Конспект занятия математического кружка на тему: «Обобщение теоремы Коши. Развертка многогранника. Теорема Александрова о развертке», 11 класс

Конспект занятия математического кружка на тему: «Обобщение теоремы Коши. Развертка многогранника. Теорема Александрова о развертке», 11 класс

Цели: обобщить теорему Коши, дать определение развертки многогранника, сформулировать и доказать теорему Александрова о развертке.

Оборудование: проектор, бумага, модели многогранников, наглядные пособия, карандаш, линейка, угольник, ножницы, бумажный клей.

Литература: 1. Александров А.Д. Геометрия: учеб. пособие / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 672 с.

2. Геометрия, 10 - 11: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 13 - е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 206 с.

3. Долбинин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках / Н. Долбинин // Квант.- 2001.- №5, 6.

План занятия:

1. организационный момент;

2. рассказ учителя;

3. исследовательская работа (работа с наглядными пособиями);

4. подведение итогов;

5. домашнее задание.

Перед началом занятия ребятам полезно дать модель куба из бумаги, его развертку. Попросить их склеить куб из развертки, попытаться сформулировать определение. После чего следует дать ученикам часто употребляемое определение развертки.

Определение 1: Под разверткой многогранника подразумевается совокупность многоугольников, которые склеиваются между собой по целым сторонам, образуя данный многогранник. Каждый многоугольник при этом превращается в грань многогранника, а сторона многоугольника - в ребро.

Пример: совокупность из 6 квадратов, у которых склеиваемые стороны и вершины отмечены одинаковыми буквами (рис. 1, б), образуют особую развертку куба (рис. 1, а), каждый её многоугольник - это грань многогранника. А каждая сторона многоугольника (вместе с еще одной стороной другого многоугольника) - это ребро многогранника. Вершины развертки, полученные одной буквой, склеиваются в одну вершину многогранника.

Другая, хорошо известная развертка куба (рис. 1, в) - крестообразная, она состоит из одного лишь многоугольника с 14 вершинами и такого же количества сторон. Помеченные одинаковыми буквами вершины и стороны склеиваются между собой. На этой развертке куба его грани уже не представлены в виде отдельных многоугольников. Не представлены на этой развертке также и некоторые будущие ребра куба.

Рассмотрим еще одну развертку того же куба. Для этого, напротив, вместо того, чтобы склеивать квадратные грани между собой, разрежем каждую из них на четыре треугольника. Получим новую развертку куба, состоящую из 24 треугольников (рис. 1, г). Каждый треугольник - это лишь часть грани куба. В этой развертке столкнулись с новым обстоятельством: не все стороны развертки являются ребрами многогранника, не все вершины развертки являются вершинами многогранника, каждый треугольник развертки является лишь частью грани склеиваемого из нее куба.

Эти 24 треугольника можно склеивать другим образом (опять-таки вдоль отождествляемых сторон) в один многоугольник (рис. 1, д). В этой развертке, состоящей из единственного многоугольника, ни одна из сторон не является ребром куба, который получается из этой развертки.

Рис. 1

После обсуждения, следует задать вопрос: Какой вывод можно сделать из выше рассмотренных примеров? (Многоугольники развертки, их стороны и вершины не обязаны быть гранями, рёбрами и вершинами многогранников, которые из них получаются).

Затем дается определение развертки.

Определение 2: если имеется несколько многоугольников, у которых каждая сторона отождествлена с другой и только одной стороной того же или другого многоугольника этой совокупности и это отождествление (или склеивание) сторон удовлетворяет еще двум условиям:

1. отождествляемые стороны имеют одинаковую длину;

2. от каждого многоугольника к любому другому можно перейти, проходя по многоугольникам, имеющим отождествленные стороны,

то совокупность многоугольников, удовлетворяющая условиям 1) и 2), называется разверткой.

А. Д. Александров доказал, что два выпуклых многогранника с одинаковой разверткой конгруэнтны. Эта теорема сильнее теоремы Коши. Действительно, если нам даны все грани многогранника, а также правило их склеивания по сторонам, то, конечно, развертка задана. Более того, по такой специального вида развертке, в силу теоремы Коши, многогранник восстанавливается однозначно. В то же время по развертке, которая присутствует в теореме Александрова, ничего нельзя сказать о гранях и рёбрах будущего многогранника, а, тем не менее, многогранник из неё получается однозначно.

