Открытый урок по геометрии

Тема : « Объем конуса »
Цель урока : Рассмотреть теорему об объеме конуса; выработать навыки решения задач на применение формул объема конуса; подготовка к ЕГЭ рассмотрение задач В10 на нахождение объема конуса, развитие любознательности.
I. Орг. момент . Проверка домашнего задания: просмотр тетрадей.

II. Введение проблемного задания. Задача . Послушайте старинную легенду восточных народов, рассказанную А.С.Пушкиным в
« Скупом рыцаре».

«…Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
^ Велел снести земли по горсти в кучу.

И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.»

Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить эту затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм» И так что нам надо знать чтобы вычислить объём земли в холме? Ответы учеников. Значит тема нашего урока( сообщение темы и целей урока )


III. Повторение основных сведений о конусе
- Определение конуса
- Элементы конуса
- Сечения конуса
- Площадь поверхности конуса.

IV. Объяснение нового материала :
на основе имеющихся знаний выведем формулу для нахождения объема конуса.
1 способ : Для вывода формулы объема конуса воспользуемся основной формулой для вычисления объемов тел с помощью определенного интеграла



Рассмотрим конус, у которого радиус основания r, высота h. Введем ось ОХ с началом в вершине конуса, вдоль его оси, и проведем произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ.

Дальнейшие рассуждения аналогичны тем, что мы использовали при выводе объема пирамиды. (Для продолжения доказательства дом задание по учебнику.) Получаем :




2 способ: ( применение интеграла -алгебра11)Эту же самую формулу можно получить, рассматривая конус как тело вращения прямоугольного треугольника вокруг катета.








)

V. Закрепление :
1) Работа по таблице на доске .

2) Практическая работа :

а)Найти , пользуясь чертежом, объем фигуры( на доске таблица).

б )- по вариантам ,дифференцированные задания из ДМ С-12.
в ) на доске выполняет ученик задание по карточке, остальные с проекции на экране,
самостоятельно в тетрадях ,задания из открытого банка для подготовки к ЕГЭ, затем проверка полученных результатов.

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 14

МИНУТКА ОТВЛЕЧЁННАЯ ОТ ЗАНЯТИЯ. РАЗМИНКА ДЛЯ ГЛАЗ.( Слайд с подобранной разминкой. Проекция на экран.)
Продолжение практической работы по «цепочке» у доски.

3)Работа по учебнику №701а,б , №704.

4.) Решение задачи озвученной вначале урока. Послушайте старинную легенду восточных народов, рассказанную А.С.Пушкиным в
« Скупом рыцаре».

«…Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
^ Велел снести земли по горсти в кучу.

И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.»

Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить эту затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

Решение: Пусть в войске 100000 воинов.

1горсть=1/5 дм



Чтобы земля не осыпалась, угол откоса должен быть меньше 45⁰.



Конечно же, кучу земли высотой в 2,7 м никак не назовешь «гордым холмом». Вряд ли такая высота удовлетворила бы честолюбие царя.

Если взять угол меньше 45⁰, получим еще меньшую высоту.

5) Задача- практической направленности.

Задача : На станции железной дороги насыпана конусообразная куча угля; ее высота 4м,

уклон 1 : 1,5(тангенс угла равен). Сколько потребуется вагонов для перевозки этого угля;

грузоподъемность вагона 25т. ( плотность угля 1300 кг/м

решение : R= 4∙1,5 = 6(м) V = V =

m = V∙ ρ m = 48∙ 3,14 ∙ 1300 = 195936 ( кг )

n = m : 25 = 195,936 : 25 8 ( вагонов)
VI. Дополнительная информация о конусе. Сообщение ученика.
1. В биологии верхушку побега и корня растений состоящую из клеток образовательной ткани, называют «конусом нарастания». Деление клеток «конуса нарастания» обеспечивает рост стебля и корня в длину. Этот рост сопровождается ветвлением.
2. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2 - 16 см). Конусов свыше 500 видов. Укус конусов болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используют для изготовления украшений и сувениров.

3. «Конус выноса» - понятие в геологии. Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенных горными реками на предгорную равнину.
4. Конусообразный угол, вырезанный в шаре, называется «телесный угол» и используется в физике. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен.
5. Гром, гроза, молния. Эти явления природы хорошо нам знакомы. Больше всего гроз бывает в Индонезии и Центральной Америке. Здесь число дней в году с грозами превосходит 200. И именно здесь чаще всего погибают от разрядов молний.
Для предохранения зданий, промышленных сооружений от разрушительного действия молнии ставится молниеотвод, или, как его называют, громоотвод, в результате чего образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса.
VII^ . Историческая справка. Сообщение учителя.
Конус в переводе с греческого означает « сосновая шишка ». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда ( 287 - 212 гг. до н.э. ) « О методе » , в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470 - 380 гг. до н.э.) -древне-греческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.
Много сделала для геометрии школа Платона ( 428 - 348 гг. до н.э. ) Платон был учеником Сократа ( 470 - 399 гг. до н.э. ). Он в 387 г. до н.э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий В Академию, читал надпись : « Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона принадлежит исследование свойств призмы, цилиндра и конуса; изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях принадлежит

Аполлонию Пергскому (260 - 170 гг. до н.э. ) - ученику Евклида ( III в. до н.э. ), который создал великий труд из 15 книг под названием « Начала». В ХII книге «Начал» Евклида содержатся следующие теоремы:
1) Объем конуса равен одной трети объема цилиндра с равным основанием и равной высотой; доказательство этой теоремы принадлежит Евдоксу Книдскому.
2) Отношение объемов двух конусов с равными основаниями равно отношению соответствующих высот.
3) Если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.
Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор. Непосредственное вычисление объема конуса дает Герон Александрийский.

III. Домашнее задание : № 701(в) , № 703, № 705.
. Итог урока :
Учитель: У Яна Амоса Коменского есть такое высказывание: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и не прибавил к своему образованию». Я думаю, что для вас прошедший урок - счастливый час! Потому что …( ребята высказывают свое мнение).
Список литературы:

1. Геометрия. Учебник для 10-11кл. общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. - М.: Просвещение,2010г.

2. Геометрия . Учебник для 9-11кл./ К.С. Барыбин.-М.: Просвещение,1972.

3. История математики в школе . Г.И. Глейзер. -М.: Просвещение, 1982.

4. Интернет ресурсы

Анализ.
Урок в 11 классе по теме «Объем конуса» является первым уроком при изучении данной темы. Урок построен с учетом материала изученного ранее, на знаниях учащихся, их интуиции и применении нового материала в нестандартной ситуации. На уроке была создана проблемная ситуация, для решения которой ученикам необходимо вывести формулу для вычисления объема конуса различными способами. Повышение интереса к математике проходит через привлечение исторического материала. На уроке прослеживаются межпредметные связи с черчением, литературой, учащиеся могут наглядно убедиться в практической направленности изучения данной темы и выполнить работу с уровневой дифференциацией. на нахождение объема детали по чертежу выполнены задания типа В10 из банка открытых заданий ЕГЭ.. В заключении рассказано обучающимся о применении понятия конуса в жизни и науке.