Статья Гибкие образовательные материалы на уроках математики

А. С. Дмитриева

Гибкие образовательные материалы на уроках математики

Одна из наиболее актуальных проблем современной школы - проблема повышения эффективности процесса обучения и воспитания, а также преодоления школьной неуспеваемости. Для решения этой проблемы предполагается совершенствование методов и форм организации обучения, поиск более эффективных путей формирования знаний с учетом реальных возможностей учащихся и условий учебной деятельности.

Проблема неуспеваемости по математике - одна из центральных в методике преподавания математики. Учителя математики в большей мере сталкиваются с проблемой неуспеваемости, ведь часто главной причиной становится отсутствие мотивации к изучению математики и сложность предмета.

При работе с обучающимися, испытывающими трудности в усвоении предмета, прежде всего, необходимо помнить, что любой прием и метод обучения школьников, подачи материала и восполнения пробелов, будет иметь успех и давать ожидаемые результаты только тогда, когда работа будет носить системный характер.

При изучении темы «Тригонометрия» в 10 классе оказывается одной из самых сложных. Дифференцированная работа на всех этапах урока позволяет успешно работать с учениками любого уровня подготовки, давать посильную нагрузку для средних и сильных учеников, эффективнее устранять пробелы в знаниях, дифференцированно оценивать знания учащихся, усвоение ими тем, развивать мотивационную основу обучения математике, развивать пытливость и творческую направленность ума.

Одним из наиболее простых и эффективных способов подачи заданий разного уровня сложности являются гибкие образовательные материалы, составленные с учетом индивидуальных особенностей класса.

Гибкие образовательные материалы для учеников могут включать в себя исторический материал по теме, интересные факты, межпредметную информацию, что будет способствовать развитию мотивации к изучению математики, интереса к предмету и к науке, а также лучшему усвоению тем и развитию личности в целом.

Гибкие образовательные материалы, как средства обучения, имеют множество преимуществ: наглядность, быстрота диагностики знаний, повышение роли самостоятельной работы. Они помогают осуществлять дифференцированный подход (индивидуальный темп работы, подсказки), формировать всестороннюю картину мира, качественно закреплять знания, выявлять и, в дальнейшем, эффективно восполнять пробелы. И, как итог, эффективная индивидуальная работа с каждым учеником.

Примеры гибких образовательных материалов приведены в Таблице 1. Они включают исторические сведения: краткую справку из истории математики для слабых и сильных учащихся и историческую задачу для учеников с высоким уровнем знаний и низкой мотивацией.

Данный дифференцированный образовательный материал содержит подсказки для обучающихся, испытывающих трудности в усвоении материала.

Таблица 1.

Преобразование тригонометрических выражений

Некоторые тригонометрические формулы

(1)

(2)

(3)

cos 2x = cos²x - sin²x

cos 2x = 2cos² - 1

cos 2x = 1 - 2sin²x

sin(x ± y) = sin xcos y ± cos xsiny

cos(x ± y) = cos x  cosy sinx  siny

При решении укажи какие формулы ((1), (2) и (3)) были использованы для преобразования выражений.

А-1

А-2

Упростите выражения.

1. ;

2. ;

3. .

Докажите тождество:

Тригонометрия возникла и развивалась в древности
как один из разделов астрономии.

Для составления астрономических таблиц были необходимы тригонометрические формулы. Так, например, индийский ученый Бхаскара, живший в XII веке, пользовался формулой, которую современным

математическим языком можно записать так:

Бхаскара

где R - радиус исследуемой окружности.
В тригонометрии принято работать с единичной окружностью, поэтому эта формула трансформировалась в используемую нами формулу (3).

Б-1

Б-2

Упростите выражения. При решении запишите формулы, которые вы использовали:

1. 

2. ;

3. .

Докажите тождества:

1. ;

2. .

Еще древние индийцы знали формулу для двойного синуса. Абу-л-Вафа установил ее:

Один из крупнейших математиков и астрономов средневекового Востока. В честь Абу-л-Вафа даже назван кратер на Луне.

Абу-л-Вафа

В-1

В-2

Упростите выражения:

1. ;

2. ;

3. 

Французский математик Франсуа Виет вывел несколько тригонометрических формул.

Франсуа Виет

Ниже записана одна из них.

Докажите верность этой формулы.

Исторические данные в части А работают на развитие мышления, метапредметных навыков, умения применять ранее полученные знания, закрепление пройденных тем. Так, например, замечание о том, что в тригонометрии рассматривается только единичная окружность, является напоминанием о том, что функции «косинус» и «синус» изменяются в пределах промежутка [-1; 1].

Гибкий образовательный материал для уровня Б в исторической справке содержит указание на применяемую формулу.

Историческое задание для уровня В предполагает применение более сложных формул тригонометрии.

При разработке подобной системы работы со школьниками необходимо задействовать все этапы обучения.

Дифференцированные домашние задания позволяют создать ситуацию успеха для каждого ученика, что в свою очередь меняет отношение к математике, предмет уже не представляется сухим и сложным. Он становится для школьников занимательным, важным, интересным, а это позволяет повысить качество усвоения материала.

В Таблице 2 приведен пример дифференцированного задания для домашней работы.

Таблица 2.

А-1

А-2

А-3

Вычислите:

Отметьте знаки тригонометрических функций на окружностях.

Вычислите:

Б-1

Заполните таблицу:

Рад.

0

π

2 π

Град.

sinx

cosx

tg x

сtg x

Отметьте все углы на единичной окружности:

В-1

Крупнейший физик X-XI вв., каирский ученый Ибн ал-Хайсам впервые пытался определить высоту атмосферы с помощью тригонометрических расчетов. Он полагал, что сумерки продолжаются до тех пор, пока солнце не опустится ниже горизонта на 19. О постановке задачи можно судить по рисунку, где N - высокое облако, отражающее на исходе сумерек луч SN к наблюдателю M. Этот луч образует с горизонтом угол, равный 19.

Найдите высоту атмосферы h = ON - r, где r - радиус земли.

Подсказка: какой тригонометрической функции равно отношение противолежащего угла к гипотенузе в прямоугольном треугольнике?

Ниже представлены еще несколько примеров дифференцированных образовательных материалов разделам темы «Тригонометрия» в 10 классе.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

А-1

Найдите значение арккосинусов в центральной колонке
и соедините их стрелкой. Здесь угол   [0, ].

0

Отметьте данные углы на четверти окружности, приведенной ниже. На рисунке показан пример.

А-2

Отметьте на окружности углы, которым соответствуют значение аркфункций в кружочках. Соедините кружочки с углами на окружности стрелкой.

Б-1

Б-2

Вычислите:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. 

10. .

Вычислите:

В-1

В-2

Вычислите:

Докажите, что для любых чисел х₁ и х₂ из неравенства
х₁ < х₂ следует, что
arcctg х₁ > arcctg х₂.
И расположите числа в порядке возрастания: arcctg 1,2; arcctg π; arcctg (−5).

Решение простейших тригонометрических уравнений.

А-1

А-2

Решите уравнение:

1. ;

2. ;

3. .

Решите уравнения:

1. ;

2. ;

3. .

Б-1

Б-2

Заполните таблицу:

| a |  1

sin x = a

sin x = a

| a | > 1

a ∈R

tg x = a

ctg x = a

Решите уравнения:

В-1

В-2

Решите уравнения:

Найдите и объясните ошибки в решении уравнений, запишите верный ответ:

Ответ:

Приравняем оба множителя к нулю.

Ответ: