Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И

ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Западный филиал РАНХиГС

Учебно-методическое пособие

(раздел «Теория вероятностей»)

Калининград, 2014

Содержание

Пояснительная записка…………………………………………..3

Решение задач…………………………………………………….4

Тренировочный тест……………………………………….........11

Библиографический список…………………………………….14

В пособии рассматриваются задачи по темам:

• алгебра событий;

• формула полной вероятности;

• дискретная случайная величина и ее характеристики;

• непрерывная случайная величина и ее характеристики;

• распределения случайной величины: биномиальное, нормальное.

В каждой теме даны подробные решения типовых задач и необходимый теоретический материал. В пособии содержится тренировочный тест с ответами для самоконтроля знаний. Основное назначение пособия - помочь студенту при подготовке к зачету и итоговой контрольной работе по дисциплине математика.

РЕшение задач

Задача 1. Три стрелка стреляют по мишени с вероятностями попадания 0,8, 0,9 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень

а) попадут все три стрелка; б) не попадет ни один;

в) попадет ровно один стрелок; г) попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Обозначим А₁, А₂ и А₃ − попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно, а , и − непопадания для этих же стрелков. Так как произведение событий есть событие, состоящее в совместном появлении перемножаемых величин, то А₁А₂А₃ означает три попадания, а − три промаха.

События А₁, А₂, А₃ независимы (появление одного не влияет на вероятность появления другого), поэтому вероятность трех попаданий (случай а)) равна произведению вероятностей

.

События А₁ и − противоположные события, значит удовлетворяют соотношению

.

Но тогда . Аналогично,

, .

Таким образом, вероятность трех промахов (случай б)) равна

.

Рассмотрим случай в). Искомое событие − попадет ровно один стрелок − состоит в появлении одного из событий:

− (первый попал в мишень, а второй и третий промахнулись),

− (второй попал, а два других промахнулись),

− (третий попал, остальные − нет).

Так как событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий, есть их сумма, получим, что искомое событие равно

.

Слагаемые этой суммы − несовместные события (появление одного из них исключает появление другого), поэтому вероятность суммы равна сумме вероятностей. Следовательно, вероятность того, что попадет ровно один стрелок, равна

.

Рассматривая случай г), обозначим В − событие, состоящее в том, что в мишень попадет хотя бы один стрелок, т.е. при одном залпе будет от одного до трех попаданий. Если к событию В добавить событие, означающее все три промаха, получим полную группу событий с вероятностью, равной 1. Но тогда событие, означающее три промаха, есть , а его вероятность уже найдена (случай б)).

Итак,

и .

Задача 2. В ящике содержится 10 деталей, изготовленных на заводе №1, 15 деталей, изготовленных на заводе №2 и 20 деталей, изготовленных на заводе №3. Вероятности брака для трех заводов соответственно равны 0,1, 0,3 и 0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной.

Решение. Обозначим А − событие, состоящее в том, что взятая деталь бракованная. Возможны три предположения (гипотезы):

Н₁ − деталь изготовлена на заводе №1,

Н₂ − деталь изготовлена на заводе №2,

Н₃ − деталь изготовлена на заводе №3.

Вероятности этих гипотез равны

, , .

По формуле полной вероятности (с учетом всех гипотез)

.

Здесь − вероятность того, что взятая деталь является бракованной при условии, что она изготовлена на заводе №1. Согласно условию задачи . Аналогично, , .

Но тогда

.

Задача 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х) случайной величины Х.

Решение. Найдем р₂ из условия

.

Получим

.

Для дискретной случайной величины

, .

Поэтому

,

.

Задача 4. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Найти х₂, если М(Х) = 2,9.

Решение. Так как , то

.

В формулу математического ожидания

подставим известные значения и найдем х₂

,

,

.

Задача 5. Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х:

Найти .

Решение. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на отрезок [a, b] определяется формулой

.

Поскольку на отрезке [2, 4] плотность распределения f(x) задана различными аналитическими выражениями, интеграл заменяется суммой интегралов и тогда

.

Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Найти М(Х), D(Х).

Решение. Найдем сначала плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х по формуле

.

Получим

.

Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х) непрерывной случайной величины X вычисляются по формулам

, .

Получаем

,

.

Задача 7. Случайная величина Х − число появлений события А в n испытаниях − распределена по биномиальному закону с математическим ожиданием М(Х) = 4 и дисперсией D(Х) = 3. Найти вероятность появления события А в каждом испытании.

