Методический материал Полезные подсказки

Методическая разработка Фазлутдиновой Назифы Фаильевны, учителя математики МКОУ «Ишимская ООШ» Новосибирская область Чистоозерный район

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Признак

делимости на

Число делится «на», если

Делятся

Не делятся

2

оно оканчивается чётной цифрой (0,2,4,6,8)

148; 10006; 74; 270

43; 1225; 1007

10

оно оканчивается нулём

20; 69800; 430

255; 6631; 14; 87

5

оно оканчивается 0 или 5

2205; 980; 70; 9875

2201; 987; 74; 552

3

сумма цифр числа делится на 3

411(4+1+1=6); 1002; 81; 111000

751; 33800; 80821

9

сумма цифр числа делится на 9

1260; 6039; 70704

111115; 120; 30305

РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Разложить число на простые множители - значит представить его в виде произведения простых чисел.

75 = 5∙5∙3

1. 28 = 2∙2∙7; 2) 363 = 3∙11∙11; 3) 264 = 2∙2∙2∙3∙11

Ход работы в примере 3): 264 2

264 : 2 = 132 132 2

13 2 : 2 = 66 66 2

66 : 2 = 33 33 3

33 : 3 = 11 11 11

11 : 1 1= 1 делители - только простые числа

НОК и НОД (наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель)

НОД (63и98) = 7 НОД(120и45) = 5∙3=15

63 3 98 2 120 5 45 5

21 3 49 7 24 2 9 3

7 7 7 7 12 2 3 3

63=3∙3∙7 98=2∙7∙7 6 2 120=5∙2∙2∙2∙3; 45= 5∙3∙3

3 3

НОК(15и20) = (5∙3)∙2∙2=60 НОК(12и40) = (2∙3∙2)∙5∙2=120

15 5 20 2 нет в разложе- 12 2 40 2 нет в раз-

3 3 10 2 нии 15 6 2 - 5 ложении 12

5 5 3 3 4 2

2 2

СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ

Чтобы сократить дробь, нужно и числитель и знаменатель разделить на одно и то же число.

(сократили на 5)

= (сократили на 2)

= (сокр. на 10) = (сокр. на 2)

, , ─ несократимые дроби

ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ

Любые две дроби можно привести к общему (одинаковому) знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). НОЗ = НОК знаменателей

3

2Привести к общему знаменателю дроби:

1. и ; а) НОК(9и 6)=18; б) 18:9=2, 18:6=3 ( 2 и 3 - дополнительные мно -

жители)

в) умножаем на дополнительные множители и числители и

знаменатели данных дробей.

Ответ: и → и

4

5

2. и ; а) НОК(12 и 15)=60; б)60:12=5, 60:15=4 (5 и 4 - дополн. множ.)

в) см.пример 1.

Ответ: и → и

СРАВНЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби, надо:

• привести дроби к общему знаменателю;

• сравнить, сложить или вычесть числители новых дробей, оставляя их знаменатели без изменения.

9

7

1. Сравнить: и ; а) НОЗ (9и7)=63; б) = ; = ; в) › → ›

2

3

3

3

2Вычислить: + ( НОЗ(10и15) = 30 ← в уме ) = + =

Вычислить: - ( НОЗ (12и8) = 24 ← в уме ) = - =

2

3

ЗАПИСЬ: + = = =

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ

3

2

3Для сложения и вычитания смешанных чисел нужно отдельно сложить целые и дробные части компонентов.

1. + = = = ← в ответе дробь должна быть правильной

3

7

2. -1 = = 4 = 4 ← в ответе дробь должна быть несокра-

тимой

2

3БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ

3. 3 - = ← ? (9 11) : занимаем у 2 целых 1 и дробим её на , которые добавляем к дробной части, имеем: = =

1 = = = …… = = …… = = …… = = ….

УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

• Для умножения обыкновенных дробей нужно перемножить их числители и их знаменатели.

• Если возможно сокращение - его надо выполнить, это облегчит вычисления.

• При умножении смешанных и целых чисел их заменяют неправильными дробями.

1. ∙ = =

2. 2 ∙ = = = = 1

3. 7 ∙ = ∙ = = 4

ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Деление обыкновенных дробей можно заменить умножением на «перевёрнутую» дробь.

Шаги деления обыкновенных дробей:

1. преобразовать пример: : (все компоненты - дроби)

2. заменить: : = ∙

3. выполнить умножение

1. : = ∙ = = = 1 ;

2. : 6 = : = ∙ = =

НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА

всё целое

(знаем)

дробь

(?)

Задача. В книге 140 страниц. Андрей прочитал 0,3 этой книги. Сколько страниц прочитал Андрей?

Решение

0,3 от 140 стр. ; 140 ∙ 0,3 = 42 (стр.)

Ответ: Андрей прочитал 42 страницы.

НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ

дробь

(знаем)

всё целое

(?)

Задача. Девочка прошла на лыжах 300 метров, что составляет дистанции. Какова длина дистанции?

Решение

300 м сост. дистанции; 300 : = ∙ = = 800 (м)

Ответ: длина дистанции 800 метров.

