- Преподавателю
- Математика
- Разработка открытого урока по теме «Физическое приложение определенного интеграла» 1 курс СПО
Разработка открытого урока по теме «Физическое приложение определенного интеграла» 1 курс СПО
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Моисеева С.А. |
Дата | 12.02.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
росжелдор
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(ФГБОУ ВПО РГУПС)
Тихорецкий техникум железнодорожного транспорта
(ТТЖТ - филиал РГУПС)
Моисеева С.А.
РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА
«ФИЗИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА»
по дисциплине математика
для студентов 1 курса
Тихорецк
2013
План урока
Тема урока: Физическое приложение определенного интеграла
Раздел: Начала математического анализа
Вид занятия: практическое
Цели урока:
Образовательные: Проверить знания и умения по теме «Вычисление определенного интеграла и площади криволинейной трапеции».
Формировать комплексное представление о практических приложениях интеграла в различных областях.
Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.
Оборудование: комплект карточек для самостоятельной работы, компьютер, системно - обобщающие схемы, инструменты для работы у доски.
-
Организационный момент
-
Взаимное приветствие
-
Проверка готовности студентов к уроку (рабочее место, внешний вид)
-
Организация внимания
-
Сообщение целей урока
-
Закрепление и проверка уровня усвоения материала по теме «Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона - Лейбница. Геометрический смысл интеграла»
-
Индивидуальное задание на применение геометрического смысла интеграла
-
Фронтальный опрос
-
Самостоятельная работа на вычисление определенного интеграла
-
Изучение нового материала
-
Объяснение нового материала преподавателем
-
Решение типового примера на вычисление пути по известному закону изменения скорости
-
Усвоение новых знаний
-
Решение примеров и задач под руководством преподавателя
-
Решение кейс - задачи
-
Проверка умений студентов применять знания в измененных, нестандартных условиях
-
Тестовая работа с проверкой в классе.
-
Домашнее задание
-
Итог урока
Ход урока
-
Организационный момент.
Цель.
Сегодня мы повторим формулы нахождения первообразных, проверим ваши навыки их нахождения, рассмотрим приложение определенного интеграла к решению различных физических задач, т. е. возможность применения элементов интегрального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира.
-
Закрепление и проверка уровня усвоения материала.
Индивидуальные задания
Фронтальный опрос
-
Что называется первообразной?
-
Повторим таблицу первообразных
-
Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
-
Вычислить первообразную функций
3х2+4х
2 sin 3x
х3 - х2 + 3
2 сos 3x
-
Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
-
Какие из фигур, изображенных на рис. являются криволинейными трапециями?
-
Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.
-
Запишите формулу Ньютона- Лейбница.
-
Проверим работу у доски
Самостоятельная работа (индивидуальная работа по карточкам) (Приложение 1)
Студентам даются карточки с заданиями (всего 31 вариант) и таблица с буквами и правильными ответами. На доске записаны числа от 1 до 31. Студент, выполнивший задание, записывает на доске под номером своей карточки букву, которая соответствует ответу его примера и получает новую карточку. За правильно решенные 2-3 задания он получает оценку. При положительном результате должно получиться предложение «Чистая совесть - самая мягкая подушка».
Итог. Полученная фраза не связана непосредственно с темой урока, хотя в жизни мы часто слышим похожие фразы: «Жить по совести», «В ладу со своей совестью», "Работу выполняю качественно, поэтому моя совесть чиста". Кто еще знает похожие пословицы? Кто знает притчу про эту пословицу? Необязательное задание на дом: найти притчу в интернете.
Вы хорошо (не очень) справились с нахождением определенных интегралов (работа показала, сто часть студентов не в полной мере овладело навыками нахождения определенных интегралов). …
-
Объяснение нового материала.
Приступая к рассмотрению задач на применение интеграла, вспомним некоторые понятия, связанные с дифференциальным исчислением:
-
Какое действие называется дифференцированием?
-
Каков физический смысл производной? (это скорость изменения некоторого процесса)
-
Какие задачи решили с помощью производной?
-
Изучая производную, мы говорили о физическом смысле производной - это скорость изменения некоторого процесса, т.е. если некоторый процесс протекает по закону s=s(t), то производная выражает скорость протекания процесса в момент времени t. Рассматривая производную скорости по t, получим скорость изменения скорости, т.е. ускорение: .
Путь (перемещение)
Предположим, что точка движется по прямой (по оси ОХ)
Какой путь она пройдет за время t?
Из физики известно, если V = const, то .
Если движение равноускоренное, то путь считают функцией времени S = s(t), тогда скорость в любой момент времени равна производной пути .
Скорость изменения скорости - это ускорение, , .
Обратная задача.
Если известен закон изменения скорости, то S - это первообразная для V, т.е. , а а - первообразная для V, т.е. .
Как найти перемещение точки за промежуток времени [t1 ; t2]?
Если скорость точки постоянна и равна V, то перемещение вычисляется так:
S = V(t2-t1)
Пусть теперь это скорость меняется и задан закон этого изменения V=V(t).
Известно, что
Перемещение за промежуток времени [t1 ; t2] равно:
- закон изменения ускорения.
Тогда
Полезная схема:
Пример Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=3t2+4t+1 (м/с). Найти путь, пройденный телом за первые 3с.
Решение.
Так как путь, пройденный за промежуток времени выражается интегралом, то (м)
-
Закрепление нового материала
Решение задач (Приложение 5)
Задача №1 Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением v(t) = 15+0,2t. Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд.
Решение. Согласно формуле имеем (м)
Задача №2 Поезд движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки.
Решение. Скорость движения равно нулю в моменты начала движения и остановки. Найдем момент остановки, для чего решим уравнение
(м)
Задача №3 Скорость движения тела изменяется по закону м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.
Решение. (м)
Задача №4 Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту подъема.
Решение: Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх: (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю; (с). Поэтому (м).
Задача №5 Два тела одновременно выходят из одной точки: одно - со скоростью м/с, другое - со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении?
Решение: (м), (м). (м)
Задача №6 Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями м/с и м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?
Решение: Пусть - момент встречи. Тогда
;
.
Так как , то получаем уравнение , откуда (с)
Задача №7 Электровоз движется с ускорением, меняющимся по закону . В момент времени t0 = 1с электровоз имел скорость V0 = 0,05м/с.
Вычислить скорость движения электровоза в момент времени t = 3с.
Решение: Скорость - это первообразная ускорению, находим формулу для вычисления скорости
Найдем С из условия
Отсюда
-
Обобщение материала по разделу «Начала математического анализа»
Итог. Рассмотрев зависимости между физическими величинами, можем сделать вывод, что физические задачи делятся на две категории - нахождение производной и нахождение первообразной (интеграла). Рассмотрим некоторые задачи на применение производной и интеграла используя схему (1).
Задача №7 (кейс задача) Электровоз движется прямолинейно изменяется по закону (м/с).
Какая скорость была у электровоза в момент времени t = 2с .
Найти ускорение электровоза в момент времени t = 2с.
Путь, пройденный электровозом за 2 секунды от начала движения.
Решение.
Скорость в момент времени - это значение функции при t = 2: м/с
Ускорение тела определяется выражением
Тогда (м/с2).
(м)
-
Первичная проверка понимания и осознания материала
Тестовая работа с проверкой в классе (Приложение 6)
-
Домашнее задание.
-
Итог урока. К величинам, которые вычисляются с помощью интеграла можно отнести перемещение, работу, массу, электрический заряд, давление, теплоту. К ним можно присоединить геометрические величины - длину, площадь, объем.
Надеюсь, что сегодня вы смогли ответить на вопрос «Зачем это нужно?» и «Где это применяется?»