Решение. Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, справедливы формулы

М(Х) = np, D(Х) = npq,

где р − вероятность появления события А в каждом испытании, а q - вероятность противоположного события, q =1 − p.

Имеем: np = 4, npq = 3.

Разделив второе равенство на первое, найдем q:

, отсюда .

Задача 8. Найти дисперсию случайной величины Х − числа появлений события А в 20 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а М(Х) = 2.

Решение. Так как испытания независимы, а вероятность появления события А в каждом испытании одинакова, то случайная величина распределена по биномиальному закону. Но тогда

М(Х) = np, D(Х) = npq.

Из первого равенства найдем

.

Тогда

,

значит,

.

Задача 9. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами М(Х) = 2 см, D(Х) = 0,25 см². Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 1,5 см и не более 3 см. Определить процент годных и процент бракованных деталей.

Решение.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, примет значение, принадлежащее отрезку , равна

,

где − функция Лапласа,

− среднее квадратическое отклонение ().

Поэтому

или, с учетом нечетности функции Лапласа,

(значения функции Лапласа находятся в таблице приложений [1]).

Полученный результат означает, что процент годных деталей составит 81,85%, бракованных − 18,15%.

Задача 10. Дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 200 м и средним квадратическим отклонением 10 м. Определить интервал, в который согласно правилу попадет снаряд с вероятностью 0,9973.

Решение. Если в формуле вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок (см. задачу 20) принять , , окажется, что

.

Это и есть правило − более 99,7% значений случайной величины попадут в интервал радиуса , симметричный относительно математического ожидания.

С учетом данных задачи получим

.

Приложение

Тренировочный тест

№

Задания

Варианты ответов

1

2

3

4

5

1

Устройство содержит 4 независимо работающих элемента с вероятностями отказа 0,9; 0,4; 0,2; 0,5. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

0,976

0,024

0,964

0,97

0,98

2

Из 10 стрелков 5 попадают в цель с вероятностью 0,4; 2 - с вероятностью 0,8; 3 - с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель.

0,48

0,18

0,54

0,64

0,72

3

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти D(X), если М(Х)=2,9.

18,9

2,89

0,89

1,09

1,89

4

Дискретная случайная величина задана рядом распределения. Найти D(X).

6,76

4,28

3,75

5,12

2,44

5

Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения. Найти , если М(Х)=1,7.

1

4

3

5

2

6

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

.. Найти .

7

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

. Найти М(Х).

1

4

8

Найти дисперсию случайной величины Х - числа появлений события А в 18 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а М(Х)=8.

9

Случайная величина Х - число появлений события А в n испытаниях распределена по биномиальному закону с М(Х)=10, D(X)=7. Найти вероятность появления события А в каждом испытании.

0,3

0,2

0,35

0,4

0,43

10

Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами: М(Х)=0,5 см, D(X)=0,36 см². Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 0,464 и не более 0,536 см. Определить, какой процент деталей будет забракован.

4,78%

95,22%

97,61%

2,39%

90,27%

11

Дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 800 м и средним квадратическим отклонением 40 м. Определить интервал, в который согласно правилу 3попадет снаряд с вероятностью 0,9973.

(720,880)

(780,820)

(760,840)

(680,920)

(640,960)

Правильные ответы

№ задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Ответ

1

3

5

5

2

1

4

3

1

2

4

Библиографический список

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2004. 404 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004. 479 с.

3. Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1967. 240 с.

4. Краснов М.И., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 256 с.

5. Кручкович Г.И., Мордасова Г.М. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. М.: Высшая школа, 1970. 511 с.

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Лань, 2002. 688 с.

7. Мартыненко В.С. Операционное исчисление. Киев: Высшая школа, 1990. 359 с.

Избранные главы высшей математики для заочников («Теория функций комплексной переменной», «Операционное исчисление», «Теория вероятностей»)

Составители: Лиманова Лариса Владимировна

МУРАТОВА Лидия Александровна

Редактор Н. В. Б е г а н о в а

Технический редактор Г. Н. Ш а н ь к о в а

Подписано в печать 10.12.08.

Формат 60х84. 1/16. Бум. типогр.№2.

Печать офсетная.

Усл. п. л. 1,39. Усл. кр.-отт. 1,39. Уч.-изд. л. 1,25.

Тираж 50 экз. С-26.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус