Экзаменационный материал по математике за курс 10 класса

Тест 1. Параллельность в пространстве.

Вариант 1.

1.Плоскость  пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и Е соответственно, причем АС║ . Найдите АС, если ВD : АD = 3:4 и DЕ =10 см.

а) 12,5 см б) 7,5 см в) 24 см г) 23 см

2. Отрезок АВ пересекает плоскость , точка С - середина АВ. Через точки А,В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А₁, В₁ и С_1. Найдите СС₁, если АА₁ = дм и ВВ₁ = дм.

а) 4 дм б) 4 дм в) дм г) дм

3. Сторону СD треугольника СDЕ пересекают плоскости  и , параллельные стороне СЕ соответственно в точках К и Р, а сторону DЕ - в точках М и N, причем DК вдвое меньше РК, СР вдвое больше РК. Найдите СЕ, если КМ = 6 см.

а) 40 см б) 36 см в) 48 см г) 42 см

4. АВСDА₁ В₁ С₁ D₁ - прямоугольный параллелепипед, АВ = АD = 8дм, АА₁ = 2 дм. Найдите площадь сечения ВМКD, где М - середина В₁С₁ и К - середина С₁D₁.

а) см² б) 12 см² в) см² г) 15 см²

5. АВСDА₁ В₁ С₁ D₁ - куб. Точки Е и F - середины ребер АА₁ и СС₁ соответственно. Определите число сторон сечения плоскостью, которая определяется точками В,Е и F.

а) 3 б) 4 в) 5 г) 6

6. МСDN - ромб, длина стороны которого 4 см; МNКР - параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника СDКР, если NК = 8 см и СМР = 60⁰.

а) 8(1+) см б) 6(1+) см в) 8(1+) см г) 12 см

7. В треугольной пирамиде МАВС все ребра равны 6 см. найдите периметр сечения, проведенного параллельно стороне ВС и проходящего через точки А и К, где К - середина ВМ.

а) (4 +3) см б) 6) см в) (6 +1) см г) 3(2 +1) см

8. АВСDА₁ В₁ С₁ D₁ - куб. К - середина АD, М - середина CD. В каком отношении, считая от точки А, делит ребро АА₁ плоскость, проходящая через точки В₁, К и М?

а) 1:1 б) 1:2 в) 1:3 г) 1:4

Вариант 2.

1. Плоскость  пересекает стороны МР и КР треугольника МКР в точках N и Е соответственно, причем МК║ . Найдите NЕ, если МN : NР = 3:5 и МК =12 см.

а) 8 см б) 9 см в) 7,5 см г) 8,5 см

2. Отрезок СD пересекает плоскость , точка Е - середина СD. Через точки C, D и Е проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках С₁, D₁ и Е_1. Найдите ЕЕ₁, если СС₁ = cм и DD₁ = cм.

а) cм б) cм в) cм г) cм

3. Плоскости  и , параллельные стороне АВ треугольника АВС, пересекают сторону АС соответственно в точках N и М, а сторону ВС - в точках Е и К. Отрезок МN в три раза больше отрезка СN, а отрезок АМ вдвое короче МN. Найдите АВ, если NЕ = 12 см.

а) 64 см б) 72 см в) 60 см г) 66 см

4. АВСDА₁ В₁ С₁ D₁ - прямоугольный параллелепипед, АВ = АD = 12 см, АА₁ = 3 см. Найдите площадь сечения АКЕС, где К - середина А₁В₁ и Е - середина В₁С₁.

а) см² б) 27 см² в) см² г) 24 см²

5. АВСDА₁ В₁ С₁ D₁ - куб, Е - середина СС₁. Определите число сторон сечения плоскостью, которая проходит через точки А, В₁ и Е.

а) 3 б) 4 в) 5 г) 6

6. СDЕК - ромб, сторона которого равна 8 см; СКМN - параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника DЕМN, если КМ = 6 см и DCN = 60⁰.

а) 4( +4) см б) 6( +3) см в) 8 см г) (2 +15) см

7. В треугольной пирамиде SMEF все ребра равны 4 см. Найдите периметр сечения, проведенного параллельно ребру МF и проходящего через точки Е и Р, где Р - середина отрезка SF.

а) 3(2 + 3) см б) 6 +1) см в) 2(1 +2) см г) 6 см

8. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб, точка Е - середина СD, F делит ребро АD в отношении 1:3, считая от точки D. В каком отношении делит ребро АА₁ (считая от точки А) плоскость, проходящая через точки В₁, Е и F?

а) 1:2 б) 2:1 в) 2:3 г) 3:2

Тест 2. Перпендикулярность в пространстве

Вариант 1.

1.АВСD - квадрат, ВМ  (АВС). Найдите отрезок DМ, если АВ = см, ВМ = 5 см.

