Сообщение по математике на тему Теорема Гильберта 90

Теорема Гильберта 90

Теорема Гильберта 90 - одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.

Мультипликативная форма

Пусть - группа Галуа конечного циклического расширения а - её образующая. Тогда норма любого элемента равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент , что

Доказательство

Достаточность очевидна: если то, учитывая мультипликативность нормы, имеем Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех а применение к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то в силу равенства числителя и знаменателя

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент для которого

Если применить отображение к а потом помножить полученное выражение на то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как

Тогда получаем, что деля на имеем Необходимость доказана.

Аддитивная форма

Пусть - группа Галуа конечного циклического расширения а - её образующая. Тогда след любого элемента равен 0 тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой элемент что

Доказательство достаточности полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости рассматриваем элемент для которого и строим требуемое в виде: