Конспект урока Решение иррациональных уравнений

Урок алгебра 11 класс Михальчук Н.Л. учитель математики НИСЦ РО «Восток» для одаренных детей

Тема: Решение иррациональных уравнений

Цель: обеспечение качества усвоения учащимися образовательного стандарта по теме «Решение иррациональных уравнений».

Задачи:

1. рассмотреть понятие «иррациональное уравнение»;

2. рассмотреть основные и дополнительные методы решения иррациональных
   уравнений;

3. способствовать сознательному усвоению учащимися способов решения
   иррациональных уравнений.

Организационный момент (2 мин) Приветствие

Дорогие ребята!

Вашему вниманию предлагаем урок-лекцию по теме «Решение иррациональных уравнений», предназначенную для изучения учащимися 9-10 классов и для обобщения, дополнительного осмысления и обогащения знаний учащимися 11 классов. Решение иррациональных уравнений, по мнению учащихся и педагогов обычно вызывает затруднения. Обращение к данной теме при подготовке к ЕНТ, поступлению ВУЗы является актуальным и целесообразным. Во время занятия мы рассмотрим не только основные методы решения иррациональных уравнений, но и дополнительные. Прежде, чем рассмотреть способы и приемы решения данных уравнений, обратимся к определению иррационального уравнения.

Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком радикала, а также под знаком возведения в дробную степень.

Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том, чтобы освободиться от знака радикала и получить рациональное уравнение.

При решении иррациональных уравнений применяют следующие основные методы: • возведение в степень обеих частей уравнения;

• введение новой переменной;

• разложение на множители.

Кроме основных методов следует рассмотреть дополнительные методы решения иррациональных уравнений:

• умножение на сопряженное;

• переход к уравнению с модулем;

• метод «пристального взгляда» (метод анализа уравнения);

• использование монотонности функции.

Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, используя вышеперечисленные методы, необходимо обратить внимание на вид данного уравнения. Это позволяет определить, есть ли смысл решать уравнение вообще, и если да, то каким способом его можно решить.

т.к. значение

К примеру, нет смысла приступать к решению уравнения

арифметического корня не может быть отрицательным числом.

Рассмотрим каждый из основных методов.

/. Метод возведения в степень обеих частей уравнения:

а) если иррациональное уравнение содержит только один радикал, то нужно
записать так, чтобы в одной части знака равенства оказался только этот радикал.
Затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, чтобы получилось
рациональное уравнение;

б) если в иррациональном уравнении содержится два или более радикала, то
сначала изолируется один из радикалов, затем обе части уравнения возводят в
одну и ту же степень, и повторяют операцию возведения в степень до тех пор,
пока не получится рациональное уравнение.

3) При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается уравнение, не равносильное данному. Поэтому необходимо проверить, удовлетворяют или не удовлетворяют найденные значения переменной данному уравнению. Проверка является составной частью решения иррациональных уравнений, целью которой является исключение посторонних корней уравнения.

Ответ: х = 3.

В данном случае проверка оказалась довольно простой. Но могут встретиться уравнения, корни которых иррациональны, и проверка приводит к очень сложным вычислениям. В таких случаях лучше решать простейшие иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований по следующей схеме:

Неравенство

«отсекает» посторонние решения и позволяет обходиться

без проверки.

В данном случае можно проверять любое из неравенств. На практике, как правило, выбирают то, которое проще в решении.

Ответ: 2.

Вывод: Если корни, полученные в результате возведения в квадрат, достаточно простые, то можно не беспокоиться о равносильности переходов, а просто проверить их непосредственной подстановкой в исходное уравнение. В случаях, когда проверка затруднительна, нужно аккуратно следить за тем, чтобы преобразования были равносильными и не появлялись посторонние корни.

Рассмотрим уравнения, содержащие два радикала. Пример №5 Решите уравнение

2. Метод введения новой переменной

Данный метод, как правило, применяется в том случае, когда в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл принять это выражение за новую переменную и решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом найти исходящую величину.

Пример №9 Решите уравнение

3. Метод разложения на множители

Для решения иррациональных уравнений данным методом следует пользоваться правилом:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей, входящих в это произведение, равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Обратимся к дополнительным методам решения иррациональных уравнений и рассмотрим подробно три из них: метод «пристального взгляда» (или метод анализа уравнения), метод использования монотонности функции, переход к уравнению с модулем.

Метод анализа уравнения

Среди иррациональных уравнений встречаются такие, которые не решаются с помощью приведённых выше приемов. В подобных случаях иногда может оказаться

полезным анализ области определения функций, входящих в уравнение, а также использование свойств корней степени п.

Отметим следующие свойства корней, которыми мы постоянно будем пользоваться при решении уравнений данным методом:

1. Все корни четной степени являются арифметическими, т.е. если подкоренное
   выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение
   равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение
   положительно, то значение корня положительно.

2. Все корни нечетной степени определены при любом значении подкоренного
   выражения.

3. Функции

являются возрастающими на своей области

определения.

В ряде случаев можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к

преобразованиям.

Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.

Уравнение не имеет решений.

Использование монотонности функций

Использование монотонности функций, входящих в уравнение, нередко значительно упрощает техническую часть решения.

Сформулируем два свойства монотонных функций и теорему о корне.

1. Сумма возрастающих (убывающих) функций - функция возрастающая
   (соответственно, убывающая) на их общей области определения.

2. Разность возрастающей и убывающей (соответственно, убывающей и
   возрастающей) функций - функция возрастающая (убывающая) на общей области
   определения.

3. Теорема о корне.

Пусть y=f(x) - монотонная на некотором промежутке функция. Тогда при

любом значении а уравнение f(x) = а имеет на этом промежутке не более одного

корня.

Наглядный смысл теоремы о корне: горизонтальная прямая у = а может

пересечь график монотонной функции y = f(x) не более чем в одной точке (т.е.

либо вообще его не пересекает, либо пересекает в единственной точке). Рассмотрим примеры.

Пример №19 Решите уравнение:

Решение: Данное уравнение можно решать стандартным способом, т.е. почленно возвести промежуточные иррациональные уравнения в квадрат, найти корни полученного квадратного уравнения с большими коэффициентами и произвести после этого проверку, для того чтобы убрать посторонние решения.

Но задача допускает решение «в одну строчку». Левая часть уравнения -возрастающая в своей области определения функция (первый радикал при увеличении х , очевидно, возрастает, а второй - убывает, но он вычитается из первого, поэтому их разность возрастает). Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Его легко найти: это х = 1.

Ответ: {1}

Пример №20 Решите уравнение:

Решение: Левая часть уравнения - возрастающая функция. Поэтому существует не более одного решения данного уравнения. Корень х - 10 легко найти подбором.

Ответ: {10}

Пример №21 Решите уравнение:

Решение: Левая часть данного уравнения - возрастающая функция. Поэтому найденный подбором корень х - 7 является единственным.

Ответ: {7}

Метод перехода к уравнению с модулем Пример №22 Найти наибольший корень уравнения

Пример №24

При каких значениях к уравнение имеет два корня?