а) 6 см б) 7 см в) 6 см г) 5 см

2. КО - перпендикуляр к плоскости , КМ и КР - наклонные к плоскости , ОМ и ОР - проекции наклонных, причем сумма их длин равна 15 см. найдите расстояние от точки К до плоскости , если КМ = 15 см и КР = 10 см.

а) 18 см б) см в) 12 см г) 12 см

3. В треугольнике АКС АК  СК; точка М не принадлежит плоскости АКС и МК  СК. Какие высказывания верны?

1) АК (СКМ) 2) СК  (АКМ) 3) АК  МК 4) СК  АМ

а) 1 б) 1; 3 в) 2; 4 г) 4

4. Треугольник АВС - прямоугольный, С =90⁰, АС = 8 см, ВС = 6 см. Отрезок СD - перпендикуляр к плоскости АВС. Найдите СD, если расстояние от точки D до стороны АВ равно 5 см.

а) 1,8 см б) 2 см в) 2,5 см г) 1,4 см

5. Треугольник МКN равносторонний со стороной равной 18 см. Точка С удалена от вершин треугольника МКN на 12 см. найдите расстояние от точки С до плоскости МКN.

а) 4 см б) 6 см в) 9 см г) 8 см

6. АВСD - квадрат. Точка М удалена от сторон квадрата на 3 см. Найдите периметр квадрата, если точка М удалена от плоскости АВС на см.

а) 32 см б) 16 см в) 16 см г) 12 см

7. Плоскость  перпендикулярна плоскости . Точка А принадлежит плоскости . Отрезок АА₁ - перпендикуляр к плоскости , точка В принадлежит плоскости  и ВВ₁, перпендикуляр к плоскости . Найдите АВ, если АА₁ =8 см, ВВ₁ = 12 см, А₁В₁ = 4 см.

а) 9 см б) 8 см в) 4 см г) 10 см

8. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб. Найдите расстояние между прямыми АВ₁ и ВC, если ребро куба равно 2 см.

а) см б) 3 см в) 4 см г) 2 см

Вариант 2

1.СDЕК - квадрат со стороной, равной 2 см. ВD  (СDЕ). Найдите расстояние от точки В до плоскости СDЕ, если ВК = см.

а) 8 см б) 6 см в) 8 см г) 6 см

2. ВО - перпендикуляр к плоскости , ВА и ВС - наклонные к плоскости , ОА и ОС - проекции наклонных, причем сумма их длин равна 24 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости , если АВ = 4 см и ВС = 12 см.

а) 8 см б) 6 см в) 6 см г) 4 см

3. В треугольнике МКС СМ  КМ; точка Е не принадлежит плоскости треугольника МКС и ЕМ  МК. Какие высказывания верны?

1) ЕМ (МКС) 2) КМ  (МЕС) 3) КМ  СЕ 4) ЕМ  СК

а) 1;4 б) 2; 3 в) 3 г) 1

4. Треугольник АВС - прямоугольный, А =60⁰, С = 90⁰ см, СН - высота треугольника АВС, причем СН =8 см. Отрезок ВК - перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Найдите ВК, если расстояние от точки К до стороны АС равно 20 см.

а) 12 см б) 15 см в) 8 см г) 10 см

5. Треугольник АСD - равносторонний. Точка S удалена от вершин треугольника АСD на 6 см, а от плоскости АСD на 3 см. Найдите сторону треугольника АСD.

а) 6 см б) 9 см в) 4 см г) 4 см

6. АВСD - квадрат с периметром, равным 16 см. Точка Е удалена от сторон квадрата на 4 см. Найдите расстояние точки Е от плоскости АВС.

а) 2 см б) см в) 2 см г) 2 см

7. Плоскость  перпендикулярна плоскости . Точка С принадлежит плоскости . Отрезок СС₁ - перпендикуляр к плоскости , точка D принадлежит плоскости  и DD₁, перпендикуляр к плоскости . Найдите длину отрезка C₁D₁, который принадлежит линии пересечения плоскостей  и , если СС₁ =8 см, DD₁ = 12 см, СD = 15 см.

а) 6 см б) см в) см г) 3 см

8. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб. Ребро которого равно . Найдите расстояние между прямыми СС₁ и DВ₁.

а) см б) 4 см в) 4 см г) 2 см

Тест 3. Координаты в пространстве.

Вариант 1.

1.А(3; -2; -4). Найдите сумму расстояний от точки А до оси Оу и от точки А до плоскости хОz.

а) б) в) г) 9

2. Известны координаты вершин треугольника: А(2; -1; -3), В(-3; 5; 2), С(-2; 3; -5). ВМ - медиана треугольника АВС. Найдите длину ВМ.

