- Преподавателю
- Математика
- Презентация к уроку по геометрии теорема Стюарта
Презентация к уроку по геометрии теорема Стюарта
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Презентации |
Автор | Стратилатова П.В. |
Дата | 08.12.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
МОУ «Трёхбалтаевская средняя общеобразовательная школа»
Районная конференция - фестиваль
творчества учащихся
Секция « Математика»
Теорема Стюарта
Хамдеева Рузалия ---
10 класс
Стратилатова
Полина Викторовна
учитель математики
2007
Введение
Добиться умения решать задачи и доказывать теоремы является основной целью изучения курса геометрии в школе. При решении задач или при доказательстве теорем мы, в основном, рассматриваем один способ, хотя некоторые задачи имеют не один способ решения. Наличие нескольких, отличных друг от друга, методов решения или доказательства заинтересовали меня. Ранее я рассматривала решение одного квадратного уравнения несколькими способами. Листая математическую литературу, натолкнулась на теорему Стюарта, которая доказывалась двумя способами. Решила попробовать свои силы в доказательстве теоремы еще другими способами. В данной работе приводится 4 способа доказательства теоремы Стюарта: 1)метод координат; 2) через векторы;3) применяя теорему косинусов;
4) применяя теорему Птоломея.
Цель:
Доказать теорему Стюарта различными методами
Задача:
Развивать интерес к поиску различных способов решения задач.
Теорема Стюарта:
Пусть треугольник со сторонами а, в, с разделен на два отрезком длины d, проходящим через вершину С и делящим сторону ВА на отрезки, равные m и n. Доказать, что a²n + b²m - d²c = mnc.
C
a d b
B m n A
c D
Доказательство: 1.Метод координат
y
C
a d b
B m H D n A x
c
Вводим систему координат так, чтобы ось ОХ пошла по стороне АВ ,а ось ОУ по высоте СH. Обозначим координаты А (х1; 0); В (х2; 0); С(0; у0); D(х;0). Проверим наше равенство. y
По теореме Пифагора С
b² = х ²1 + у²0
а² = х ²2 + у²0 a d b
d² = х ² + у²0 x
m = x - x2 n = x1 - x c =x1 - x2 B m H D n A
-m = x2 -x -n = x -x1 -c = x2 - x1 c
a²n + b²m - d²c = mnc;
- a²n - b²m +d²c = -mnc;
(x²2 + y²0)(x - x1) + (x²1 + y²0)(x2 -x) - (x² + y²0)(x2 -x1) = (x2 - x1)(x2 - x)(x - x1)
x²2x - x²2x1 + y²0x - y²0x1 + x²1x2 - x²1x+ y²0x2 - y²0x - x²x2 + x²x1 - y²0x2 + y²0x1 =
= (x²2 - x2x - x1x2 + x1x)(x - x1);
x²2x - x²2x1 + x²1x2 - x²1x+ x²x1 - x²x2 = x²2x - x²2x1 - x2x² + x2xx1 - x1x2x + x²1x2 - x1x²+ x²1x.
0 = 0
Равенство выполнено.
-
Применение векторов:
Пусть = =, = , =,
,
=- ² =-| |²
Умножаем полученное равенство на вектор
-||²
²+ ²+²+-²=-||².
²+²-²-²=-||²
=²+²-||²; ||²+||²-||².
В полученном равенстве векторы сонаправленные, тогда для их длин можем записать следующее выражение:
||² ||+||² ||- || ||² = || || || .
Ч. Т .Д.
-
Применение теоремы косинусов:
C
a d b
α 180˚-α
B A
m D n
a²=d²+m²-2dm cosα, отсюда cosα=( d²+m²-a²)/ 2dm.
b²=d²+n²+2dn cosα=d²+n²+2dn( d²+m²-a²)/ 2dm.
b²m=d²m+n²m+nd²+nm²-na²
b²m+a²n-d²c=mn (m+n )=mnc
b²m+a²n-d²c=mnc.
Ч.т.д.
4) Применение теоремы Птоломея :
У четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей.
С
d
a A
m D n
l p k
K
По теореме имеем:
a k+lb=(d+p) (m+n). (*)
Из подобия треугольников BCD и ADK имеем:
Из подобия треугольников CDA и BDK имеем:
Тогда и .
Откуда
(1)
Подставляя (1) в равенство (*) имеем:
+
a²n+b²m=d (d+p) (m+n)
a²n+b²m=(d²+dp) (m+n)
a²n+b²m=d²(m+n)+dp(m+n)
a²n+b²m- d²c=dp(m+n). Так как dp=mn, то
a²n+b²m- d²c=mn(m+n) = mnc. Ч.т .д.
Заключение
За время обучения в школе мы решаем огромное количество задач, овладеваем общим умением решения задач. В процессе решения задач стараемся понять, в чём состоят приёмы и методы решения задач. В частности, при решении задач часто встречается применения векторов (доказательство теоремы о средней линии трапеции), а также в решении многих задач школьного курса применяется теорема косинусов. Применение этих и других способов решения задач я использовала в своей работе. Сама теорема Стюарта редко применяется при доказательстве теорем или при решении задач. Дальнейшую свою работу вижу в том, что заинтересоваться задачами, при решении которых применяется теорема Стюарта.
Вывод:
Чтобы научится решать задачи, доказывать теоремы, надо много поработать: иметь хорошую начальную базу, любовь к предмету, заинтересованность этим предметом и творческий поиск. Надо найти такой подход к доказательству теорем, при котором теорема выступает как объект тщательного обучения, а её доказательство - как объект конструирования и изобретения.
Литература:
-
Геометрия 7- 9 класс. А. В. Погорелов.- М. «Просвещение», 1997.
-
Как научиться решать задачи. Л.М. Фридман,
Е.Н. Турецкий. М. « Просвещение», 1998.
-
Математика в школе. Журналы