Приложение 1
Индивидуальные задания
1
17
2
18
3
19
4
20
5
21
6
22
7
23
8
24
9
25
10
26
11
27
12
28
13
29
14
30
15
31
16
Приложение 2
Карточка вариантов ответов
А
В
Г
Д
Е
И
К
М
О
18
8
1
П
С
Т
У
Ш
Ч
Ь
Я
17
6
3
106
4
14
2
Приложение 3
Таблица ответов к самостоятельной работе «Разминка»
1
4
17
18
2
18
2
3
6
19
4
3
20
2
5
18
21
8
6
2
22
7
6
23
18
8
24
2
9
25
17
10
26
11
6
27
1
12
3
28
106
13
14
29
14
6
30
15
18
31
18
16
Приложение 6
Вариант 1
1. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Ускорение катера в момент времени равно …
Варианты ответа:
А) 85
Б) 45
В) 123
Г) 42
2. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Скорость катера на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения катера.
1.
t = 2
А)
46
2.
t = 3
Б)
136
3.
t = 4
В)
19
4.
t = 5
Г)
85
Д)
225
3. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Время катера, при котором ускорение а = 45, равно ….
Ответ: ________________
4. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Путь, пройденный катером за 4 секунды от начала движения, равен ….
Ответ: ________________
Вариант 2
1. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Ускорение пассажирского поезда в момент времени равно …
Варианты ответа:
А) 92
Б) 56
В) 24
Г) 88
2. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Скорость пассажирского поезда на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения пассажирского поезда.
1.
t = 1
А)
528
2.
t = 2
Б)
4
3.
t = 3
В)
496
4.
t = 4
Г)
204
Д)
56
3. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Время пассажирского поезда, при котором ускорение а = 212, равно ….
Ответ: ________________
4. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Путь, пройденный пассажирским поездом за 3 секунды от начала движения, равен ….
Ответ: ________________
Вариант 3
1. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Ускорение гоночного автомобиля в момент времени равно …
Варианты ответа:
А) 28
Б) 12
В) 45
Г) 46
2. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Скорость гоночного автомобиля на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения гоночного автомобиля.
1.
t = 1
А)
490
2.
t = 2
Б)
2
3.
t = 3
В)
253
4.
t = 5
Г)
28
Д)
102
3. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Время гоночного автомобиля, при котором ускорение а = 46, равно ….
Ответ: ________________
4. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Путь, пройденный гоночным автомобилем за 5 секунд от начала движения, равен ….
Ответ: ________________
Вариант 4
1. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Ускорение велосипедиста в момент времени равно …
Варианты ответа:
А) 144
Б) 347
В) 146
Г) 560
2. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Скорость велосипедиста на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения велосипедиста.
1.
t = 1
А)
11
2.
t = 2
Б)
119
3.
t = 3
В)
50
4.
t = 4
Г)
139
Д)
218
3. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Время велосипедиста, при котором ускорение а = 114, равно ….
Ответ: ________________
4. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .
Путь, пройденный велосипедистом за 4 секунды от начала движения, равен ….
Ответ: ________________
Приложение 7
Правильные ответы
1 вариант
2 вариант
3 вариант
4 вариант
Задание 1
Б
А
Г
А
Задание 2
1 - В
1 - Б
1 - Б
1 - А
2 -А
2 -Д
2 -Г
2 -В
3 - Г
3 - Г
3 - Д
3 - Б
4 -Б
4 -В
4 -А
4 - Д
Задание 3
4
3
2
4
Задание 4
108
144
475
280
Приложение 5
Задачи на применение первообразной и интеграла
№1 Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением . Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд.
№2 Поезд движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки.
№3 Скорость движения тела изменяется по закону м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.
№4 Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту подъема.
№5 Два тела одновременно выходят из одной точки: одно - со скоростью м/с, другое - со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении?
№6 Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями м/с и м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?
№7 Электровоз движется с ускорением, меняющимся по закону . В момент времени t0 = 1с электровоз имел скорость V0 = 0,05м/с.
Вычислить скорость движения электровоза в момент времени t = 3с.
№8 Скорость электровоза, движется прямолинейно изменяется по закону (м/с).
Какая скорость была у электровоза в момент времени с.
Найти ускорение электровоза в момент времени t = 2с.
Путь, пройденный электровозом за 2 секунды от начала движения.
16