкаева, Л. С. Интеграция алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании : монография / Л. С. Капкаева; Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2004. − 287 с.

28. Кармакова, Т. С. Способы решения нестандартных уравнений и систем уравнений: дидактические материалы для учителей математики / Т.Е. Кармакова. Е. Г. Володькин - Хабаровск: ХК ППК ПК, 2005.

29. Колягин, Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: учебное пособие для студентов физ.-мак. фак. пед. ин-тов / Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканин. - М. : Просвещение, 1977. - 230 с.

30. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования: в помощь педагогам ведущим предпрофильную подготовку учащихся общеобразовательной школы. - М. : Просвещение, 2006. - 58 с.

31. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования // Официальные документы в образовании. - 2002. - №27. - С. 319.

32. Корешкова, Т. А. ЕГЭ 2013. Математика. Тренировочные задания: учебное пособие / Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева. − М. : Эксмо, 2012. − 80 c.

33. Кулабухова, С. Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012 : учебное пособие / С. Ю. Кулабухова/под Ред. Ф. Ф. Лысенко. − М. : Легион, 2012. − 416 c.

34. Литвиненко, В.Н. Практикум по элементарной математике / Литвиненко В.Н. - М.: Просвещение, 1991.

35. Мещерякова, С. И. Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики :дис… канд. пед. наук / Мещерякова Светлана Ивановна. - Саранск. - 1997. - 182 с.

36. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. : в 2 ч. Ч.1 : учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович - М. : Мнемозина, 2009. - 399 с.

37. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: в 2 ч. Ч.2. : задачник для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова [и др.]; под ред. А. Г. Мордковича - М. : Мнемозина, 2009. - 339 с.

38. Мордкович, А. Г. Решаем уравнения / А. Г. Мордкович. - М. : Школа - Пресс, 1995. - 80 с.

39. Олехник, С.Н. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10 - 11 классы: учебно-методическое пособие/ С.Н. Олехник [и др.]. - М.: Дрофа, 2001. - 192 с.

40. Орлов, В. А. Типология элективных курсов и их роль в организации профильного обучения // Профильное обучение в условиях модернизации школьного образования : сб. науч. тр. / Рос.акад. образования, Ин-т общего сред. Образования ; под ред. Ю. И. Дика, А. В. Хуторского. − М. : ИОСО РАО, 2003. − С. 93−96.

41. Потапов, М.К. О решении уравнений вида / М. К. Потапов, А. В. Шевкин// Математика в школе. - 2003. - №8. - С. 40-43.

42. Садыкина, Н. Построение графиков функции и зависимостей, содержащих знак модуля. / Н. Садыкина // Математика. - 2004. - №33. -С. 19-21.

43. Садыкова, Л. К. Об элективных курсах в профильном обучении / Л. К. Садыкова // Вестник СГПУ : Институт математики, физики и информатики. Профессору Л. И. Кошкину посвящается. - Самара : Изд-во СГПУ, 2008. - С. 91-93.

44. Садыкова, Л. К. Подготовка студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств : дис… канд. пед. наук : 13.00.02 / Садыкова Лилия Камиловна. - Самара. - 2010. - 217 с.

45. Садыкова, Л. К. Свойства функций при решении нестандартных уравнений и неравенств: методическая разработка по курсам элементарной математики и методики преподавания математики/ Л. К. Садыкова, Н. С. Новичкова. - Самара : Изд-во СГПУ, 2005. - 90 с.

46. Саранцев, Г. И. Методология методики обучения математике / Г. И. Саранцев. - Саранск : Тип. «Крас. Окт.», 2001. - 144 с.

47. Саранцев, Г. И. Методика обучения геометрии: учеб. пособ. для студентов вузов по направлению «Педагогическое образование» / Г. И. Саранцев. - Казань : Центр инновационных технологий, 2011. - 228 с.

48. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. - М. : Просвещение, 2002. - 224 с.

49. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г. И. Саранцев. - 2-е изд., дораб. - М. : Просвещение, 2005. - 255 с.

50. Саранцев, Г. И. Как сделать обучение математике интересным : кн. для учителя / Г. И. Саранцев. - М. : Просвещение, 2011. - 160 с.

51. Сборник нормативных документов. Математика / сост. Э. Д. Днепров, А. Г. Аркадьев. - М. : Дрофа, 2004. - 79 с.

52. Теляковский, С. А. О понятии функции в курсе математики / С. А. Теляковский // Математика в школе. - 1989. - №4. - с. 90-91.

53. Теоретические основы содержания общего среднего образования / под ред. В. В. Краевского, И. Я. Лернера. - М. : Педагогика, 1987. - 352 с.

54. Ульянова, И. В. Элементарная математика: учеб. пособие для старшеклассников и абитуриентов. Часть 1 : Теория чисел. Алгебра. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 2010. - 472 с.

55. Чучаев, И. И. Нестандартные (функциональные) приемы решения уравнений: учебное пособие / И. И. Чучаев. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2001. - 168с.

56. Чучаев, И. И. А какие уравнения мы решаем? / И.И. Чучаев// Математика в школе. - 2007. - №10. - с. 27-31.

57. Чучаев, И.И. Уравнения вида и нестандартные методы решения/ И.И. Чучаев, С. И. Мещерякова// Математика в школе. - 1995. - №3. - с. 48-54.

58. Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область «Математика» / под ред. А. Г. Каспражака. - М. : Вита-Пресс, 2004. - 45 с.

59. Ященко, И. В. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2013 году: учебное пособие / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин, П.И. Захаров. − М. : ФГОС, 2013. − 224 c.

Приложение 1

Утверждение 1. Если в уравнении f(x) = g(x) E(f)∩E(g) = , то такое уравнение решений не имеет.

Утверждение 2. Если для всех x из некоторого промежутка справедливы неравенства f(x)A, g(x)A, то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений

Утверждение 3. Если для всех x некоторого промежутка справедливы неравенства f(x)A, g(x)A, где A некоторое число, то в множестве Х уравнение f(x) = g(x) решений не имеет.

Утверждение 4. Пусть f(x) - непрерывная и строго монотонная функция на промежутке X, тогда уравнение f(x) = C, где C - константа, может иметь не более одного решения на промежутке X.

Утверждение 5. Пусть f(x) и g(x) - непрерывные на множестве X функции, f(x) строго возрастает, а g(x) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного корня на промежутке X.

Утверждение 6. Пусть функция F(x) есть сумма нескольких функций

F(x) = + … + ,

каждая из которых неотрицательна для любого x из области ее существования.

Тогда уравнение F(x) = 0 равносильно системе уравнений

56