Ученический проект на тему Теоремы Чевы и Менелая

XIV Российская научная конференция «Открытие»

Секция математики

Тема работы

«Теоремы Чевы и Менелая и их применение при решении задач»

Работу выполнили ученики 9 класса

ОГОШИ «Лицей-интернат

поселка имени Маршала Жукова»

Курского района, Курской области:

Герчук Кристина Михайловна

Кириченко Анастасия Алексеевна

Руководитель проекта:

учитель математики высшей категории

Кацевич Алла Геннадьевна

Оглавление

Введение

Основная часть

1.Теорема Чевы

2.Применение Теоремы Чевы

3.Теорема Менелая и следствия из теоремы Менелая

4.Применение теоремы Менелая

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширные как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться.

Е.Т. Белл.

Школьный курс планиметрии содержит не так много информации по геометрии конфигурации треугольников и окружностей. А тема эта очень интересна. Многие великие ученые, такие как Гаусс, Эйлер, Лейбниц, Чева, Симпсон занимались решением задач связанных с комбинацией фигур треугольника и окружности. С древнейших времен окружность и треугольник считали совершенными фигурами, в некоторых странах их наделяли и наделяют магическими смыслом и не случайно. Казалось бы, каждая из них изучена досконально, вдоль и поперек, но вот они в паре. В сотрудничестве они подарили множество открытий миру математики и принесли всемирную известность К. Фейербаху и многим другим ученым. Нас заинтересовали такие интересные факты геометрии, как теоремы Чевы и Менелая. Они привлекают своей простотой, изяществом и бесконечным таинством. Задачи, сопровождаемые красивыми чертежами, часто содержат неожиданные факты. Изучая эти теоремы, мы увидели геометрию с новой, неожиданной стороны: красивые интересные задачи, новые факты.

Цель нашей работы - изучить теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению геометрических задач.

Основная часть

1.Теорема Чевы

Джованни Чева - итальянский математик. Родился в 1648 г. и умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Старался возродить греческую геометрию. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении "О взаимопересекающихся прямых". В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Теорема, названная его именем - это классическая теорема геометрии треугольника.[5, c. 369]

Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры.

Пусть у нас имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A₁, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B₁, C₁ на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA₁ , BB₁ , CC₁ пересекутся в некоторой точке М (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный).

Поэтому хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева. Можно сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.

Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами.

Теорема Чевы. Пусть А₁, В₁, С₁ -три точки, лежащие соответственно на сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС или на их продолжениях. Для того, чтобы прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекались в одной точке или были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы

рис.1

Доказательство. Необходимость. Пусть отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке М внутри треугольника АВС (рис. 1). Обозначим через S₁,S₂,S₃ площади треугольников АМС, СМВ и АМВ, а через h₁, h₂ - расстояния соответственно от точек А и В до прямой МС (рис. 2).

,

рис.2

аналогично ,,

Перемножив полученные пропорции, убеждаемся в справедливости теоремы.

Достаточность. Пусть точки A₁, B₁, C₁ лежат на сторонах ВС, СА и АВ треугольника и выполнено соотношение (1), М - точка пересечения отрезков AA₁ и ВВ₂, а отрезок СМ пересекает сторону АВ в точке Q. Тогда, по уже доказанному,

, так что

Из леммы снова следует совпадение точек: Q==C₁. Достаточность доказана.[2.c.3]

2. Теорема Менелая

Менелай Александрийский - математик и астроном. Время его жизни и деятельности определяется приведенными в "Альмагесте" Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай Александрийский произвел в Риме в первом году царствования Траяна, т. е. в 98 г. после Рождества Христова. Менелаем были написаны два сочинения: "О вычислении хорд", в 6 книгах, и "Сферика", в 3 книгах. Главным предметом "Сферики" Менелая Александрийского служит сферическая тригонометрия. Из числа многих предложений, для нас впервые встречающихся в этом сочинении, самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств (regula sex quantitatum). Теорема Менелая красива и проста. В школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем она входит в золотой фонд древнегреческой математики. [5. c. 369]

Теорема Менелая: Пусть точки А₁ и С₁ лежат на сторонах ВС и АВ треугольника АВС (рис. 3), а точка В₁ - на продолжении стороны АС этого треугольника. Точки А₁, В_1, и С₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

рис.3

Доказательство. Сначала докажем необходимость. Пусть точки А₁, В₁, С₁ лежат на прямой l и АА₀ = h₁, ВВ₀ = h₂, СС₀ = h₃ - перпендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В, С на прямую l (см. рис. 3). Из подобия треугольников АА₀C₁ и BB₀C₁ получаем

Аналогично, рассматривая другие пары подобных треугольников, полу-

чаем

, .

Перемножая полученные пропорции, приходим к требуемому равенству.

Достаточность. Пусть точки A₁, В₁, С₁ (рис. 4), лежащие на прямых ВС, AC, AB, таковы, что

Докажем, что точки А₁ , В₁, С₁ лежат на одной прямой.

Проведем прямую А₁В₁ и докажем, что точка С ей принадлежит.

Предположим, что это не так. Сначала заметим, что прямая А₁В₁ не параллельна прямой AB. Пусть Т - точка пересечения прямых А₁В₁ и AB (см. рис. 4). Тогда

(1)

рис.4

Из условия и равенства (1) следует, что

.

Точки Т и С₁ совпадают, то есть коллинеарны.

Теорема Чевы давала критерий инцидентности прямых, теорема Менелая дает критерий коллинеарности точек.[2. c. 6]

3. Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач

Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач.

Задача 1. Докажите: если в треугольник вписана окружности, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположные сторон, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть А₁ ,B₁ и С₁ - точки касания вписанной окружности треугольника АВС (рис. 5). Для того чтобы доказать, что отрезки АА₁ , ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: BC₁ = BA₁ = x, CA₁ = CB₁ = y, AB₁ = AC₁ = z.

рис. 5

Задача 2.. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение .

рис. 6

Решение. По условию задачи МА = AC, NC =3BN. Пусть МА = АС = b, BN =k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны .треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая

Ответ: 2 : 3.

Задача 3. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR - точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q. Найдите

Решение. По условию NQ=LR , Пусть NA = LR = а, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая

рис.7

Ответ: п : т.

Задача 4. Пусть AD - медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение. Пусть AD = DC = a, KD = т; тогда АК = 3т. Пусть Р - точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем:

Итак,

рис. 8

Ответ: 3:2.

Задача 5. Докажите теорему: высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть АH₁, АH₂, и АН₃ - высоты треугольника АВС со сторонами a,b и c.Из прямоугольных треугольников АВН₂ и ВСН₂ по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВH₂, обозначив АН₂= х , СН₂=b - x.

и

Приравнивая правые части полученных равенств, получаем

с² - х² = а² - (b - х)²,

откуда

Тогда

Итак,

Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников ACH₃ и BCH₃ , BAH₁ и CAH₁ получим

и

рис.9

Для доказательства теоремы достаточно показать , что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН₁, ВН₂ и СН₃ пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН₃, ВН₃, BH₁ , CH₁, CH₂ и AH₂ через а, b и c убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется.

Теорема доказана.

Решение многих интересных задач приведены нами в приложении 1 - 10. Мы продолжаем работу над этой темой: сейчас мы исследуем следствия из теоремы Менелая: теорему Паппа, теорему Паскаля, теорему Дезарга, а также нас интересуют замечательные точки, такие как точка Лемуана, точки Жергонна и Нагеля, точка Ферма - Торичелли, точка Лемуана.

Заключение

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий.

Решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику, помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С₄ единого государственного экзамена.

Список используемой литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7 - 9 класс. - М.: Просвещение, 2010.

2. И.С. Безверхняя, В.Н. Безверхний. Некоторые вопросы преподавания планиметрии в средней школе. - Тула. 1992 - 60 с.: ил.

3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Гос. уч. - пед. изд-во, М.: 1962 - 235 с.: ил.

4. Г.Коксетер, С.Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978 - 286 с.: ил.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9-11 классы. - М.: Дрофа, 1996 - 243 с.

5. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика /Э68 Ред. коллегия: М. Аксенова, В. Володин и др. - М.: Аванта + 2005 - 688 с.: ил.

12