Методическая разработка. Тема: Исследование функции при помощи производной

Дисциплина - «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Методические указания для практической работы

Теоретические сведения

1. Возрастание и убывание функции

Функция называется возрастающей в промежутке , если для любыхи, принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .

Функция называется убывающей в промежутке , если для любыхи, принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .

Как возрастающие , так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной:

если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке;

если в некотором промежутке , то функция убывает в этом промежутке.

Пример 1. Найти промежутки монотонности следующих функций:

а) б)

а) Находим производную:, имеем .

Последующие рассуждения представим в таблице:

4

-

0

+

Таким образом, данная функция в промежутке убывает,

а в промежутке возрастает.

б)

Составим таблицу:

0

4

+

0

-

0

+

Итак, в промежутках и функция возрастает, а в промежутке - убывает.

2. Исследование функции на экстремум

с помощью первой производной

Точка из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая - окрестность

точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Точка из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если существует такая - окрестность

точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках - минимумом и максимумом (или экстремумами) функции.

Точками экстремумами могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то функция имеет в точке экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум - когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция в точке не имеет экстремума.

3. Правило нахождения экстремумов функции

с помощью первой производной

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции , т.е. точки в которых обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . При этом критическая точка есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором , от промежутка, в котором , и точка максимума - в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то в точке функция экстремума не имеет.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума.
   
   

Пример 2. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) б)

а) Находим , приравняем производную к нулю, имеем . Получим единственную критическую точку .

Последующие рассуждения представим в таблице:

2

-

0

+

Минимум

График функции есть парабола. Точка минимума (2;-4) является вершиной параболы.

б) Находим , приравняем производную к нулю, имеем . Получим две критические точки и .

Последующие рассуждения представим в таблице:

0

2

+

0

-

0

+

Максимум

Минимум

4. Наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1. Найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

2. Найти значения функции на концах промежутка;

3. Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в промежутке .

Имеем ; 2, т.е. - критическая точка. Находим ; далее, вычисляем значения функции на концах промежутка: , .

Итак, наименьшее значение функции равно - 1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка.

5. Построение графиков функций

Общая схема построения графиков функций

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Пример 4 . Построить график функции .

1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. .

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

3. Найдем точку пересечения графика с осью : полагая , получим . Точки пересечения графика с осью в данном случае найти затруднительно.

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5. Найдем производную: . Далее, имеем .

Точки и делят область определения функции на три промежутка: , , . В промежутках и , то есть функция возрастает, а в промежутке , то есть функция убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку - с минуса на плюс. Значит, .

6. Найдем вторую производную: . Точка делит область определения функции на два промежутка и . В первом из них , а во втором

, то есть в промежутке кривая выпукла вверх, а в промежутке выпукла вниз. Таким образом, получим точку перегиба (2;-1).

7. Используя полученные данные, строим искомый график.

Дисциплина - «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Вариант 1.

1. Найдите промежутки монотонности функции .

2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции:

на отрезке .

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

1. ; б) .

4. Дан закон прямолинейного движения точки

(t - в секундах, s - в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

5. Исследуйте функцию и постройте ее график:

.

Вариант 2.

1. Найдите промежутки монотонности функции .

2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции

на отрезке .

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

1. ; б) .

4. Дан закон прямолинейного движения точки (t - в секундах, s - в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

5. Исследуйте функцию и постройте ее график:

.