а) б) в) г)

3. СDEF - параллелограмм; С(-4; 1; 5), D(-5; 4; 2), Е(3; -2; -1),F(х; у;z). Найдите координаты точки F и в ответе запишите число, равное х+у+z.

а) б) в) г) 2

4. Координаты точек: А(4; -3; 2), В(-1; -5; 4). Найдите сумму координат точки С, лежащей на оси Оу и равноудаленной от точек А и В.

а) б) в) г) -2,5

5. А(3; 1; -4). Точка В - симметрична точке А относительно плоскости хОу, а точка С симметрична точке В относительно оси Оу. Найдите расстояние между точками А и С.

а) б) в) г)

6. При параллельном переносе точка М(-3; 2; -5) переходит в точку М₁(1; -3; -2). Найдите сумму координат точка К₁, в которую при этом параллельном переносе переходит точка К(1; -2; -5).

а) б) в) г)

7. Треугольник АВС - равнобедренный, АВ = ВС. А(2; -3; 5), В(х; у; z),С(4; 0; -1). Укажите уравнение относительно х, у, z, удовлетворяющее условиям задачи.

а) 3х - 2у + 18z +35 = 0 б) 5х + 3у + 4z + 25 = 0

в) 2х - 3у + 5z - 40 = 0 г) 4х + 6у - 12z + 21 = 0

8. Найдите площадь треугольника АВС, если А(3; 0; 0), В(0; -4; 0), С(0; 0; -1).

а) б) в) г)

Вариант 2.

1. В(-7; 4; -3). Найдите сумму расстояний от точки В до оси Ох и от точки В до плоскости уОz.

а) б) в) г) 10

2. Известны координаты вершин треугольника СDЕ: С(-3; 4; 2), D(1; -2; 5), Е(-1; -6; 4). Найдите длину DК - медиану треугольника.

а) б) в) г)

3. АВСD - параллелограмм; А(4; -1; 3), В(-2; 4; -5), С(1; 0; -4), D(х; у;z). Найдите координаты точки D и в ответе запишите число, равное х+у+z.

а) б) в) г) 4

4. Координаты точек: Р(4; -5; 2), С(-1; 3; 1). Найдите сумму координат точки К, лежащей на оси Оz и равноудаленной от точек Р и С.

а) б) в) г) 17

5. В(-2; 5; 3). Точка С - симметрична точке В относительно плоскости хОz, а точка D симметрична точке C относительно оси Оz. Найдите расстояние между точками B и D.

а) б) в) г)

6. При параллельном переносе точка А(-2; 3; 5) переходит в точку А₁(1; -1; 2). Найдите сумму координат точки В₁, в которую при этом параллельном переносе переходит точка В(-4; -3; 1).

а) б) в) г)

7. Треугольник СDЕ - равнобедренный, СD = DE. C(4; -2; 3), E(-1; 1; 2), D(x; y; z). Запишите уравнение относительно х, у, z, удовлетворяющее условиям задачи.

а) 8х - 4у - 2z + 7 = 0 б) 5х + 8у - 3z - 15 = 0

в) 6х + 5у + 4z - 15 = 0 г) 10х - 6у + 2z - 23 = 0

8. Найдите площадь треугольника МNТ, если М(-6; 0; 0), N(0; 8; 0), Т(0; 0; 2).

а) б) в) г)

Тест 4. Углы между прямыми и плоскостями

Вариант 1.

1.Треугольник АВС - равнобедренный, АВ = ВС = 8 см, С = 90⁰. Плоскость  проходит через сторону АС, причем сторона АВ образует с плоскостью  угол 30⁰. Найдите расстояние от вершины В до плоскости .

а) см б) см в) см г) см

2. Плоскость  проходит через сторону СК квадрата СDЕК, причем диагональ DК образуют с плоскостью  угол, синус которого равен . Найдите угол, который образует с плоскостью сторона CD.

а) ⁰ б) 45⁰ в) 60⁰ г) 90⁰

3. В треугольнике МКР МК = 12 см, М = 30⁰, Р = 90⁰. Плоскость  проходит через сторону МР и образует с плоскостью МКР угол 60⁰. Найдите расстояние от точки К до плоскости .

а) см б) см в) см г) см

4. Треугольники АВС и АВD - равнобедренные, причем АС = ВС = 15 см, АВ = 18 см, АDВ = 90⁰. Найдите косинус угла между плоскостями АВС и АВD, если CD = 6 см.

а) б) в) г)

5. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб. Найдите угол между АВ₁ и ВD₁.

а) ⁰ б) 45⁰ в) 90⁰ г) 30⁰

6. Угол между плоскостями равностороннего треугольника АВК и квадрата АВСD равен 30⁰. Найдите расстояние КD, если АВ = 6 см.

