Методическое пособие для студента: «Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Методы вычисления»

ГБПОУ СПО ККПТП

Методическое пособие для студента:

«Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

Методы вычисления»

(В данном пособии излагается необходимый теоретический материал из разделов высшей математики, который сопровождается большим числом рассмотренных примеров и задач)

Подготовила преподаватель математики

Чамина Л.М.

Каменка, 2014г.

Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

Основные вопросы:

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

2. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

3. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.

4. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

5. Задания для самостоятельной работы.

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

Основная задача дифференциального исчисления состоит в вычислении производной или дифференциала заданной функции.

Часто возникает обратная задача: по известной производной функции необходимо найти саму функцию. Например, производная f(x) некоторой неизвестной функции F(х) задана и равна соs х, т.е.

F' (х) = f (x) = соs х.

На вопрос, чему равна сама функция F(х), легко ответить, посмотрев таблицу производных (см. табл.):

(sin х) ' = cos x, значит, F(х) = sin х.

Функция F(х), которая удовлетворяет условию F'(х) = f(x), называется первообразной для заданной функции f(х).

Производная от постоянной величины С равна нулю, С' = 0. Поэтому, если добавить к первообразной функции F(х) постоянную С, то снова будет выполняться условие [F(х) + C]' = f(x), в частности, в рассмотренном примере (sin х + С)' = соs х. Значит для функции f(x) существует бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянную величину С, С обычно называют произвольной постоянной.

Совокупность всех первообразных F(х) + С для данной функции f (х) называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом:

∫f (x)dx, т.е. ∫f (x)dx = F(х) + C; (1)

где f (x) - подинтегральная функция, f (x)dx - подинтегральное выражение, которое представляет собой дифференциал F(х). В нашем примере: ∫cos x dx = sin x+ C

В конкретных задачах многозначность ответа устраняется каким-либо дополнительным условием.

Например, надо найти функцию, производная которой есть х² и значение которой равно 7 при х = 3.

Обратившись к таблице производных, находим, что

.

Подставив в вместо х число 3, получим:

и С = - 2, а _.

2.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

[∫f (x)dx]' = [F(x) + C] ' = f(х); (2)

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d ∫ f (x)dx = f(х) dx; (3)

3. Неопределенный интеграл дифференциала некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной

∫ d F (x) = F(х) + C, (4)

например: ∫ d x = х + С или ∫ d ( sin x) = sin x + C.

4. Неопределенный интеграл алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов слагаемых

∫ (z(x) - u (x) + v(x)) dx = ∫ z(x) dx - ∫ u (x) dx + ∫ v(x) dx; (5)

5.Постоянный множитель в подинтегральной функции можно вынести за знак неопределенного интеграла:

(6)

Приведем таблицу значений неопределенных интегралов, которую легко получить, используя таблицу дифференцирования.

Таблица 1.

3. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.

Часто подынтегральные функции бывают намного сложнее приведенных в табл. 1. В этом случае, чтобы найти неопределенный интеграл, нужно с помощью определенных приемов свести его к табличному виду и дальше воспользоваться таблицей интегралов. Рассмотрим два из возможных методов вычисления неопределенных интегралов.

I. Непосредственное интегрирование.

Здесь достаточно элементарных алгебраических преобразований подинтегральной функции для того, чтобы получить табличный интеграл.

Проиллюстрируем этот метод решением конкретных примеров:

1)

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулами (4), (5), (6) и формулой № 2 таблицы 1, тогда

== =

2) , т.к. известно, что sin 2x = 2 sin x cos x, то

(см. формулу (6) и № 6 табл.1)

II. Метод замены переменной (метод подстановки).

В этом методе определенную часть подынтегрального выражения обозначают новой переменной. Всю последовательность действий, приводящих к решению, рассмотрим на примерах.

1. Надо вычислить интеграл .

Для того, чтобы получить ответ:

а) введем новую переменную z = 3x;

б) найдем ее дифференциал: dz = 3dx;

в) выразим dx через dz: dx = dz/3;

г) подставим новые значения в исходный интеграл: , используя формулу (6) получим: , это табличный интеграл;

д) по формуле №7 табл.1 или, возвращаясь к старой переменной,

.

Правильность ответа легко проверить, вычислив от него производную, при правильном решении она должна быть равна подинтегральной функции:

Приведенный порядок действий соблюдается при решении любого интеграла данным методом

_2.

_{При вычислении интеграла использовалась формула №4 табл.1.}

3.

При вычислении этого интеграла использовалась формула №2 табл.1.

4.Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

А

x=b

x = a

y

x

Рис.1

Криволинейная трапеция

К понятию определенного интеграла приводят ряд прикладных задач. Рассмотрим одну из них. Пусть требуется найти площадь S плоской фигуры аАBb (рис.1), ограниченной графиком функции y = f(x) и отрезками прямых y = 0, x = a, x = b. Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Не проводя промежуточных вычислений, приведем окончательный результат:

(7)

Стоящее справа в данной формуле выражение называется определенным интегралом функции y = f(x) на участке [a, b], здесь а - нижний предел интегрирования (наименьшее значение x), b - верхний предел интегрирования (наибольшее значение x).

Вычисление определенного интеграла проводится с помощью формулы Ньютона - Лейбница:

(8)

Из нее следует, что для получения значения определенного интеграла необходимо:

а) пользуясь теми же правилами и формулами, которые применимы для нахождения неопределенного интеграла, найти первообразную функцию для заданной подинтегральной функции; рядом с ней обычно проводится вертикальная линия и записываются пределы интегрирования - ставится знак двойной подстановки;

б) вычислить значение первообразной при верхнем пределе интегрирования и от полученного результата отнять ее значение при нижнем пределе интегрирования;

в) полученная разность и будет значением интеграла - значением искомой площади в соответствующих единицах при решении задач о вычислении этой величины.

В отличие от неопределенного интеграла, определенный интеграл всегда есть конкретное число, значение которого зависит от вида функции f(x) и значений верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Примеры:

1. Вычислить площадь между участком синусоиды и осью x для интервала (0, π):

2)

Уже говорилось, что определенный интеграл применяется не только для вычисления площадей.

Рассмотрим один из возможных примеров:

Скорость выброса крови из сердца за время систолы описывается некоторой функцией v = v(t). Период сердечного сокращения T₀ = 1c, время систолы Т = 0,4с. Определим минутный объем выбрасываемой крови V_мин для двух случаев:

а) скорость выброса постоянна и составляет v₀ = 200мл /с (например, при работе искусственного клапана);

б) скорость выброса изменяется во времени по следующему закону: , что в определенном приближении соответствует реальной ситуации.

Решение:

а) Поскольку v = v₀ = const, то объем крови , выбрасываемый за 1 систолу, равен v₀ ·Т. За минуту происходит 60 систол (Т₀ = 1с), следовательно, V_мин. =

= 60 ·v₀ ·Т = 4800 мл;

б) Выброс крови за одну систолу определяется интегралом:

Выброс крови за минуту:

5. Задания для самостоятельной работы.

1. Найдите интегралы:

Задания для практической работы

1)

3)

5)

2)

4)

6)

7)

8)

9)

Вариант 1

Вариант 2

1)

3)

5)

2)

4)

6)

7)

8)

9)

Вариант 3

1)

3)

5)

2)

4)

6)

7)

8)

9)

1)

3)

5)

2)

4)

6)

7)

8)

9)

Вариант 4

Литература.

1. Гроссман С., Тернер Дж. Математика ,М: Высшая школа, 1983, 383стр.

2. Баврин И.И. Краткий курс высшей математики, М., Физматлит, 2003г., 326 стр.

15