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ

1. 2 : 48; 36 : 1,8; х : 15 - отношения.

2. Пропорция - равенство двух отношений.

3. 12 : 6 = 100 : 50 12 и 50 - крайние члены

6 и 100 - средние члены

=

4. Основное свойство пропорции: если пропорция верна, то произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции: 12 : 6 = 100 : 50; → 12 ∙ 50 = 6 ∙ 100 = 600;

5. Решение уравнений

= 10 : Х = 2,5 : 5

0,4 ∙х = 2∙ 5 2,5Х = 10 ∙ 5

0,4х = 10; х = 10 : 0,4 = 100:4=25 ; Х = 25 2,5Х = 50; Х = 50 : 2,5 = 500 : 25; Х = 20

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА.

C - длина окружности; S - площадь круга;

∏(пи) ≈ 3,1415926536… (3,14); R(r)-радиус;

C = 2∏R S = ∏

Задача Найти длину окружности и площадь круга с радиусом 5 см.

Решение

1. r = 2 ∙ 3,14 ∙5 = 6,28 ∙ 5 = 31,4(см)

2. = 3,14 ∙ = 3,14 ∙ 25 = 78,5()

Окружность - линия, Круг - часть плоскости

КРУГ

КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ ЧИСЛА.

0

1

-5

-1

2

3

5

4

-2

-3

-4

A

C

1.

В(-5); А(2); С(3,4) - координаты точек

2. противоположные числа: 2 и-2; 5 и-5; -135 и 135; -2,3 и 2,3

3. а - модуль числа а

│а│ = а, если а ≥ 0 → │9│ = 9; │138│ = 138; │0│ = 0

│а│ = -а, если а ≤ 0 → │-5│ = 5; │-18│ = 18

Модуль числа не может быть отрицательным!

СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ

0

1

-5

-1

1. Из двух чисел всегда больше то, которое расположено на числовой прямой правее:

21 › -40; 18 › 11; -2 › -2339.

2. Любое положительное число всегда больше

отрицательного: 0,12 › -743; 1 › -5

3. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля: 25 › 0; 0 ‹ 987; 0 › -45; -2,47 ‹ 0

4. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:

-287 ‹ -5; -18 › -35; -100 ‹ -1

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и в ответе поставить знак «-«:

(-5) + (-11) = -16; -100 + (2,9) = -102,9

2. Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и в ответе поставить знак слагаемого с большим модулем:

25 + (-8) = 17 |25| › |-8| → в ответе знак «+»

-25 + 8 = -17; |-25| › |8| → в ответе знак «-«

3. Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а) -6 - 10 = -6 + (-10) = -16; б) 2 - (-3) = 2 + 3 = 5; в) -1 - (-5) = -1 + 5 = 4;

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИМОЕ)

МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИТЕЛЬ)

ПРОИЗВЕДЕНИЕ(ЧАСТНОЕ)

+ / +

+ / +

+ / +

+ / +

- / -

- / -

- / -

+ / +

- / -

- / -

- / -

+ / +

ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ

Подобные слагаемые - это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть: 25х и 0,4х; 8 m и 100m; 6 а и 7,11а

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть

• 6х - 2х + 4х = 8х

6 - 2 + 4 = 8

• 18а + 10а - а = 27а

18 + 10 - 1 = 27

• 5а - у + 11у - 9а - 2а = -6а + 10у

5 - 9 - 2 = -6; -1 + 11 = 10

РАСКРЫТИЕ СКОБОК

«+»

оставляй знак!Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки, оставив все слагаемые в скобках со своими знаками (если перед первым слагаемым в скобке знака нет, то подразумевается «+»).

• (-21х + 47 - 5х) = -21х + 47 - 5х = -26х + 47;

• 11а + (5у + 5х - 5а) = 11а + 5у + 5х - 5а = 6а + 5х + 5у;

«-»

меняй знак!Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные.

• - (-21х + 47 - 5х) = 21х - 47 + 5х = 26х - 47;

• 11а - (5у + 5х - 5а) = 11а - 5у - 5х + 5а = 16а -5у - 5х.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения решаются по следующему алгоритму

Дано уравнение

7х - (12 + 3х) = 4(х - 3) - 2х + 10

Раскрыть скобки

7х - 12 - 3х = 4х - 12 - 2х + 10

Перенести в левую часть уравнения неизвестные слагаемые, а в правую - известные (при переносе поменять знак!)

7х - 3х - 4х + 2х = -12 + 10 + 12

Привести подобные слагаемые

2х = 10

Найти корень уравнения

Х = 10 : 2

Х = 5

КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ

Точка М (3;2):

3 - абсцисса т.М, 2 - ордината т.М

0

1

-5

-1

2

3

5

4

-2

-3

-4

M (3;2)

B (-4;3)

A (5;0)

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

C (0;-3)

x

y

ось абсцисс

ось ординат

1. Как найти т.М (3;2) - три шага:

   1. (0;0) - отправная точка

   
   
   

   2. Ход по оси X (горизонтальная): для М на 3 единицы вправо

   
   
   

   3. Ход по оси Y (вертикальная): для М на 2 единицы вверх