Более того, из развертки многогранника нельзя получить вообще никакой другой выпуклой поверхности, не только многогранной, но и криволинейной. Это усиление теоремы Коши - Александрова было получено в 1941 году учеником Александрова С. П. Оловяшниковым.

Что касается наиболее полного обобщения теоремы Коши на случай произвольных поверхностей, то этот вопрос долгое время оставался нерешенным. Пусть произвольная замкнутая выпуклая поверхность выполнена из тонкого, гибкого, но не растяжимого материала. Можно ли, сохраняя выпуклость, получить из неё поверхность другой геометрической фигуры? Если исходная поверхность выпуклый многогранник, то нельзя - по теореме Оловяшникова о единственности.

Окончательное обобщение теоремы Коши на случай произвольных поверхностей было получено в 1949 году А. В. Погореловым. Он доказал, что любая замкнутая выпуклая поверхность неизгибаема при условии её выпуклости. Теорема Погорелова о единственности, как и теорема Александрова о необходимых и достаточных условиях развертки выпуклого многогранника, принадлежит к числу выдающихся достижений в области геометрии.

Теорема Александрова о развертке.

Перед формулировкой и доказательством теоремы Александрова о развертке, следует повторить Эйлерову характеристику многогранников, и дать определение Эйлеровой характеристики развертки.

Определение 3: Эйлерова характеристика развертки, определяется аналогично Эйлеровой характеристике многогранника:

Х=В-Р+Г,

где Г - число многоугольников, входящих в развертку, Р - число сторон многоугольников, при этом отождествляемые стороны считаются за одну, В - число вершин, при этом отождествляемые вершины считаются за одну.

В случае специальной развертки, когда каждый многоугольник развертки - это грань многогранника, ребро развертки - это ребро многогранника, а вершина развертки - вершина многогранника, очевидно, что Эйлерова характеристика развертки равна Эйлеровой характеристике многогранника.

Эйлерова характеристика сохраняется при перекраивании данной развертки в изометрическую, поэтому Эйлерова характеристика любой развертки многогранника равна характеристике многогранника. Поэтому у развертки выпуклого многогранника Эйлерова характеристика равна 2.

Теорема о развертке (А. Д. Александров)

Из всякой развертки, удовлетворяющей условиям:

1 - её Эйлерова характеристика равна 2;

2 - сумма углов, подходящих к любой вершине развертки, не превосходит 2;

можно склеить выпуклый многогранник.

Доказательство: Подсчитаем Эйлерову характеристику для нескольких разверток куба. Для крестообразной развертки (рис. 1, в) имеем В=8, Р=7, Г=1 и, соответственно, Х=2. Для развертки, изображенной на рис. 28, д - имеем В=11, Р=10, Г=1, откуда опять Х=2.

Долее, если вершине развертки соответствует настоящая вершина многогранника, то сумма подходящих углов острого меньше 2. Если же вершине развертки соответствует какая-нибудь точка внутри грани или ребра, то сумма подходящих к вершине углов равна 2. Поэтому в развертке выпуклого многогранника сумма углов, подходящих к каждой его вершине, не превышает 2.

Итак, у всякой развертки выпуклого многогранника Эйлерова характеристика равна двум, а сумма углов, подходящих к каждой вершине, не превосходит 2.

Рис. 2

Эти условия являются не только необходимыми, но и достаточными.

Отметим, что среди этих выпуклых многогранников могут встретиться и многогранники, которые вырождаются в плоский многоугольник. Возьмём развертку, состоящую из двух равных выпуклых многоугольников, у которых соответственные стороны и вершины попарно отождествлены (рис. 2).

Эйлерова характеристика такой развертки В-Р+Г=n-n+2+2, где n - число сторон у склеиваемых многоугольников. Эта развертка удовлетворяет условию (2). По теореме Александрова, из неё можно склеить многогранник. Это - вырожденный многогранник, или иначе «двойной многоугольник». Его можно представить как контурный многоугольник, обклеенный с обеих сторон плоскими многоугольниками.

