- Преподавателю
- Математика
- Проектная работа ученика Аликвотные дроби
Проектная работа ученика Аликвотные дроби
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Куликова Л.В. |
Дата | 17.04.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
МКОУ «Николо -Поломская средняя
общеобразовательная школа»,
Парфеньевского района, Костромской области.
Исследовательский учебный проект
« Аликвотные дроби»
Автор работы:
Ученица 5 класса: Сироткина Евгения
Руководитель: Куликова Л.В.
2015 г.
Оглавление.
-
Введение.
-
Актуальность работы.
-
Цели и задачи работы.
-
Методическая база исследования.
-
Практическая значимость исследования.
-
Гипотеза.
-
Основное содержание.
1. Определение
2. История возникновения.
3. Аликвотные дроби в других странах.
4. Старинные задачи на аликвотные дроби.
5. Аликвотные дроби сейчас.
-
Заключение.
-
Выводы.
-
Литература.
I.Введение.
1. Актуальность работы.
При изучении обыкновенных и десятичных дробей по математике в 5 классе, меня заинтересовало , а есть ли еще какие дроби. и как возникли обыкновенные дроби. Тогда от учителя я слышала л таких дробях, как аликвотные дроби и меня заинтересовало это понятие. Я решила исследовать что это за дроби и изучить их хоть немного на данном уровне изучения математики.
2. Цели и задачи работы.
Цель исследования:
-
Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.
Задачи исследования:
-
Узнать происхождение аликвотных дробей.
-
Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.
-
Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.
3. Методическая база исследования.
-
справочная литература
-
ресурсы Интернет
4. Практическая значимость исследования.
-
работать в коллективе и самостоятельно расширить свой математический кругозор;
-
пополнить свои математические знания;
-
научиться работать с дополнительной литературой;
-
приобрести навык публичного выступления с высказыванием собственной точки зрения; использование работы в просветительской деятельности.
5. Гипотеза.
"Что я знаю об аликвотных дробях?"
II. Основное содержание.
1. Определение
АЛИКВОТНАЯ ДРОБЬ - дробь вида , где -натуральное число.
2. История возникновения
Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три - «треть», четыре - «четверть» и т. д.), для половины это не так - ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.
Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида - - так называемые единичные дроби или аликвотные.
Египтяне ставили иероглиф
(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:
У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака - единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).
Египетская дробь - в математике сумма нескольких аликвотных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.
Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби - это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Единичные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, - древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.
В Древнем Египте «натоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.
Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными (от латинского aliguot- " несколько''). То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,
=,
=+,
=+.
Так, глаз «Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов,
представляла собой дробь , так как согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом: + + + + + = .
3. Аликвотные дроби в других странах.
Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления).
Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» - это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.
4. Старинные задачи на аликвотные дроби.
«Разделить 7 хлебов между 8 людьми» Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так: = + + . Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.
5. Аликвотные дроби сейчас.
Сейчас аликвотные дроби можно встретить лишь в олимпиадных заданиях. Например:
Задачи из журнала «Квант». Решение задач.
-
Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей
А) трёх слагаемых:
1 = .
Б) четырёх слагаемых:
1 = =
.
В) пяти слагаемых:
1 = = + + .
Г) шести слагаемых:
1 = = + + = +
-
Представьте дробь в виде аликвотных дробей.
Существует 2 способа представления дроби в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей. Это, опять-таки, из-за простоты числа 2011.
3. Верно ли равенство?
Равенство верно.
III. Заключение.
Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.
Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решали олимпиадные задачи по математике разных лет. Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести , разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».
IV. Выводы.
Изучив и исследовав аликвотные дроби, я узнала, что они являются началом обыкновенных дробей, которые мы изучаем по математике в 5 классе.
Научилась складывать и вычитать эти дроби, решать задачи на аликвотные дроби.
V. Литература.
1. Депман И. Я. Мир чисел. М.: Детская литература,1982
2.Кординский Б. А.,Ахадов Л. А.Удивительный мир чисел: книга для учащихся. М.Просвещение,1986
3. Интернет ресурсы:
- ru.wikipedia.org/wiki Симметрия - slovari.yandex.ru