а) см б) см в) см г) см

7. АВС - равносторонний треугольник, через сторону АВ проведена плоскость  под углом 45⁰ к плоскости треугольника АВС. Отрезок СО - перпендикуляр к плоскости . Найдите АВ, если площадь треугольника АОВ равна 12 см².

а) см б) см в) см г) см

8. Угол между плоскостями  и  равен 60⁰. Точка А находится на расстоянии 2 см от плоскости  и () см от плоскости . Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения плоскостей  и .

а) см б) см в) см г) см

Вариант 2.

1. Треугольник СDЕ - равнобедренный, CD = DE = 40 см, С = 60⁰. Плоскость  проходит через сторону СD, причем сторона CE образует с плоскостью  угол 30⁰. Найдите расстояние от вершины E до плоскости .

а) см б) см в) см г) см

2. Плоскость  проходит через сторону AD квадрата ABCD и образует со стороной AB угол, синус которого равен . Найдите угол, который образует с плоскостью диагональ квадрата ВD.

а) ⁰ б) 45⁰ в) 60⁰ г) 90⁰

3. Сторона квадрата АВСD равна а. Сторона равностороннего треугольника ВМК равна 2а. Стороны АD и МК параллельны, и расстояние между ними равно а. Найдите угол между плоскостями АВСD и ВМК.

а) ⁰ б) arcos в) ⁰ г) arcos

4. Треугольники CDК и СКЕ - равнобедренные, причем CD = DK = 25 см, СК = 14 см, Е = 90⁰. Найдите косинус угла между плоскостями СDК и СКЕ, если длина отрезка DЕ = 23 см.

а) б) в) г)

5. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб. Найдите угол между прямыми DC₁ и СВ₁.

а) ⁰ б) 30⁰ в) 60⁰ г) 90⁰

6. Угол между плоскостями равнобедренного треугольника АВС и ромба АВМК равен 30⁰. Найдите длину отрезка СК, если АС = ВС = 10 см, АВ = 12 см, а АВМ = 120⁰.

а) см б) см в) см г) см

7. ЕМС - равносторонний треугольник, через сторону МС проведена плоскость  под углом 30⁰ к плоскости ЕМС. Отрезок ЕО - перпендикуляр к плоскости . Найдите МС, если площадь треугольника МСО равна 18 см².

а) см б) см в) см г) см

8. Угол между плоскостями  и  равен 45⁰. Точка В находится на расстоянии дм от плоскости  и дм от плоскости . Найдите расстояние от точки В до прямой пересечения плоскостей  и .

а) см б) см в) см г) () см

Тест 5. Векторы.

Вариант 1.

1. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб. Найдите вектор, равный + .

а) б) в) г) правильного ответа нет

2. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб. = , = , = . Выразите через векторы , и вектор , если М - середина А₁D₁ и К - середина СС₁.

а) б) в) г)

3. Даны координаты точек: А(-3; 2; -1), В(2; -1; -3), С(1; -4; 3), D(-1; 2; -2). Найдите .

а) б) в) г)

4. Даны координаты точек: С(3; -2; 1), D(-1; 2; 1), М(2; -3; 3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами и .

а) 0,75 б) 0,6 в) г)

5. При каком значении (значениях) k векторы (6 - k; k; 2), перпендикулярны?

а) 2 б) 3 в) г)

6. При каком значении а векторы и коллинеарны, если А(-2; -1; 2), В(4; -3; 6), С(-1; а - 1; 1), D(-4; -1; а).

а) 1 б) -2 в) г)

7. Дано: , () = 60⁰. Найдите соs, где  - угол между векторами и .

а) 0,07 б) в) г)

8. Найдите длину вектора , если () = 90⁰, () = 60⁰, () = 120⁰.

а) б) в) г)

Вариант 2.

1. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб. Найдите вектор, равный - .

а) б) в) г)

2. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб. = , = , = . Выразите через векторы , и вектор , если K - середина CC₁ и P - середина AD.

а) б) в) г)

3. Даны координаты точек: C(-4; -3; -1), D(-1; -2; 3), M(2; -1; -2), N(0; 1; -3). Найдите .

а) б) в) г)

4. Даны координаты точек: A(1; -1; -4), B(-3; -1; 0), C(-1; 2; 5), D(2; -3; 1). Найдите косинус угла между векторами и .

а) 0,8 б) -0,5 в) г)

5. При каком значении (значениях) m векторы (4; m-1; m), перпендикулярны?

а) 4 б) -3 в) г)

6. При каком значении а векторы и коллинеарны, если C(-3; 2; 4), D(1; -4; 2), M(1; - 2; a), N(-1; a+3; -1).

а) -2 б) -3 в) г)

7. Дано: , () = 120⁰. Найдите соs, где  - угол между векторами и .

а) б) в) г)

8. Найдите длину вектора , если () = 60⁰, () = 90⁰, () = 120⁰.

а) б) в) г)