Примеры: 1) «Тетраэдрический» пакет. В недавнем прошлом молоко разливалось в пакеты, которые имели форму не кирпича, а правильного тетраэдра. Хотя упаковывать в тару эти тетраэдры неудобно, зато изготавливать их легко. Сначала прямоугольная лента склеивается в цилиндр, горизонтальные края которого затем заклеиваются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 3). Развертка такого тетраэдра - это прямоугольник, стороны которого разбиваются на меньшие отрезки - ребра развертки и попарно отождествляются. Данная развертка удовлетворяет обоим условиям теоремы Александрова. Это можно даже не проверять, так как это развертка выпуклого многогранника.

Рис. 3

Теперь, предположим, что прямоугольник развертки очень «низкий», а правила склеивания остаются теми же (рис. 4, а). Эта развертка, так же как и «высокий» прямоугольник, удовлетворяет условиям 1 и 2. По теореме Александрова, из развертки можно склеить выпуклый многогранник. С другой стороны, если нижний край цилиндра уже склеен, то для склеивания в перпендикулярном направлении не хватает высоты (рис. 4, б). Кажется почти очевидным, что эта развертка является контрпримером к теореме Александрова. Тем не менее, и из этой развертки тоже можно склеить тетраэдр (рис. 4, в).

Рис. 4

2) Возьмём правильный треугольник, поделим его стороны пополам и отождествляем одну половину каждой стороны с другой её половинкой (рис. 5, а). Из такой развертки склеивается правильный тетраэдр (рис. 5, б).

Рис. 5

Разрежем треугольник по прямой AD на два треугольника, которые склеим по общей стороне в новую развертку ACABAD (рис. 5, в). И опять возникает сомнение в том, можно ли склеить из неё многогранник. Развертка на рис. 5, в) удовлетворяет условиям теоремы Александрова. Поэтому из неё можно склеить выпуклый многогранник. Более того, эта развертка изометрична развертке на рис. 5, а) и по теореме Коши - Александрова, этот многогранник будет тем же самым правильным тетраэдром. На рис. 5, г), стр. 66 представлена еще развертка, изометричная предыдущим. Возможность склеить из этой «тупоугольно-треугольной» развертки тетраэдр кажется еще более сомнительной.

Тем не менее, по теореме Александрова это можно сделать. У рассматриваемой развертки имеется ровно четыре вершины (точки, в которых сумма подходящих углов строго меньше ). Значит, многогранник - это тетраэдр, который может, вообще говоря, вырождаться в четырёхугольник. Чтобы получить на развертке ребра будущего тетраэдра, нужно вершины попарно соединить кротчайшими линиями. Это будут ребра тетраэдра. Когда развертка «хорошая» (рис. 5, а), кротчайшие состоят из целых отрезков и хорошо угадывается будущий многогранник. Но, вообще говоря, кротчайшая на развертке состоит из нескольких отрезков (рис. 5, б - г) и из-за этого трудно определить, как устроены грани тетраэдра.

Задача определения многогранника по развертке, если она имеет боле четырех настоящих вершин (в которых сумма подходящих углов меньше ), является очень трудной. По теореме Александрова о развертке знаем, что выпуклый многогранник существует. По теореме Коши - Александрова о единственности, что он единственный. Возникает вопрос: каков он? Легко определить на развертке вершины многогранника. Каждому ребру на многограннике соответствует кротчайшая, соединяющая какие-то вершины. Но не все кротчайшие, соединяющие вершины, являются ребрами. Определить на развертке, какие из кротчайших являются ребрами, и, следовательно, определить все грани многогранника, - очень трудная, пока нерешенная задача.

Задание: Изобразите развертки каждого из пяти правильных многогранников.

Решение: Правильный тетраэдр (рис. 6, а), правильный октаэдр (рис. 6, б), правильный гексаэдр (рис. 6, в), правильный икосаэдр (рис. 6, г), правильный додекаэдр (рис. 6, д).

б)

а)

в)

г)

д)

Рис. 6