Урок по теме Решение Квадратных уравнений графическим способом

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СЕВЕРО - КАВКАЗСКИЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

План-конспект урока по теме:

«Решение квадратных уравнений

графическим способом»

Преподаватель математики

ГАПОУ «СКАТК»

Дзигасова Роза Романовна

«Математика - это язык, на котором

говорят все точные науки»

Н. И. Лобачевский.

г.Ардон 2015год.

«Математика - это язык, на котором

говорят все точные науки»

Н. И. Лобачевский.

Математика

1 курс (урок №6 повторения за курс 9-ти летней школы Источники:

А. Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. М: 2010, 129 c.)

Дзигасова Роза Романовна ГАПОУ «СКАТК»

Тема: «Решение квадратных уравнений графическим способом»

Цель урока: Способствовать формированию умения решать квадратные уравнения графическим способом.

Задачи урока:

1. Образовательные: обобщить ранее изученные графические способы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у = 1/х, у = х², закрепить навыки построения графиков функций.

2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности,

логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать, делать выводы.

3.Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: проектор, компьютер, переносная доска с графиком у=х².

Тип урока: обобщающий урок, урок закрепление знаний.

Вид урока: урок - практикум.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, коллективная.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

2. Актуализация опорных знаний - устная работа, с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.

3. Обобщение материала - рассматриваются графические способы решения квадратных уравнений.

4. Закрепление материала.

5. Практическая работа.

6. Обогащение знаний - знакомство с траекториями движения космических аппаратов

7. Подведение итогов урока.

8. Творческое домашнее задание.

9. Рефлексия.

Ход урока.

I. Мотивационная беседа.

Преподаватель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово «математика». «Математика» - знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать - первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне, сегодня очень хочется, чтобы вы стали, немного мудрее и расширили свои знания по математике.

Итак, запишите в тетрадь число и тему урока. Цель урока - обобщить графические способы решения квадратных уравнений, закрепить этот способ решения практической работой с использованием готового графика функции.

У вас находятся одинаковые трафареты, состоящие из 10 комбинаций, которые обозначены римскими цифрами.

I II III IV V

VI VII VIII

IX X

В каждую клетку нужно вписать букву или знак препинания. Тогда сложится фраза. Но на трафарете нет места для самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив практическую работу. У нас получится крылатое изречение- высказывание «Эпиграф к уроку». Следует вам ответить на соответствующие тестовые задания I -X и вписать в трафарет знак или букву, которой обозначен верный ответ.

Тестовые задания.

II. Актуализация опорных знаний.

1. График функции у = х², называется …

?) синусоидой; :) гиперболой; -параболой.

I

-

2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному ответу. Является ли функция у = х² возрастающей на отрезке [a; в], если:

е) а = - 3; в = 3;

э) а = 1; в = 4;

д) а = - 2; в = - 1;

т) а = 0; в = 0,5;

о) а = 9; в = 10;

б) а = - 9; в = 10;

II

э

т

о

3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику функции у = х² :

Я(3; 9), Ж(5; 5), С(-100; -100), Н(-2; 4), З (-1; 1),

Ы(0; 0), В(-7; 7), А(2; 8), К(2; 4).

III

Я

з

ы

к

4. Графиком функции является …

-) прямая;) отрезок; ,) гипербола; :) ветвь параболы.

IV

,

5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.

а) Какие из данных уравнений являются квадратными?

в) 5х + 1 = 0. к) х³ - 2х² + 1 = 0. н) 5 - 8х = 0.

н) 2х² - 9х + 5 = 0. з) 2х ─ = 0. а) х² + 3х + 2 = 0.

V

н

а

6. Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?

к) х² - 9х + 5 = 0. О₁) х² - 4х² + 3 = 0. т) х² + 5х + 2 = 0.

л) 3х² - 4х - 7 = 0. О₂) х² - 2х - 5 = 0. к)3 х² + 6х + 8 = 0.

р) х² - 14х + 49 = 0. О₃) х² - 10х + 25 = 0. м) х² + 11х - 12 = 0.

VI

к

о

т

о

р

о

м

III. Обобщение материала.
Презентация на тему «Графическое решение квадратных уравнений» является прекрасным наглядным пособием

Первый способ.

Строят график функцииy=ax²+bx+c и находят точки его пересечения с осью x.

Второй способ.

Преобразуют уравнение к виду ax²=−bx−c, строят параболу y=ax² и прямую y=−bx−c, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).

Третий способ.

Преобразуют уравнение к виду ax²+c=−bx, строят параболу y=ax²+c и прямую y=−bx (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.

Четвёртый способ.

Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду a(x+l)2+m=0 и далее a(x+l)2=−m.

Строят параболу y=a(x+l)2 и прямую y=−m, параллельную оси x; находят точки пересечения параболы и прямой.

Пятый способ.

Преобразуют уравнение к виду ax²x+bxx+cx=0, т.е. ax+b+cx=0 далее cx=−ax−b.

Строят гиперболу y=cx (это гипербола при условии, что c≠0) и прямую y=−ax−b; находят точки их пересечения.

Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ax²+bx+c=0, а пятый - только к тем, у которых c≠0. На практике можно выбирать тот способ, который тебе кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который тебе больше нравится (или более понятен).

Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Учтём это в дальнейшем.

На практике можно выбирать тот способ, который тебе кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который тебе больше нравится (или более понятен).

Пример.

Решим уравнение х² + 2х - 3 = 0.

Какое это уравнение?

Как это уравнение можно решить?

Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

Можно его решить устно?

Ответ: Можно, по теореме Виета.

Какие же корни?

Ответ: -3 и 1.

Решим уравнение, используя графический способ решения. Например, второй способ.

Представим данное уравнение в следующем виде:

х² = ─ 2х + 3.

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f(x), равной левой части уравнения и g(x), равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором f(x)=g(x), т. е. общую точку, принадлежащую графику функции f(x) и графику функции g(x). Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций f(x)=х² и g(x)=-2х+3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х² и

g(x) = ─2х + 3.

Для этого составим таблицы их значений.

f(x) = х² ─ парабола

х

0

+1

+2

+3

у

0

1

4

9

[-3; 3]

g(x) = ─2х + 3 ─ прямая

х

-3

1

у

9

1

В

А
х = -3, х = 1.

А(-3;9) и В(1;1)-точки пересечения. Абсциссы этих точек равны -3 и 1.

Значит х = -3 и х = 1 - решение уравнения х² + 2х - 3 =0

Ответ:

слушают) х = ─ 1 и х = 3

говорят) х = ─ 3 и х = 1

сидят) х = ─ 5 и х = 0

VII

г

о

в

о

р

я

т

IV. Закрепление обобщенного материала.

1). Решить уравнение х² - х - 2 = 0. x [-5; 5] с шагом 0,5

у₁ = х² у₂ = х + 2

Ответ:

девушки) х = - 2 и х = 1

юноши) х = 3 и х = 1

все) х = 2 и х = - 1.

VIII

в

с

е

2). Решить самостоятельно.

• х² - 2х - 8 = 0 x [-5; 5] с шагом 0,5

а) один ученик решает графически;

б) другой ученик решает аналитически с помощью теоремы Виета.

в) все остальные решают в тетрадях.

Ответ :

широкого) х = 5 и х = 1;

русского) х = 4 и х = - 2;

красного) х = 3 и х = - 1.

IX

т

о

ч

н

ы

е

Самостоятельно решаем уравнение 2х² + х - 3 = 0 x [-4; 4].

Ответ:

науки) х = 1 и х = -1,5;

предметы) х = 3 и х = - 2;

дисциплины) х = -1 и х = 2.

X

н

а

у

к

и

Физминутка.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз - согнуться - разогнуться,

Два ─ согнуться - потянутся,

Три - в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

V. Практическая работа - получи слово.

На трафарете нет самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив практическую работу. С помощью графика некоторой функций и поставленных тестовых вопросов (ответ заменяем буквой, которые надо вставлять в клетки) получим слово.

1)1,5 - График какой функции на рисунке?

А- линейной М - квадратной

2) 2, 6, 10 - График функции пересекает ось у в точке

А (0;4) В(4;0) С(0;2)

3) 3, 7 - Вершина параболы

А(0;0) Т(0;2,5) В(2;3)

4) 4 - Сколько корней имеет уравнение при у=0

Е -1 А- 2 в -нет корней

5) 8 - При х=4 у=?

А -4 С - 3 И - 1

6) 9 - Назовите корни уравнения при у=4

А - 1 и 3 К - 0 и 5,5 В - 2 и 3

Преподаватель: Какое слово у вас получились?

Ответы учащихся: МАТЕМАТИКА.

Преподаватель: Получилась фраза «Эпиграф к уроку» - «Математика - это язык, на котором

говорят все точные науки» Н. И. Лобачевского.

VI. Обогащение знаний.

Высвечивается слайд, на котором находятся парабола и гипербола.

а) мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: «Полёт-это математика». Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3) При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты «Пионер-10», «Пионер-11»,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная система и траектория «Пионера», схема атома водорода и положение Солнца по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.

б) графики помогают нам наглядно увидеть изменения различных величин: изменение роста, веса, температуры, скорости и т.д.

Вот посмотрите на эти графики, характеризующие ваш класс:

1. График успеваемости (Знание - сила. Кто много читает, тот много знает» - пословица.

2. График роста, график веса обучающихся вашей группы.

Чтобы достичь нормального веса и роста подростку 15-ти лет нужно заниматься спортом, вести здоровый образ жизни, не увлекаться пагубными привычками: алкоголем, табакокурением, наркотиками. Никогда не забывать пословицу «В здоровом теле здоровый дух».

VII. Подведение итогов урока.

Вы замечательно поработали на уроке.

Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто». Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую творческую домашнюю работу.

VIII. Домашнее задание.

Творческое задание: составить рекламу параболе или гиперболе;

сочинить сказку или рассказ на тему «Замечательные кривые».

IX. Рефлексия.

В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

- Что нового узнали на уроке?

- Понравился ли урок?

- Что понравилось на уроке?

- Что не понравилось?

- Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?

Спасибо всем!!!